George Boole

Isi kandungan:

George Boole
George Boole

Video: George Boole

Video: George Boole
Video: The Genius of George Boole | RTÉ One 2024, Mac
Anonim

Ini adalah fail dalam arkib Stanford Encyclopedia of Philosophy.

George Boole

Pertama kali diterbitkan pada 21 Apr 2010

George Boole (1815-1864) adalah ahli matematik Inggeris dan pengasas tradisi algebra dalam logik. Dia bekerja sebagai guru sekolah di England dan dari tahun 1849 hingga kematiannya sebagai profesor matematik di Queen's University, Cork, Ireland. Dia merevolusikan logik dengan menerapkan kaedah dari bidang algebra simbolik yang muncul ketika itu menjadi logik. Di mana logik tradisional (Aristotelian) bergantung pada pengkatalogan silogisme yang sah dari pelbagai bentuk mudah, kaedah Boole memberikan algoritma umum dalam bahasa aljabar yang diterapkan pada pelbagai argumen kerumitan sewenang-wenangnya. Kaedah-kaedah ini digariskan dalam dua karya utama, Matematik Analisis Logik (1847) dan The Laws of Thought (1854).

  • 1. Kehidupan dan Kerja
  • 2. Konteks dan Latar Belakang Karya Boole Dalam Logik
  • 3. Analisis Matematik Logik (1847)
  • 4. Hukum Pemikiran (1854)
  • 5. Perkembangan Kemudian

    • 5.1 Bantahan terhadap Algebra Logik Boole
    • 5.2. Pembinaan Semula Sistem Boole moden
  • 6. Kaedah Boole

    • 6.1 Tiga Kaedah Analisis Hujah yang Digunakan oleh Boole di LT
    • 6.2. Kaedah Umum Boole untuk Cadangan Utama
    • 6.3. Kaedah Umum Boole untuk Cadangan Sekunder
  • Bibliografi
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Kehidupan dan Kerja

George Boole dilahirkan pada 2 November 1815 di Lincoln, Lincolnshire, England, dalam keluarga dengan cara sederhana, dengan seorang ayah yang jelas lebih banyak pendamping yang baik daripada pencari nafkah yang baik. Bapanya adalah seorang pembuat kasut yang minatnya sebenarnya adalah orang yang setia dalam bidang sains dan teknologi, yang gemar mengambil bahagian dalam Institut Mekanik Lincoln; ini pada dasarnya adalah kelab sosial komuniti yang mempromosikan pembacaan, perbincangan, dan ceramah mengenai sains. Ia ditubuhkan pada tahun 1833, dan pada tahun 1834 ayah Boole menjadi kurator perpustakaannya. Minat belajar ini jelas diwarisi oleh Boole. Tanpa faedah sekolah elit, tetapi dengan keluarga yang menyokong dan akses ke buku-buku yang sangat baik, khususnya dari Sir Edward Bromhead, FRS, yang tinggal hanya beberapa batu dari Lincoln,Boole pada dasarnya dapat mengajar dirinya bahasa asing dan matematik lanjutan.

Bermula pada usia 16 tahun, Boole perlu mencari pekerjaan yang berpatutan, kerana bapanya tidak lagi mampu menyediakan keluarga. Setelah 3 tahun bekerja sebagai guru di sekolah swasta, Boole memutuskan, pada usia 19 tahun, untuk membuka sekolah kecilnya sendiri di Lincoln. Dia akan menjadi guru sekolah untuk 15 tahun ke depan, hingga tahun 1849 ketika menjadi profesor di Queen's University yang baru dibuka di Cork, Ireland. Dengan tanggungjawab yang berat untuk ibu bapa dan adik-beradiknya, sangat mengagumkan bahawa dia masih meluangkan masa selama bertahun-tahun sebagai guru sekolah untuk meneruskan pendidikannya sendiri dan memulakan program penyelidikan, terutamanya mengenai persamaan pembezaan dan kalkulus variasi yang berkaitan dengan karya Laplace dan Lagrange (yang dia pelajari dalam bahasa Perancis asli).

Terdapat kepercayaan yang meluas bahawa Boole terutama ahli logik-pada hakikatnya dia menjadi ahli matematik yang terkenal sebelum dia menulis satu perkataan mengenai logik, selama ini menjalankan sekolah peribadinya untuk menjaga ibu bapa dan adik-beradiknya. Keupayaan Boole untuk membaca bahasa Perancis, Jerman dan Itali menjadikannya baik untuk memulakan pelajaran matematik yang serius ketika, pada usia 16 tahun, dia membaca Lacroix's Calcul Différentiel, hadiah dari rakannya Pendeta GS Dickson dari Lincoln. Tujuh tahun kemudian, pada tahun 1838, dia akan menulis makalah matematik pertamanya (walaupun bukan yang pertama diterbitkan), "Pada teorema tertentu dalam kalkulus variasi," yang memfokuskan pada peningkatan hasil yang telah dibacanya di Lagrange's Méchanique Analytique.

Pada awal tahun 1839 Boole pergi ke Cambridge untuk bertemu dengan ahli matematik muda Duncan F. Gregory (1813-1844) yang merupakan editor Jurnal Matematik Cambridge (CMJ) -Gregory telah mengasaskan jurnal ini pada tahun 1837 dan menyuntingnya sehingga kesihatannya gagal di 1843 (dia meninggal pada awal 1844, pada usia 30 tahun). Gregory, walaupun hanya 2 tahun melebihi gelarnya pada tahun 1839, menjadi mentor penting bagi Boole. Dengan sokongan Gregory, yang meliputi pembinaan Boole tentang cara menulis kertas matematik, Boole memasuki arena umum penerbitan matematik pada tahun 1841.

Penerbitan matematik Boole merangkumi 24 tahun dari 1841 hingga 1864, tahun dia meninggal kerana radang paru-paru. Sekiranya kita membagi 24 tahun ini menjadi tiga segmen, 6 tahun pertama (1841-1846), 8 tahun kedua (1847–1854), dan 10 tahun terakhir (1855-1864), kita dapati bahawa karyanya mengenai logik sepenuhnya pada pertengahan 8 tahun.

Dalam 6 tahun kerjayanya yang pertama, Boole menerbitkan 15 kertas matematik, semuanya kecuali dua di CMJ dan penggantinya pada tahun 1846, The Cambridge dan Dublin Mathematical Journal. Dia menulis mengenai topik matematik standard, terutamanya persamaan pembezaan, integrasi dan kalkulus variasi. Boole menikmati kejayaan awal dalam menggunakan kaedah simbolik baru dalam analisis, kaedah yang menggunakan persamaan pembezaan, katakan:

d 2 y / dx 2 - dy / dx - 2 y = cos (x),

dan menuliskannya dalam bentuk Operator (y) = cos (x). Ini (secara rasmi) dicapai dengan membiarkan:

D = d / dx, D 2 = d 2 / dx 2, dll.

membawa kepada ungkapan persamaan pembezaan sebagai:

(D 2 - D - 2) y = cos (x).

Kini aljabar simbolik dimainkan dengan hanya memperlakukan pengendali D 2 - D - 2 seolah-olah ia adalah polinomial biasa dalam aljabar. Kertas Boole tahun 1841 "Mengenai Integrasi Persamaan Pembezaan Linear dengan Koefisien Tetap" memberikan peningkatan yang baik terhadap kaedah Gregory untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tersebut, peningkatan berdasarkan alat standard dalam aljabar, penggunaan pecahan separa.

Pada tahun 1841 Boole juga menerbitkan makalah pertamanya mengenai invarian, sebuah makalah yang akan sangat mempengaruhi Eisenstein, Cayley, dan Sylvester untuk mengembangkan subjek. Arthur Cayley (1821–1895), Profesor Sadlerian masa depan di Cambridge dan salah seorang ahli matematik paling produktif dalam sejarah, menulis surat pertamanya kepada Boole pada tahun 1844, memuji dia atas kerja yang sangat baik mengenai invarian. Dia menjadi kawan peribadi yang rapat, yang akan pergi ke Lincoln untuk melawat dan tinggal bersama Boole pada tahun-tahun sebelum Boole pindah ke Cork, Ireland. Pada tahun 1842 Boole memulakan surat-menyurat dengan Augustus De Morgan (1806-1871) yang memulakan persahabatan seumur hidup.

Pada tahun 1843, guru sekolah Boole menyelesaikan kertas panjang mengenai persamaan pembezaan, menggabungkan penggantian eksponensial dan variasi parameter dengan kaedah pemisahan simbol. Makalah itu terlalu panjang untuk CMJ -Gregory, dan kemudian De Morgan, mendorongnya untuk menyerahkannya kepada Royal Society. Pengadil pertama menolak kertas Boole, tetapi yang kedua mengesyorkannya untuk Pingat Emas untuk kertas matematik terbaik yang ditulis pada tahun 1841-1844, dan cadangan ini diterima. Pada tahun 1844 Royal Society menerbitkan makalah Boole dan memberinya Pingat Emas-Pingat Emas pertama yang diberikan oleh Persatuan itu kepada ahli matematik. Pada tahun berikutnya Boole membaca sebuah makalah di mesyuarat tahunan Persatuan British untuk Kemajuan Sains di Cambridge pada bulan Jun 1845. Ini membawa kepada kenalan dan rakan baru,khususnya William Thomson (1824–1907), Lord Kelvin masa depan.

Tidak lama setelah mula menerbitkan makalah, Boole tidak sabar untuk mencari jalan untuk berafiliasi dengan institusi pengajian tinggi. Dia mempertimbangkan untuk mengikuti Universiti Cambridge untuk memperoleh ijazah, tetapi diberi nasihat bahawa memenuhi pelbagai syarat kemungkinan besar akan mengganggu program penyelidikannya, apatah lagi masalah mendapatkan pembiayaan. Akhirnya, pada tahun 1849, dia memperoleh profesor di pembukaan universiti baru di Cork, Ireland. Selama bertahun-tahun dia menjadi profesor di Cork (1849-1864) dia kadang-kadang akan bertanya tentang kemungkinan posisi kembali di England.

Rentang 8 tahun dari 1847 hingga 1854 bermula dan berakhir dengan dua buku Boole mengenai logik matematik. Sebagai tambahan, Boole menerbitkan 24 lagi makalah mengenai matematik tradisional dalam tempoh ini, sementara hanya satu kertas yang ditulis berdasarkan logik, iaitu pada tahun 1848. Dia dianugerahkan LL. D. ijazah oleh University of Dublin pada tahun 1851, dan inilah gelaran yang digunakannya selain namanya dalam buku logiknya pada tahun 1854. Buku Boole's 1847, Analisis Matematik Logik, akan disebut sebagai MAL; buku 1854, Laws of Thought, sebagai LT.

Selama 10 tahun terakhir kerjayanya, dari tahun 1855 hingga 1864, Boole menerbitkan 17 makalah mengenai matematik dan dua buku matematik, satu pada persamaan pembezaan dan satu lagi pada persamaan perbezaan. Kedua-dua buku ini dianggap canggih dan digunakan untuk pengajaran di Cambridge. Juga pada masa ini penghormatan yang signifikan telah datang:

1857 Felo Persatuan Diraja
1858 Ahli Kehormat Cambridge Philosophical Society
1859 Ijazah DCL, honoris causa dari Oxford

Malangnya rasa kewajipannya yang kuat menyebabkannya berjalan melalui ribut hujan pada akhir tahun 1864, dan kemudian memberi kuliah dengan pakaian basah. Tidak lama kemudian, pada 8 Disember 1864 di Ballintemple, County Cork, Ireland, dia meninggal kerana radang paru-paru, pada usia 49 tahun. Satu lagi makalah mengenai matematik dan sebuah buku yang disemak mengenai persamaan pembezaan, yang memberi perhatian besar kepada penyelesaian tunggal, diterbitkan bedah siasat.

Pembaca yang berminat dengan kisah kehidupan Boole yang sangat baik dan terperinci dirujuk kepada George Boole, Kehidupan dan Pekerjaannya, Desmond MacHale, 1985, sumber yang mana artikel ini terhutang budi.

  • 1815 - Kelahiran di Lincoln, England
  • 1830 - Terjemahannya mengenai puisi Yunani yang dicetak di sebuah kertas tempatan
  • 1831 - Membaca Lacroix's Calcul Différentiel
  • Guru sekolah
  • 1834 - Membuka sekolahnya sendiri
  • 1835 - Memberi alamat awam mengenai pencapaian Newton
  • 1838 - Menulis kertas matematik pertama
  • 1839 - Melawat Cambridge untuk bertemu Duncan Gregory, editor Jurnal Matematik Cambridge (CMJ)
  • 1841 - Empat penerbitan matematik pertama (semua di CMJ)
  • 1842 - Memulakan surat-menyurat dengan Augustus De Morgan - mereka menjadi rakan seumur hidup
  • 1844 - Surat-menyurat dengan Cayley bermula (dimulakan oleh Cayley) - mereka menjadi rakan seumur hidup
  • 1844 - Pingat Emas dari Royal Society untuk kertas mengenai persamaan pembezaan
  • 1845 - Memberi ceramah di Mesyuarat Tahunan Persatuan British untuk Kemajuan Sains, dan bertemu dengan William Thompson (kemudian Lord Kelvin) - mereka menjadi rakan seumur hidup
  • 1847 - Menerbitkan Analisis Matematik Logik
  • 1848 - Menerbitkan satu-satunya makalahnya mengenai aljabar logik
  • Guru Besar Matematik
  • 1849 - Menerima jawatan sebagai Profesor Matematik di Queen's University yang baru di Cork, Ireland
  • 1851 - Ijazah Kehormat, LL. D., dari Trinity College, Dublin
  • 1854 - Menerbitkan Undang-Undang Pemikiran
  • 1855 - Perkahwinan dengan Mary Everest, keponakan George Everest, Juruukur Jeneral India setelahnya Mt. Everest diberi nama
  • 1856 - Kelahiran Mary Ellen Boole
  • 1857 - Terpilih ke Royal Society
  • 1858 - Kelahiran Margaret Boole
  • 1859 - Menerbitkan Persamaan Pembezaan; digunakan sebagai buku teks di Cambridge
  • 1860 - Kelahiran Alicia Boole, yang akan mencipta perkataan "polytope"
  • 1860 - Menerbitkan Persamaan Perbezaan; digunakan sebagai buku teks di Cambridge
  • 1862 - Kelahiran Lucy Everest Boole
  • 1864 - Kelahiran anak perempuan Ethel Lilian Boole, yang akan menulis The Gadfly, sebuah buku yang sangat popular di Rusia selepas revolusi 1917
  • 1864 - Kematian akibat radang paru-paru, Cork, Ireland

2. Konteks dan Latar Belakang Karya Boole Dalam Logik

Untuk memahami bagaimana Boole berkembang, dalam masa yang singkat, aljabar logiknya yang mengagumkan, adalah berguna untuk memahami garis besar kerja asas algebra yang telah dilakukan oleh ahli matematik yang berafiliasi dengan Universiti Cambridge pada tahun 1800-an sebelum permulaan kerjaya penerbitan matematik Boole. Rujukan yang sangat baik untuk membaca lebih lanjut yang berkaitan dengan bahagian ini adalah buku sumber yang diberi penjelasan Dari Kant ke Hilbert oleh Ewald (1996).

Abad ke-19 dibuka di England dengan matematik dalam kegelapan. Ahli matematik Inggeris telah bertengkar dengan ahli matematik benua mengenai isu-isu keutamaan dalam pengembangan kalkulus, yang mengakibatkan bahasa Inggeris mengikuti notasi Newton, dan yang di benua mengikuti Leibniz. Salah satu rintangan yang harus diatasi dalam mengemas kini matematik Inggeris adalah hakikat bahawa perkembangan algebra dan analisis yang hebat telah dibina berdasarkan asas-asas yang meragukan, dan terdapat ahli matematik Inggeris yang cukup lantang mengenai kekurangan ini. Dalam aljabar biasa, penggunaan nombor negatif dan nombor khayalan menimbulkan kebimbangan. Percubaan utama pertama orang Inggeris untuk menyelesaikan masalah asas aljabar adalah George Peacock's Treatise on Algebra, 1830 (edisi kedua muncul sebagai dua jilid,1842/1845). Dia membahagikan subjek menjadi dua bahagian, bahagian pertama ialah algebra aritmetik, algebra nombor positif (yang tidak membenarkan operasi seperti pengurangan dalam kes di mana jawapannya bukan angka positif). Bahagian kedua adalah aljabar simbolik, yang diatur bukan oleh tafsiran khusus, seperti halnya aljabar aritmetik, tetapi oleh undang-undang. Dalam aljabar simbolik tidak ada batasan untuk menggunakan pengurangan, dll. Dalam aljabar simbolik tidak ada batasan untuk menggunakan pengurangan, dll. Dalam aljabar simbolik tidak ada batasan untuk menggunakan pengurangan, dll.

Istilah aljabar agak berbeza pada abad ke-19 daripada yang digunakan sekarang. Secara khusus mereka tidak menggunakan kata "variabel"; huruf x dalam ungkapan seperti 2 x + 5 disebut simbol, oleh itu nama "aljabar simbolik". Dalam artikel ini, awalan kadang-kadang akan ditambahkan, seperti simbol nombor atau simbol kelas, untuk menekankan penafsiran simbol yang dimaksudkan.

Peacock percaya bahawa agar aljabar simbolik menjadi subjek berguna undang-undangnya harus berkait rapat dengan aljabar aritmetik. Untuk tujuan ini, dia memperkenalkan prinsipnya mengenai kekekalan bentuk yang setara, suatu prinsip yang menghubungkan hasil dalam algebra aritmetik dengan algebra simbolik. Prinsip ini mempunyai dua bahagian:

(1) Hasil umum dalam aljabar aritmetik termasuk dalam hukum algebra simbolik.

(2) Setiap kali penafsiran hasil aljabar simbolik masuk akal dalam pengaturan aljabar aritmetik, hasilnya akan memberikan hasil yang tepat dalam aritmetik.

Penggunaan aljabar yang menarik diperkenalkan pada tahun 1814 oleh François-Joseph Servois (1776-1847) ketika ia menangani persamaan pembezaan dengan memisahkan bahagian operator pembeza dari bahagian fungsi subjek, seperti yang dijelaskan dalam contoh yang diberikan di atas. Aplikasi aljabar ini menarik minat Duncan Gregory yang menerbitkan sejumlah makalah mengenai kaedah pemisahan simbol, iaitu pemisahan menjadi operator dan objek, di CMJ. Dia juga menulis mengenai asas aljabar, dan inilah asas Gregory yang dipeluk oleh Boole, hampir secara verbal. Gregory telah meninggalkan prinsip Peacock tentang kekekalan bentuk yang setara yang memihak kepada dua undang-undang sederhana. Sayangnya undang-undang ini jatuh jauh dari apa yang diperlukan untuk membenarkan bahkan beberapa hasil yang paling asas dalam aljabar. Dalam "Pada asas algebra," 1839,yang pertama daripada empat makalah mengenai topik ini oleh De Morgan yang muncul dalam Transactions of the Cambridge Philosophical Society, seseorang mendapat penghormatan terhadap pemisahan simbol dalam aljabar, dan tuntutan bahawa algebra moden biasanya menganggap simbol sebagai simbol operator (mis., operasi terbitan) dan bukannya objek seperti nombor. Nota kaki:

Profesor Peacock adalah yang pertama, saya percaya, yang secara jelas menyatakan perbezaan antara apa yang saya sebut cabang aljabar teknikal dan logik.

memuji Peacock sebagai yang pertama untuk memisahkan (apa yang sekarang disebut) aspek sintaksis dan semantik algebra. Dalam kertas asas kedua (pada tahun 1841) De Morgan mengusulkan apa yang dianggapnya sebagai satu set lengkap lapan peraturan untuk bekerja dengan aljabar simbolik.

3. Analisis Matematik Logik (1847)

Jalan Boole untuk kemasyhuran logik bermula dengan cara yang ingin tahu. Pada awal tahun 1847 ia dirangsang untuk melancarkan penyelidikannya ke dalam logik oleh perselisihan yang remeh tetapi sangat umum antara De Morgan dan ahli falsafah Scotland Sir William Hamilton (tidak perlu dikelirukan dengan ahli matematik Ireland Sir William Rowan Hamilton). Perselisihan ini berkisar pada siapa yang berhak mendapat idea untuk mengukur predikat (misalnya, "Semua A adalah semua B," "Semua A adalah beberapa B," dll.). Dalam beberapa bulan Boole telah menulis monograf 82 halamannya, Analisis Matematik Logik, memberikan pendekatan algebra untuk logik Aristotelian. (Ada yang mengatakan bahawa monograf ini dan buku De Morgan Formal Logic muncul pada hari yang sama pada bulan November 1847.)

Bab Pengenalan dimulakan dengan Boole mengkaji kaedah simbolik. Bab kedua, Prinsip Pertama, membiarkan simbol 1 mewakili alam semesta yang "memahami setiap kelas objek yang dapat difahami, sama ada yang ada atau tidak." Huruf besar X, Y, Z,… kelas yang dilambangkan. Kemudian, tidak diragukan lagi sangat dipengaruhi oleh karyanya yang sangat berjaya menggunakan teknik algebra pada operator pembezaan, dan selaras dengan penegasan De Morgan pada tahun 1839 bahawa algebra lebih suka mentafsirkan simbol sebagai operator, Boole memperkenalkan simbol elektif x yang sesuai dengan kelas X, simbol elektif y yang sesuai ke Y, dll. Simbol elektif yang dilambangkan pengendali pilihan raya-contohnya operator pilihan raya berwarna merah apabila diterapkan ke kelas akan memilih (pilih) item merah di kelas.(Seseorang boleh menggantikan simbol elektif dengan simbol kelas yang sesuai dan mempunyai tafsiran yang digunakan dalam LT pada tahun 1854.)

Kemudian Boole memperkenalkan operasi pertama, pendaraban xy simbol elektif. Notasi standard xy untuk pendaraban juga mempunyai makna standard bagi operator (sebagai contoh, operator pembezaan), iaitu satu diterapkan y pada suatu objek dan kemudian x diterapkan pada hasilnya. (Dalam terminologi moden, ini adalah komposisi kedua operator.) Oleh itu, seperti yang ditunjukkan oleh Hailperin (1986), nampaknya konvensi notasi yang dibentuk ini memberikan definisi Boole kepada penggandaan simbol elektif sebagai komposisi operator. Apabila seseorang beralih menggunakan kelas dan bukannya operator elektif, seperti di LT, pendaraban dua kelas yang sesuai menghasilkan persimpangan mereka.

Undang-undang pertama dalam MAL adalah undang-undang distribusi x (u + v) = xu + xv, di mana Boole mengatakan bahawa u + v sepadan dengan membahagikan kelas menjadi dua bahagian. Ini adalah sebutan pertama penambahan. Pada hlm. 17 Boole menambahkan undang-undang komutatif xy = yx dan undang-undang tidak berkemampuan x 2 = x (yang disebut Boole sebagai undang-undang indeks). Setelah kedua undang-undang Gregory ini dijamin, Boole percaya bahawa dia berhak menggunakan sepenuhnya aljabar biasa pada zamannya, dan memang ada yang melihat siri Taylor dan pengganda Lagrange dalam MAL. Hukum simbol kelas tidak berkuasa, x 2 = x, berbeza dengan dua undang-undang asas aljabar simbolik - ia hanya berlaku untuk simbol elektif individu, bukan secara umum untuk menyusun istilah yang dapat dibina oleh simbol-simbol ini. Sebagai contoh, seseorang tidak secara amnya (x + y)2 = x + y dalam sistem Boole kerana, dengan algebra biasa dengan simbol kelas tidak berpotensi, ini akan menyiratkan 2 xy = 0, dan kemudian xy = 0, yang akan memaksa x dan y untuk mewakili kelas terputus. Tetapi tidak berlaku setiap pasangan kelas terpisah.

Boole memfokuskan pada logik Aristotelian dalam MAL, dengan 4 jenis proposisi kategorinya dan koleksi cadangan hipotesis terbuka. Dalam bab Ekspresi dan Tafsiran, Boole mengatakan bahawa semestinya kelas not- X dinyatakan oleh 1− x. Ini adalah penampilan pertama pengurangan. Kemudian dia memberikan persamaan untuk menyatakan proposisi kategoris (lihat di Bahagian 6.2 di bawah). Yang pertama dinyatakan adalah Semua X adalah Y, yang mana dia menggunakan xy = x, yang kemudian dia ubah menjadi x (1− y) = 0. Ini adalah penampilan pertama 0 di MAL-ia tidak diperkenalkan sebagai simbol untuk kelas kosong. Memang kelas kosong tidak muncul di MAL. Terbukti persamaan E = 0 melakukan peranan predikat dalam MAL, dengan menegaskan bahawa kelas yang dilambangkan oleh E sama sekali tidak wujud. (Dalam LT, kelas kosong akan dilambangkan dengan 0. Boole melampaui asas algebra simbolik yang telah digunakan oleh Gregory pada tahun 1844-dia menambahkan peraturan kesimpulan tunggal De Morgan pada tahun 1841, bahawa operasi setara yang dilakukan pada subjek yang setara menghasilkan hasil yang setara.

Dalam bab mengenai penukaran, seperti Penukaran oleh Batasan-Semua X adalah Y, oleh itu Sebilangan Y adalah X -Boole mendapati klasifikasi Aristotelian cacat kerana ia tidak memperlakukan pelengkap, seperti not- X, pada kedudukan yang sama dengan yang dinamakan kelas X, Y, Z, dan lain-lain Dengan mempertimbangkan logik Aristotelian versi lanjutannya (memberi not- X sama dengan penagihan), dia memberikan (hlm. 30) satu set tiga peraturan transformasi yang membolehkan seseorang membina semua dua baris yang sah hujah kategorikal (dengan syarat anda menerima konvensyen tidak bertulis bahawa nama mudah seperti X dan not- X menandakan kelas tidak kosong).

Mengenai silogisme, Boole tidak memperhatikan klasifikasi Aristotelian menjadi Angka dan Mood kerana mereka kelihatan agak sewenang-wenang dan tidak begitu sesuai dengan suasana aljabar. Pemerhatian pertamanya adalah bahawa penalaran silogistik hanyalah latihan penghapusan, iaitu istilah pertengahan dihapuskan untuk memberikan kesimpulan. Penghapusan terkenal dalam teori persamaan algebra biasa, jadi Boole hanya meminjam hasil standard untuk digunakan dalam aljabar logiknya. Sekiranya premis silogisme melibatkan kelas X, Y, dan Z, dan seseorang ingin menghilangkan y, maka Boole meletakkan persamaan untuk dua premis tersebut dalam bentuk:

ay + b = 0

a 'y + b' = 0.

Hasil penghapusan y dalam algebra biasa memberikan persamaan

ab '- a' b = 0,

dan inilah yang digunakan oleh Boole dalam aljabar logiknya untuk mendapatkan persamaan kesimpulan. Walaupun kesimpulannya memang betul, sayangnya hasil penghapusan ini akan terlalu lemah untuk aljabar logiknya jika dia hanya menggunakan terjemahan utamanya menjadi persamaan. Dalam kes di mana kedua-dua premis diterjemahkan sebagai persamaan dari bentuk ay = 0, kesimpulan penyingkiran ternyata 0 = 0, walaupun logik Aristotelian mungkin menuntut kesimpulan yang tidak sepele. Inilah sebabnya mengapa Boole memperkenalkan terjemahan persamaan alternatif dari proposisi kategoris, untuk dapat memperoleh semua silogisme Aristotelian yang sah (lihat halaman 32). Dengan konvensyen ini, dengan menggunakan terjemahan sekunder apabila diperlukan, ternyata satu-satunya kes yang membawa kepada 0 = 0 adalah kes yang premisnya tidak termasuk dalam silogisme yang sah.

Boole menekankan bahawa apabila premis mengenai X dan Y diterjemahkan ke dalam persamaan yang melibatkan x, y dan v, pemahamannya adalah v harus digunakan untuk menyatakan "beberapa", tetapi hanya dalam konteks di mana ia muncul di premis. Sebagai contoh, "Beberapa X adalah Y" mempunyai terjemahan utama v = xy, yang menyiratkan terjemahan sekunder vx = vy. Ini juga dapat dibaca sebagai "Beberapa X adalah Y". Akibat lain dari v = xy ialah v (1− x) = v (1− y). Namun tidak diizinkan untuk membaca ini sebagai "Beberapa not- X bukan- Y" kerana v tidak muncul dengan 1− x di premis. Penggunaan v oleh Boole dalam terjemahan proposisi menjadi persamaan, dan juga penggunaannya dalam menyelesaikan persamaan, telah menjadi pertikaian lama.

Boole menganalisis tujuh bentuk silogisme hipotesis yang terdapat dalam logik Aristotelian, dari Disjunctive Syllogism hingga Complex Destructive Dilemma, dan menunjukkan bahawa akan mudah untuk membuat banyak lagi bentuk seperti itu. Dalam Postscript to MAL, Boole menyedari bahawa logik proposisi menggunakan sistem bernilai dua, tetapi dia tidak menawarkan logik proposisi untuk menangani hal ini.

Bermula dengan bab Properties of Elective Functions, Boole mengembangkan teorema umum untuk bekerja dengan persamaan dalam aljabar logiknya - Teorem Pengembangan dan sifat konstituen dibincangkan dalam bab ini. Hingga saat ini fokus utamanya adalah untuk menunjukkan bahawa logika Aristotelian dapat ditangani dengan kaedah algebra sederhana, terutamanya melalui penggunaan teorema penghapusan yang dipinjam dari aljabar biasa.

Adalah wajar bagi Boole ingin menyelesaikan persamaan dalam aljabar logiknya kerana ini telah menjadi tujuan utama algebra biasa, dan telah menimbulkan banyak persoalan sukar (misalnya, bagaimana menyelesaikan persamaan darjah 5). Nasib baik untuk Boole, situasi dalam aljabar logiknya jauh lebih sederhana-dia selalu dapat menyelesaikan persamaan, dan mencari jalan keluar itu penting untuk aplikasi sistemnya, untuk mendapatkan kesimpulan dalam logik. Satu persamaan diselesaikan sebahagiannya dengan menggunakan pengembangan setelah melakukan pembahagian. Kaedah penyelesaian ini adalah hasil yang paling dia banggakan-ia menggambarkan bagaimana menyelesaikan persamaan elektif untuk salah satu simbolnya dari segi yang lain, dan inilah yang dituntut oleh Boole (dalam bab Pengantar MAL) akan tawarkan "cara analisis yang sempurna dari sekumpulan cadangan yang dapat dibayangkan, …". Di LT Boole akan terus menganggap alat ini sebagai kemuncak karyanya.

Contoh terakhir Boole (hlm. 78) dalam MAL menggunakan teknik yang terkenal untuk menangani keadaan kekangan dalam analisis yang disebut Lagrange Multipliers-kaedah ini, seperti penggunaan siri Taylor, jelas dianggap berlebihan, jika tidak agak meragukan, dan tidak muncul di LT (siri Taylor memang muncul dalam nota kaki di LT -Boole belum sepenuhnya menyerah pada mereka).

4. Hukum Pemikiran (1854)

Buku logik kedua Boole, An Investigation of The Laws of Thought yang mendasari Teori Matematik Logik dan Kebarangkalian, yang diterbitkan pada tahun 1854, adalah usaha untuk memperbetulkan dan menyempurnakan buku logiknya pada tahun 1847. Separuh kedua buku 424 halaman ini mengemukakan teori kebarangkalian sebagai topik yang sangat baik untuk menggambarkan kekuatan algebra logiknya. Boole membincangkan kemungkinan teori menggunakan teori kebarangkalian (ditingkatkan oleh aljabar logiknya) untuk mengungkap undang-undang asas yang mengatur masyarakat dengan menganalisis sejumlah besar data sosial.

Boole mengatakan bahawa dia akan menggunakan huruf sederhana seperti x untuk mewakili kelas, walaupun kemudian dia juga akan menggunakan huruf besar seperti V. Alam semesta adalah kelas; dan ada kelas yang digambarkan sebagai "tidak ada makhluk" yang kita namakan kelas kosong. Operasi pendaraban didefinisikan sebagai persimpangan, dan ini membawa kepada hukum pertamanya, xy = yx. Seterusnya (beberapa halaman kemudian) dia memberikan undang-undang yang tidak berkuasa x 2 = x. Penambahan diperkenalkan sebagai pengagregatan ketika kelas-kelas itu terpisah. Dia menyatakan hukum komutatif sebagai tambahan, x + y = y + x, dan undang-undang distribusi z (x + y) = zx + zy. Kemudian diikuti x - y = - y + x dan z (x - y) = zx - zy.

Seseorang mungkin menjangkakan bahawa Boole sedang membangun landasan aksiomatik untuk aljabar logiknya, sama seperti dalam MAL, nampaknya telah menyedari bahawa ketiga undang-undang dalam MAL tidak mencukupi. Memang dia membincangkan peraturan inferens, bahawa menambah atau mengurangkan sama dengan sama memberi sama, dan mengalikan sama dengan sama memberi sama. Tetapi kemudian pengembangan pendekatan aksiomatik terhenti secara tiba-tiba. Tidak ada perbincangan mengenai apakah aksioma dan peraturan ini mencukupi untuk membina aljabar logiknya. Sebagai gantinya, dia secara sederhana dan singkat, dengan sedikit semangat, memberikan asas baru yang radikal untuk aljabar logiknya.

Dia mengatakan bahawa kerana satu-satunya nombor yang tidak berkemampuan adalah 0 dan 1, ini menunjukkan bahawa algebra yang betul untuk digunakan untuk logik adalah aljabar biasa dari nombor biasa yang diubah dengan membatasi simbol pada nilai 0 dan 1. Dia menyatakan apa, dalam ini artikel, disebut The Rule of 0 and 1, bahawa hukum atau argumen yang dipegang dalam logika jika diterjemahkan ke dalam bentuk persamaan yang dipegangnya dalam aljabar umum dengan sekatan 0,1 ini pada kemungkinan interpretasi (iaitu nilai) simbol. Boole akan menggunakan Peraturan ini untuk membenarkan teorema utamanya (Perluasan, Pengurangan, Penghapusan), dan tanpa tujuan lain. Teorema utama seterusnya menghasilkan Kaedah Umum Boole untuk menganalisis akibat dari premis cadangan.

Dalam Bab V ia membincangkan peranan yang tidak dapat ditafsirkan dalam karyanya; sebagai alasan (separa) untuk penggunaan langkah-langkah yang tidak dapat ditafsirkan dalam aljabar simbolik, dia menunjukkan penggunaan √ − 1 yang terkenal. Dalam bab-bab yang berjaya, dia memberikan Teorem Pengembangan, Teorema Penghapusan kekuatan penuh baru, Teorema Pengurangan, dan penggunaan pembahagian untuk menyelesaikan persamaan.

Setelah banyak contoh dan hasil untuk kes khas menyelesaikan persamaan, Boole beralih ke topik kebolehtafsiran fungsi logik. Boole telah menyatakan bahawa setiap persamaan dapat ditafsirkan (dengan mengubahnya menjadi kumpulan persamaan konstituen). Namun istilah tidak perlu ditafsirkan, misalnya, 1 + 1 tidak dapat ditafsirkan.

Bab Boole mengenai proposisi sekunder pada dasarnya sama dengan MAL kecuali dia berubah dari menggunakan "kes ketika X benar" menjadi "saat-saat ketika X benar". Dalam Bab XIII Boole memilih beberapa argumen terkenal Clarke dan Spinoza, mengenai sifat makhluk kekal, untuk meletakkan di bawah kaca pembesar aljabar logiknya, dimulai dengan komen:

2. Kesukaran praktikal utama siasatan ini akan terdiri, bukan dalam penerapan kaedah ke premis setelah ditentukan, tetapi dalam memastikan apa premisnya.

Satu kesimpulan adalah:

19. Tidak mungkin, saya rasa, bangkit dari pembahasan hujah Clarke dan Spinoza tanpa keyakinan mendalam tentang kesia-siaan semua usaha untuk membuktikan, sepenuhnya apriori, adanya makhluk yang tidak terbatas, sifat-sifat-Nya, dan Hubungannya dengan alam semesta.

Pada bab terakhir mengenai logik, bab XV, Boole memaparkan analisisnya mengenai penukaran dan silogisme logik Aristotelian. Dia menganggap logik kuno ini sebagai usaha yang lemah dan terpecah-pecah pada sistem logik. Bab yang banyak diabaikan ini cukup menarik kerana merupakan satu-satunya bab di mana dia menganalisis proposisi tertentu, menggunakan penting huruf tambahan seperti "v" untuk menyandikan "beberapa". Ini juga bab di mana dia memperincikan (sayangnya tidak lengkap) peraturan untuk bekerja dengan "beberapa".

Secara ringkas, Boole memberikan pembaca ringkasan logik kategorik Aristotelian tradisional, dan menganalisis beberapa contoh mudah menggunakan teknik ad hoc dengan aljabar logiknya. Kemudian dia membuktikan hasil yang komprehensif dengan menerapkan Kaedah Umumnya pada pasangan persamaan:

vx = v 'y

w z = w' y,

memperhatikan bahawa premis banyak silogisme kategori boleh dimasukkan dalam bentuk ini. Tujuannya adalah untuk menghilangkan y dan mencari ungkapan untuk x, 1− x dan vx dari segi z, v, v ', w, w'. Ini membawa kepada tiga persamaan yang melibatkan ungkapan algebra yang besar. Boole menghilangkan hampir semua butir-butir derivasinya, tetapi meringkaskan hasilnya dari segi hasil logik Aristotelian yang telah ditetapkan. Kemudian dia menyatakan bahawa silogisme kategori yang tersisa sedemikian rupa sehingga premis mereka dapat dimasukkan dalam bentuk:

vx = v 'y

wz = w '(1− y),

dan ini menyebabkan tiga persamaan besar lagi.

5. Perkembangan Kemudian

5.1 Bantahan terhadap Algebra Logik Boole

Banyak bantahan terhadap sistem Boole telah diterbitkan selama bertahun-tahun; tiga perkara yang paling penting:

  • penggunaan langkah-langkah yang tidak dapat ditafsirkan dalam derivasi,
  • perlakuan cadangan tertentu dengan persamaan, dan
  • kaedah menangani pembahagian.

Kami melihat bantahan yang berbeza, iaitu pada pertikaian Boole / Jevons mengenai penambahan X + X = X sebagai undang-undang. Dalam Undang-Undang Pemikiran, hlm. 66, Boole berkata:

Ungkapan x + y nampaknya memang tidak dapat ditafsirkan, kecuali jika diandaikan bahawa perkara-perkara yang diwakili oleh x dan perkara-perkara yang diwakili oleh y sepenuhnya terpisah; bahawa mereka tidak mempunyai persamaan individu.

[Perincian berikut adalah dari "Perkembangan teori logik matematik dan prinsip matematik, William Stanley Jevons," oleh Philip Jourdain, 1914.]

Dalam surat tahun 1863 kepada Boole mengenai rancangan komentar mengenai sistem Boole yang sedang dipertimbangkan oleh Jevons untuk bukunya yang akan datang (Logik Murni, 1864), Jevons berkata:

Namun, jelas sekali bahawa x + x hanya setara dengan x,…

Notasi Profesor Boole [proses penolakan] tidak sesuai dengan undang-undang yang dapat dibuktikan sendiri.

Sekiranya pandangan saya betul, sistemnya akan dianggap sebagai gabungan kebenaran dan kesalahan yang paling luar biasa.

Boole menjawab:

Oleh itu persamaan x + x = 0 bersamaan dengan persamaan x = 0; tetapi ungkapan x + x tidak setara dengan ungkapan x.

Jevons menjawab dengan bertanya adakah Boole dapat menafikan kebenaran x + x = x.

Boole, jelas marah, menjawab:

Untuk menjadi jelas, saya sekarang, menjawab bahawa tidak benar bahawa dalam Logik x + x = x, walaupun benar bahawa x + x = 0 bersamaan dengan x = 0. Sekiranya saya tidak menulis lebih banyak, itu tidak dari sebarang keengganan untuk membincangkan perkara itu dengan anda, tetapi hanya kerana jika kita berbeza mengenai perkara asas ini, mustahil kita harus bersetuju dengan orang lain.

Usaha terakhir Jevons untuk membuat Boole memahami masalahnya adalah:

Saya tidak meragukan bahawa adalah terbuka bagi anda untuk menahan… [bahawa x + x = x tidak benar] mengikut undang-undang sistem anda, dan dengan penjelasan ini sistem anda mungkin sangat sesuai dengan dirinya sendiri … Tetapi persoalannya kemudian menjadi lebih luas - adakah sistem anda sesuai dengan Logik pemikiran umum?

Undang-undang baru Jevons, X + X = X, dihasilkan dari keyakinannya bahawa "+" harus menunjukkan apa yang sekarang kita sebut sebagai kesatuan, di mana keahlian X + Y diberikan oleh "atau" inklusif. Boole sama sekali tidak melihat cara untuk mendefinisikan X + Y sebagai kelas kecuali X dan Y tidak sepadan, seperti yang telah dinyatakan.

Berbagai penjelasan telah diberikan mengapa Boole tidak dapat memahami kemungkinan cadangan Jevons. Boole jelas mempunyai konsep kesatuan semantik-dia menyatakan penyatuan X dan Y sebagai x + (y - x), penyatuan dua kelas yang tidak bersatu, dan menunjukkan bahawa unsur-unsur kelas ini adalah unsur-unsur yang tergolong dalam X atau Y atau kedua-duanya. Oleh itu, bagaimana dia benar-benar gagal melihat kemungkinan mengambil kesatuan untuk operasi asasnya + daripada operasi kesatuan separa yang ingin tahu?

Jawapannya mudah: undang-undang x + x = x akan merosakkan kemampuannya menggunakan aljabar biasa: dari x + x = x seseorang, oleh aljabar biasa, x = 0. Ini akan memaksa setiap simbol kelas untuk menandakan kelas kosong. Undang-undang yang dicadangkan Jevons x + x = x sama sekali tidak benar jika seseorang berkomitmen untuk menjadikan fungsi algebra biasa sebagai aljabar logik.

5.2. Pembinaan Semula Sistem Boole moden

Memandangkan tahap kecanggihan yang sangat besar yang dicapai dalam aljabar moden pada abad ke-20, agak mengejutkan bahawa perpanjangan algebra yang memelihara undang-undang dari kelas algebra separa Boole tidak muncul sehingga buku Theodore Hailperin tahun 1976-penundaan itu mungkin disebabkan oleh pembaca tidak mempercayai bahawa Boole menggunakan algebra biasa. Perpanjangan Hailperin adalah untuk melihat label alam semesta dengan bilangan bulat, yaitu, setiap elemen alam semesta diberi label dengan bilangan bulat. Setiap pelabelan alam semesta membuat pelbagai set (mungkin seseorang boleh mengatakan multi-kelas) yang terdiri daripada unsur-unsur berlabel di mana label itu bukan sifar-seseorang boleh memikirkan label elemen sebagai menggambarkan berapa banyak salinan elemen tersebut dalam pelbagai set. Boole 'kelas s sesuai dengan pelbagai set di mana semua label adalah 1 (elemen yang tidak ada dalam kelas mempunyai label 0). Unsur-unsur Boole yang tidak dapat ditafsirkan menjadi dapat ditafsirkan apabila dilihat sebagai pelbagai set-mereka diberikan oleh pelabelan alam semesta di mana beberapa label tidak 0 atau 1.

Untuk menambah dua multi-set, satu hanya menambah label pada setiap elemen alam semesta. Begitu juga untuk pengurangan dan pendaraban. (Bagi pembaca yang biasa dengan algebra abstrak moden, seseorang boleh memperpanjang algebra separa Boole menjadi Z U di mana Z adalah cincin bilangan bulat, dan U adalah alam semesta wacana.) Multi-set yang sesuai dengan kelas adalah tepat pelbagai set idempoten. Ternyata undang-undang dan prinsip yang digunakan Boole dalam algebra logiknya untuk sistem ini. Dengan ini kaedah Boole terbukti betul untuk aljabar logik proposisi sejagat. Analisis Hailperin tidak berlaku untuk proposisi tertentu.

Boole tidak dapat menemui terjemahan yang berfungsi dengan baik untuk proposisi tertentu seperti untuk cadangan universal. Pada tahun 1847 Boole menggunakan dua terjemahan berikut, yang kedua adalah akibat dari yang pertama:

Sebilangan X adalah Y …………. v = xy dan vx = vy.

Dia pada awalnya menggunakan simbol v untuk menangkap inti dari "beberapa". Kemudian dia menggunakan simbol lain juga, dan juga dia menggunakan v dengan makna lain (seperti untuk pekali dalam pengembangan). Salah satu masalah dengan skema terjemahannya dengan v adalah bahawa kadang-kadang seseorang memerlukan "nota margin," untuk mengetahui kelas mana v dilampirkan ketika diperkenalkan. Peraturan untuk menerjemahkan dari persamaan dengan kembali v ke pernyataan tertentu tidak pernah digubal dengan jelas. Contohnya dalam Bab XV seseorang melihat terbitan x = vv 'y yang kemudian diterjemahkan sebagai Sebilangan X adalah Y. Tetapi dia tidak memiliki peraturan untuk kapan produk v membawa impor "beberapa". Masalah seperti itu mengurangkan sistem Boole; penjelasannya meninggalkan keraguan mengenai prosedur mana yang sah dalam sistemnya ketika berurusan dengan pernyataan tertentu.

Ada satu titik di mana bahkan Hailperin tidak setia pada pekerjaan Boole, yaitu dia menggunakan semantik moden, di mana simbol sederhana x, y, dll, boleh merujuk kepada kelas kosong dan juga kelas yang tidak kosong. Dengan semantik moden seseorang tidak dapat melakukan Penukaran dengan Batasan yang berlaku dalam logik Aristotelian: dari Semua X adalah Y mengikuti Beberapa Y adalah X. Dalam Logik Formal tahun 1847, De Morgan menunjukkan bahawa semua penulis logik menganggap bahawa kelas yang disebut dalam proposisi kategoris tidak kosong. Pembatasan simbol kelas ini kepada kelas bukan kosong, dan dua kali ganda ke kelas bukan alam semesta, akan disebut semantik Aristotelian. Boole terbukti mengikuti konvensi Aristotelian ini kerana dia memperoleh semua hasil Aristotelian, seperti Penukaran oleh Batasan. Tafsiran yang tepat (setia kepada Boole 's) sistem Boole memerlukan semantik Aristotelian untuk simbol kelas x, y, z,…; malangnya nampaknya bahawa literatur yang diterbitkan mengenai sistem Boole gagal mencatat perkara ini.

6. Kaedah Boole

Semasa membaca bahagian ini, mengenai butiran teknikal kaedah Boole, pembaca mungkin berguna untuk merujuk kepada

tambahan contoh dari dua buku Boole.

Contoh-contoh ini telah ditambah dengan komentar yang menjelaskan, dalam setiap langkah penurunan oleh Boole, aspek metodenya digunakan.

6.1 Tiga Kaedah Analisis Hujah yang Digunakan oleh Boole di LT

Boole menggunakan tiga kaedah untuk menganalisis argumen dalam LT:

(1) Yang pertama adalah manipulasi aljabar murni ad hoc yang digunakan (bersama dengan versi lemah dari Teorema Penghapusan) pada hujah Aristotelian dalam MAL.

(2) Kedua, dalam seksyen 15 Bab II LT, seseorang menemukan metode yang, dalam artikel ini, disebut Peraturan 0 dan 1.

Teori LT bergabung untuk menghasilkan hasil induk, (3) Metode Umum Boole (dalam artikel ini akan selalu disebut dengan menggunakan huruf pertama dengan huruf besar-Boole hanya menyebutnya "metode").

Semasa menggunakan kaedah ad hoc, dia menggunakan bahagian algebra biasa bersama dengan undang-undang sementara 2 x untuk memanipulasi persamaan. Tidak ada prosedur yang telah ditetapkan untuk mengikuti-kejayaan dengan kaedah ini bergantung pada kemahiran intuitif yang dikembangkan melalui pengalaman.

Kaedah kedua, Peraturan 0 dan 1, sangat kuat, tetapi bergantung kepada diberi koleksi persamaan premis dan persamaan kesimpulan. Ini adalah kaedah seperti jadual kebenaran (tetapi Boole tidak pernah membuat jadual ketika menggunakan kaedah itu) untuk menentukan sama ada hujahnya betul. Boole hanya menggunakan kaedah ini untuk menetapkan teorema yang membenarkan Kaedah Umumnya, walaupun ia adalah alat yang sangat baik untuk argumen sederhana seperti silogisme. Peraturan 0 dan 1 adalah sosok yang agak bayang-bayang dalam LT-tidak mempunyai nama, dan tidak pernah disebut dengan bahagian atau nombor halaman.

Kaedah ketiga untuk menganalisis hujah adalah kemuncak karya Boole dalam logik, Kaedah Umumnya (dibincangkan segera selepas ini). Inilah yang digunakannya untuk semua kecuali contoh paling mudah dalam LT; untuk contoh paling mudah, dia menggunakan kaedah pertama teknik algebra ad hoc kerana, bagi seseorang yang mahir dalam manipulasi aljabar, menggunakannya biasanya jauh lebih berkesan daripada melalui Kaedah Umum.

Versi terakhir (dari LT) Kaedah Umumnya untuk menganalisis hujah, dinyatakan secara ringkas, untuk:

(1) menukar (atau menterjemahkan) cadangan menjadi persamaan, (2) menerapkan urutan proses algebra yang ditentukan pada persamaan, proses yang menghasilkan persamaan kesimpulan yang diinginkan, dan kemudian

(3) mengubah kesimpulan persamaan menjadi kesimpulan proposisional, menghasilkan akibat yang diinginkan dari koleksi cadangan yang asli.

Dengan kaedah ini Boole telah mengganti seni penaakulan dari proposisi premis hingga proposisi kesimpulan dengan prosedur algebra mekanikal rutin.

Dalam LT Boole membahagikan cadangan kepada dua jenis, primer dan sekunder. Ini sesuai dengan, tetapi tidak sama persis dengan, pembahagian Aristotelian menjadi proposisi kategoris dan hipotesis. Pertama kita membincangkan Kaedah Umumnya yang diterapkan pada proposisi utama.

6.2. Kaedah Umum Boole untuk Cadangan Utama

Boole mengenali tiga bentuk cadangan utama:

  • Semua X adalah Y
  • Semua X adalah Y
  • Sebilangan X ialah Y

Ini adalah versi dari proposisi kategoris Aristotelian, di mana X adalah istilah subjek dan Y istilah predikat. Istilah X dan Y boleh menjadi nama kompleks, misalnya, X boleh menjadi X 1 atau X 2.

LANGKAH 1: Nama ditukar menjadi sebutan algebra seperti berikut:

Syarat MAL LT
Alam semesta 1 hlm. 15 1 hlm. 48
kelas kosong 0 hlm. 47
bukan X 1 - x hlm. 20 1 - x hlm. 48
X dan Y xy hlm. 16 xy hlm. 28
X atau Y (termasuk)
x + y (1 - x)
xy + x (1 - y) + y (1− x)
hlm. 56
X atau Y (eksklusif) x (1 - y) + y (1 - x) hlm. 56

Kami akan memanggil huruf x, y,… simbol kelas (seperti yang dinyatakan sebelumnya, aljabar tahun 1800-an tidak menggunakan pemboleh ubah perkataan).

LANGKAH 2: Setelah menukar nama untuk istilah menjadi istilah algebra, seseorang kemudian mengubah cadangan menjadi persamaan dengan menggunakan yang berikut:

Cadangan Utama MAL (1847) LT (1854)
Semua X adalah Y x (1− y) = 0 hlm. 26 x = vy hlm. 64, 152
Tidak X ialah Y xy = 0 (bukan utama)
Semua X adalah Y (bukan utama) x = y
Sebilangan X ialah Y v = xy vx = vy
Sebilangan X bukan Y v = x (1− y) (bukan utama)

Boole menggunakan empat proposisi kategoris sebagai bentuk utamanya pada tahun 1847, tetapi pada tahun 1854 dia menghilangkan bentuk-bentuk proposisi negatif, dengan memperhatikan bahwa seseorang dapat mengubah "bukan Y" menjadi "bukan- Y". Oleh itu pada tahun 1854 dia akan menyatakan "No X is Y" dengan "All X is- Y", dengan terjemahannya

x (1 - (1 - y)) = 0,

yang dipermudahkan menjadi xy = 0.

LANGKAH 3: Setelah menukar premis menjadi bentuk algebra seseorang mempunyai koleksi persamaan, katakanlah

p 1 = q 1, p 2 = q 2, …, p n = q n.

Ungkapkan ini sebagai persamaan dengan 0 di sebelah kanan, yaitu, sebagai

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

dengan

r 1: = p 1 - q 1, r 2: = p 2 - q 2, …, r n: = p n - q n.

LANGKAH 4: (PENGURANGAN) [LT (hlm. 121)]

Kurangkan sistem persamaan

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

untuk persamaan tunggal r = 0. Boole mempunyai tiga kaedah yang berbeza untuk melakukan ini-dia nampaknya mempunyai pilihan untuk menjumlahkan kotak:

r: = r 1 2 + · · · + r n 2 = 0.

Langkah 1 hingga 4 adalah wajib dalam Kaedah Umum Boole. Setelah melaksanakan langkah-langkah ini ada berbagai pilihan untuk melanjutkan, bergantung pada tujuannya.

LANGKAH 5: (ELIMINASI) [LT (hlm. 101)]

Katakan seseorang menginginkan kesimpulan persamaan yang paling umum yang berasal dari r = 0 yang melibatkan beberapa, tetapi tidak semua, simbol kelas dalam r. Kemudian seseorang ingin menghilangkan simbol-simbol tertentu. Andaikan r melibatkan simbol kelas

x 1,…, x j dan y 1,…, y k.

Kemudian seseorang boleh menulis r sebagai r (x 1,…, x j, y 1,…, y k).

Prosedur Boole untuk menghilangkan simbol x 1,…, x j dari

r (x 1,…, x j, y 1,…, y k) = 0

untuk mendapatkan

s (y 1,…, y k) = 0

adalah seperti berikut:

1. bentuk semua ungkapan yang mungkin r (a 1,…, a j, y 1,…, y k) di mana 1,…, j masing-masing sama ada 0 atau 1, maka

2. darabkan semua ungkapan ini bersama-sama untuk mendapatkan s (y 1,…, y k).

Contohnya, menghapuskan x 1, x 2 dari

r (x 1, x 2, y) = 0

memberi

s (y) = 0

di mana

s (y): = r (0, 0, y) · r (0, 1, y) · r (1, 0, y) · r (1, 1, y).

LANGKAH 6: (PEMBANGUNAN, atau PENGEMBANGAN) [MAL (hlm. 60), LT (hlm. 72, 73)]

Dengan sebutan, katakanlah r (x 1,…, x j, y 1,…, y k), seseorang dapat memperluas istilah berkenaan dengan subkumpulan simbol kelas. Untuk memperluas berkenaan dengan x 1,…, x j memberi

r = jumlah terma

r (a 1,…, a j, y 1,…, y k) · C (a 1, x 1) · · · C (a j, x j),

di mana julat 1,…, j untuk semua urutan 0 dan 1s panjang j, dan di mana C (a i, x i) ditakrifkan oleh:

C (1, x i): = x i, dan C (0, x i): = 1− x i.

Boole mengatakan produk:

C (a 1, x 1) · · · C (a j, x j)

adalah konstituen bagi x 1,…, x j. Terdapat 2 j konstituen yang berbeza untuk simbol j. Kawasan rajah Venn memberikan cara yang popular untuk memvisualisasikan konstituen.

LANGKAH 7: (BAHAGIAN: MENYELESAIKAN SIMBOL KELAS) [MAL (hlm. 73), LT (hlm. 86, 87)]

Diberi persamaan r = 0, anggaplah seseorang ingin menyelesaikan persamaan ini untuk salah satu simbol kelas, katakanlah x, dari segi simbol kelas yang lain, katakan mereka adalah y 1,…, y k. Untuk menyelesaikan:

r (x, y 1,…, y k) = 0

untuk x, biarkan pertama:

N (y 1,…, y k) = - r (0, y 1,…, y k)

D (y 1,…, y k) = r (1, y 1,…, y k) - r (0, y 1,…, y k).

Kemudian:

x = s (y 1,…, y k)

di mana s (y 1,…, y k) adalah:

(1) jumlah semua konstituen

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k),

di mana 1,…, k merangkumi semua urutan 0 dan 1 untuk yang:

N (a 1,…, a k) = D (a 1,…, a k) ≠ 0,

tambah

(2) jumlah semua syarat borang

V a 1 … a k · C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k)

untuk yang mana:

N (a 1,…, a k) = D (a 1,…, a k) = 0.

The V a 1 … a k adalah parameter, menunjukkan kelas sewenang-wenang (serupa dengan apa yang dilihat seseorang dalam kajian persamaan pembezaan linear, subjek di mana Boole adalah seorang pakar).

Untuk persamaan ini untuk x bersebelahan dengan syarat sampingan (yang akan kita sebut persamaan konstituen)

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k) = 0

bila-bila masa

D (a 1,…, a k) ≠ N (a 1,…, a k) ≠ 0.

Perhatikan bahawa satu untuk menilai syarat:

D (a 1,…, a k) dan N (a 1,…, a k)

menggunakan aritmetik biasa. Oleh itu, menyelesaikan persamaan r = 0 untuk simbol kelas x memberikan persamaan

x = s (y 1,…, y k),

mungkin dengan persamaan konstituen keadaan sampingan.

LANGKAH 8: (TAFSIRAN) [MAL ms 64–65, LT (Bab VI, ms 82-83)]

Andaikan persamaan r (y 1,…, y k) = 0 telah diperolehi dengan kaedah Boole dari koleksi persamaan premis yang diberikan. Maka persamaan ini bersamaan dengan pengumpulan persamaan konstituen

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k) = 0

yang r (a 1,…, a k) bukan 0. Persamaan konstituen hanya menegaskan bahawa persimpangan tertentu dari kelas asal dan pelengkapnya kosong. Sebagai contoh,

y 1 (1− y 2) (1− y 3) = 0

menyatakan cadangan "Semua Y 1 adalah Y 2 atau Y 3," atau setara, "Semua Y 1 dan bukan Y 2 adalah Y 3. " Adalah rutin untuk mengubah persamaan konstituen menjadi cadangan.

6.3. Kaedah Umum Boole untuk Cadangan Sekunder

Proposisi sekunder adalah versi proposisi Boole yang dihadapi seseorang dalam kajian silogisme hipotetis dalam logik Aristotelian, pernyataan seperti "Jika X atau Y maka Z." Simbol X, Y, Z, dan lain-lain dari proposisi sekunder tidak merujuk kepada kelas, melainkan merujuk kepada proposisi (primer). Sesuai dengan sifat yang tidak lengkap dari perlakuan Aristotelian terhadap proposisi hipotetis, Boole tidak memberikan gambaran yang tepat mengenai kemungkinan bentuk untuk cadangan sekundernya.

Pemerhatian utama (tetapi tidak asli) yang digunakan Boole adalah bahawa seseorang dapat mengubah cadangan sekunder menjadi cadangan utama. Dalam MAL dia mengadopsi konvensi yang ditemukan di Whately (1826), yang diberi simbol proposisi X, simbol x akan menunjukkan "kes di mana X adalah benar", sedangkan di LT Boole biarkan x menunjukkan "masa di mana X adalah benar " Dengan ini, cadangan sekunder "Jika X atau Y maka Z" menjadi "Semua x atau y adalah z". Persamaan x = 1 adalah terjemahan persamaan dari "X adalah benar" (dalam semua kes, atau untuk semua masa), dan x = 0 mengatakan "X itu salah" (dalam semua kes, atau untuk semua masa).

Dengan skema terjemahan ini jelas bahawa perlakuan Boole terhadap proposisi sekunder dapat dianalisis dengan kaedah yang telah dikembangkannya untuk cadangan utama. Ini adalah logik cadangan Boole.

Boole hanya bekerja dengan cadangan Aristotelian dalam MAL, menggunakan pembahagian tradisional menjadi kategori dan hipotesis. Seseorang tidak menganggap "X dan Y," "X atau Y," dan lain-lain, dalam proposisi kategoris, hanya dalam proposisi hipotesis. Dalam LT pembahagian ini digantikan dengan klasifikasi primer berbanding sekunder yang serupa tetapi lebih umum, di mana subjek dan predikat dibolehkan menjadi nama yang kompleks, dan jumlah cadangan dalam argumen menjadi tidak terhad. Dengan ini persamaan antara logika proposisi primer dan proposisi sekunder menjadi jelas, dengan satu perbezaan yang ketara, iaitu nampaknya cadangan sekunder selalu diterjemahkan menjadi proposisi primer universal.

Cadangan Sekunder MAL (1847) LT (1854)
X betul x = 1 hlm. 51 x = 1 hlm. 172
X adalah palsu x = 0 " x = 1 "
X dan Y xy = 1 " xy = 1 "
X atau Y (termasuk) x + y - xy = 1 hlm. 52
X atau Y (eksklusif) x −2 xy + y = 1 hlm. 53 x (1 - y) + y (1 - x) = 1 hlm. 173
Sekiranya X maka Y x (1− y) = 0 hlm. 54 x = vy hlm. 173

Bibliografi

  • Boole, G., 1841, "Penyelidikan Teori Transformasi Analitik, dengan aplikasi khusus untuk Pengurangan Persamaan Umum Tertib Kedua," The Cambridge Mathematical Journal, 2: 64-73.
  • –––, 1841, “Pada Teorema Tertentu dalam Kalkulus Variasi,” Jurnal Matematik Cambridge, 2: 97–102.
  • –––, 1841, “Mengenai Integrasi Persamaan Pembezaan Linear dengan Pekali Tetap,” Jurnal Matematik Cambridge, 2: 114–119.
  • ––– 1847, Analisis Matematik Logik, Menjadi Esei Menuju Kalkulus Penalaran Deduktif, yang awalnya diterbitkan di Cambridge oleh Macmillan, Barclay, & Macmillan. Diterbitkan semula di Oxford oleh Basil Blackwell, 1951.
  • –––, 1848, “Kalkulus Logik,” Jurnal Matematik Cambridge dan Dublin, 3: 183–198.
  • –––, 1854, Penyiasatan Hukum Pemikiran yang Diasaskan Teori Matematik dan Logik dan Kebarangkalian, Asalnya diterbitkan oleh Macmillan, London. Cetakan semula oleh Dover, 1958.
  • –––, 1859, Sebuah Risalah pada Persamaan Pembezaan, Cambridge: Macmillan.
  • –––, 1860, Sebuah Risalah mengenai Kalkulus Perbezaan Terhingga, Cambridge: Macmillan.
  • De Morgan, A., 1839, “Atas dasar aljabar,” Transaksi Cambridge Philosophical Society, VII, 174–187.
  • –––, 1841, “Atas dasar aljabar, No. II,” Transaksi Cambridge Philosophical Society VII, 287–300.
  • –––, 1847, Logik Formal: atau, Kalkulus Inferensi, Perlu dan Mungkin, Asalnya diterbitkan di London oleh Taylor dan Walton. Diterbitkan semula di London oleh The Open Court Company, 1926.
  • –––, 1966, Tentang Silogisme, dan Tulisan Logik Lain, P. Heath (ed.), New Haven: Yale University Press. (Koleksi dari makalah De Morgan mengenai logik.)
  • Ewald, W. (ed.), 1996, Dari Kant ke Hilbert. Buku Sumber dalam Sejarah Matematik, 2 Vols, Oxford: Oxford University Press.
  • Grattan-Guiness, I., 2001, The Search for Mathematical Roots, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Gregory, DF 1839, "Demonstrasi dalam kalkulus pembezaan dan kalkulus perbezaan terhingga," The Cambridge Mathematical Journal, Vol. Saya, 212–222.
  • ––– 1839, “I. – Pada prinsip dasar penerapan simbol algebra pada geometri,” The Cambridge Mathematical Journal, Vol. II, No. VII, 1–9.
  • –––, 1840, “Mengenai sifat sebenar aljabar simbolik.” Urus Niaga Persatuan Diraja Edinburgh, 14: 208-216. Juga dalam [Gregory 1865, hlm 1–13].
  • –––, 1865, Tulisan Matematik Duncan Farquharson Gregory, MA, W. Walton (ed.), Cambridge, UK: Deighton, Bell.
  • Hailperin, T., 1976, Boole's Logic and Probability, (Siri: Kajian dalam Logik dan Asas-asas Matematik, 85), Amsterdam, New York, Oxford: Elsevier North-Holland. Edisi ke-2, Disemak dan diperbesar, 1986.
  • –––, 1981, “Aljabar Boole bukan aljabar Boolean”, Majalah Matematik, 54: 172–184.
  • Jevons, WS, 1864, Logik Murni, atau Logik Kualiti selain daripada Kuantiti: dengan Catatan mengenai Sistem Boole dan Hubungan Logik dan Matematik, London: Edward Stanford. Diterbitkan semula 1971 dalam Pure Logic and Other Minor Works, R. Adamson dan HA Jevons (ed.), New York: Lennox Hill Pub. & Dist. Syarikat
  • Jourdain, PEB, 1914, “Perkembangan teori logik matematik dan prinsip-prinsip matematik. William Stanley Jevons”, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 44: 113–128.
  • Lacroix, SF, 1797/1798, Traité du calculus différentiel et du calcul integral, Paris: Chez Courcier.
  • Lagrange, JL, 1797, Théorie des fonctions analytique, Paris: Imprimerie de la Republique.
  • –––, 1788, Méchanique Analytique, Paris: Desaint.
  • MacHale, D., 1985, George Boole, Kehidupan dan Pekerjaannya, Dublin: Boole Press.
  • Peacock, G., 1830, Treatise on Algebra, edisi ke-2, 2 jilid, Cambridge: J. & J. J. Deighton, 1842/1845.
  • –––, 1833, “Laporan Kemajuan Terkini dan Keadaan Terkini dari Cabang-cabang Analisis tertentu”, Dalam Laporan Pertemuan Ketiga Persatuan British untuk Kemajuan Sains yang diadakan di Cambridge pada tahun 1833, hlm 185-352. London: John Murray.
  • Schröder, E., 1890–1910, Algebra der Logik, Jilid. I – III. Leipzig, BG Teubner; mencetak semula Chelsea 1966.

Sumber Internet Lain

  • George Boole, Arkib Matematik Sejarah MacTutor
  • Augustus De Morgan, Duncan Farquharson Gregory, William Jevons, George Peacock, Ernst Schröder, Arkib Sejarah Matematik The MacTutor
  • Kumpulan Logik Algebra, Alfred Reyni Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Sciences

Disyorkan: