Semantik Proof-Theoretic

Isi kandungan:

Semantik Proof-Theoretic
Semantik Proof-Theoretic

Video: Semantik Proof-Theoretic

Video: Semantik Proof-Theoretic
Video: F. N. Pakhomov. Iterated ω-model reflection and Π12 proof-theoretic analysis 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Semantik Proof-Theoretic

Pertama kali diterbitkan pada 5 Disember 2012; semakan substantif pada 1 Februari 2018

Semantik bukti-teori adalah alternatif untuk semantik keadaan kebenaran. Ini didasarkan pada anggapan mendasar bahawa pengertian pusat dari segi makna yang diberikan kepada ungkapan tertentu bahasa kita, khususnya kepada pemalar logik, adalah bukti dan bukannya kebenaran. Dalam pengertian ini semantik bukti-teori adalah semantik dari segi bukti. Semantik bukti-teori juga bermaksud semantik bukti, iaitu semantik entiti yang menerangkan bagaimana kita sampai pada penegasan tertentu yang diberi andaian tertentu. Kedua-dua aspek semantik bukti-teori dapat saling berkaitan, iaitu semantik bukti itu sendiri sering diberikan dari segi bukti.

Semantik bukti teori mempunyai beberapa akar, yang paling spesifik adalah pernyataan Gentzen bahawa peraturan pengenalan dalam kalkulus pemotongan semula jadi menentukan makna pemalar logik, sementara peraturan penghapusan dapat diperoleh sebagai akibat dari definisi ini (lihat bahagian 2.2. 1). Secara lebih luas, ini termasuk dalam apa yang disebut oleh Prawitz sebagai teori bukti umum (lihat bahagian 1.1). Lebih luas lagi, ini adalah sebahagian tradisi yang menurutnya makna istilah harus dijelaskan dengan merujuk kepada cara penggunaannya dalam bahasa kita.

Dalam falsafah, semantik teori-bukti kebanyakannya muncul di bawah tajuk "teori makna". Istilah ini mengikuti Dummett, yang menyatakan bahawa teori makna adalah dasar falsafah teoritis, suatu pandangan yang dikaitkan dengan Frege. Istilah "semantik bukti-teori" diusulkan oleh Schroeder-Heister (1991; sudah digunakan pada tahun 1987 kuliah di Stockholm) agar tidak meninggalkan istilah "semantik" kepada denotasionalisme saja - bagaimanapun, "semantik" adalah istilah standar untuk penyiasatan berkaitan dengan makna ungkapan linguistik. Lebih jauh lagi, tidak seperti "teori makna", istilah "bukti-teori semantik" merangkumi aspek falsafah dan teknikal. Pada tahun 1999, persidangan pertama dengan tajuk ini berlangsung di Tübingen, yang kedua pada tahun 2013. Buku teks pertama dengan tajuk ini muncul pada tahun 2015.

  • 1. Latar belakang

    • 1.1 Teori bukti umum: konsekuensi berbanding bukti
    • 1.2 Inferensialisme, intuisi, anti-realisme
    • 1.3 Teori bukti gaya Gentzen: Pengurangan, normalisasi, penghapusan potongan
  • 2. Beberapa versi semantik bukti-teori

    • 2.1 Semantik implikasi: Kebolehterimaan, kebolehtukaran, peraturan

      • 2.1.1 Logik operasi
      • 2.1.2 Semantik Gentzen
      • 2.1.3 Pemotongan semula jadi dengan peraturan peringkat lebih tinggi
    • 2.2 Semantik derivasi berdasarkan peraturan pengenalan

      • 2.2.1 Prinsip dan harmoni penyongsangan
      • 2.2.2 Kesahan teori-bukti
      • 2.2.3 Teori jenis konstruktif
    • 2.3 Definisi klausa dan penaakulan definisi

      • 2.3.1 Cabaran dari pengaturcaraan logik
      • 2.3.2 Refleksi definisi
    • 2.4 Pencirian struktur pemalar logik
    • 2.5 Teori bukti kategorial
  • 3. Sambungan dan alternatif untuk semantik teori-bukti standard

    • 3.1 Peraturan penghapusan sebagai asas
    • 3.2 Negasi dan penolakan
    • 3.3 Harmoni dan pantulan dalam kalkulus turutan
    • 3.4 Struktur subatom dan bahasa semula jadi
    • 3.5 Logik klasik
    • 3.6 Penaakulan hipotesis
    • 3.7 Semantik bukti teori-intensional
  • 4. Kesimpulan dan pandangan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

Entri ini juga merangkumi dokumen tambahan berikut yang dihubungkan ke dalam teks:

  • Contoh Kesahan Teori-Bukti
  • Refleksi Definisi dan Paradoks

1. Latar belakang

1.1 Teori bukti umum: konsekuensi berbanding bukti

Istilah "teori bukti umum" diciptakan oleh Prawitz. Secara umum teori bukti, "bukti dikaji sendiri dengan harapan dapat memahami sifatnya", bertentangan dengan "teori bukti reduktif" gaya Hilbert, yang merupakan "percubaan untuk menganalisis bukti teori matematik dengan tujuan mengurangkannya ke bahagian matematik yang lebih asas seperti matematik finis atau konstruktif”(Prawitz, 1972, hlm. 123). Dengan cara yang serupa, Kreisel (1971) meminta orientasi semula teori bukti. Dia ingin menjelaskan "karya terbaru dalam teori bukti dari sudut pandang yang diabaikan. Bukti dan perwakilannya dengan penggabungan formal dianggap sebagai objek utama kajian, bukan hanya alat untuk menganalisis hubungan konsekuensi. " (Kreisel, 1971, hlm.109) Walaupun Kreisel memfokuskan pada dikotomi antara teori pembuktian dan teori kebolehpercayaan, Prawitz menumpukan perhatian pada tujuan berbeza yang dapat dicapai oleh teori bukti. Walau bagaimanapun, kedua-duanya menekankan perlunya mempelajari bukti sebagai entiti asas dengan mana kita memperoleh pengetahuan demonstratif (terutamanya matematik). Ini bermaksud secara khusus bahawa bukti adalah entiti epistemik yang tidak boleh disatukan dengan bukti atau turunan formal. Mereka agak apa yang diturunkan oleh derivasi ketika dianggap sebagai representasi hujah. (Namun, berikut ini kita sering menggunakan "bukti" secara sinonim dengan "derivasi", menyerahkannya kepada pembaca untuk menentukan apakah bukti atau bukti formal sebagai entiti epistemik dimaksudkan.) Dalam membincangkan tinjauan Prawitz (1971), Kreisel (1971, p..111) secara eksplisit berbicara mengenai "pemetaan" antara turunan dan tindakan mental dan menganggapnya sebagai tugas teori bukti untuk menjelaskan pemetaan ini, termasuk penyiasatan identiti bukti, topik yang Prawitz dan Martin-Löf telah letakkan dalam agenda.

Ini bermaksud bahawa dalam teori bukti umum kita tidak berminat sama ada B mengikuti dari A, tetapi dengan cara yang mana kita sampai di B bermula dari A. Dalam pengertian ini teori bukti umum bersifat intensional dan epistemologis, sedangkan teori model, yang berminat dalam hubungan konsekuensi dan bukan dengan cara membuatnya, bersifat luas dan metafizik.

1.2 Inferensialisme, intuisi, anti-realisme

Semantik bukti-teori sememangnya tidak dapat disimpulkan, kerana ini adalah aktiviti inferensi yang menampakkan dirinya dalam bukti. Oleh itu, ini termasuk dalam inferensialisme (lihat Brandom, 2000) yang mana kesimpulan dan aturan inferensi menetapkan makna ungkapan, bertentangan dengan denotasionalisme, yang mana denotasi adalah jenis makna yang utama. Inferensialisme dan pandangan 'makna-seperti-penggunaan' tentang semantik adalah kerangka falsafah semantik bukti-teori. Perspektif falsafah dan semantik umum ini bergabung dengan pandangan konstruktif yang berasal dari falsafah matematik, terutama dalam intuisiisme matematik. Sebilangan besar bentuk semantik bukti-teori bersifat intuisi dalam semangat,yang bermaksud secara khusus bahawa prinsip-prinsip logik klasik seperti hukum pertengahan yang dikecualikan atau undang-undang penolakan berganda ditolak atau sekurang-kurangnya dianggap bermasalah. Ini sebahagiannya disebabkan oleh fakta bahawa alat utama semantik bukti-teori, kalkulus pemotongan semula jadi, cenderung kepada logik intuisi, dalam arti bahawa perumusan langsung peraturan penghapusannya adalah intuisi. Terdapat logik klasik hanya tersedia melalui beberapa kaedah bukti tidak langsung, yang, paling tidak sampai tahap tertentu, merosakkan simetri prinsip penaakulan (lihat bahagian 3.5). Sekiranya seseorang menggunakan sudut pandang pemotongan semula jadi, maka logik intuisi adalah sistem logik semula jadi. Juga tafsiran BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov) mengenai tanda-tanda logik memainkan peranan penting. Tafsiran ini bukan pendekatan unik untuk semantik, tetapi merangkumi pelbagai idea yang sering lebih tidak formal daripada yang dijelaskan secara formal. Yang sangat penting adalah pandangan fungsinya mengenai implikasi, yang mana bukti A → B adalah fungsi konstruktif yang, apabila diterapkan pada bukti A menghasilkan bukti B. Perspektif fungsional ini mendasari banyak konsep semantik teori-teori, khususnya yang berkaitan dengan Lorenzen, Prawitz dan Martin Löf (lihat bahagian 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Perspektif fungsional ini mendasari banyak konsep semantik teori-teori, khususnya yang berkaitan dengan Lorenzen, Prawitz dan Martin Löf (lihat bahagian 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Perspektif fungsional ini mendasari banyak konsep semantik teori-teori, khususnya yang berkaitan dengan Lorenzen, Prawitz dan Martin Löf (lihat bahagian 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3).

Menurut Dummett, kedudukan logik intuisiisme sesuai dengan kedudukan falsafah anti-realisme. Pandangan realistik mengenai realiti bebas pengiktirafan adalah rakan metafizik pandangan bahawa semua ayat sama ada benar atau salah, tidak bergantung kepada cara kita mengenalinya. Mengikuti Dummett, bahagian utama semantik bukti-teori dikaitkan dengan anti-realisme.

1.3 Teori bukti gaya Gentzen: Pengurangan, normalisasi, penghapusan potongan

Kalkulus Gentzen mengenai pengurangan semula jadi dan hasilnya oleh Prawitz adalah latar belakang kebanyakan pendekatan untuk semantik bukti-teori. Pemotongan semula jadi berdasarkan sekurang-kurangnya tiga idea utama:

  • Pelepasan asumsi: Andaian dapat "dibebaskan" atau "dihapuskan" dalam proses derivasi, jadi gagasan utama pemotongan semula jadi adalah dari derivasi bergantung pada andaian.
  • Pemisahan: Setiap skema peraturan primitif hanya mengandungi satu pemalar logik.
  • Pengenalan dan penghapusan: Peraturan untuk pemalar logik berpasangan. Peraturan pengenalan membolehkan seseorang menyimpulkan formula dengan konstanta yang dipersoalkan sebagai pengendali utamanya, peraturan penghapusan membenarkan kesimpulan dari formula tersebut.

Dalam sistem pemotongan semula jadi Gentzen untuk derivasi logik orde pertama ditulis dalam bentuk pokok dan berdasarkan peraturan yang terkenal. Sebagai contoh, implikasi mempunyai peraturan pengenalan dan penghapusan berikut

[A]
B → Saya
A → B
A → BA → E
B

di mana tanda kurung menunjukkan kemungkinan untuk melepaskan kejadian anggapan A. Andaian terbuka derivasi adalah andaian yang bergantung pada formula akhir. Derivasi disebut tertutup, jika tidak mempunyai asumsi terbuka, jika tidak, ia disebut terbuka. Sekiranya kita berurusan dengan pengukur, kita harus mempertimbangkan pemboleh ubah individu terbuka (kadang-kadang disebut "parameter") juga. Ciri-ciri logam yang penting untuk semantik bukti-teori dan buat pertama kalinya disiasat secara sistematik dan diterbitkan oleh Prawitz (1965) merangkumi:

Pengurangan: Untuk setiap jalan memutar yang terdiri dari pengenalan yang segera diikuti dengan penghapusan, ada langkah pengurangan yang menghilangkan jalan memutar ini.

Normalisasi: Dengan penerapan pengurangan berturut-turut, derivasi dapat diubah menjadi bentuk normal yang tidak mengandung jalan memutar.

Sebagai implikasi, langkah pengurangan standard membuang jalan memutar adalah seperti berikut:

[A]
B |
A → B A
B
mengurangkan kepada

|

A

B

Akibat normalisasi yang sederhana, tetapi sangat penting adalah yang berikut: Setiap derivasi tertutup dalam logik intuisi dapat diturunkan menjadi derivasi menggunakan aturan pengenalan pada langkah terakhir. Kami juga mengatakan bahawa pemotongan semula jadi intuisiistik memenuhi "harta bentuk pengenalan". Dalam semantik bukti-teoretik, hasil ini dinyatakan dengan jelas di bawah tajuk "asumsi asas" (Dummett, 1991, hal. 254). "Asumsi asas" adalah contoh khas penafsiran semula falsafah mengenai hasil teoritis bukti teknikal.

Bacaan lanjut:

Untuk orientasi umum semantik bukti-teori edisi khas Synthese (Kahle dan Schroeder-Heister, 2006) pembaca yang disunting oleh Piecha dan Schroeder-Heister (2016b), buku teks oleh Francez (2015), Schroeder-Heister (2008b, 2008). 2016a), dan Wansing (2000).

Untuk kedudukan falsafah dan pengembangan teori bukti, entri dalam program Hilbert dan pengembangan teori bukti serta Prawitz (1971).

Untuk intuisiisme, entri mengenai logik intuisi, intuisi dalam falsafah matematik dan pengembangan logik intuisi.

Untuk anti-realisme, entri mengenai cabaran realisme metafizik dan juga Tennant (1987); Tennant (1997), Tranchini (2010); Tranchini (2012a).

Untuk teori bukti gaya Gentzen dan teori pemotongan semula jadi: selain persembahan asal Gentzen (1934/35), teori andaian Jaśkowski (1934) dan monograf klasik Prawitz (1965), Tennant (1978), Troelstra dan Schwichtenberg (2000), dan Negri dan von Plato (2001).

2. Beberapa versi semantik bukti-teori

2.1 Semantik implikasi: Kebolehterimaan, kebolehtukaran, peraturan

Semantik implikasi terletak di tengah-tengah semantik bukti-teori. Berbeza dengan semantik keadaan kebenaran klasik, implikasi adalah pemalar logik dengan sendirinya. Ia juga mempunyai ciri khas bahawa ia terikat dengan konsep konsekuensi. Ia dapat dilihat sebagai menyatakan konsekuensi pada tahap sentensial kerana modus ponens dan apa yang disebut dalam sistem gaya Hilbert disebut teorema pemotongan, iaitu kesetaraan Γ, A ⊢ B dan Γ ⊢ A → B.

Pemahaman yang sangat semula jadi mengenai implikasi A → B membacanya sebagai menyatakan peraturan inferensi yang membolehkan seseorang melewati dari A ke B. Melesenkan langkah dari A ke B berdasarkan A → B adalah tepat, apa yang dikatakan modus ponens. Dan teorema pemotongan dapat dilihat sebagai cara menetapkan peraturan: Setelah menunjukkan bahawa B dapat disimpulkan dari A membenarkan peraturan bahawa dari A kita dapat menyebarkan ke B. Semantik implikasi berdasarkan peraturan berdasarkan garis panduan ini mendasari beberapa konsep semantik bukti-teori, terutamanya yang oleh Lorenzen, von Kutschera dan Schroeder-Heister.

2.1.1 Logik operasi

Lorenzen, dalam Pengantarnya ke Logika Operasi dan Matematik (1955) bermula dengan kalik bebas logik (atom), yang sesuai dengan sistem pengeluaran atau tatabahasa. Dia menyebut peraturan yang dapat diterima dalam sistem seperti itu jika dapat ditambahkan ke dalamnya tanpa memperbesar set atom terbitannya. Anak panah implikasi → ditafsirkan sebagai menyatakan kebolehterimaan. Implikasi A → B dianggap sah, jika, jika dibaca sebagai peraturan, itu dapat diterima (berkenaan dengan kalkulus yang mendasari). Untuk implikasi berulang (= peraturan) Lorenzen mengembangkan teori penyataan penerimaan tahap lebih tinggi. Pernyataan tertentu seperti A → A atau ((A → B), (B → C)) → (A → C) tidak bergantung pada kalkulus yang mendasari. Mereka disebut diterima secara universal ["allgemeinzulässig"]), dan merupakan sistem logik implikasi positif. Dengan cara yang berkaitan,undang-undang untuk kuantifikasi universal ∀ dibenarkan menggunakan pernyataan kebolehterimaan untuk peraturan dengan pemboleh ubah skematik.

Untuk membenarkan undang-undang bagi pemalar logik ∧, ∨, ∃ dan ⊥, Lorenzen menggunakan prinsip inversi (istilah yang diciptakannya). Dalam bentuk yang sangat sederhana, tanpa mengambil kira pemboleh ubah dalam peraturan, prinsip inversi mengatakan bahawa segala sesuatu yang dapat diperoleh dari setiap keadaan yang menentukan A dapat diperoleh dari A itu sendiri. Sebagai contoh, sekiranya berlaku gangguan, biarkan masing-masing A dan B menjadi keadaan yang menentukan A ∨ B seperti yang dinyatakan oleh peraturan primitif A → A ∨ B dan B → A ∨ B. Kemudian prinsip penyongsangan mengatakan bahawa A ∨ B → C boleh diterima dengan andaian A → C dan B → C, yang membenarkan peraturan penghapusan untuk disjungsi. Baki penghubung ditangani dengan cara yang serupa. Dalam kes ⊥, peraturan absurdity ⊥ → A diperoleh dari fakta bahawa tidak ada syarat yang menentukan untuk ⊥.

2.1.2 Semantik Gentzen

Dalam apa yang disebutnya sebagai "semantik Gentzen", von Kutschera (1968) memberikan, sebagai Lorenzen, sebuah semantik pernyataan seperti implikasi yang kompleks secara logik A 1,…, A n → B berkenaan dengan kalkuli K yang mengatur penaakulan dengan kalimat atom. Perbezaan mendasar bagi Lorenzen adalah kenyataan bahawa A 1,…, A n → B sekarang menyatakan kebolehdayaan daripada pernyataan kebolehterimaan.

Untuk mengubahnya menjadi semantik pemalar logik proporsional logik, von Kutschera berpendapat seperti berikut: Ketika melepaskan bivalen, kita tidak lagi dapat menggunakan penugasan nilai kebenaran klasik untuk formula atom. Sebagai gantinya kita boleh menggunakan calculi yang membuktikan atau membantah ayat atom. Lebih-lebih lagi, kerana perhitungan tidak hanya menghasilkan bukti atau sanggahan tetapi hubungan derivatif sewenang-wenangnya, ideanya adalah untuk memulakan secara langsung dengan kebolehterbitan dalam sistem atom dan memperluasnya dengan peraturan yang menjadi ciri penghubung logik. Untuk itu von Kutschera memberikan kalkulus berurutan dengan peraturan untuk pengenalan penghubung proposisi n -ary dalam succedent dan antecedent, menghasilkan sistem urutan untuk penghubung cadangan umum. Von Kutschera kemudian menunjukkan bahawa penghubung umum yang didefinisikan semuanya dapat dinyatakan oleh penghubung standard logik intuisi (konjungsi, gangguan, implikasi, tidak masuk akal).

2.1.3 Pemotongan semula jadi dengan peraturan peringkat lebih tinggi

Dalam program mengembangkan skema umum untuk peraturan untuk pemalar logik sewenang-wenangnya, Schroeder-Heister (1984) mengusulkan agar formula yang rumit secara logik harus menyatakan isi atau kandungan umum dari sistem peraturan. Ini bermaksud bahawa bukan peraturan pengenalan dianggap asas tetapi akibat menentukan syarat. Aturan R adalah formula A atau mempunyai bentuk R 1,…, R n ⇒ A, di mana R 1,…, R nadalah peraturan sendiri. Apa yang disebut "aturan tingkat tinggi" ini menggeneralisasikan gagasan bahawa peraturan dapat melepaskan anggapan jika asumsi ini dapat menjadi peraturan. Untuk pemalar logik standard ini bermaksud A ∧ B menyatakan kandungan pasangan (A, B); A → B menyatakan kandungan peraturan A ⇒ B; A ∨ B menyatakan kandungan umum A dan B; dan absurdity ⊥ menyatakan kandungan umum dari sistem peraturan keluarga kosong. Dalam kes penghubung proporsional n -ary yang sewenang-wenang ini membawa kepada sistem pemotongan semula jadi dengan peraturan pengenalan dan penghapusan secara umum. Perhubungan umum ini terbukti dapat ditentukan dari segi piawai, yang membuktikan kelengkapan ekspresif penyambung intuisiistik standard.

Bacaan lanjut:

Untuk pendekatan Lorenzen berkaitan dengan semantik teori-teori Prawitz-gaya: Schroeder-Heister (2008a). Untuk peluasan kelengkapan ekspresif dalam gaya von Kutschera: Wansing (1993a).

2.2 Semantik derivasi berdasarkan peraturan pengenalan

2.2.1 Prinsip dan harmoni penyongsangan

Dalam Penyiasatannya ke dalam Pemotongan Logikal, Gentzen membuat beberapa, yang sekarang sering dikutip, ucapan terprogram mengenai hubungan semantik antara pengenalan dan penghapusan kesimpulan dalam pemotongan semula jadi.

Pendahuluan mewakili, sebagaimana adanya, 'definisi' dari simbol yang bersangkutan, dan penghapusan tidak lebih, dalam analisis akhir, daripada akibat dari definisi ini. Fakta ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Dalam menghilangkan simbol, kita dapat menggunakan formula dengan simbol terminal yang kita hadapi hanya 'dalam arti yang diberikan oleh pengenalan simbol itu'. (Gentzen, 1934/35, hlm. 80)

Ini tidak bermaksud, tentu saja, bahawa peraturan penghapusan dapat dikeluarkan dari peraturan pengenalan dalam arti harfiah kata; sebenarnya, mereka tidak. Ini hanya bermaksud bahawa mereka boleh dibenarkan oleh mereka dalam beberapa cara.

Dengan menjadikan idea-idea ini lebih tepat, mustahil untuk menampilkan E-inferensi sebagai fungsi unik dari kesimpulan-I yang sesuai, berdasarkan keperluan tertentu. (ibid., hlm. 81)

Oleh itu, idea yang mendasari program Gentzen adalah bahawa kita mempunyai "definisi" dalam bentuk aturan pengenalan dan semacam penaakulan semantik yang, dengan menggunakan "syarat tertentu", mengesahkan peraturan penghapusan.

Dengan mengadopsi istilah Lorenzen dan menyesuaikan ideanya dengan konteks pemotongan semula jadi, Prawitz (1965) merumuskan "prinsip inversi" untuk membuat pernyataan Gentzen lebih tepat:

Biarkan α menjadi penerapan peraturan penghapusan yang mempunyai B sebagai akibatnya. Kemudian, pemotongan yang memenuhi syarat yang mencukupi […] untuk memperoleh premis utama α, apabila digabungkan dengan pemotongan premis kecil α (jika ada), sudah "mengandung" potongan B; pemotongan B dapat diperoleh secara langsung dari potongan yang diberikan tanpa penambahan α. (ms 33)

Di sini syarat yang mencukupi diberikan oleh premis peraturan pengenalan yang sesuai. Oleh itu, prinsip inversi mengatakan bahawa turunan dari kesimpulan peraturan penghapusan dapat diperoleh tanpa penerapan aturan penghapusan jika premis utamanya telah diturunkan menggunakan aturan pengenalan pada langkah terakhir, yang bermaksud bahawa kombinasi

Saya-inferens
A
{D i } E-inferens
B

langkah, di mana {D i } bermaksud singkatan (mungkin kosong) senarai pemotongan premis kecil, dapat dielakkan.

Hubungan antara peraturan pengenalan dan penghapusan sering digambarkan sebagai "harmoni", atau seperti yang diatur oleh "prinsip keharmonian" (lihat, misalnya Tennant, 1978, hlm. 74). Istilah ini tidak seragam dan kadangkala tidak jelas sepenuhnya. Ini pada dasarnya menyatakan apa yang juga dimaksudkan dengan "inversi". Walaupun "harmoni" adalah istilah yang menunjukkan hubungan simetri, ia sering dipahami sebagai menyatakan konsepsi berdasarkan peraturan pengenalan seperti, misalnya, dalam Read's (2010) "harmoni penghapusan umum" (walaupun kadang-kadang seseorang merangkumi konsepsi berdasarkan penghapusan juga). Kadang-kadang keharmonian seharusnya bermaksud bahawa penghubung adalah yang terkuat atau paling lemah dalam pengertian tertentu memandangkan pengenalan atau peraturan penghapusannya. Idea ini mendasari prinsip keharmonian Tennant (1978),dan juga ciri struktur Popper dan Koslow (lihat bahagian 2.4). Hubungan khusus antara peraturan pengenalan dan penghapusan seperti yang dirumuskan dalam prinsip inversi tidak termasuk definisi inferensi yang diduga seperti kata penghubung, yang menggabungkan peraturan pengenalan untuk disjungsi dengan aturan penghapusan untuk hubungan, dan yang telah menimbulkan perdebatan yang masih berlangsung pada format definisi inferensi (lihat Humberstone, 2010).dan yang telah menimbulkan perdebatan yang masih berterusan mengenai format definisi inferensi (lihat Humberstone, 2010).dan yang telah menimbulkan perdebatan yang masih berterusan mengenai format definisi inferensi (lihat Humberstone, 2010).

2.2.2 Kesahan teori-bukti

Kesahan teori-bukti adalah pendekatan mendominasi semantik bukti-teori. Sebagai konsep teknikal, ia dikembangkan oleh Prawitz (1971; 1973; 1974), dengan mengubah gagasan kesahan teori-bukti berdasarkan idea oleh Tait (1967) dan pada asalnya digunakan untuk membuktikan normalisasi yang kuat, menjadi konsep semantik. Dummett memberikan banyak falsafah yang menyokong gagasan ini (lihat Dummett, 1991). Objek yang terutama valid adalah bukti sebagai representasi hujah. Dalam pengertian sekunder, peraturan tunggal boleh menjadi sah jika mereka membawa dari bukti yang sah menjadi bukti yang sah. Dalam pengertian ini, kesahan adalah global dan bukannya tanggapan tempatan. Ini berlaku untuk derivasi sewenang-wenang atas sistem atom tertentu, yang menentukan kebolehtukaran untuk atom. Menyebut bukti yang menggunakan peraturan pengenalan pada langkah terakhir kanonik, ia berdasarkan tiga idea berikut:

  1. Keutamaan bukti kanonik tertutup.
  2. Pengurangan bukti bukan kanonik tertutup kepada bukti kanonik.
  3. Pandangan pengganti bukti terbuka.

Iklan 1: Definisi kesahan adalah berdasarkan idea Gentzen bahawa peraturan pengenalan adalah 'membenarkan diri' dan memberi makna pemalar logik. Ciri membenarkan diri ini hanya digunakan untuk bukti tertutup, yang dianggap utama berbanding yang terbuka.

Iklan 2: Bukti bukan kanonik dibenarkan dengan mengurangkannya menjadi bukti kanonik. Oleh itu, prosedur pengurangan (pengurangan jalan memutar) seperti yang digunakan dalam bukti normalisasi memainkan peranan penting. Oleh kerana mereka membenarkan hujah, mereka juga disebut "justifikasi" oleh Prawitz. Definisi ini sekali lagi hanya berlaku untuk bukti tertutup, yang sesuai dengan harta pengenalan terbitan normal tertutup dalam pemotongan semula jadi (lihat bahagian 1.3).

Iklan 3: Bukti terbuka dibenarkan dengan mempertimbangkan keadaan tertutupnya. Contoh tertutup ini diperoleh dengan menggantikan andaian terbuka mereka dengan bukti tertutup, dan pemboleh ubah terbuka mereka dengan istilah tertutup. Sebagai contoh, bukti B dari A dianggap sah, jika setiap bukti tertutup, yang diperoleh dengan menggantikan asumsi terbuka A dengan bukti tertutup A, adalah sah. Dengan cara ini, andaian terbuka dianggap sebagai penempatan bagi bukti tertutup, dengan alasan yang mana kita mungkin bercakap mengenai penafsiran pengganti bukti terbuka.

Ini menghasilkan definisi kesahan teori-bukti berikut:

  1. Setiap bukti tertutup dalam sistem atom yang ada adalah sah.
  2. Bukti kanonik tertutup dianggap sah, jika sub-bukti langsungnya sah.
  3. Bukti bukan kanonis tertutup dianggap sah, jika ia menjadi bukti kanonik tertutup yang sah atau bukti tertutup dalam sistem atom.
  4. Bukti terbuka dianggap sah, jika setiap bukti tertutup yang diperoleh dengan menggantikan andaian terbuka dengan bukti tertutup dan pemboleh ubah terbuka dengan syarat tertutup adalah sah.

Secara formal, definisi ini harus dikaitkan kembali dengan sistem atom yang dipertimbangkan, dan dengan set justifikasi (pengurangan bukti) yang dipertimbangkan. Selanjutnya, bukti di sini difahami sebagai calon bukti yang sah, yang bermaksud bahawa peraturan dari mana mereka disusun tidak tetap. Mereka kelihatan seperti pokok bukti, tetapi langkah masing-masing dapat mempunyai sejumlah premis yang sewenang-wenang (terbatas) dan dapat menghilangkan andaian sewenang-wenangnya. Definisi kesahan menunjukkan struktur bukti yang merupakan bukti 'nyata' berdasarkan prosedur pengurangan yang diberikan.

Kesahan sehubungan dengan setiap pilihan sistem atom dapat dilihat sebagai konsep umum mengenai kesahan logik. Sebenarnya, jika kita mempertimbangkan pengurangan standard logik intuisi, maka semua turunan dalam logik intuisi akan berlaku bebas dari sistem atom yang dipertimbangkan. Ini adalah kebenaran semantik. Kami mungkin bertanya adakah sebaliknya berlaku, sama ada, memandangkan derivasi berlaku untuk setiap sistem atom, terdapat derivasi yang sesuai dalam logik intuisi. Logik intuisi yang lengkap dalam pengertian ini dikenali sebagai dugaan Prawitz (lihat Prawitz, 1973; Prawitz, 2013). Namun, belum ada bukti yang memuaskan. Terdapat keraguan yang cukup besar mengenai kesahan dugaan ini untuk sistem yang melampaui logik implikasi. Bagaimanapun, ia akan bergantung pada formulasi yang tepat mengenai pengertian kesahihan, khususnya pada pengendalian sistem atomnya.

Untuk definisi yang lebih formal dan contoh terperinci yang menunjukkan kesahan, serta beberapa komen mengenai dugaan Prawitz lihat

Tambahan pada Contoh kesahan teori-bukti.

2.2.3 Teori jenis konstruktif

Teori jenis Martin-Löf (Martin-Löf, 1984) adalah pendekatan utama dalam logik dan matematik yang membina. Secara filosofis, ia berkongsi dengan Prawitz tiga asumsi asas semantik teori-bukti standard, yang disebutkan dalam bahagian 2.2.2: keutamaan bukti kanonik tertutup, pengurangan bukti bukan kanonik tertutup kepada bukti kanonik dan pandangan pengganti bukti terbuka. Walau bagaimanapun, teori jenis Martin-Löf mempunyai sekurang-kurangnya dua ciri khas yang melampaui pendekatan lain dalam semantik bukti-teori:

  1. Pertimbangan objek bukti dan perbezaan yang sesuai antara bukti-sebagai-objek dan bukti-sebagai-demonstrasi.
  2. Pandangan peraturan pembentukan sebagai hakiki sistem pembuktian dan bukan sebagai peraturan luaran.

Idea pertama kembali ke korespondensi Curry-Howard (lihat de Groote, 1995; Sørensen dan Urzyczyn, 2006), yang mana fakta bahawa formula A mempunyai bukti tertentu dapat dikodifikasikan sebagai fakta bahawa istilah tertentu t adalah jenis A, di mana formula A dikenal pasti dengan jenis A. Ini dapat diformalkan dalam kalkulus untuk penugasan jenis, yang penyataannya berupa t: A. Bukti t: A dalam sistem ini dapat dibaca sebagai menunjukkan bahawa t adalah bukti A. Martin-Löf (1995; 1998) telah meletakkan ini ke dalam perspektif falsafah dengan membezakan rasa bukti dua kali ini dengan cara berikut. Mula-mula kita mempunyai bukti penyataan bentuk t: A. Pernyataan ini disebut penilaian, bukti mereka disebut demonstrasi. Dalam pertimbangan sedemikian, istilah t mewakili bukti dalil A. Bukti dalam pengertian yang terakhir juga disebut sebagai objek bukti. Semasa menunjukkan pertimbangan t: A, kita menunjukkan bahawa t adalah bukti (objek) untuk proposisi A. Dalam sistem dua lapisan ini lapisan demonstrasi adalah lapisan hujah. Tidak seperti objek bukti, demonstrasi mempunyai kepentingan epistemik; penilaian mereka membawa daya asertorik. Lapisan bukti adalah lapisan di mana makna dijelaskan: Maksud proposisi A dijelaskan dengan memberitahu apa yang dikira sebagai bukti (objek) untuk A. Perbezaan yang dibuat antara bukti kanonik dan bukan kanonik adalah perbezaan pada proposisi dan bukan pada lapisan penilaian. Ini menyiratkan keperluan keterangan tertentu. Apabila saya telah membuktikan sesuatu, saya bukan sahaja mesti mempunyai bukti untuk membuktikan bukti saya seperti yang dinyatakan dalam konsep kesahihan Prawitz,tetapi pada masa yang sama harus yakin bahawa pembenaran ini memenuhi tujuannya. Kepastian ini dijamin oleh demonstrasi. Secara matematik, bukti bukti dua kali ini mengembangkan kekuatan sebenarnya hanya apabila jenis bergantung pada istilah. Jenis bergantung adalah ramuan asas teori jenis Martin-Löf dan pendekatan yang berkaitan.

Idea kedua menjadikan pendekatan Martin-Löf sangat berbeza dari semua definisi kesahan teori-bukti yang lain. Perbezaan penting, misalnya, untuk prosedur Prawitz adalah bahawa ia tidak bersifat metalinguistik, di mana "metalinguistik" bermaksud bahawa cadangan dan calon bukti ditentukan terlebih dahulu dan kemudian, melalui definisi dalam bahasa logam, ia ditentukan yang mana semuanya sah dan mana tidak. Sebaliknya, proposisi dan bukti hanya dapat dimainkan dalam konteks demonstrasi. Sebagai contoh, jika kita menganggap bahawa sesuatu adalah bukti implikasi A → B, kita tidak semestinya menunjukkan bahawa kedua-dua A dan B adalah proposisi yang dibentuk dengan baik, tetapi, selain mengetahui bahawa A adalah proposisi, kita hanya perlu untuk mengetahui bahawa B adalah dalil dengan syarat bahawa A telah dibuktikan. Menjadi proposisi dinyatakan oleh bentuk penilaian tertentu, yang dibuat dalam sistem demonstrasi yang sama yang digunakan untuk membuktikan bahawa bukti proposisi telah dicapai.

Dalam teori Martin-Löf, semantik bukti-teori menerima komponen ontologi yang kuat. Perbahasan baru-baru ini berkaitan dengan persoalan sama ada objek bukti mempunyai status ontologi semata-mata atau sama ada mereka mengkodifikasi pengetahuan, walaupun mereka bukan tindakan epistemik itu sendiri.

Bacaan lanjut:

Untuk prinsip penyongsangan lihat Schroeder-Heister (2007).

Untuk varian harmoni bukti-teori, lihat Francez (2015) dan Schroeder-Heister (2016a). Untuk definisi Prawitz mengenai kesahan teori-bukti lihat Schroeder-Heister (2006).

Untuk teori jenis Matin-Löf, lihat entri mengenai teori jenis dan juga Sommaruga (2000).

2.3 Definisi klausa dan penaakulan definisi

Semantik bukti-teori biasanya menumpukan pada pemalar logik. Fokus ini secara praktikal tidak pernah dipersoalkan, nampaknya kerana dianggap sangat jelas. Dalam teori bukti, sedikit perhatian diberikan kepada sistem atom, walaupun ada karya awal Lorenzen (lihat bahagian 2.1.1), di mana justifikasi peraturan logik tertanam dalam teori peraturan sewenang-wenang, dan Martin-Löf's (1971) teori definisi induktif berulang di mana peraturan pengenalan dan penghapusan untuk formula atom dicadangkan. Kebangkitan pengaturcaraan logik telah meluaskan perspektif ini. Dari sudut teori-bukti, pengaturcaraan logik adalah teori penaakulan atom berkenaan dengan definisi atom klausa. Refleksi definisi adalah pendekatan untuk semantik bukti-teori yang menyahut cabaran ini dan berusaha membina teori yang jangkauan penerapannya melampaui pemalar logik.

2.3.1 Cabaran dari pengaturcaraan logik

Dalam pengaturcaraan logik kita berurusan dengan klausa program bentuk

A ⇐ B 1,…, B m

yang menentukan formula atom. Klausa semacam itu secara semula jadi dapat ditafsirkan sebagai menerangkan peraturan pengenalan bagi atom. Dari sudut pandang semantik bukti-teori, dua perkara berikut adalah mustahak:

(1) Peraturan pengenalan (klausa) untuk formula kompaun secara logik tidak dibezakan pada prinsipnya dari peraturan pengenalan (klausa) untuk atom. Mentafsir bukti pengaturcaraan logik-secara teori mendorong pengembangan semantik bukti-teori ke atom sewenang-wenang, yang menghasilkan semantik dengan bidang aplikasi yang jauh lebih luas.

(2) Klausa program tidak semestinya berasas. Contohnya, kepala klausa boleh berlaku di badannya. Program yang diasaskan hanyalah jenis program tertentu. Penggunaan klausa sewenang-wenang tanpa syarat lebih lanjut dalam pengaturcaraan logik adalah motivasi untuk mengejar idea yang sama dalam semantik bukti-teori, mengakui apa-apa jenis peraturan pengenalan dan bukan hanya yang berbentuk khas, dan khususnya tidak semestinya yang sesuai -kejutan. Ini membawa idea kebebasan definisi, yang merupakan landasan pengaturcaraan logik, hingga ke semantik, sekali lagi memperluas bidang penerapan semantik bukti-teori.

Idea untuk mempertimbangkan peraturan pengenalan sebagai aturan pemberian makna bagi atom sangat berkaitan dengan teori definisi induktif dalam bentuk umum, yang mana definisi induktif adalah sistem peraturan (lihat Aczel, 1977).

2.3.2 Refleksi definisi

Teori refleksi definisi (Hallnäs, 1991; Hallnäs, 2006; Hallnäs dan Schroeder-Heister, 1990/91; Schroeder-Heister, 1993) mengambil cabaran dari pengaturcaraan logik dan memberikan semantik bukti-teori bukan hanya untuk pemalar logik tetapi untuk ungkapan sewenang-wenang, yang mana definisi klausa dapat diberikan. Secara formal, pendekatan ini dimulakan dengan senarai klausa yang merupakan definisi yang dipertimbangkan. Setiap klausa mempunyai bentuk

A ⇐ Δ

di mana kepala A adalah formula atom (atom). Dalam kes yang paling sederhana, badan Δ adalah senarai atom B 1,…, B m, dalam hal ini definisi kelihatan seperti program logik yang pasti. Kami sering mempertimbangkan kes yang berlanjutan di mana Δ mungkin juga mengandungi beberapa implikasi struktur '⇒', dan kadang-kadang bahkan beberapa implikasi universal struktur, yang pada dasarnya ditangani dengan menyekat penggantian. Sekiranya definisi A mempunyai bentuk

maka A mempunyai peraturan pengenalan dan penghapusan berikut

Δ 1 · · · Δ n A A

1] n]
A C · · · C
C

Peraturan pengenalan, juga disebut aturan penutupan definisi, menyatakan alasan 'sepanjang' klausa. Peraturan penghapusan disebut prinsip refleksi definisi, kerana ia mencerminkan definisi secara keseluruhan. Sekiranya Δ 1,…, Δ nhabiskan semua keadaan yang mungkin untuk menghasilkan A mengikut definisi yang diberikan, dan jika setiap syarat ini membawa kesimpulan yang sama C, maka A sendiri memerlukan kesimpulan ini. Sekiranya definisi klausa dilihat sebagai definisi induktif, prinsip ini dapat dilihat sebagai menyatakan klausa ekstrem dalam definisi induktif: Tidak ada yang lain selain klausa yang diberikan mendefinisikan A. Jelas, refleksi definisi adalah bentuk umum prinsip inversi yang dibincangkan. Ini mengembangkan kekuatan aslinya dalam konteks definisi dengan pemboleh ubah bebas yang melampaui pemikiran bernalar semata-mata, dan dalam konteks yang tidak berasas. Contoh definisi yang tidak berasas adalah definisi atom R dengan penolakannya sendiri:

D R {R | )
D R {R | )

Contoh ini dibincangkan secara terperinci di

Tambahan mengenai renungan dan paradoks Definisi

Bacaan lanjut:

Untuk kebajikan dan paradoks, lihat entri mengenai rujukan diri dan paradoks Russell, serta rujukan yang disebut dalam suplemen yang berkaitan dengan.

2.4 Pencirian struktur pemalar logik

Ada banyak bidang ide dan hasil mengenai apa yang disebut "karakterisasi struktur" pemalar logik, di mana "struktur" di sini dimaksudkan baik dalam arti bukti-teori "aturan struktur" dan dalam arti kerangka yang mempunyai struktur tertentu, di mana kerangka ini sekali lagi dijelaskan secara teoritis. Sebilangan pengarangnya menggunakan perbendaharaan kata semantik dan sekurang-kurangnya secara tersirat menunjukkan bahawa topik mereka tergolong dalam semantik bukti-teori. Yang lain secara terang-terangan menolak konotasi ini, dengan menekankan bahawa mereka berminat dengan pencirian yang menetapkan logika pemalar. Soalan "Apakah pemalar logik itu?" dapat dijawab dalam istilah bukti-teori, walaupun semantik pemalar itu sendiri bersyarat kebenaran:Yaitu dengan mensyaratkan bahawa pemalar (mungkin ditentukan dengan syarat-syarat kebenaran) menunjukkan tingkah laku inferensi tertentu yang dapat dijelaskan dalam istilah teori-bukti. Namun, kerana sebilangan pengarang menganggap pencirian mereka pada masa yang sama sebagai semantik, adalah wajar kita menyebutkan beberapa pendekatan ini di sini.

Strukturalis yang paling lantang berkaitan dengan pemalar logik, yang secara eksplisit memahami dirinya seperti itu, adalah Koslow. Dalam Teori Logika Strukturalisnya (1992) dia mengembangkan teori pemalar logik, di mana dia mencirikannya dengan "hubungan implikasi" tertentu, di mana hubungan implikasi kira-kira sesuai dengan hubungan konsekuensi yang terbatas dalam pengertian Tarski (yang sekali lagi dapat digambarkan oleh peraturan struktur tertentu dari sistem gaya urutan). Koslow mengembangkan teori struktur dalam pengertian metamathematical yang tepat, yang tidak menentukan domain objek dengan cara melampaui aksioma yang diberikan. Sekiranya bahasa atau domain objek lain yang dilengkapi dengan hubungan implikasi diberikan, pendekatan struktur dapat digunakan untuk memilih sebatian logik dengan memeriksa sifat implikasinya.

Dalam makalah awalnya mengenai asas-asas logik, Popper (1947a; 1947b) memberikan ciri inferensi pemalar logik dari segi teori-bukti. Dia menggunakan kalkulus urutan dan mencirikan pemalar logik oleh keadaan terbitan tertentu bagi jujukan tersebut. Peristilahannya jelas menunjukkan bahawa dia bermaksud semantik bukti teori konstanta logik, kerana dia berbicara tentang "definisi inferensial" dan "trivialisasi logik matematik" yang dicapai dengan mendefinisikan pemalar dengan cara yang dijelaskan. Walaupun persembahannya tidak bebas dari ketidaktepatan dan kesilapan konseptual, dia adalah yang pertama mempertimbangkan tingkah laku inferensi gaya urutan pemalar logik untuk mencirikannya. Ini lebih luar biasa kerana dia mungkin sama sekali tidak,dan pastinya tidak mengetahui sepenuhnya mengenai kalkulus berurutan Gentzen dan pencapaian selanjutnya Gentzen (walaupun dia berhubungan dengan Bernays). Namun, bertentangan dengan pendapatnya sendiri, karyanya lebih baik dapat dipahami sebagai usaha untuk menentukan logika pemalar dan mencirikannya secara struktural, daripada sebagai semantik bukti-teori dalam pengertian yang sebenarnya. Namun demikian, dia menjangkakan banyak idea yang sekarang umum dalam semantik teori-bukti, seperti pencirian pemalar logik dengan kaedah minimum atau minimum yang berkaitan dengan peraturan pengenalan atau penghapusan.daripada sebagai semantik bukti-teori dalam erti kata yang sebenarnya. Namun demikian, dia menjangkakan banyak idea yang sekarang umum dalam semantik teori-bukti, seperti pencirian pemalar logik dengan kaedah minimum atau minimum yang berkaitan dengan peraturan pengenalan atau penghapusan.daripada sebagai semantik bukti-teori dalam erti kata yang sebenarnya. Namun demikian, dia menjangkakan banyak idea yang sekarang umum dalam semantik teori-bukti, seperti pencirian pemalar logik dengan kaedah minimum atau minimum yang berkaitan dengan peraturan pengenalan atau penghapusan.

Sumbangan penting untuk perbahasan logik yang mencirikan pemalar logik secara tidak langsung dari segi peraturan kalkulus urutan adalah yang dilakukan oleh Kneale (1956) dan Hacking (1979). Penjelasan menyeluruh mengenai logika dicadangkan oleh Došen (1980; 1989) dalam teorinya mengenai pemalar logik sebagai "tanda baca", yang menyatakan ciri struktur pada tahap logik. Dia memahami pemalar logik yang dicirikan oleh peraturan garis dua tertentu untuk urutan yang dapat dibaca dalam kedua arah. Contohnya, konjungsi dan gangguan (dalam logik klasik, dengan succedents pelbagai formula) dicirikan oleh peraturan garis dua

Γ⊢ A, Δ Γ⊢ B, Δ
Γ⊢ A ∧ B, Δ
Γ, A ⊢ Δ Γ, B ⊢ Δ
Γ⊢ A ∨ B, Δ

Došen mampu memberikan ciri yang merangkumi sistem logik modal. Dia secara terang-terangan menganggap karyanya sebagai sumbangan untuk perbahasan logik dan bukan kepada konsepsi semantik bukti-teori. Sambin et al., Dalam Logik Asas mereka (Sambin, Battilotti, dan Faggian, 2000), secara eksplisit memahami apa yang disebut oleh Došen peraturan garis ganda sebagai makna asas memberi peraturan. Peraturan garis dua untuk konjungsi dan pemisah dibaca sebagai definisi tersirat bagi pemalar ini, yang dengan beberapa prosedur dapat diubah menjadi aturan gaya urutan eksplisit yang biasa kita gunakan. Oleh itu Sambin et al. gunakan titik permulaan yang sama dengan Došen, tetapi menafsirkannya bukan sebagai gambaran struktur tingkah laku pemalar, tetapi secara semantik sebagai definisi tersirat mereka (lihat Schroeder-Heister, 2013).

Terdapat beberapa pendekatan lain untuk ciri bukti teoritis seragam bagi pemalar logik, yang semuanya sekurang-kurangnya menyentuh isu-isu semantik bukti-teori. Teori seperti itu adalah Belnap's Display Logic (Belnap, 1982), Wansing's Logic of Information Structures (Wansing, 1993b), sistem penyuntingan bukti generik dan pelaksanaannya seperti kerangka logik Edinburgh (Harper, Honsell, dan Plotkin, 1987) dan banyak penerus yang membenarkan spesifikasi pelbagai sistem logik. Sejak munculnya logik linier dan, lebih umum, substruktural (Di Cosmo dan Miller, 2010; Restall, 2009) terdapat pelbagai pendekatan yang berkaitan dengan logik yang berbeza berkenaan dengan sekatan pada peraturan struktur mereka. Pergerakan baru-baru ini untuk tidak memunculkan logik tertentu sebagai yang benar ke arah pendirian yang lebih pluralis (lihat, misalnya,Beall dan Restall, 2006) yang berminat dengan apa yang mempunyai kesamaan logik tanpa ada pilihan untuk logik tertentu dapat dilihat sebagai pergeseran dari pembenaran semantik ke arah pencirian struktur.

2.5 Teori bukti kategorial

Terdapat banyak literatur mengenai teori kategori dalam kaitannya dengan teori bukti, dan, setelah karya manufaktur oleh Lawvere, Lambek dan lain-lain (lihat Lambek dan Scott, 1986, dan rujukan di dalamnya), kategori itu sendiri dapat dilihat sebagai semacam bukti abstrak teori. Sekiranya seseorang melihat anak panah A → B dalam kategori sebagai sejenis bukti abstrak B dari A, kita mempunyai representasi yang melampaui kebolehdapatan B yang tulen dari A (kerana anak panah mempunyai keperibadiannya), tetapi tidak menangani struktur sintaksis tertentu bukti ini. Untuk sistem intuisi, semantik teori-bukti dalam bentuk kategorinya mungkin paling hampir dengan semantik denotasi dalam kes klasik.

Salah satu pendekatan yang paling maju untuk teori bukti kategorial adalah kerana Došen. Dia tidak hanya memajukan penerapan kaedah kategorial dalam teori bukti (misalnya, Došen dan Petrić, 2004), tetapi juga menunjukkan bagaimana kaedah teori-bukti dapat digunakan dalam teori kategori itu sendiri (Došen, 2000). Paling penting untuk logik kategorial berkaitan dengan semantik teori-bukti adalah bahawa dalam logik kategorial, anak panah selalu bersatu dengan hubungan identiti, yang dalam teori-bukti sesuai dengan identiti bukti. Dengan cara ini, idea dan hasil teori bukti kategorial berkaitan dengan apa yang disebut semantik teori-bukti intensif, iaitu, kajian bukti sebagai entiti dengan sendirinya, bukan hanya sebagai wahana untuk menentukan akibat (Došen, 2006, 2016). Ciri lain dari teori pembuktian-kategorial adalah bahawa sifatnya bersifat hipotesis, yang bermaksud bahawa ia bermula dari entiti hipotetikal. Dengan cara ini, ia dapat mengatasi paradigma standard, khususnya teori-bukti semantik berdasarkan kesahan (lihat bahagian 3.6 di bawah).

Bacaan lanjut:

Untuk teori pemalar logik Popper lihat Schroeder-Heister (2005).

Untuk pemalar logik dan logiknya lihat entri pada pemalar logik.

Untuk pendekatan kategorial lihat entri mengenai teori kategori.

3. Sambungan dan alternatif untuk semantik teori-bukti standard

3.1 Peraturan penghapusan sebagai asas

Sebilangan besar pendekatan untuk semantik bukti-teori menganggap peraturan pengenalan sebagai asas, memberi makna, atau membenarkan diri, sedangkan kesimpulan penghapusan dibenarkan sebagai sah sehubungan dengan peraturan pengenalan yang diberikan. Konsepsi ini mempunyai sekurang-kurangnya tiga akar: Yang pertama adalah teori pengertian makna yang menurutnya syarat-syarat penegasan suatu kalimat merupakan maknanya. Yang kedua adalah idea bahawa kita mesti membezakan antara apa yang memberi makna dan apa akibat dari makna ini, kerana tidak semua pengetahuan inferensi dapat terdiri dari penerapan definisi. Yang ketiga adalah keutamaan penegasan terhadap tindakan pertuturan lain seperti menganggap atau menafikan, yang tersirat dalam semua pendekatan yang dipertimbangkan sejauh ini.

Seseorang mungkin menyelidiki sejauh mana seseorang dapat dengan mempertimbangkan peraturan penghapusan daripada peraturan pengenalan sebagai asas semantik bukti-teori. Beberapa idea untuk semantik bukti-teori berdasarkan penghapusan dan bukan peraturan pengenalan telah digambarkan oleh Dummett (1991, Bab 13), walaupun dalam bentuk yang sangat dasar. Definisi kesahan yang lebih tepat berdasarkan kesimpulan penghapusan adalah disebabkan oleh Prawitz (1971; 2007; lihat juga Schroeder-Heister 2015). Idea utamanya adalah bahawa bukti tertutup dianggap sah, jika hasil menerapkan peraturan penghapusan pada formula akhirnya adalah bukti yang sahih atau dikurangkan menjadi satu. Sebagai contoh, bukti tertutup dari implikasi A → B adalah sah, jika, untuk mana-mana bukti tertutup A, hasil penggunaan modus ponens

A → BA
B

kepada dua bukti ini adalah bukti B yang sah, atau mengurangkan bukti tersebut. Konsep ini menyimpan dua dari tiga bahan asas semantik bukti-teori gaya Prawitz (lihat bahagian 2.2.2): peranan pengurangan bukti dan pandangan penggantian andaian. Hanya kanonik bukti yang diakhiri dengan pengenalan yang diubah menjadi kanonik bukti yang berakhir dengan penghapusan.

3.2 Negasi dan penolakan

Semantik teori-bukti standard berpusat pada penegasan kerana keadaan ketegasan menentukan makna pemalar logik. Sesuai dengan cara meneruskan intuisi, penolakan A A formula A biasanya difahami sebagai menyiratkan absurditi A → ⊥, di mana ⊥ adalah pemalar yang tidak dapat ditegaskan, iaitu, yang tidak ditentukan syarat kepastian. Ini adalah cara 'tidak langsung' untuk memahami penolakan. Dalam literatur telah ada pembahasan tentang apa, setelah von Kutschera (1969), disebut sebagai penolakan 'langsung'. Oleh itu, seseorang dapat memahami pengendalian penolakan primitif satu tempat, yang tidak boleh, atau paling tidak, dikurangkan menjadi menyiratkan tidak masuk akal. Ia juga bukan penafian klasik. Ia lebih mematuhi peraturan yang menggandakan peraturan biasa untuk pemalar logik. Kadang-kadang disebut "penolakan" kalimat,kadang-kadang juga "penolakan kuat" (lihat Odintsov, 2008). Peraturan khas untuk penolakan ~ A of A adalah

~ A ~ B ~ A ~ B
~ (A ∨ B) ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Pada asasnya, peraturan penolakan untuk pengendali sesuai dengan peraturan penegasan untuk pengendali dua. Beberapa logik penolakan telah diselidiki, khususnya logika Nelson tentang "kepalsuan yang dapat dikonstruksikan" yang dimotivasi pertama oleh Nelson (1949) berkenaan dengan semantik realisasi tertentu. Tumpuan utama adalah pada sistemnya yang kemudian disebut N3 dan N4 yang berbeza sehubungan dengan perlakuan percanggahan (N4 adalah N3 tanpa ex contrictione quodlibet). Dengan menggunakan penolakan, setiap pendekatan terhadap semantik bukti-teori dapat digandakan dengan hanya menukar penegasan dan penolakan dan beralih dari pemalar logik ke dwi mereka. Dengan berbuat demikian, seseorang memperoleh sistem berdasarkan sanggahan (= bukti penolakan) dan bukannya bukti. Ini dapat difahami sebagai menerapkan pandangan Popperian untuk semantik teori-bukti.

Pendekatan lain adalah bukan hanya menggandakan semantik teori-bukti berpusatkan penegasan yang memihak kepada semantik teori-sengketa yang berpusat pada penolakan, tetapi untuk melihat hubungan antara peraturan untuk penegasan dan penolakan sebagaimana yang diatur oleh prinsip inversi atau prinsip refleksi definisi sendiri. Ini akan menjadi prinsip dari apa yang disebut "penegasan-penolakan-harmoni". Manakala dalam semantik teori-bukti standard, prinsip inversi mengawal hubungan antara penegasan dan andaian (atau akibat), prinsip tersebut sekarang akan mengatur hubungan antara penegasan dan penolakan. Memandangkan syarat-syarat tertentu dari A, ia akan mengatakan bahawa penolakan setiap syarat yang menentukan A membawa kepada penolakan A itu sendiri. Untuk hubungan dan perpecahan ia membawa kepada aturan penegasan dan penolakan pasangan yang sama

A B ~ A ~ B
A ∨ B A ∨ B ~ (A ∨ B)
AB ~ A ~ B
A ∧ B ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Idea ini dapat digeneralisasikan dengan mudah ke refleksi definisi, menghasilkan sistem penaakulan di mana penegasan dan penolakan saling terkait. Ini sejajar dengan hubungan deduktif antara bentuk pertimbangan yang dikaji di kawasan oposisi tradisional (Schroeder-Heister, 2012a; Zeilberger, 2008). Perlu ditegaskan bahawa pengendali penolakan di sini adalah tanda luaran yang menunjukkan bentuk pertimbangan dan bukan sebagai pengendali logik. Ini bermaksud secara khusus bahawa ia tidak dapat diulangi.

3.3 Harmoni dan pantulan dalam kalkulus turutan

Kalkulus jujukan Gentzen menunjukkan simetri antara peraturan pengenalan kanan dan kiri yang mencadangkan untuk mencari prinsip harmoni yang menjadikan simetri ini penting bagi semantik bukti-teori. Sekurang-kurangnya tiga garis telah dikendalikan untuk menangani fenomena ini. (i) Sama ada peraturan pengenalan kanan atau atau pengenalan kiri dianggap sebagai peraturan pengenalan. Peraturan yang bertentangan (masing-masing pengenalan kiri dan pengenalan kanan) kemudian dibenarkan menggunakan peraturan penghapusan yang sesuai. Ini bermaksud bahawa kaedah yang dibincangkan sebelumnya diterapkan pada keseluruhan urutan dan bukan formula dalam urutan. Tidak seperti formula ini, urutan tidak disusun secara logik. Oleh itu pendekatan ini berdasarkan refleksi definisi,yang menerapkan keharmonian dan pembalikan peraturan untuk entiti berstruktur sewenang-wenang dan bukan untuk komposit logik sahaja. Ia telah dikejar oleh de Campos Sanz dan Piecha (2009). (ii) Peraturan pengenalan kanan dan kiri berasal dari pencirian dalam arti peraturan garis ganda Došen (bahagian 2.4), yang kemudian dibaca sebagai definisi dari beberapa jenis. Arah atas-bawah peraturan garis dua sudah menjadi aturan pengenalan kanan atau kiri. Yang lain dapat diturunkan dari arah bawah ke atas dengan asas-asas tertentu. Ini adalah makna asas-teori teori Logik Asas Sambin et al. (Sambin, Battilotti, dan Faggian, 2000). (iii) Peraturan pengenalan kanan dan kiri dilihat sebagai menyatakan interaksi antara urutan menggunakan aturan pemotongan. Diberikan sama ada peraturan kanan atau kiri,peraturan pelengkap menyatakan bahawa segala sesuatu yang berinteraksi dengan premisnya dengan cara tertentu begitu juga dengan kesimpulannya. Idea interaksi ini adalah prinsip simetri umum refleksi definisi. Ia dapat dianggap sebagai generalisasi dari prinsip inversi, dengan menggunakan konsep interaksi dan bukannya kebarangkalian akibat (lihat Schroeder-Heister, 2013). Ketiga-tiga pendekatan tersebut berlaku untuk kalkulus urutan dalam bentuk klasiknya, dengan kemungkinan lebih dari satu formula dalam keberhasilan sekuen, termasuk versi yang dibatasi secara struktural seperti yang disiasat dalam logik linier dan lain-lain. Ia dapat dianggap sebagai generalisasi dari prinsip inversi, dengan menggunakan konsep interaksi dan bukannya kebarangkalian akibat (lihat Schroeder-Heister, 2013). Ketiga-tiga pendekatan tersebut berlaku untuk kalkulus urutan dalam bentuk klasiknya, dengan kemungkinan lebih dari satu formula dalam keberhasilan sekuen, termasuk versi yang dibatasi secara struktural seperti yang disiasat dalam logik linier dan lain-lain. Ia dapat dianggap sebagai generalisasi dari prinsip inversi, dengan menggunakan konsep interaksi dan bukannya kebarangkalian akibat (lihat Schroeder-Heister, 2013). Ketiga-tiga pendekatan tersebut berlaku untuk kalkulus urutan dalam bentuk klasiknya, dengan kemungkinan lebih dari satu formula dalam keberhasilan sekuen, termasuk versi yang dibatasi secara struktural seperti yang disiasat dalam logik linier dan lain-lain.

3.4 Struktur subatom dan bahasa semula jadi

Walaupun, seperti dalam refleksi definisi, kita sedang mempertimbangkan aturan definisi untuk atom, keadaan penentuannya biasanya tidak menguraikan atom-atom ini. Pendekatan teori-bukti yang mempertimbangkan struktur dalaman ayat atom, telah dikemukakan oleh Wieckowski (2008; 2011; 2016). Dia menggunakan peraturan pengenalan dan penghapusan untuk ayat atom, di mana ayat atom ini tidak hanya diturunkan menjadi ayat atom lain, tetapi juga ungkapan subatomik yang mewakili makna predikat dan nama individu. Ini dapat dilihat sebagai langkah pertama ke arah aplikasi bahasa semantik bukti teori. Langkah lebih jauh ke arah ini telah dilakukan oleh Francez, yang mengembangkan semantik bukti-teori untuk beberapa pecahan bahasa Inggeris (lihat Francez, Dyckhoff, dan Ben-Avi, 2010; Francez dan Dyckhoff, 2010,Francez dan Ben-Avi 2015).

3.5 Logik klasik

Semantik bukti-teori adalah intuisi secara bias. Ini disebabkan oleh fakta bahawa pemotongan semula jadi sebagai kerangka pilihannya mempunyai ciri-ciri tertentu yang membuatnya sangat sesuai untuk logik intuisi. Dalam pemotongan semula jadi klasik quodlibet ex falso

A

digantikan dengan peraturan reductio ad absurdum klasik

[A → ⊥]
A

Dengan membenarkan pembuangan A → ⊥ untuk menyimpulkan A, peraturan ini akan merosakkan prinsip subformula. Selanjutnya, dengan mengandungi kedua ⊥ dan A → ⊥, ia merujuk kepada dua pemalar logik yang berbeza dalam satu peraturan, jadi tidak ada lagi pemisahan pemalar logik. Akhirnya, sebagai peraturan penghapusan untuk ⊥ ia tidak mengikuti corak umum pengenalan dan penghapusan. Akibatnya, ia memusnahkan harta bentuk pengenalan bahawa setiap derivasi tertutup dapat dikurangkan menjadi yang menggunakan peraturan pengenalan pada langkah terakhir.

Logik klasik sangat sesuai dengan kalkulus urutan berganda. Di sana kita tidak memerlukan prinsip tambahan selain yang diandaikan dalam kes intuisi. Cukup ciri struktur yang memungkinkan lebih dari satu formula dalam succeden yang mencukupi untuk mendapatkan logik klasik. Oleh kerana terdapat pendekatan yang masuk akal untuk mewujudkan harmoni antara pengenalan kanan dan pengenalan kiri dalam kalkulus berurutan (lihat bahagian 3.3), logik klasik nampaknya dibenarkan. Walau bagaimanapun, ini hanya dapat meyakinkan jika penaakulan dibentuk dengan tepat sebagai proses kesimpulan ganda, walaupun ini tidak sesuai dengan amalan standard kita di mana kita memusatkan perhatian pada satu kesimpulan. Seseorang boleh berusaha mengembangkan intuisi yang sesuai dengan berpendapat bahawa penaakulan terhadap beberapa kesimpulan menggambarkan bidang di mana kebenaran terletak daripada menetapkan satu proposisi sebagai benar. Namun, intuisi ini sukar dijaga dan tidak dapat ditangkap secara formal tanpa kesulitan yang serius. Pendekatan falsafah seperti pendekatan oleh Shoesmith dan Smiley (1978) dan pendekatan bukti-bukti seperti jaring bukti (lihat Girard, 1987; Di Cosmo dan Miller, 2010) adalah percubaan ke arah ini.

Alasan asas kegagalan harta bentuk pengenalan dalam logik klasik adalah ketidakpastian yang wujud dalam undang-undang untuk memutuskan. A ∨ B dapat disimpulkan dari A dan juga dari B. Oleh itu, jika undang-undang disjungsi adalah satu-satunya cara untuk menyimpulkan A-B, derivatif A ¬ A, yang merupakan prinsip utama logik klasik, akan memerlukan hukum A atau ¬ A, yang tidak masuk akal. Jalan keluar dari kesukaran ini adalah dengan menghapuskan gangguan indeterministik dan menggunakannya sebagai setara de Morgan klasik ¬ (¬ A ¬¬ B). Ini pada dasarnya membawa kepada logik tanpa gangguan yang betul. Dalam kes quantifier, tidak akan ada quantifier eksistensial yang tepat, kerana ∃ xA akan dimengerti dalam arti ¬∀ x ¬ A. Sekiranya seseorang bersedia menerima batasan ini, maka prinsip keharmonian tertentu dapat dirumuskan untuk logik klasik.

3.6 Penaakulan hipotesis

Pendekatan standard untuk semantik bukti-teori, terutamanya pendekatan berasaskan kesahan Prawitz (bahagian 2.2.2), menganggap derivasi tertutup sebagai asas. Kesahan derivasi terbuka ditakrifkan sebagai penyebaran kesahan dari derivasi tertutup dari asumsi ke derivasi tertutup dari penegasan, di mana yang terakhir diperoleh dengan menggantikan derivasi tertutup untuk asumsi terbuka. Oleh itu, jika seseorang menyebut terbitan tertutup 'kategorik' dan terbitan terbuka 'hipotetis', seseorang mungkin mencirikan pendekatan ini sebagai berikut dua idea asas: (I) Keutamaan kategorik berbanding hipotetis, (II) pandangan transmisi akibat. Kedua-dua andaian ini (I) dan (II) dapat dilihat sebagai dogma semantik standard (lihat Schroeder-Heister 2012c). "Semantik standard" di sini bukan hanya bermaksud semantik teori-bukti standard,tetapi juga semantik teori-model klasik, di mana dogma ini juga diandaikan. Di sana bermula dengan definisi kebenaran, yang merupakan konsep kategoris, dan mendefinisikan konsekuensi, konsep hipotetis, sebagai penyebaran kebenaran dari keadaan ke akibat. Dari sudut pandang ini, semantik konstruktif, termasuk semantik bukti-teori, menukar konsep kebenaran dengan konsep pembinaan atau bukti, dan menafsirkan "penghantaran" dari segi fungsi atau prosedur konstruktif, tetapi sebaliknya membiarkan kerangka kerja tidak tersentuh.semantik konstruktif, termasuk semantik bukti-teori, menukar konsep kebenaran dengan konsep pembinaan atau bukti, dan menafsirkan "penghantaran" dari segi fungsi atau prosedur konstruktif, tetapi sebaliknya membiarkan kerangka kerja tidak tersentuh.semantik konstruktif, termasuk semantik bukti-teori, menukar konsep kebenaran dengan konsep pembinaan atau bukti, dan menafsirkan "penghantaran" dari segi fungsi atau prosedur konstruktif, tetapi sebaliknya membiarkan kerangka kerja tidak tersentuh.

Prinsip ini tidak ada yang salah. Walau bagaimanapun, terdapat fenomena yang sukar ditangani dalam kerangka standard. Fenomena seperti itu adalah tidak baik, terutama lingkaran, di mana kita mungkin mempunyai akibat tanpa penyampaian kebenaran dan bukti. Fenomena lain adalah perbezaan substruktural, di mana sangat penting untuk merangkumi penyusunan andaian sejak awal. Lebih-lebih lagi, dan ini yang paling penting, kita mungkin menentukan sesuatu dengan cara tertentu tanpa mengetahui terlebih dahulu sama ada definisi atau rantaian definisi kita betul atau tidak. Kita tidak melibatkan diri kita terlebih dahulu dalam kajian metalinguistik mengenai definisi yang kita mulakan, tetapi ingin segera membuat pertimbangan. Masalah ini tidak akan timbul sekiranya kita membatasi diri dengan kes pemalar logik,di mana peraturan yang ditentukan secara asasnya tidak betul. Tetapi masalahnya timbul dengan segera, apabila kita mempertimbangkan kes-kes yang lebih rumit yang melampaui pemalar logik.

Ini menjadikannya bermanfaat untuk terus ke arah yang lain dan memulai dengan konsep hipotetikal akibat, iaitu, mencirikan konsekuensi secara langsung tanpa mengurangkannya kepada kes kategori. Secara filosofis ini bermaksud bahawa konsep kategorik adalah konsep yang mengehadkan yang hipotetis. Dalam kes klasik, kebenaran akan menjadi kes konsekuensi yang membatasi, iaitu konsekuensi tanpa hipotesis. Program ini berkait rapat dengan pendekatan teori bukti kategorial (bahagian 2.5), yang didasarkan pada keutamaan entiti hipotetis ("anak panah"). Secara formal, ia akan mengutamakan kalkulus urutan daripada pemotongan semula jadi, kerana kalkulus urutan membenarkan manipulasi sisi andaian suatu urutan dengan kaedah pengenalan kiri.

3.7 Semantik bukti teori-intensional

Seperti disebutkan dalam bagian pertama (1.1), semantik teori-bukti bersifat semangat, kerana tertarik pada bukti dan bukan hanya bukti. Untuk semantik bukti-teori tidak hanya relevan, sama ada B mengikuti dari A, tetapi juga, dengan cara mana kita dapat membuktikan bahawa B mengikuti dari A. Dengan kata lain, identiti bukti adalah masalah penting. Walau bagaimanapun, walaupun ini semestinya prima facie dan teori semantik bukti-bukti biasanya akan bersetuju dengan tuntutan abstrak ini, praktik dalam semantik teori-bukti sering berbeza, dan topik identiti pembuktian adalah topik yang sangat diabaikan. Selalunya berlaku bahawa peraturan yang sama kuatnya dikenal pasti. Contohnya, apabila prinsip keharmonian dibincangkan, dan seseorang mempertimbangkan peraturan pengenalan standard untuk bersama

AB
A ∧ B

banyak ahli semantik bukti teori akan menganggapnya tidak relevan sama ada seseorang memilih pasangan unjuran

A ∧ B A ∧ B
A B

atau pasangan

A ∧ B A ∧ BA
A B

sebagai peraturan penghapusan untuk bersama. Sepasang peraturan kedua sering dianggap sebagai varian pasangan unjuran yang lebih rumit. Namun, dari sudut pandangan intensif, kedua-dua pasang peraturan ini tidak sama. Mengenalinya sesuai dengan mengenal pasti A ∧ B dan A ∧ (A → B), yang hanya secara meluas, tetapi tidak betul. Seperti yang sering diperdebatkan oleh Došen (contohnya, Došen 1997, 2006), formula seperti A ∧ B dan A ∧ (A → B) adalah setara, tetapi tidak bersifat isomorf. Di sini "isomorfik" bermaksud bahawa apabila membuktikan satu formula dari yang lain dan sebaliknya, kita memperoleh, dengan menggabungkan dua bukti ini, bukti identiti. Ini tidak berlaku dalam contoh ini.

Meneruskan idea ini membawa kepada prinsip keharmonian dan pembalikan yang berbeza dari yang standard. Oleh kerana keharmonian dan pembalikan terletak di tengah-tengah semantik teori-bukti, banyak persoalannya disentuh. Mengambil topik intensiti dengan serius dapat membentuk semula banyak bidang semantik bukti-teori. Dan kerana identiti bukti adalah topik asas teori bukti kategorial, yang terakhir perlu mendapat perhatian yang lebih kuat dalam semantik bukti-teori daripada yang berlaku sekarang.

Bacaan lanjut

Untuk penolakan dan penolakan, lihat Tranchini (2012b); Wansing (2001).

Untuk semantik bahasa semula jadi lihat Francez (2015).

Untuk logik klasik lihat entri mengenai logik klasik.

Untuk penaakulan hipotesis dan semantik teori bukti intensif lihat Došen (2003, 2016) dan Schroeder-Heister (2016a).

4. Kesimpulan dan pandangan

Semantik teori-bukti standard praktikal secara eksklusif digunakan dengan pemalar logik. Pemalar logik memainkan peranan penting dalam penaakulan dan inferens, tetapi pastinya bukan yang eksklusif, dan mungkin juga bukan entiti yang paling tipikal yang dapat didefinisikan secara tidak tentu. Rangka kerja diperlukan yang menangani definisi inferensi dalam pengertian yang lebih luas dan merangkumi definisi inferensi logik dan tambahan yang sama. Idea refleksi definisi berkenaan dengan peraturan definisi sewenang-wenang (lihat 2.3.2) dan juga aplikasi bahasa semula jadi (lihat 3.4) menunjukkan arah ini, tetapi konsepsi yang lebih jauh dapat dibayangkan. Selanjutnya, tumpuan terhadap keharmonian, prinsip penyongsangan, refleksi definisi dan seumpamanya agak mengelirukan,kerana ia mungkin menunjukkan bahawa semantik bukti-teori hanya terdiri daripada itu. Perlu ditekankan bahawa sudah berkaitan dengan aritmetik, prinsip yang lebih kuat diperlukan selain inversi. Namun, di sebalik keterbatasan ini, semantik teori-bukti telah memperoleh pencapaian yang sangat besar yang dapat bersaing dengan pendekatan semantik yang lebih meluas.

Bibliografi

  • Aczel, Peter (1977). "Pengenalan Definisi Induktif", dalam Buku Panduan Logik Matematik, John Barwise (ed.), Amsterdam: Belanda Utara, hlm. 739-782.
  • Beall, JC dan Greg Restall (2006). Pluralisme Logik, Oxford: Oxford University Press.
  • Belnap, Nuel D. (1982). "Paparan Logik", Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
  • Brandom, Robert B. (2000). Sebab Mengartikulasikan: Pengantar Inferensialisme, Mass Cambridge: Harvard University Press.
  • de Campos Sanz, Wagner dan Thomas Piecha (2009). "Inversi oleh Refleksi Definisi dan Kebolehterimaan Peraturan Logik", Ulasan Logik Simbolik, 2: 550-569.
  • –––, Thomas Piecha dan Peter Schroeder-Heister (2014). "Semantik konstruktif, kebolehterimaan peraturan dan kesahihan undang-undang Peirce", Logic Journal of the IGPL, 22: 297-308.
  • de Groote, Philippe, ed. (1995). The Curry-Howard Isomorphism, Volume 8 dari Cahiers du Center de Logique, Academia-Bruyland.
  • Di Cosmo, Roberto dan Dale Miller (2010). "Linear Logic", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edisi Musim Gugur 2010), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Došen, Kosta (1980). Pemalar Logik: Esei dalam Teori Bukti, D. Phil. Tesis, Jabatan Falsafah, Universiti Oxford.
  • ––– (1989). "Pemalar Logik sebagai Tanda Baca", Notre Dame Journal of Formic Logic, 30: 362–381.
  • ––– (1997). "Konsekuensi Logik: Gaya Berbalik", di: Dalla Chiara, ML, K. Doets, D. Mundici, J. van Benthem (eds.), Kaedah Logik dan Ilmiah: Jilid Satu dari Kongres Antarabangsa Kesepuluh Logik, Metodologi dan Falsafah Sains, Florence, Ogos 1995, Dordrecht: Kluwer, 289–311.
  • ––– (2000). Potong Penghapusan di Kategori, Berlin: Springer.
  • ––– (2003). "Identiti bukti berdasarkan normalisasi dan umum", Buletin Logik Simbolik, 9: 477-503.
  • ––– (2006). "Model pemotongan", dalam: Kahle dan Schroeder-Heister, ed. (2006), hlm. 639–657.
  • ––– (2016). "Di jalan kategori", di: Piecha dan Schroeder-Heister, ed. (2016b), hlm 65–77.
  • ––– dan Zoran Petrić (2004). Proof-Theoretical Coherence, London: Kolej Penerbitan.
  • Dummett, Michael (1991). Asas Logik Metafizik, London: Duckworth.
  • Francez, Nissim (2015). Proof-theoretic Semantics, London: Kolej Penerbitan.
  • ––– dan Gilad Ben-Avi (2015). "Pembentukan teori-bukti pengukur umum", Jurnal Semantik, 32: 313-371.
  • ––– dan Roy Dyckhoff (2010). "Semantik Proof-theoretic for a Natural Language Fragment", Linguistik dan Falsafah, 33: 447-477.
  • –––, Roy Dyckhoff, dan Gilad Ben-Avi (2010). "Proof-Theoretic Semantics for Subsentential Frasa", Studia Logica, 94: 381–401.
  • Gentzen, Gerhard (1934/35). “Untersuchungen über das logische Schließen”, Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431; Terjemahan Bahasa Inggeris dalam The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ME Szabo (ed.), Amsterdam: Holland Utara, 1969, hlm. 68–131.
  • Girard, Jean-Yves (1987). "Logik Linear", Sains Komputer Teoritis, 50: 1–102.
  • Peretasan, Ian (1979). "Apa itu Logik?", Jurnal Falsafah, 76: 285–319.
  • Hallnäs, Lars (1991). “Definisi Separa Induktif”, Sains Komputer Teoretikal, 87: 115–142.
  • ––– (2006). "Pada asas bukti-bukti teori definisi umum", Synthese, 148: 589-602.
  • Hallnäs, Lars dan Peter Schroeder-Heister (1990/91). “Pendekatan teori-bukti untuk pengaturcaraan logik: I. Klausa sebagai peraturan. II. Program sebagai definisi”, Jurnal Logik dan Pengiraan, 1: 261–283, 635–660.
  • Harper, Robert, Furio Honsell, dan Gordon Plotkin (1987). "Rangka Kerja untuk Mendefinisikan Logik", Jurnal Persatuan Mesin Pengkomputeran, 40: 194-204.
  • Humberstone, Lloyd (2010). “Sentence Connectives in Formal Logic”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edisi Musim Panas 2010), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Jaśkowski, Stanisław (1934). “Atas Aturan Suposisi dalam Logik Formal”, Studia Logica, 1: 5–32 (dicetak semula dalam S. McCall (ed.), Logik Poland 1920-1939, Oxford 1967, hlm. 232–258.
  • Jäger, Gerhard dan Robert F. Stärk (1998). "Rangka Kerja Profor teori untuk Pengaturcaraan Logik", Buku Panduan Teori Bukti, Samuel R. Buss (ed.), Amsterdam: Elsevier, hlm. 639-668.
  • Kahle, Reinhard dan Peter Schroeder-Heister, ed. (2006). Proof-Theoretic Semantics, Edisi khas Synthese, Jilid 148.
  • Kneale, William (1956). "Wilayah Logik", Falsafah British Kontemporari, HD Lewis (ed.), London: Allen dan Unwin, hlm. 237–261.
  • Koslow, Arnold (1992). Teori Logik Strukturalis, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kreisel, Georg (1971). "Tinjauan Teori Bukti II", Prosiding Simposium Logik Skandinavia Kedua, JE Renstad (ed.), Amsterdam: Belanda Utara, hlm. 109–170.
  • Kremer, Philip (2009). "The Revision Theory of Truth", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edisi), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Kreuger, Per (1994). "Axioms in Definitional Calculi", Extensions of Logic Programming: Prosiding Bengkel Antarabangsa ke-4, ELP'93, St. Andrews, UK, Mac / April 1993 (Catatan Kuliah dalam Sains Komputer, Voluem 798), Roy Dyckhoff (ed.), Berlin: Springer, hlm. 196-205.
  • Lambek, J. dan PJ Scott (1986). Pengenalan kepada Logik Kategorikal Tertinggi, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lorenzen, Paul (1955). Einführung dalam operasi mati Logik und Mathematik, Berlin: Springer; Edisi ke-2, 1969.
  • Martin-Löf, Per (1971). "Hauptsatz untuk teori intuisiistik mengenai definisi induktif berulang", Prosiding Simposium Logik Skandinavia Kedua, JE Fenstad (ed.), Amsterdam: Belanda Utara, hlm. 179-216.
  • ––– (1984). Teori Jenis Intuisi, Napoli: Bibliopolis.
  • ––– (1995). "Verifikasiisme Kemudian dan Sekarang", Perbahasan Dasar: Kerumitan dan Konstruktiviti dalam Matematik dan Fizik, Werner DePauli-Schimanovich, Eckehart Köhler, dan Friedrich Stadler (eds.), Dordrecht: Kluwer, hlm. 187–196.
  • ––– (1998). "Truth and Knowability: On the Principles C and K of Michael Dummett", Truth in Mathematics, Harold G. Dales dan Gianluigi Oliveri (eds.), Oxford: Clarendon Press, hlm. 105–114.
  • Negri, Sara dan Jan von Plato (2001). Teori Bukti Struktur, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Nelson, David (1949). "Palsu Konstruktif", Jurnal Logik Simbolik, 14: 16–26
  • Odintsov, Sergei P. (2008). Negasi dan Paraconsistensi Konstruktif, Berlin: Springer.
  • Piecha, Thomas (2016). "Kelengkapan dalam Semantik Prinsip-Teoretik". Dalam: Piecha dan Schroeder-Heister, ed. (2016b), hlm. 231–251.
  • –––, Wagner de Campos Sanz dan Peter Schroeder-Heister (2015). "Kegagalan Kesempurnaan dalam Semantik Prinsip-Teoretik", Jurnal Logik Falsafah, 44: 321-335.
  • ––– dan Peter Schroeder-Heister (2016a). "Atomic Systems in Proof-Theoretic Semantik: Dua Pendekatan", dalam: Redmond, J., OP Martins, Á. N. Fernández Epistemologi, Pengetahuan dan Kesan Interaksi, Cham: Springer, hlm. 47–62.
  • ––– dan Peter Schroeder-Heister, ed. (2016b). Kemajuan dalam Semantik Proof-Theoretic, Cham: Springer (Akses Terbuka)
  • Popper, Karl Raimund (1947a). "Logik tanpa Andaian", Prosiding Persatuan Aristotelian, 47: 251-292.
  • ––– (1947b). "Asas Baru untuk Logik", Pikiran, 56: 193-235; pembetulan, Minda, 57: 69–70.
  • Prawitz, Dag (1965). Pemotongan Semula jadi: Kajian Bukti-Teoritis, Stockholm: Almqvist & Wiksell; dicetak semula Mineola, NY: Dover Publications, 2006.
  • ––– (1971). "Idea dan Hasil dalam Teori Bukti", Prosiding Simposium Logik Skandinavia Kedua (Oslo 1970), Jens E. Fenstad (ed.), Amsterdam: Belanda Utara, hlm. 235–308.
  • ––– (1972). "Kedudukan Falsafah Teori Bukti", Falsafah Kontemporari di Skandinavia, RE Olson dan AM Paul (ed.), Baltimore, London: John Hopkins Press, hlm. 123–134.
  • ––– (1973). "Ke Arah Asas Teori Bukti Umum", Logik, Metodologi dan Falsafah Sains IV, Patrick Suppes, et al. (eds.), Amsterdam: Belanda Utara, hlm. 225–250.
  • ––– (1974). “Mengenai Idea Teori Bukti Umum”, Synthese, 27: 63–77.
  • ––– (1985). "Catatan mengenai beberapa Pendekatan terhadap Konsep Konsekuensi Logik", Synthese, 62: 152–171.
  • ––– (2006). "Makna Didekati melalui Bukti", Synthese, 148: 507–524.
  • ––– (2007). "Pragmatist and Verificationist Theories of Meaning", Falsafah Michael Dummett, Randall E. Auxier dan Lewis Edwin Hahn (ed.), La Salle: Open Court, hlm. 455–481.
  • ––– (2013). "Pendekatan untuk Teori Bukti Umum dan Dugaan Kelengkapan Logik Intuisi yang ditinjau kembali", Kemajuan dalam Pemotongan Alam, Edward Hermann Haeusler, Luiz Carlos Pereira, dan Valeria de Paiva (ed.), Berlin: Springer.
  • Baca, Stephen (2010). "Keharmonian Penghapusan Umum dan Makna Pemalar Logik", Jurnal Logik Falsafah, 39: 557–576.
  • Restall, Greg (2009). "Logik Substruktural", Ensiklopedia Filosofi Stanford (Edisi Musim Panas 2009), Edward N. Zalta (ed.), URL =.
  • Sambin, Giovanni, Giulia Battilotti, dan Claudia Faggian (2000). "Logik Asas: Refleksi, Simetri, Keterlihatan", Jurnal Logik Simbolik, 65: 979-1013.
  • Sandqvist, Tor (2009). "Logik Klasik tanpa Bivalensi", Analisis, 69: 211-218.
  • Schroeder-Heister, Peter (1984). "Pemanjangan semula jadi pemotongan semula jadi", Jurnal Logik Simbolik, 49: 1284–1300.
  • ––– (1991). "Semantik Proof-Teoretik Uniform untuk Pemalar Logik (Abstrak)", Jurnal Logik Simbolik, 56: 1142.
  • ––– (1992). "Potong Penghapusan Logik dengan Refleksi Definisi", Logik Tidak Klasik dan Pemprosesan Maklumat: Prosiding Bengkel Antarabangsa, Berlin, November 1990 (Nota Kuliah dalam Sains Komputer: Jilid 619). David Pearce dan Heinrich Wansing (ed.), Berlin: Springer, hlm. 146–171.
  • ––– (1993). "Peraturan Refleksi Definisi", Prosiding Simposium IEEE Tahunan ke-8 mengenai Logik dalam Sains Komputer, Los Alamitos: IEEE Press, hlm. 222-232.
  • ––– (2004). "Mengenai anggapan asumsi dalam sistem logik", Makalah Terpilih Menyumbang kepada Bahagian GAP5 (Kongres Antarabangsa Kelima Persatuan Falsafah Analitik, Bielefeld, 22-26 September 2003), R. Bluhm dan C. Nimtz (ed.), Paderborn: mentis tersedia dalam talian), hlm. 27-48.
  • ––– (2005). "Teori Logik Strukturalis Popper", Karl Popper: Penilaian Centenary. Jilid III: Sains, Ian Jarvie, Karl Milford, dan David Miller (ed.), Aldershot: Ashgate, hlm. 17–36.
  • ––– (2006). "Konsep Kesahan dalam Semantik Proof-Theoretic", Synthese, 148: 525-571.
  • ––– (2007). “Refleksi Definisi Umum dan Prinsip Inversi”, Logica Universalis, 1: 355–376.
  • ––– (2008a). "Pembenaran Operatif Lorenzen dari Logik Intuisi", Seratus Tahun Intuisi (1907-2007): Persidangan Cerisy, Mark van Atten, et al. (eds.), Basel: Birkhäuser, 214–240 [Rujukan untuk keseluruhan jilid: 391–416].
  • ––– (2008b). “Proof-Theoretic versus Model-Theoretic Consequence”, The Logica Yearbook 2007, M. Peliš (ed.), Prague: Filosofia, hlm. 187–200.
  • ––– (2012a). "Definisi Penalaran dalam Semantik Proof-Theoretic dan Square of Oposisi", The Square of Oposisi: Kerangka Umum untuk Kognisi, Jean-Yves Béziau dan Gillman Payette (eds.), Bern: Peter Lang, hlm. 323–349.
  • ––– (2012b). "Semantik Proof-Theoretic, Kontradiksi Diri, dan Format Penalaran Deduktif". Dalam: Topoi 31, hlm. 77-85.
  • ––– (2012c). "Kategorik dan Hipotesis: Kritikan terhadap beberapa Asumsi Asas Semantik Piawai". Dalam: Synthese 187, hlm. 925–942.
  • ––– (2012d). "Paradoks dan Peraturan Struktural". Dalam: Dutilh Novaes, Catarina dan Ole T. Hjortland, ed., Tidak larut dan Akibatnya. Esei untuk Penghormatan Stephen Read. London: College Publications, hlm.203–211.
  • ––– (2013). “Refleksi Definisi dan Logik Asas”, Sejarah Logik Murni dan Terapan, 164 (4): 491–501.
  • ––– (2015). "Kesahan bukti-teoretik berdasarkan peraturan penghapusan". Dalam: Haeusler, Edward Hermann, Wagner de Campos Sanz dan Bruno Lopes, ed., Mengapa ini menjadi Bukti? Festschrift untuk Luiz Carlos Pereira. London: College Publications, hlm. 159–176.
  • ––– (2016a). "Masalah Terbuka dalam Semantik Prinsip-Teoretik". Dalam: Piecha dan Schroeder-Heister, ed. (2016b), hlm. 253–283.
  • ––– (2016b). "Mengehadkan Urutan Awal: Pertukaran Antara Identiti, Kontraksi dan Pemotongan". Dalam: Kahle, Reinhard, Thomas Strahm dan Thomas Studer, ed., Advances in Proof Theory Basel: Birkhäuser, hlm. 339–351.
  • Shoesmith, DJ dan Timothy J. Smiley (1978). Logik Kesimpulan Berganda, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sommaruga, Giovanni (2000). Sejarah dan Falsafah Teori Jenis Konstruktif, Dordrecht: Kluwer.
  • Sørensen, Morten Heine B. dan Pawel Urzyczyn (2006). Kuliah mengenai Isomorfisme Curry-Howard, Amsterdam: Elsevier.
  • Tait, W. W: (1967). "Interpretasi Intensional Fungsi Jenis Terhingga I", Jurnal Logik Simbolik, 32: 198-212.
  • Tennant, Neil (1978). Logik Semula jadi, Edinburgh: Edinburgh University Press.
  • ––– (1982). "Bukti dan Paradoks", Dialectica, 36: 265-296.
  • ––– (1987). Anti-Realisme dan Logik: Kebenaran sebagai Kekal, Oxford: Clarendon Press.
  • ––– (1997). The Taming of the True, Oxford: Clarendon Press.
  • Tranchini, Luca (2010). Bukti dan Kebenaran: Perspektif Anti-Realis, Milano: Edizioni ETS, 2013; cetak semula Ph. D. disertasi, Jabatan Falsafah, Universiti Tuebingen, 2010, boleh didapati dalam talian.
  • ––– (2012a). "Kebenaran dari Perspektif Teoretik Bukti". Dalam: Topoi 31, hlm. 47-57.
  • ––– (2012b). "Pemotongan Semula Jadi untuk Logik Intuisiistik Ganda", Studia Logica, 100: 631-648.
  • ––– (2016). "Proof-Theoretic Semantik, Paradoks, dan Perbezaan antara Rasa dan Denotasi", Jurnal Logik dan Pengiraan, 26, hlm. 495-512.
  • Troelstra, Anne S. dan Dirk van Dalen (1988). Konstruktivisme dalam Matematik: Pengenalan, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Troelstra, AS dan H. Schwichtenberg (2000). Teori Bukti Asas, Cambridge University Press, edisi kedua.
  • von Kutschera, Franz (1968). "Die Vollständigkeit des Operatorensystems {¬, ∧, ∨, ⊃} für die intuitionistische Aussagenlogik im Rahmen der Gentzensemantik", Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung, 11: 3–16.
  • ––– (1969). “Ein verallgemeinerter Widerlegungsbegrifff für Gentzenkalküle”, Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung, 12: 104–118.
  • Wansing, Heinrich (1993a). "Kelengkapan Fungsional untuk Subsistem Logik Cadangan Intuisiistik", Jurnal Logik Falsafah, 22: 303–321.
  • ––– (1993b). Logik Struktur Maklumat (Nota Kuliah dalam Kecerdasan Buatan, Jilid 681), Berlin: Springer Springer.
  • ––– (2000). "Idea Semantik Semula jadi Teori Bukti", Studia Logica, 64: 3-20.
  • ––– (2001). “Negation”, The Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (ed.), Cambridge, MA: Blackwell, hlm. 415–436.
  • Wieckowski, Bartosz (2008). “Predication in Fiction”, dalam The Logica Yearbook 2007, M. Peliš (ed.), Prague: Filosofia, hlm. 267–285.
  • ––– (2011). "Peraturan untuk Subatom Derivation", Ulasan Logik Simbolik, 4: 219-236.
  • ––– (2016). "Pemotongan Alam Subatomik untuk Bahasa Urutan Pertama Naturalistik dengan Identiti Bukan Primitif", Jurnal Logik, Bahasa dan Maklumat, 25: 215–268.
  • Zeilberger, Noam (2008). "Tentang Kesatuan Dualitas", Annals of Mure and Applied Logic, 153: 66–96.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

  • de Campos Sanz, Wagner dan Thomas Piecha (2012). "Catatan mengenai Semantik Konstruktif untuk Logik Klasik dan Intuisi," manuskrip dalam talian.
  • Tranchini, Luca (2012b). "Prosa-Teoretik Semantik, Paradoks, dan Perbezaan antara Rasa dan Denotasi," manuskrip dalam talian.

Disyorkan: