Kemerdekaan Dan Kardinal Besar

Isi kandungan:

Kemerdekaan Dan Kardinal Besar
Kemerdekaan Dan Kardinal Besar

Video: Kemerdekaan Dan Kardinal Besar

Video: Kemerdekaan Dan Kardinal Besar
Video: Sejarah Singkat Terbentuknya negara Adidaya Amerika Serikat 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Kemerdekaan dan Kardinal Besar

Pertama kali diterbitkan Sel 20 Apr 2010

Hasil kebebasan dalam teori aritmetik dan set menyebabkan percambahan sistem matematik. Salah satu kaedah yang sangat umum untuk menyelidiki ruang kemungkinan sistem matematik adalah di bawah hubungan kebolehtafsiran. Di bawah hubungan ini, ruang kemungkinan sistem matematik membentuk hirarki yang rumit dari sistem yang semakin kuat. Aksioma kardinal yang besar menyediakan kaedah kanonik untuk menaiki hierarki ini dan mereka memainkan peranan penting dalam membandingkan sistem dari domain yang berbeza secara konseptual.

Artikel ini adalah pengenalan kepada kebebasan, kebolehtafsiran, kardinal besar dan kaitannya. Bahagian 1 meninjau hasil kebebasan klasik dalam aritmetik dan teori set. Bahagian 2 memperkenalkan hierarki kebolehtafsiran dan menerangkan beberapa ciri asasnya. Bahagian 3 memperkenalkan konsep aksioma kardinal besar dan membincangkan beberapa contoh pusat. Bahagian 4 menyatukan tema-tema sebelumnya dengan membincangkan cara di mana aksioma kardinal besar menyediakan cara kanonik untuk menaiki hierarki kebolehtafsiran dan berfungsi sebagai perantara dalam perbandingan sistem dari domain yang berbeza secara konseptual. Bahagian 5 secara ringkas menyentuh beberapa pertimbangan falsafah.

  • 1. Kemerdekaan
  • 2. Hierarki Kebolehtafsiran
  • 3. Aksioma Kardinal Besar
  • 4. Aksioma Kardinal Besar dan Hierarki Tafsiran
  • 5. Beberapa Pertimbangan Falsafah
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Kemerdekaan

Mari kita mulakan dengan konsep sistem aksioma. Untuk mendorong pemikiran ini, pertimbangkan cara pembenaran secara tradisional dalam matematik. Dalam pertimbangan mengenai domain matematik yang diberikan (atau, pada kenyataannya, domain apa pun), persoalan pembenaran secara berturut-turut ditolak lebih jauh sehingga akhirnya seseorang mencapai prinsip yang tidak mengakui justifikasi yang lebih mendasar. Pernyataan pada peringkat terminal ini dipilih sebagai aksioma dan subjeknya kemudian disusun dari segi kebolehdapatan dari dasar aksioma. Dalam kes aritmetik ini membawa kepada sistem aksioma PA (Peano aritmetik) dan dalam kes teori set ia membawa kepada sistem aksioma ZFC (teori set Zermelo-Frankel dengan Axiom of Choice).

Dua persoalan semula jadi timbul: (1) Sekiranya aksioma tidak mengakui justifikasi yang lebih mendasar, bagaimana seseorang membenarkannya? (2) Apakah dasar aksioma cukup kaya sehingga seseorang dapat menyelesaikan setiap kalimat berdasarkan ini?

Terdapat dua pandangan tradisional mengenai status epistemologi aksioma. Pada pandangan pertama aksioma tidak mengakui justifikasi lebih lanjut kerana ia jelas. Pada pandangan kedua aksioma tidak mengakui justifikasi lebih lanjut kerana mereka pasti mengenai isi pokok. Setiap pandangan ini mengenai pertanyaan pertama kita mengarah ke pandangan optimis yang berkaitan dengan pertanyaan kedua kita-menurut pandangan optimis pertama, semua kebenaran matematik dapat diturunkan (dalam logik orde pertama) dari kebenaran yang dapat dilihat sendiri, sementara menurut optimis kedua pandangan, semua kebenaran matematik boleh diturunkan (dalam logik orde pertama) dari pernyataan yang pasti mengenai perkara pokok. Sekiranya salah satu daripada pandangan optimistik ini ternyata benar, maka persoalan pembenaran dalam matematik akan mengambil bentuk yang sangat sederhana:Sama ada pernyataan akan menjadi aksioma (dalam hal ini dapat dilihat sendiri atau pasti dari pokok bahasan (bergantung pada pandangan yang dipertimbangkan)) atau ia dapat diturunkan dalam logik pesanan pertama dari beberapa pernyataan tersebut.

Sayangnya, pandangan optimis ini mula ditentang pada tahun 1931 oleh teorema Gödel yang tidak lengkap. Berikut adalah satu versi teorema ketidaklengkapan kedua:

Teorem 1.1 (Gödel, 1931). Anggap bahawa PA konsisten. Maka PA tidak membuktikan Con (PA).

Di sini Con (PA) adalah pernyataan aritmetik yang menyatakan pernyataan tidak formal bahawa PA konsisten. [1] Di bawah anggapan yang sedikit kuat (sebagai contoh, PA adalah Σ01-suara [2]) seseorang dapat memperkuat kesimpulan dengan menambahkan bahawa PA tidak membuktikan ¬Con (PA); dengan kata lain, dengan anggapan yang lebih kuat ini, Con (PA) bebas daripada PA. Oleh itu, kita ada di sini sebuah kes penyataan aritmetik (dan, sebenarnya, sangat sederhana) yang tidak dapat diselesaikan berdasarkan aksioma standard. Lebih-lebih lagi, teorema ini benar-benar umum - ia berlaku bukan hanya untuk PA tetapi juga sistem T yang cukup kuat.

Ini menimbulkan tantangan bagi dua pandangan optimis yang disebutkan sebelumnya mengenai sifat kebenaran matematik. Sebagai permulaan menunjukkan bahawa kita tidak dapat bekerja dengan sistem aksioma tetap T. Kita perlu sentiasa memperkenalkan aksioma baru. Lebih penting lagi, ia menimbulkan persoalan bagaimana seseorang membenarkan aksioma baru ini, kerana ketika seseorang terus menambahkan aksioma yang lebih kuat dan kuat, dakwaan bahawa kedua-duanya dapat dibuktikan sendiri atau pasti mengenai pokok permasalahan akan semakin sukar dibela.

Sudah pada tahun 1931, Gödel menunjukkan cara semula jadi untuk membenarkan aksioma baru. Dia menunjukkan bahawa jika seseorang bergerak melampaui nombor semula jadi dan menaiki hierarki jenis (set nombor semula jadi, set set nombor semula jadi, dll.) Seseorang sampai pada aksioma (aksioma aritmetik urutan kedua PA 2, aksioma aritmetik urutan ketiga PA 3, dan lain-lain) yang menyelesaikan pernyataan yang belum ditentukan yang dijumpainya. Sistem aksioma untuk tahap kedua, PA 2, menyelesaikan pernyataan yang dibiarkan tidak ditentukan pada tahap pertama, iaitu Con (PA); sebenarnya, PA 2 membuktikan Con (PA), yang merupakan hasil yang diinginkan. Tetapi sekarang kita mempunyai masalah di peringkat kedua. Untuk teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahawa (di bawah andaian latar belakang yang serupa dengan yang di atas) PA2 tidak menyelesaikan Con (PA 2). Nasib baik, sistem aksioma untuk tahap ketiga, PA 3, menyelesaikan pernyataan yang masih belum ditentukan pada tahap kedua, iaitu Con (PA 2). Corak ini berterusan. Untuk setiap masalah ada jalan penyelesaian dan untuk setiap penyelesaian ada masalah baru. Dengan cara ini, dengan menaiki hierarki jenis seseorang tiba di sistem yang secara berturut-turut menyelesaikan pernyataan konsistensi yang muncul di sepanjang jalan.

Jenis-jenis hierarki di atas dapat disusun semula dalam pengaturan teori set yang seragam. Hierarki set-teori didefinisikan secara induktif dengan memulakan dengan emptyset, mengambil poweret pada tahap pengganti α + 1, dan mengambil kesatuan pada tahap had λ:

V 0 = ∅
V α + 1 = P (V α)
V λ = ∪ α <λ V α

Alam semesta set V adalah penyatuan semua peringkat seperti: V = ∪ α∈On V α, di mana On adalah kelas ordinal. Tahap pertama tak terbatas V ω terdiri daripada semua set terhingga turun temurun [3] dan tahap ini memenuhi ZFC-Infinity. Set pada tahap ini dapat dikodkan dengan nombor semula jadi dan dengan cara ini seseorang dapat menunjukkan bahawa PA dan ZFC-Infinity saling ditafsirkan. [4] Tahap tak terhingga kedua V ω + 1 pada dasarnya adalah P (ℕ) (atau, bersamaan, ℝ) dan tahap ini memenuhi (teori yang dapat ditafsirkan bersama) PA 2. Tahap tak terhingga ketiga V ω + 2pada dasarnya adalah P (P (ℕ)) (atau, setara, sebagai kumpulan fungsi nombor nyata) dan tahap ini memenuhi (teori yang dapat ditafsirkan bersama) PA 3. Tiga tahap pertama tidak terhingga merangkumi aritmetik, analisis dan analisis fungsional dan dengan itu kebanyakan matematik standard. Dengan cara ini, hierarki set dan sistem teori-set yang berkaitan merangkumi objek dan sistem matematik standard.

Sekarang, sekiranya ternyata ayat-ayat konsistensi (dan ayat-ayat lain yang berkaitan yang ditemui oleh Gödel pada tahun 1931) adalah satu-satunya contoh pernyataan yang tidak dapat ditentukan, maka urutan sistem dalam hierarki di atas akan menangkap setiap masalah yang timbul. Dan walaupun kita tidak akan pernah mempunyai satu sistem yang memberi kita aksiomatisasi kebenaran matematik sepenuhnya, kita akan mempunyai satu rangkaian sistem yang secara kolektif merangkumi keseluruhan kebenaran matematik.

Sayangnya, perkara-perkara itu tidak semudah itu. Masalahnya ialah apabila seseorang menaiki hierarki set dengan cara ini, sumber ekspresif yang lebih besar yang tersedia membawa kepada contoh kalimat yang tidak dapat diragukan dan ini benar sudah berlaku pada tahap tak terhingga kedua dan ketiga. Contohnya, pada tahap tak terhingga kedua seseorang dapat merumuskan pernyataan PM (bahawa semua set projektif dapat diukur Lebesgue) dan pada tahap tak terhingga ketiga seseorang dapat merumuskan CH (hipotesis kontinum kontinor). [5] Pernyataan ini diselidiki secara intensif pada era awal teori set tetapi sedikit kemajuan yang dicapai. Penjelasan akhirnya diberikan oleh teknik kemerdekaan berikutnya dari Gödel dan Cohen.

Gödel mencipta (pada tahun 1938) kaedah model dalaman dengan menentukan model dalaman minimum L. Model ini didefinisikan sama seperti V didefinisikan kecuali bahawa pada peringkat pengganti dan bukannya mengambil kuasa penuh tahap sebelumnya seseorang mengambil set kuasa yang dapat ditentukan dari tahap sebelumnya, di mana untuk satu set X, definisi kuasa yang ditentukan Def (X) dari X adalah himpunan semua subset X yang dapat ditentukan melebihi X dengan parameter dari X:

L 0 = ∅
L α + 1 = Def (L α)
L λ = ∪ α <λ L α

Model dalaman L adalah penyatuan semua peringkat seperti: L = ∪ α∈Pada L α. Gödel menunjukkan bahawa L memenuhi (serpihan serpihan besar) ZFC bersama dengan CH. Ini menunjukkan bahawa ZFC tidak dapat membantah CH. Cohen melengkapkan hasil ini dengan mencipta (pada tahun 1963) kaedah memaksa (atau model luar). Diberi algebra Boolean lengkap B dia ditakrifkan model V B dan menunjukkan bahawa ¬CH memegang dalam V B. [6] Ini mempunyai akibat bahawa ZFC tidak dapat membuktikan CH. Oleh itu, hasil ini menunjukkan bahawa CH bebas daripada ZFC. Hasil yang serupa berlaku untuk PM dan sejumlah soalan lain dalam teori set.

Contoh-contoh kemerdekaan ini lebih sukar dilakukan kerana tidak ada iterasi sederhana mengenai hierarki jenis yang membawa kepada penyelesaiannya. Mereka membawa kepada pencarian aksioma baru yang lebih mendalam.

Sekali lagi Gödel memberikan langkah pertama dalam mencari aksioma baru. Pada tahun 1946 ia mengemukakan sebagai aksioma aksioma kardinal besar-aksio tak terhingga yang menegaskan bahawa terdapat tahap hierarki jenis yang sangat besar-dan dia melangkah sejauh ini untuk menghayati teorema kelengkapan umum untuk aksioma semacam itu, yang menurutnya semua pernyataan mengenai teori set dapat diselesaikan dengan aksioma seperti itu (Gödel 1946, 151).

Tujuan baki entri ini adalah untuk menerangkan sifat kemerdekaan (bersama dengan hierarki kebolehtafsiran) dan hubungan antara kemerdekaan dan aksioma kardinal yang besar.

Bacaan Lanjut: Untuk lebih lanjut mengenai teorema ketidaklengkapan lihat Smoryński (1977), Buss (1998a), dan Lindström (2003). Untuk lebih lanjut mengenai teknik kebebasan dalam teori set lihat Jech (2003) dan Kunen (1980).

2. Hierarki Kebolehtafsiran

Tujuan kami adalah untuk menyelidiki ruang teori matematik (ditafsirkan sebagai sistem aksioma yang dapat dikira secara berulang). Susunan ruang teori sedemikian yang akan kita pertimbangkan adalah kebolehtafsiran. Pengertian tidak formal mengenai kebolehtafsiran terdapat di mana-mana dalam matematik; sebagai contoh, Poincaré memberikan tafsiran mengenai geometri hiperbolik dua dimensi dalam geometri Euclidean lingkaran unit; Dedekind memberikan tafsiran analisis dalam teori set; dan Gödel memberikan tafsiran mengenai teori sintaksis formal dalam aritmetik.

Kami akan menggunakan penjelasan formal yang tepat mengenai tanggapan tidak rasmi ini. Biarkan T 1 dan T 2 menjadi sistem aksioma yang dapat dikira secara berulang. Kami mengatakan bahawa T 1 dapat ditafsirkan dalam T 2 (T 1 ≤ T 2) apabila, secara kasarnya, ada terjemahan τ dari bahasa T 1 ke bahasa T 2 sehingga, untuk setiap kalimat φ dari bahasa T 1, jika T 1 ⊢φ maka T 2 ⊢τ (φ). [7] Kami akan menulis T 1 <T 2 apabila T 1 ≤ T 2 dan T 2≰ T 1 dan kami akan menulis T 1 ≡ T 2 apabila kedua-dua T 1 ≤ T 2 dan T 2 ≤ T 1. Dalam kes terakhir, T 1 dan T 2 dikatakan saling tafsir. Kelas kesetaraan semua teori yang dapat ditafsirkan bersama dengan T dipanggil tahap kebolehtafsiran T.

Untuk memudahkan eksposisi, kami akan membuat tiga andaian ringkas mengenai teori-teori yang sedang dipertimbangkan. Pertama, kita akan menganggap bahawa semua teori kita disusun dalam bahasa teori set. Tidak ada kehilangan umum dalam anggapan ini kerana setiap teori dapat ditafsirkan bersama dengan teori dalam bahasa ini. Sebagai contoh, seperti yang dinyatakan sebelumnya, PA dan ZFC-Infinity dapat ditafsirkan bersama. Kedua, kita akan menganggap bahawa semua teori kita mengandungi ZFC-Infinity. Ketiga, kita akan menganggap bahawa semua teori kita adalah bunyi Σ01.

Hierarki kebolehtafsiran adalah pengumpulan semua teori (memenuhi tiga andaian pemudah cara kami) yang disusun berdasarkan hubungan ≤. Kita sekarang beralih kepada perbincangan mengenai struktur hierarki ini.

Sebagai permulaan, terdapat ciri khas hubungan relation. Marilah kita menulis T 1Π01 T 2 untuk menunjukkan bahawa setiap pernyataan Π01 yang dapat dibuktikan dalam T 1 juga dapat dibuktikan dalam T 2. Hasil utama dalam teori kebolehtafsiran adalah bahawa (memberikan andaian penyederhanaan kita) T 1 ≤ T 2 iff T 1Π01 T 2. Ini berpunca dari pencirian ini dan teorema ketidaklengkapan kedua bahawa bagi mana-mana teori T, teori T + Con (T) lebih kuat daripada T, iaitu, T <T + Con (T). Lebih-lebih lagi, ia mengikuti teorema kelengkapan yang dihitung bahawa teori T + ¬Con (T) dapat ditafsirkan dalam T, oleh itu, T ≡ T + ¬Con (T).

Dari segi kebolehtafsiran terdapat tiga cara yang mungkin di mana pernyataan φ dapat bebas daripada teori T.

  1. Lompat Tunggal. Hanya satu dari φ atau ¬φ yang membawa kepada lonjakan kekuatan, iaitu,

    T + φ> T dan T + ¬φ ≡ T

    (atau begitu juga dengan φ dan ¬φ ditukar).

  2. Tiada Lompat. Baik φ dan ¬φ menyebabkan lonjakan kekuatan, iaitu,

    T + φ ≡ T dan T + ¬φ ≡ T.

  3. Lompat Berganda. Kedua-dua φ dan ¬φ menyebabkan lonjakan kekuatan, iaitu,

    T + φ> T dan T + ¬φ> T.

Ternyata setiap kemungkinan ini direalisasikan. Untuk yang pertama adalah memadai untuk mengambil Con-T ayat P01. Untuk yang kedua adalah mudah untuk melihat bahawa tidak ada contoh yang Π01; kerumitan yang paling mudah dari ayat seperti itu ialah Δ02 dan ternyata ada contoh seperti itu; contoh jenis kemerdekaan ini disebut ayat Orey. Untuk kemerdekaan jenis ketiga terdapat contoh P01. (Ini adalah akibat Lemma 14 di halaman 128–129 Lindström (2003).)

Ini semua adalah contoh metamatis, contoh yang hanya akan dibuat oleh ahli logik. Adalah wajar untuk bertanya apakah ada contoh "semula jadi", kira-kira jenis contoh yang berlaku dalam matematik biasa. Dalam kes teoritis yang ditetapkan, contoh seperti itu banyak terdapat pada dua kes pertama. Contohnya, PM adalah contoh kemerdekaan jenis pertama dan CH adalah contoh kemerdekaan jenis kedua. Tidak ada contoh "semula jadi" yang diketahui mengenai kemerdekaan jenis ketiga. Dalam kes aritmetik, contoh seperti ini jarang berlaku. Terdapat contoh jenis kemerdekaan pertama (yang paling terkenal adalah contoh klasik kerana Paris dan Harrington) tetapi tidak ada jenis kemerdekaan kedua atau ketiga.

Perhatikan bahawa dalam contoh ketiga, kedua teori di atas T tidak dapat dibandingkan dalam urutan kebolehtafsiran. Untuk membina sepasang pernyataan Π01, seseorang menggunakan bentuk timbal balik lemma pepenjuru untuk membina dua pernyataan Π01 yang merujuk satu sama lain. Menggunakan teknik sedemikian dapat menunjukkan bahawa urutan kebolehtafsirannya cukup kompleks. Sebagai contoh, untuk mana-mana dua teori T 1 dan T 2 sehingga T 1 <T 2 terdapat teori ketiga T sedemikian sehingga T 1 <T <T 2. Oleh itu, urutan pada tahap kebolehtafsiran tidak disusun secara linear dan tidak berasas. (Lihat Feferman (1960).)

Hebatnya, ternyata apabila seseorang menyekat teori-teori yang "timbul di alam", susunan kebolehtafsirannya cukup mudah: Tidak ada rantai menurun dan tidak ada unsur yang tidak dapat dibandingkan - susunan kebolehtafsiran pada teori yang "timbul di alam" adalah pemeliharaan dengan baik. Khususnya, walaupun terdapat contoh semula jadi kemerdekaan jenis pertama dan kedua (contohnya PM dan CH, masing-masing sesuatu yang akan kita kembali ke bawah), tidak ada contoh semula jadi kemerdekaan jenis ketiga yang diketahui.

Jadi, untuk teori-teori yang "timbul dalam alam semula jadi", kita mempunyai hierarki yang tersusun di bawah urutan kebolehtafsiran. Pada asas pesanan seseorang mempunyai tahap yang diwakili oleh teori minimum kami ZFC-Infinity dan hanya ada satu cara untuk meneruskannya, iaitu, dari segi kekuatan.

Kami telah melihat satu cara untuk menaiki hierarki tahap kebolehtafsiran, iaitu dengan menambahkan pernyataan konsistensi. Terdapat dua kelemahan pendekatan ini. Pertama, jika seseorang bermula dengan teori yang "timbul di alam" dan menambahkan pernyataan konsistensi seseorang akan mendarat di tahap yang tidak mempunyai wakil yang diketahui yang "timbul di alam". Kedua, pernyataan konsistensi tidak membawa hierarki yang jauh. Kedua-dua kekurangan ini diperbaiki oleh kelas aksioma yang sangat semula jadi - aksioma kardinal besar.

Bacaan Lanjut: Untuk lebih lanjut mengenai struktur hierarki tafsiran, lihat bab 6–8 Lindström (2003).

3. Aksioma Kardinal Besar

Biarkan Z 0 menjadi teori ZFC-Infinity-Replacement. (Teori ini secara logik setara dengan teori asas kami ZFC-Infinity.) Kami akan terus memperkuat Z 0 dengan menambahkan aksioma secara reflektif yang menegaskan tahap tertentu dari alam semesta set ada.

Model standard Z 0 adalah V ω. Axiom of Infinity (dalam satu rumusan) hanya menegaskan bahawa set ini wujud. Oleh itu, apabila kita menambahkan Axiom of Infinity, teori yang dihasilkan Z 1 (dikenali sebagai teori set Zermelo dengan Pilihan) tidak hanya membuktikan konsistensi Z 0; ia membuktikan bahawa terdapat model standard Z 0. Sekarang model standard Z 1 adalah V ω + ω. Aksiom Penggantian menunjukkan bahawa set ini wujud. Oleh itu, apabila kita menambahkan Axiom of Replacement, teori yang dihasilkan Z 2 (dikenali sebagai ZFC), bukan sahaja membuktikan ketekalan Z 1; ia membuktikan bahawa terdapat model standard Z 1.

Model standard Z 2 mempunyai bentuk V κ di mana κ adalah kardinal biasa sehingga untuk semua α <κ, 2 α <κ. Kardinal seperti itu disebut kardinal (sangat) tidak dapat diakses. Aksioma seterusnya dalam hierarki yang dipertimbangkan adalah pernyataan yang menegaskan bahawa kardinal seperti itu wujud. Teori yang dihasilkan ZFC + "Ada kardinal yang sangat tidak dapat diakses" membuktikan bahawa ada tahap alam semesta yang memenuhi ZFC. Dengan terus menerus dengan cara ini, seseorang mencapai aksioma yang lebih kuat dan kuat yang menegaskan wujudnya tahap set semesta yang lebih besar dan lebih besar. Sebelum meneruskan garis besar aksioma seperti itu, marilah kita membuat hubungan dengan hierarki kebolehtafsiran terlebih dahulu.

Ingatlah klasifikasi kita mengenai tiga jenis kemerdekaan. Kami menyatakan bahawa tidak ada contoh semula jadi dari jenis kemerdekaan ketiga tetapi ada contoh semula jadi dari jenis kemerdekaan pertama dan kedua.

Contoh semula jadi jenis kemerdekaan kedua diberikan oleh kaedah berganda model dalaman dan luaran. Sebagai contoh, kaedah ini menunjukkan bahawa teori ZFC + CH dan ZFC + ¬CH dapat ditafsirkan bersama dengan ZFC, iaitu ketiga-tiga teori tersebut terletak pada tahap yang sama. Dengan kata lain, CH adalah ayat Orey berkenaan dengan ZFC. Bagaimana dengan ayat lain yang kami perkenalkan: PM?

Dengan menggunakan kaedah model dalaman Gödel menunjukkan bahawa ¬PM berlaku di L. Ini menunjukkan bahawa ZFC + ¬PM dapat ditafsirkan bersama dengan ZFC. Tetapi bagaimana dengan PM? Untuk menunjukkan bahawa ZFC + PM dapat ditafsirkan bersama dengan ZFC, pendekatan semula jadi adalah mengikuti pendekatan yang digunakan untuk CH dan membina model luar ZFC yang memuaskan PM. Namun, diketahui bahawa ini tidak dapat dilakukan bermula dengan ZFC sahaja. Kerana ternyata (oleh hasil Shelah (1984)) bahawa ZFC + PM menyiratkan konsistensi ZFC dan ini menunjukkan, oleh teorema ketidaklengkapan kedua, bahawa ZFC + PM tidak dapat ditafsirkan dalam ZFC. Dari satu segi, kita mempunyai kes kemerdekaan kemerdekaan. Lebih tepat lagi, walaupun kita menganggap bahawa ZFC konsisten, kita tidak boleh (berbeza dengan kes CH) membuktikan bahawa PM tidak bergantung kepada ZFC. Untuk menentukan kebebasan PM dari ZFC, kita perlu menganggap konsistensi teori yang lebih kuat, iaitu teori ZFC + "Terdapat kardinal yang sangat tidak dapat diakses". Kerana ternyata bahawa ZFC + PM bukan terletak pada tahap kebolehtafsiran ZFC tetapi lebih kepada ZFC + "Terdapat kardinal yang sangat tidak dapat diakses". Untuk meringkaskan: Walaupun CH adalah kes kemerdekaan jenis kedua, PM adalah kes kemerdekaan jenis pertama; ini serupa dengan Con (ZFC) kerana itu adalah kalimat φ sehingga hanya satu dari φ atau ¬φ yang membawa kepada lonjakan kekuatan, hanya sekarang terdapat dua perbezaan; lompatan mendarat dalam tahap yang jauh lebih kuat dan diwakili oleh teori semula jadi. Kerana ternyata bahawa ZFC + PM bukan terletak pada tahap kebolehtafsiran ZFC tetapi lebih kepada ZFC + "Terdapat kardinal yang sangat tidak dapat diakses". Untuk meringkaskan: Walaupun CH adalah kes kemerdekaan jenis kedua, PM adalah kes kemerdekaan jenis pertama; ini serupa dengan Con (ZFC) kerana itu adalah kalimat φ sehingga hanya satu dari φ atau ¬φ yang membawa kepada lonjakan kekuatan, hanya sekarang terdapat dua perbezaan; lompatan mendarat dalam tahap yang jauh lebih kuat dan diwakili oleh teori semula jadi. Kerana ternyata bahawa ZFC + PM bukan terletak pada tahap kebolehtafsiran ZFC tetapi lebih kepada ZFC + "Terdapat kardinal yang sangat tidak dapat diakses". Untuk meringkaskan: Walaupun CH adalah kes kemerdekaan jenis kedua, PM adalah kes kemerdekaan jenis pertama; ini serupa dengan Con (ZFC) kerana itu adalah kalimat φ sehingga hanya satu dari φ atau ¬φ yang membawa kepada lonjakan kekuatan, hanya sekarang terdapat dua perbezaan; lompatan mendarat dalam tahap yang jauh lebih kuat dan diwakili oleh teori semula jadi.lompatan mendarat dalam tahap yang jauh lebih kuat dan diwakili oleh teori semula jadi.lompatan mendarat dalam tahap yang jauh lebih kuat dan diwakili oleh teori semula jadi.

Secara amnya, ayat teori (yang diketahui) sama seperti CH atau PM. Sebilangannya seperti CH kerana ZFC + φ dan ZFC + ¬φ terletak pada tahap ZFC. Yang lain seperti PM kerana salah satu ZFC + φ dan ZFC + ¬φ terletak pada darjah ZFC sementara yang lain terletak pada tahap perpanjangan ZFC melalui aksioma kardinal yang besar.

Mari kita kembali kepada gambaran umum mengenai aksioma kardinal yang besar. Selepas kardinal yang tidak dapat diakses, terdapat kardinal Mahlo, kardinal yang tidak dapat dilukiskan, dan kardinal yang tidak dapat dilalui. Semua aksioma kardinal besar ini dapat dihasilkan dengan cara yang seragam dengan menggunakan pelbagai prinsip refleksi tradisional (lihat Tait 2005) tetapi terdapat batasan sejauh mana pelbagai prinsip pantulan ini dapat mengambil satu. Kerana di bawah ciri umum prinsip-prinsip seperti itu diketahui bahawa mereka tidak dapat menghasilkan k (K) kardinal Erd. Lihat Koellner (2009).

Kardinal besar yang dianggap setakat ini (termasuk κ (ω)) dikenali sebagai kardinal besar kecil. Kardinal besar kecil jika aksioma kardinal besar yang berkaitan dapat bertahan di alam semesta L yang dapat dibina Gödel, iaitu, jika "V ⊨ κ adalah φ-kardinal" konsisten, maka "L ⊨ κ adalah φ-kardinal" adalah konsisten. Jika tidak, kardinal besar adalah besar.

Terdapat templat sederhana untuk merumuskan (besar) aksioma kardinal besar adalah dari segi elemen dasar. Secara umum aksioma seperti ini menegaskan bahawa terdapat kelas transitif M dan penyisipan asas yang tidak remeh

j: V → M.

Untuk mengatakan bahawa penyisipan tidak sepele hanya dengan mengatakan bahawa itu bukan identiti, dalam hal ini mesti ada ordinal paling sedikit yang dipindahkan. Ordinal ini disebut titik kritis j dan pengkritik dilambangkan (j). Titik kritikal adalah (biasanya) kardinal besar yang berkaitan dengan penyisipan. K kardinal dikatakan dapat diukur sekiranya ia adalah titik kritikal bagi beberapa penyisipan tersebut. [8]

Sangat mudah untuk melihat bahawa untuk penyisipan seperti itu V κ + 1 ⊆ M di mana κ = kritik (j). Jumlah perjanjian ini membolehkan seseorang menunjukkan bahawa κ sangat tidak dapat diakses, Mahlo, tidak dapat dilukiskan, tidak dapat dilaksanakan, dll. Untuk menggambarkan ini mari kita anggap bahawa kita telah menunjukkan bahawa κ sangat tidak dapat diakses dan mari kita menunjukkan bahawa κ mempunyai sifat kardinal besar yang jauh lebih kuat. Oleh kerana κ sangat tidak dapat diakses di V dan sejak (V κ + 1) M = V κ + 1, M juga berpendapat bahawa κ sangat sukar diakses. Secara khusus, M berpendapat bahawa terdapat kardinal yang sangat tidak dapat diakses (iaitu, κ) di bawah j (κ). Tetapi kemudian oleh unsur unsur j, V mesti memikirkan perkara yang sama dengan pratama j (κ), iaitu, κ, iaitu, V mesti berfikir bahawa terdapat di bawah κ yang sangat tidak dapat diakses. Jadi κ tidak boleh menjadi kardinal yang paling tidak dapat diakses. Melanjutkan dengan cara ini seseorang dapat menunjukkan bahawa terdapat banyak yang sangat tidak dapat diakses di bawah κ dan, sebenarnya, bahawa κ adalah Mahlo, tidak dapat dijelaskan, tidak dapat difahami, dll. Oleh itu, kardinal yang dapat diukur menggunakan kardinal besar yang besar.

Sebenarnya, Scott menunjukkan bahawa (berbeza dengan kardinal besar kecil) kardinal terukur tidak boleh wujud di alam semesta yang dapat dibina Gödel. Mari kita tepat mengenai perkara ini. Biarkan V = L menjadi pernyataan yang menegaskan bahawa semua set boleh dibina. Kemudian untuk setiap aksioma kardinal besar kecil φ (tepatnya, yang disenaraikan di atas) jika teori ZFC + φ konsisten maka begitu juga teori ZFC + φ + V = L. Sebaliknya, teori ZFC + "Ada kardinal yang dapat diukur" membuktikan ¬ V = L. Ini mungkin kelihatan agak berlawanan kerana L mengandungi semua ordinal dan jadi jika κ adalah kardinal yang dapat diukur maka κ adalah ordinal di L. Intinya adalah L tidak dapat "mengenali" bahawa κ adalah kardinal yang dapat diukur kerana terlalu "tipis" untuk mengandung ultrafilter yang menyaksikan kebolehukuran k.

Salah satu cara untuk memperkuat aksioma kardinal besar berdasarkan templat di atas adalah dengan menuntut persetujuan yang lebih besar antara M dan V. Sebagai contoh, jika seseorang menuntut bahawa V κ + 2 ⊆ M maka fakta bahawa κ dapat diukur (sesuatu yang disaksikan oleh subset P (κ)) dapat dikenali oleh M. Oleh itu, dengan hujah yang sama seperti yang kita gunakan di atas, mesti ada kardinal yang dapat diukur di bawah κ.

Ini membawa kepada perkembangan aksioma kardinal besar yang semakin kuat. Akan berguna untuk membincangkan beberapa batu loncatan utama dalam hierarki ini.

Sekiranya κ adalah kardinal dan η> κ adalah ordinal maka κ adalah η- kuat jika terdapat kelas transitif M dan penyisipan unsur bukan sepele j: V → M sehingga pengkritik (j) = κ, j (κ) > η dan V η ⊆ M. Kardinal κ kuat jika ia η-kuat untuk semua η> κ. Seseorang juga boleh menuntut agar penyisipan mengekalkan kelas-kelas tertentu: Jika A adalah kelas, κ adalah kardinal, dan η> κ adalah ordinal maka κ adalah η- A - kuat jika ada aj: V → M yang menyaksikan bahawa κ adalah η-kuat dan yang mempunyai ciri tambahan yang j (A ∩ V κ) ∩ V η = A ∩ V η. Pengertian kardinal besar berikut memainkan peranan penting dalam mencari aksioma baru.

Definisi 3.1. A kardinal κ adalah kardinal Woodin jika κ sangat tidak dapat diakses dan untuk semua A ⊆ V κ terdapat kardinal κ A <κ sehingga

κ A adalah η- A -strong,

untuk setiap η sehingga κ A <η <κ. [9]

Seseorang dapat memperoleh aksioma kardinal besar yang lebih kuat dengan menjalin hubungan antara penyisipan j dan jumlah kemiripan antara M dan V. Sebagai contoh, kardinal κ adalah superstrong jika terdapat kelas transitif M dan penyisipan unsur bukan sepele j: V → M sehingga kritik (j) = κ dan V j (κ) ⊆ M. Sekiranya κ adalah superstrong maka κ adalah kardinal Woodin dan terdapat kardinal Woodin yang sewenang-wenang di bawah κ.

Seseorang juga dapat memperoleh aksioma kardinal besar yang kuat dengan meletakkan syarat penutupan pada model sasaran M. Sebagai contoh, membiarkan γ ≥ κ a kardinal κ adalah γ-superkompak jika terdapat kelas transitif M dan penyisipan unsur bukan sepele j: V → M sedemikian rupa sehingga kritik (j) = κ dan γ M ⊆ M, iaitu, M ditutup di bawah urutan γ. (Sangat mudah untuk melihat bahawa jika M ditutup di bawah urutan γ maka H (γ +)) ⊆ M; jadi pendekatan ini mengikuti pendekatan sebelumnya.) Kardinal κ adalah superkompak jika γ-superkompak untuk semua γ ≥ κ. Sekarang, seperti pendekatan sebelumnya, seseorang dapat memperkuat aksioma ini dengan menjalin hubungan antara penyisipan j dan keadaan penutupan pada model sasaran. A kardinal κ adalah n-besar jika terdapat kelas transitif M dan penyisipan unsur bukan sepele j: V → M sehingga j   n (κ) M ⊆ M, di mana κ = pengkritik (j) dan j   i +1 (κ) ditakrifkan sebagai j (j   i (κ)).

Seseorang dapat meneruskannya, menuntut persetujuan yang lebih besar antara M dan V. Aksioma utama ke arah ini tentu saja menuntut M = V. Aksioma ini dicadangkan oleh Reinhardt dan tidak lama kemudian terbukti tidak konsisten (dalam ZFC) oleh Kunen. Sebenarnya, Kunen menunjukkan bahawa, dengan anggapan ZFC, boleh ada kelas transitif M dan penyisipan unsur bukan sepele j: V → M sedemikian rupa sehingga j '' λ ∈ M, di mana λ = sup n <ω   j   n (κ) dan κ = pengkritik (j). Secara khusus, tidak boleh wujud M dan j sedemikian rupa sehingga V λ + 1 ⊆ M. Ini memberi batasan jumlah penutupan model sasaran (dalam kaitannya dengan penyisipan). [10]

Walaupun begitu, terdapat banyak ruang di bawah batas atas di atas. Sebagai contoh, aksioma yang sangat kuat adalah pernyataan bahawa terdapat unsur asas tidak sepele j: V λ + 1 → V λ + 1. Aksioma kardinal besar terkuat dalam literatur semasa adalah aksioma yang menegaskan bahawa terdapat unsur asas tidak sepele j: L (V λ + 1) → L (V λ + 1) sehingga pengkritik (j) <λ. Dalam karya baru-baru ini, Woodin telah menemui aksioma yang jauh lebih kuat daripada ini.

Bacaan Lanjut: Untuk lebih lanjut mengenai aksioma kardinal besar, lihat Kanamori (2003).

4. Aksioma Kardinal Besar dan Hierarki Tafsiran

Aksioma kardinal besar yang dibincangkan di atas secara semula jadi disusun dengan baik dari segi kekuatan. [11] Ini memberikan cara semula jadi untuk menaiki hierarki kebolehtafsiran. Di dasar kita mulakan dengan teori ZFC-Infinity dan kemudian kita naik ke ZFC dan naik melalui ZFC + Φ untuk pelbagai aksioma kardinal besar Φ. Perhatikan bahawa untuk dua aksioma kardinal besar Φ dan Ψ, jika Ψ lebih kuat daripada Φ maka Ψ menyiratkan bahawa terdapat model standard Φ dan oleh itu kita mempunyai tafsiran semula jadi ZFC + Φ dalam ZFC + Ψ.

Kami telah memperhatikan bahawa ZFC + ¬PM dapat ditafsirkan bersama dengan ZFC + LC di mana LC adalah aksioma kardinal besar "Terdapat kardinal yang sangat tidak dapat diakses" dan ini ditunjukkan dengan menggunakan teknik ganda teori model dalaman dan luaran. Ini adalah fakta empirik yang luar biasa bahawa untuk setiap pernyataan “semula jadi” dalam bahasa teori set φ seseorang secara amnya dapat menemui aksioma kardinal besar Φ sehingga ZFC + φ dan ZFC + Φ saling dapat ditafsirkan. Sekali lagi, ini dibentuk menggunakan teknik dual teori model dalaman dan luaran hanya sekarang kardinal besar memasuki campuran. Untuk membuktikan bahawa ZFC + Φ menafsirkan ZFC + φ, seseorang biasanya bermula dengan model ZFC + Φ dan menggunakan paksaan untuk membina model ZFC + φ. Dalam banyak kes, pembinaan memaksa melibatkan "runtuh" kardinal besar yang berkaitan dengan Φ dan mengatur keruntuhan sedemikian rupa sehingga φ menahan "runtuhan". Ke arah lain, seseorang biasanya bermula dengan model ZFC + φ dan kemudian membina model dalaman (model menyerupai L tetapi mampu menampung aksioma kardinal besar) yang mengandungi kardinal besar yang ditegaskan wujud oleh Φ. Cabang teori set yang dikenali sebagai teori model dalaman dikhaskan untuk pembinaan model "seperti L" untuk aksioma kardinal besar yang lebih kuat dan kuat. Cabang teori set yang dikenali sebagai teori model dalaman dikhaskan untuk pembinaan model "seperti L" untuk aksioma kardinal besar yang lebih kuat dan kuat. Cabang teori set yang dikenali sebagai teori model dalaman dikhaskan untuk pembinaan model "seperti L" untuk aksioma kardinal besar yang lebih kuat dan kuat.

Dengan cara ini teori bentuk ZFC + LC, di mana LC adalah aksioma kardinal besar, memberikan tolok ukur untuk mengukur kekuatan teori. Mereka juga bertindak sebagai perantara untuk membandingkan teori dari domain yang berbeza secara konseptual: Memandangkan ZFC + φ dan ZFC + ψ seseorang menemui aksioma kardinal besar Φ dan Ψ sehingga (menggunakan kaedah model dalaman dan luaran) ZFC + φ dan ZFC + Φ saling ditafsirkan dan ZFC + ψ dan ZFC + Ψ saling ditafsirkan. Kemudian membandingkan ZFC + φ dan ZFC + ψ (dari segi kebolehtafsiran) dengan membuat perantaraan melalui hubungan kebolehtafsiran semula jadi antara ZFC + Φ dan ZFC + Ψ. Jadi aksioma kardinal yang besar (bersama dengan kaedah dua model dalaman dan luaran) terletak di tengah-tengah fakta empirikal yang luar biasa bahawa teori semula jadi dari domain yang sama sekali berbeza dapat dibandingkan dari segi tafsiran.

5. Beberapa Pertimbangan Falsafah

Persoalan utama yang timbul berdasarkan hasil kemerdekaan adalah sama ada seseorang dapat membenarkan aksioma baru yang menyelesaikan pernyataan yang tidak ditentukan oleh aksioma standard. Terdapat dua pandangan. Pada pandangan pertama, jawapannya dianggap negatif dan seseorang menganut bentuk pluralisme radikal di mana seseorang mempunyai sebilangan besar aksioma standard yang sama sah. Pada pandangan kedua, jawapannya diambil (sekurang-kurangnya sebagian) untuk menjadi afirmatif, dan hasilnya menunjukkan bahawa ZFC terlalu lemah untuk menangkap kebenaran matematik. Topik ini cukup terlibat dan berada di luar ruang lingkup artikel ini.

Tetapi ada persoalan falsafah lain yang lebih berkaitan langsung dengan tema artikel ini. Pertama, apakah kepentingan fakta empirik bahawa aksioma kardinal besar kelihatan tersusun dengan baik di bawah kebolehtafsiran? Kedua, apakah kepentingan fakta empirik bahawa aksioma kardinal besar memainkan peranan penting dalam membandingkan banyak teori dari domain yang berbeza secara konseptual? Mari kita pertimbangkan dua soalan ini secara bergiliran.

Seseorang mungkin cuba berpendapat bahawa fakta bahawa aksioma kardinal besar disusun dengan baik di bawah kebolehtafsiran adalah pertimbangan yang memihak kepada mereka. Namun, ini akan menjadi hujah yang lemah. Kerana, seperti yang telah kita nyatakan di atas, semua teori "semula jadi" nampaknya disusun dengan baik di bawah kebolehtafsiran dan ini merangkumi teori-teori yang tidak sesuai satu sama lain. Sebagai contoh, adalah mudah untuk memilih teori "semula jadi" dari tahap teori yang lebih tinggi dan lebih tinggi dalam urutan tertib yang tidak sesuai antara satu sama lain. Ini menunjukkan bahawa ciri yang disusun dengan baik di bawah kebolehtafsiran, walaupun luar biasa, tidak boleh menjadi titik kebenaran.

Tetapi aksioma kardinal yang besar mempunyai ciri-ciri tambahan yang membezakannya dari kelas teori semula jadi dalam urutan darjah yang disusun dengan baik. Sebagai permulaan, mereka menyediakan kaedah yang paling semula jadi untuk menaiki hierarki kebolehtafsiran - mereka adalah manifestasi paling sederhana dan paling semula jadi dari kekuatan matematik yang murni. Tetapi yang lebih penting adalah komponen kedua yang disebutkan di atas, iaitu, aksioma kardinal besar bertindak sebagai perantara dalam membandingkan teori dari domain yang berbeza secara konsep. Untuk mengingat bagaimana ini berfungsi: Diberi ZFC + φ dan ZFC + ψ seseorang dapat menemukan aksioma kardinal besar Φ dan Ψ sehingga (menggunakan kaedah model dalaman dan luaran) ZFC + φ dan ZFC + Φ dapat ditafsirkan bersama dan ZFC + ψ dan ZFC + Ψ saling boleh ditafsirkan. Kemudian membandingkan ZFC + φ dan ZFC + ψ (dari segi kebolehtafsiran) dengan membuat perantaraan melalui hubungan kebolehtafsiran semula jadi antara ZFC + Φ dan ZFC + Ψ.

Ternyata, dalam banyak kes, ini adalah satu-satunya cara yang diketahui untuk membandingkan ZFC + φ dan ZFC + ψ, iaitu, dalam banyak kes, tidak ada penafsiran langsung ke arah mana pun, sebaliknya seseorang mesti melalui aksioma kardinal yang besar. Bolehkah ciri tambahan ini digunakan untuk membuat casing aksioma kardinal besar? Jawapannya tidak jelas. Walau bagaimanapun, yang jelas adalah sentraliti aksioma kardinal besar dalam teori set.

Bibliografi

  • Ackermann, Wilhelm, 1937, “Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre,” Mathematische Annalen, 114: 305–315.
  • Barwise, Jon K., 1977, Buku Panduan Logik Matematik (Kajian dalam Logik dan Asas-asas Matematik: 90), Amsterdam: Belanda Utara.
  • Buss, Samuel R., 1998a, “Teori Aritmetik Proof First Order,” dalam Buss 1998b, 79–147.
  • –––, 1998b, Buku Panduan Teori Bukti (Kajian dalam Logik dan Asas-asas Matematik: 137), Amsterdam: Belanda Utara.
  • Feferman, Solomon, 1960, "Arithmetization metamathematics dalam keadaan umum," Fundamenta Mathematicae, 49: 35–92.
  • Foreman, Matthew and Kanamori, Akihiro, 2009, Buku Panduan Teori Set, Berlin: Springer-Verlag.
  • Gödel, Kurt, 1946, “Ucapan sebelum persidangan dua puluh tahun Princeton mengenai masalah dalam matematik,” dalam Gödel 1990, 150–153.
  • –––, 1986, Koleksi Karya I: Penerbitan 1929–1936, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, dan J. van Heijenoort (ed.), Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, Koleksi Karya II: Penerbitan 1938–1974, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, dan J. van Heijenoort (ed.), Oxford: Oxford University Press.
  • Jech, Thomas J., 2003, Teori Set (Edisi Milenium Ketiga, Disemak dan Dikembangkan), Berlin: Springer-Verlag.
  • Kanamori, Akihiro, 2003, The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Beginnings mereka (Springer Monographs in Mathematics), edisi ke-2, Berlin: Springer.
  • Koellner, Peter, 2009, “On Reflection Principles,” Annals of Murni dan Applic Logic, 157: 206–219.
  • Kunen, Kenneth, 1980, Teori set: Pengantar Bukti Kemerdekaan (Kajian dalam Logik dan Asas-asas Matematik: 102), Amsterdam: Belanda Utara.
  • Lindström, Per, 2003, Aspek Ketidaklengkapan (Nota Kuliah dalam Logik: 10), edisi ke-2, KOTA: Persatuan Logik Simbolik.
  • Shelah, Saharon, 1984, “Bolehkah anda mengambil Solovay yang tidak dapat diakses ?,” Israel Journal of Mathematics, 48 (1): 1–47.
  • Smoryński, Craig A., 1977, "Theorcompleteness Theorems," dalam Barwise 1977, 821-865.
  • Tait, William W., 2005a, "Membangun kardinal dari bawah," dalam Tait 2005b, 133-154.
  • –––, 2005b, Penentuan Alasan Murni: Esei dalam Falsafah Matematik dan Sejarahnya, Oxford: Oxford University Press.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

[Sila hubungi pengarang dengan cadangan.]

Disyorkan: