Tetapkan Teori

Isi kandungan:

Tetapkan Teori
Tetapkan Teori

Video: Tetapkan Teori

Video: Tetapkan Teori
Video: Materi Kuliah Teori Makroekonomi I Bab 6 Pengangguran 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Tetapkan Teori

Pertama kali diterbitkan pada Rabu 8 Okt 2014; semakan substantif Sel 12 Feb 2019

Teori set adalah teori matematik koleksi yang ditentukan dengan baik, yang disebut set, objek yang disebut anggota, atau elemen, dari himpunan. Teori set tulen secara eksklusif berkaitan dengan set, jadi satu-satunya set yang dipertimbangkan adalah kumpulan yang anggotanya juga set. Teori set turun temurun, iaitu set terhingga yang unsurnya juga set terhingga, unsur-unsurnya juga terbatas, dan sebagainya, secara formal setara dengan aritmetik. Jadi, inti dari teori set adalah kajian tentang set tak terbatas, dan oleh itu ia dapat didefinisikan sebagai teori matematik yang sebenarnya-berbanding dengan potensi-tak terbatas.

Pengertian set sangat sederhana sehingga biasanya diperkenalkan secara tidak formal, dan dianggap jelas. Dalam teori set, bagaimanapun, seperti biasa dalam matematik, set diberikan secara aksiomatik, sehingga keberadaan dan sifat dasar mereka disusun oleh aksioma formal yang sesuai. Aksioma teori set menyiratkan adanya alam semesta set-teori yang begitu kaya sehingga semua objek matematik dapat ditafsirkan sebagai set. Juga, bahasa formal teori himpunan murni membolehkan seseorang memformalkan semua idea dan hujah matematik. Oleh itu, teori set telah menjadi asas standard untuk matematik, kerana setiap objek matematik dapat dilihat sebagai satu set, dan setiap teorema matematik dapat disimpulkan secara logik dalam Predicate Calculus dari aksioma teori set.

Kedua-dua aspek teori set, iaitu, sebagai sains matematik yang tidak terbatas, dan sebagai asas matematik, adalah kepentingan falsafah.

  • 1. Asal-usul
  • 2. Aksioma teori set

    2.1 Aksioma ZFC

  • 3. Teori ordinfinit dan kardinal

    3.1 Kardinal

  • 4. Alam semesta (V) semua set
  • 5. Tetapkan teori sebagai asas matematik

    • 5.1 Metamatik
    • 5.2 Fenomena ketidaklengkapan
  • 6. Teori set kontinum

    • 6.1 Teori Set Deskriptif
    • 6.2 Ketetapan
    • 6.3 Hipotesis Continuum
  • 7. Alam semesta yang dapat dibina Gödel
  • 8. Memaksa

    8.1 Aplikasi paksa lain

  • 9. Pencarian aksioma baru
  • 10. Kardinal besar

    • 10.1 Model dalaman kardinal besar
    • 10.2 Akibat kardinal besar
  • 11. Memaksakan aksioma
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Asal-usul

Teori set, sebagai disiplin matematik yang terpisah, bermula dalam karya Georg Cantor. Seseorang mungkin mengatakan bahawa teori himpunan lahir pada akhir tahun 1873, ketika dia membuat penemuan yang luar biasa bahawa kontinum linier, iaitu garis nyata, tidak dapat dihitung, yang bermaksud bahawa titik-titiknya tidak dapat dihitung dengan menggunakan angka semula jadi. Jadi, walaupun set nombor semula jadi dan set nombor nyata keduanya tidak terhingga, ada lebih banyak nombor nyata daripada ada nombor semula jadi, yang membuka pintu untuk penyelidikan mengenai ukuran tak terhingga yang berbeza. Lihat entri mengenai pengembangan awal teori set untuk perbincangan mengenai asal usul idea-teori dan penggunaannya oleh ahli matematik dan ahli falsafah yang berbeza sebelum dan sekitar waktu Cantor.

Menurut Cantor, dua set (A) dan (B) memiliki ukuran yang sama, atau kardinalitas, jika keduanya dapat disangka, iaitu unsur-unsur (A) dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan unsur (B). Oleh itu, set (mathbb {N}) nombor semula jadi dan set (mathbb {R}) nombor nyata mempunyai kardinaliti yang berbeza. Pada tahun 1878 Cantor merumuskan Hipotesis Continuum (CH) yang terkenal, yang menegaskan bahawa setiap set bilangan nyata yang tidak terhingga dapat dikira, iaitu, ia mempunyai kardinalitas yang sama dengan (mathbb {N}), atau mempunyai kardinaliti yang sama dengan (mathbb {R}). Dengan kata lain, hanya ada dua kemungkinan bilangan nombor nyata yang tidak terbatas. CH adalah masalah teori set yang paling terkenal. Cantor sendiri menumpukan banyak usaha, dan begitu juga banyak ahli matematik terkemuka lain pada separuh pertama abad kedua puluh, seperti Hilbert,yang menyenaraikan CH sebagai masalah pertama dalam senarai 23 masalah matematiknya yang tidak dapat diselesaikan yang dibentangkan pada tahun 1900 di Kongres Antarabangsa Matematik Kedua, di Paris. Percubaan untuk membuktikan CH menyebabkan penemuan besar dalam teori set, seperti teori set konstruktif, dan teknik paksaan, yang menunjukkan bahawa CH tidak dapat dibuktikan atau dibantah dari aksioma teori set yang biasa. Sehingga hari ini, CH tetap terbuka. Sehingga hari ini, CH tetap terbuka. Sehingga hari ini, CH tetap terbuka.

Pada awalnya, beberapa ketidakkonsistenan, atau paradoks, timbul dari penggunaan konsep set yang naif; khususnya, dari anggapan semula jadi yang menipu bahawa setiap harta menentukan satu set, iaitu sekumpulan objek yang memiliki harta itu. Salah satu contohnya ialah Russell's Paradox, juga dikenali oleh Zermelo:

menganggap harta set tidak menjadi anggota diri mereka sendiri. Sekiranya harta itu menentukan satu set, panggil ia (A), maka (A) adalah anggota dirinya jika dan hanya jika (A) bukan ahli itu sendiri.

Oleh itu, beberapa koleksi, seperti koleksi semua set, koleksi semua nombor ordinal, atau koleksi semua nombor kardinal, bukan set. Koleksi sedemikian disebut kelas yang betul.

Untuk mengelakkan paradoks dan meletakkannya pada landasan yang tegas, teori set harus di aksiomatikan. Aksiomatisasi pertama disebabkan oleh Zermelo (1908) dan ia berlaku kerana keperluan untuk menjelaskan prinsip asas teori-asas yang mendasari bukti Prinsip Pengaturan Baik Cantor. Aksiomatisasi Zermelo menghindari Paradoks Russell dengan menggunakan aksioma Pemisahan, yang dirumuskan sebagai pengukuran atas sifat set, dan dengan itu ia adalah pernyataan pesanan kedua. Karya lebih lanjut oleh Skolem dan Fraenkel menyebabkan formalisasi aksioma Pemisahan dari segi formula orde pertama, bukan gagasan tidak formal mengenai harta benda, serta pengenalan aksioma Penggantian, yang juga dirumuskan sebagai aksioma skema untuk formula pesanan pertama (lihat bahagian seterusnya). Aksioma Penggantian diperlukan untuk pengembangan yang tepat dari teori ordinfinit dan kardinal, menggunakan rekursi transfinit (lihat Bahagian 3). Ia juga diperlukan untuk membuktikan kewujudan set sederhana seperti himpunan set terhingga turun temurun, iaitu, set terhingga yang unsurnya terbatas, unsur-unsurnya juga terbatas, dan sebagainya; atau untuk membuktikan fakta asas teori-set seperti setiap set terkandung dalam satu set transitif, iaitu, satu set yang mengandungi semua unsur unsurnya (lihat Mathias 2001 untuk kelemahan teori set Zermelo). Tambahan lagi, oleh von Neumann, dari aksioma Yayasan, membawa kepada sistem aksioma teori set teori, yang dikenali sebagai aksioma Zermelo-Fraenkel ditambah Axiom of Choice, atau ZFC. Ia juga diperlukan untuk membuktikan kewujudan set sederhana seperti himpunan set terhingga turun temurun, iaitu, set terhingga yang unsurnya terbatas, unsur-unsurnya juga terbatas, dan sebagainya; atau untuk membuktikan fakta asas teori-set seperti setiap set terkandung dalam satu set transitif, iaitu, satu set yang mengandungi semua unsur unsurnya (lihat Mathias 2001 untuk kelemahan teori set Zermelo). Tambahan lagi, oleh von Neumann, dari aksioma Yayasan, membawa kepada sistem aksioma teori set teori, yang dikenali sebagai aksioma Zermelo-Fraenkel ditambah Axiom of Choice, atau ZFC. Ia juga diperlukan untuk membuktikan kewujudan set sederhana seperti himpunan set terhingga turun temurun, iaitu, set terhingga yang unsurnya terbatas, unsur-unsurnya juga terbatas, dan sebagainya; atau untuk membuktikan fakta asas teori-set seperti setiap set terkandung dalam satu set transitif, iaitu, satu set yang mengandungi semua unsur unsurnya (lihat Mathias 2001 untuk kelemahan teori set Zermelo). Tambahan lagi, oleh von Neumann, dari aksioma Yayasan, membawa kepada sistem aksioma teori set teori, yang dikenali sebagai aksioma Zermelo-Fraenkel ditambah Axiom of Choice, atau ZFC.atau untuk membuktikan fakta asas teori-set seperti setiap set terkandung dalam satu set transitif, iaitu, satu set yang mengandungi semua unsur unsurnya (lihat Mathias 2001 untuk kelemahan teori set Zermelo). Tambahan lagi, oleh von Neumann, dari aksioma Yayasan, membawa kepada sistem aksioma teori set teori, yang dikenali sebagai aksioma Zermelo-Fraenkel ditambah Axiom of Choice, atau ZFC.atau untuk membuktikan fakta asas teori-set seperti setiap set terkandung dalam satu set transitif, iaitu, satu set yang mengandungi semua unsur unsurnya (lihat Mathias 2001 untuk kelemahan teori set Zermelo). Tambahan lagi, oleh von Neumann, dari aksioma Yayasan, membawa kepada sistem aksioma teori set teori, yang dikenali sebagai aksioma Zermelo-Fraenkel ditambah Axiom of Choice, atau ZFC.

Aksiomatisasi teori set lain, seperti teori von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), atau Morse-Kelley (MK), juga memungkinkan untuk menjalani rawatan formal terhadap kelas yang betul.

2. Aksioma teori set

ZFC adalah sistem aksioma yang dirumuskan dalam logik orde pertama dengan persamaan dan hanya dengan satu simbol hubungan binari (in) untuk keahlian. Oleh itu, kami menulis (A / in B) untuk menyatakan bahawa (A) adalah ahli dari set (B). Lihat

Tambahan pada Teori Set Asas

untuk keterangan lebih lanjut. Lihat juga

Tambahan pada Teori Set Zermelo-Fraenkel

untuk versi rasmi aksioma dan komen selanjutnya. Kami menyatakan di bawah aksioma ZFC secara tidak rasmi.

2.1 Aksioma ZFC

  • Extensionality: Sekiranya dua set (A) dan (B) mempunyai unsur yang sama, maka ia sama.
  • Null Set: Terdapat satu set, dilambangkan dengan ({ varnothing}) dan disebut set kosong, yang tidak memiliki unsur.
  • Pasangan: Memandangkan sebarang set (A) dan (B), ada satu set, dilambangkan dengan ({A, B }), yang berisi (A) dan (B) sebagai satu-satunya unsur. Khususnya, terdapat set ({A }) yang memiliki (A) sebagai satu-satunya elemen.
  • Power Set: Untuk setiap set (A) ada satu set, dilambangkan dengan (mathcal {P} (A)) dan disebut set daya (A), yang elemennya adalah semua subset dari (A).
  • Kesatuan: Untuk setiap set (A), ada satu set, dilambangkan dengan (bigcup A) dan disebut penyatuan (A), yang unsurnya adalah semua unsur unsur (A)).
  • Infinity: Terdapat satu set yang tidak terhingga. Secara khusus, terdapat satu set (Z) yang berisi ({ varnothing}) dan sedemikian rupa sehingga jika (A / in Z), maka (bigcup {A, {A } } di Z).
  • Pemisahan: Untuk setiap set (A) dan setiap harta yang diberikan, ada satu set yang betul-betul mengandung unsur-unsur (A) yang memiliki sifat itu. Properti diberikan oleh formula (varphi) bahasa orde pertama set teori.

    Oleh itu, Pemisahan bukan aksioma tunggal tetapi skema aksioma, iaitu, senarai aksioma yang tidak terbatas, satu untuk setiap formula (varphi).

  • Penggantian: Untuk setiap fungsi yang ditentukan dengan domain satu set (A), ada satu set yang elemennya adalah semua nilai fungsi.

    Penggantian juga merupakan skema aksioma, kerana fungsi yang dapat ditentukan diberikan oleh formula.

  • Asas: Setiap set yang tidak kosong (A) mengandungi (in) - elemen minimum, iaitu elemen yang tidak ada unsur (A) yang menjadi miliknya.

Ini adalah aksioma teori set Zermelo-Fraenkel, atau ZF. Aksioma Set Null dan Pasangan mengikuti aksioma ZF yang lain, jadi ia mungkin dihilangkan. Juga, Penggantian bermaksud Pemisahan.

Akhirnya, terdapat Axiom of Choice (AC):

Pilihan: Untuk setiap set (A) set tidak berpasangan berpasangan-disjoint, ada satu set yang mengandungi tepat satu elemen dari setiap set di (A).

AC adalah, untuk masa yang lama, aksioma kontroversial. Di satu pihak, ia sangat berguna dan banyak digunakan dalam matematik. Sebaliknya, ia mempunyai konsekuensi yang tidak disengajakan, seperti Banach-Tarski Paradox, yang mengatakan bahawa bola unit dapat dibagi menjadi beberapa kepingan, yang kemudian dapat disusun kembali untuk membentuk dua bola bola. Penolakan terhadap aksioma timbul dari kenyataan bahawa ia menegaskan adanya set yang tidak dapat ditentukan secara eksplisit. Tetapi bukti Gödel pada tahun 1938 mengenai ketekalannya, berbanding dengan konsistensi ZF, menghilangkan kecurigaan yang tersisa mengenai hal itu.

Axiom of Choice adalah setara, modulo ZF, dengan Prinsip Susunan Baik, yang menegaskan bahawa setiap set dapat disusun dengan baik, iaitu, ia dapat disusun secara linear sehingga setiap subset yang tidak kosong mempunyai elemen minimum.

Walaupun tidak diperlukan secara formal, selain simbol (in) biasanya digunakan untuk kemudahan simbol lain yang ditentukan. Sebagai contoh, (A / subseteq B) menyatakan bahawa (A) adalah subset dari (B), iaitu, setiap anggota (A) adalah anggota (B). Simbol lain digunakan untuk menunjukkan set yang diperoleh dengan melakukan operasi asas, seperti (A / cup B), yang menunjukkan penyatuan (A) dan (B), iaitu, set yang unsurnya adalah elemen dari (A) dan (B); atau (A / cap B), yang menunjukkan persimpangan (A) dan (B), iaitu, set yang elemennya adalah yang umum untuk (A) dan (B). Pasangan yang disusun ((A, B)) ditakrifkan sebagai set ({ {A }, {A, B } }). Oleh itu, dua pasangan tertib ((A, B)) dan ((C, D)) sama jika dan hanya jika (A = C) dan (B = D). Dan produk Cartesian (A / times B) ditakrifkan sebagai kumpulan semua pasangan yang dipesan ((C,D)) sehingga (C / di A) dan (D / di B). Memandangkan sebarang formula (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)), dan set (A, B_1, / ldots, B_n), seseorang dapat membentuk kumpulan semua elemen (A) yang memenuhi formula (varphi (x, B_1, / ldots, B_n)). Set ini dilambangkan dengan ({a / in A: / varphi (a, B_1, / ldots, B_n) }). Di ZF seseorang dapat dengan mudah membuktikan bahawa semua set ini ada. Lihat Tambahan pada Teori Set Asas untuk perbincangan selanjutnya.

3. Teori ordinfinit dan kardinal

Dalam ZFC seseorang dapat mengembangkan teori Cantinian mengenai transfinit (iaitu, tak terhingga) nombor ordinal dan kardinal. Mengikuti definisi yang diberikan oleh Von Neumann pada awal tahun 1920-an, nombor ordinal, atau ringkasnya, diperoleh dengan memulakan dengan set kosong dan melakukan dua operasi: mengambil pengganti segera, dan melewati batas. Oleh itu, nombor ordinal pertama adalah ({ varnothing}). Diberikan ordinal (alpha), penggantinya segera, dilambangkan dengan (alpha +1), adalah set (alpha / cup { alpha }). Dan apabila diberikan sekumpulan ordinal yang tidak kosong (X) sehingga untuk setiap (alpha / in X) pengganti (alpha +1) juga berada di (X), seseorang memperoleh had ordinal (bigcup X). Satu menunjukkan bahawa setiap ordinal disusun dengan betul oleh (in), iaitu, ia disusun secara linear oleh (in) dan tidak ada urutan menurun (in) - yang tidak terhingga. Juga, setiap set yang disusun dengan baik adalah isomorfik kepada ordinal yang unik, yang disebut jenis pesanannya.

Perhatikan bahawa setiap ordinal adalah kumpulan pendahulunya. Walau bagaimanapun, kelas (ON) semua ordinal bukan satu set. Jika tidak, (ON) akan menjadi ordinal yang lebih besar daripada semua ordinal, yang mustahil. Ordinal tak terbatas pertama, yang merupakan kumpulan semua ordinal terhingga, dilambangkan dengan huruf Yunani omega ((omega)). Di ZFC, seseorang mengenal pasti bilangan teratas dengan nombor semula jadi. Oleh itu, ({ varnothing} = 0), ({{ varnothing} } = 1), ({{ varnothing}, {{ varnothing} } } = 2), dan lain-lain, oleh itu (omega) hanyalah himpunan (mathbb {N}) nombor semula jadi.

Seseorang dapat memperluas operasi penambahan dan pendaraban nombor semula jadi ke semua peraturan. Sebagai contoh, ordinal (alpha + / beta) adalah jenis-urutan susunan yang baik yang diperoleh dengan menggabungkan satu set-jenis-pesanan yang disusun dengan baik (alpha) dan satu set pesanan yang teratur -taip (beta). Urutan ordinal, disusun dengan baik oleh (in), bermula seperti berikut

0, 1, 2,…, (n),…, (omega), (omega + 1), (omega + 2),…, (omega + / omega),…, (N / cdot / omega),…, (omega / cdot / omega),…, (omega ^ n),…, (omega ^ / omega),…

Ordinan memenuhi prinsip induksi transfinite: andaikan bahawa (C) adalah kelas ordinal sehingga setiap kali (C) mengandungi semua ordinal (beta) lebih kecil daripada beberapa ordinal (alpha), maka (alpha) juga ada di (C). Kemudian kelas (C) mengandungi semua ordinal. Dengan menggunakan induksi transfinit, seseorang dapat membuktikan dalam ZFC (dan seseorang memerlukan aksioma Penggantian) prinsip penting pengulangan transfinit, yang mengatakan bahawa, dengan adanya fungsi kelas yang dapat ditentukan (G: V / to V), seseorang dapat menentukan kelas -fungsi (F: ON / to V) sehingga (F (alpha)) adalah nilai fungsi (G) yang diterapkan pada fungsi (F) yang dibatasi pada (alpha). Seseorang menggunakan rekursi transfinit, misalnya, untuk menentukan dengan tepat operasi aritmetik penambahan, produk, dan eksponen pada peraturan.

Ingatlah bahawa satu set tak terhingga dapat dihitung jika dapat didefinisikan, yaitu, ia dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu lawan satu, dengan (omega). Semua peraturan yang ditunjukkan di atas sama ada terhad atau boleh dikira. Tetapi sekumpulan semua ordinal terhingga dan terhitung juga merupakan ordinal, disebut (omega_1), dan tidak dapat dikira. Begitu juga, kumpulan semua ordinal yang dapat didefinisikan dengan beberapa ordinal yang kurang dari atau sama dengan (omega_1) juga merupakan ordinal, yang disebut (omega_2), dan tidak dapat disangka dengan (omega_1), dan begitulah seterusnya.

3.1 Kardinal

Kardinal adalah ordinal yang tidak boleh disangka dengan ordinal yang lebih kecil. Oleh itu, setiap ordinal terhingga adalah kardinal, dan (omega), (omega_1), (omega_2), dan lain-lain juga adalah kardinal. Kardinal tak terhingga diwakili oleh huruf aleph ((aleph)) abjad Ibrani, dan urutannya diindeks oleh ordinal. Ia bermula seperti ini

(aleph_0), (aleph_1), (aleph_2), …, (aleph_ / omega), (aleph_ { omega +1}), …, (aleph _ { omega + / omega}),…, (aleph _ { omega ^ 2}),…, (aleph _ { omega ^ / omega}),…, (aleph _ { omega_1}),…, (aleph _ { omega_2}),…

Oleh itu, (omega = / aleph_0), (omega_1 = / aleph_1), (omega_2 = / aleph_2), dan lain-lain. Untuk setiap kardinal terdapat yang lebih besar, dan had urutan yang bertambah kardinal juga kardinal. Oleh itu, kelas semua kardinal bukan satu set, tetapi kelas yang tepat.

Kardinal yang tidak terhingga (kappa) dipanggil biasa jika bukan penyatuan dengan kardinal yang lebih kecil daripada (kappa). Oleh itu, (aleph_0) adalah biasa, dan begitu juga semua kardinal pengganti yang tidak terhingga, seperti (aleph_1). Kardinal tak terhingga tidak biasa disebut tunggal. Kardinal tunggal yang pertama adalah (aleph_ / omega), kerana ia adalah penyatuan banyak kardinal yang lebih kecil, iaitu (aleph_ / omega = / bigcup_ {n <\ omega} aleph_n).

Kesamaan kardinal (kappa), dilambangkan dengan (cf (kappa)) adalah kardinal terkecil (lambda) sehingga (kappa) adalah penyatuan (lambda)) -banyak ordinal yang lebih kecil. Oleh itu, (cf (aleph_ / omega) = / aleph_0).

Oleh AC (dalam bentuk Prinsip Susunan Baik), setiap set (A) dapat disusun dengan baik, oleh itu ia dapat disangka dengan kardinal unik, yang disebut kardinaliti (A). Diberi dua kardinal (kappa) dan (lambda), jumlahnya (kappa + / lambda) ditakrifkan sebagai kardinaliti set yang terdiri daripada penyatuan mana-mana dua set disjoint, salah satu kardinaliti (kappa) dan salah satu kardinaliti (lambda). Dan produk (kappa / cdot / lambda) ditakrifkan sebagai kardinaliti produk Cartesian (kappa / times / lambda). Operasi jumlah dan produk kardinal tak terbatas adalah remeh, kerana jika (kappa) dan (lambda) adalah kardinal tak terbatas, maka (kappa + / lambda = / kappa / cdot / lambda = maksimum { kappa, / lambda }).

Sebaliknya, eksponen kardinal sangat tidak sepele, bahkan untuk nilai eksponen tak terbatas yang tidak sepele, iaitu (2 ^ { aleph_0}), tidak diketahui dan tidak dapat ditentukan dalam ZFC (lihat di bawah). Kardinal (kappa ^ / lambda) ditakrifkan sebagai kardinaliti produk Cartesian (lambda) salinan (kappa); sama, sebagai kardinaliti set semua fungsi dari (lambda) menjadi (kappa). Teorema König menegaskan bahawa (kappa ^ {cf (kappa)}> / kappa), yang menyiratkan bahawa kekompakan kardinal (2 ^ { aleph_0}), apa sahaja kardinal itu, mesti tidak dapat dihitung. Tetapi ini hanya yang dapat dibuktikan oleh ZFC mengenai nilai eksponen (2 ^ { aleph_0}).

Dalam kes eksponen kardinal tunggal, ZFC mempunyai banyak lagi yang boleh diperkatakan. Pada tahun 1989, Shelah membuktikan hasil yang luar biasa bahawa jika (aleph_ / omega) adalah had yang kuat, iaitu, (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega), untuk setiap (n <\ omega), kemudian (2 ^ { aleph_ / omega} <\ aleph _ { omega_4}) (lihat Shelah (1994)). Teknik yang dikembangkan oleh Shelah untuk membuktikan ini dan teorema serupa, dalam ZFC, disebut teori pcf (untuk kemungkinan kesamaan), dan telah menemui banyak aplikasi di bidang matematik yang lain.

4. Alam semesta (V) semua set

Secara posteriori, aksioma ZF selain Extensionality-yang tidak memerlukan pembenaran kerana ia hanya menyatakan sifat menentukan set-mungkin dibenarkan oleh penggunaannya dalam membangun hierarki kumulatif set. Yaitu, di ZF kita mendefinisikan menggunakan rekursi transfinite fungsi kelas yang memberikan setiap ordinal (alpha) set (V_ / alpha), diberikan seperti berikut:

  • (V_0 = { varnothing})
  • (V _ { alpha +1} = / mathcal {P} (V_ / alpha))
  • (V_ / alpha = / bigcup _ { beta <\ alpha} V_ / beta), setiap kali (alpha) adalah had ordinal.

Aksioma Set Daya digunakan untuk memperoleh (V _ { alpha +1}) dari (V_ / alpha). Penggantian dan Kesatuan membolehkan seseorang membentuk (V_ / alpha) untuk (alpha) had ordinal. Betul, pertimbangkan fungsi yang memberikan setiap (beta <\ alpha) set (V_ / beta). Dengan Penggantian, pengumpulan semua (V_ / beta), untuk (beta <\ alpha), adalah satu set, oleh itu aksioma Union yang diterapkan pada hasil tersebut (V_ / alpha). Aksioma Infinity diperlukan untuk membuktikan kewujudan (omega) dan oleh itu urutan ordinfinit. Akhirnya, aksioma Foundation adalah setara, dengan anggapan aksioma yang lain, dengan pernyataan bahawa setiap set tergolong dalam beberapa (V_ / alpha), untuk beberapa ordinal (alpha). Oleh itu, ZF membuktikan bahawa alam semesta teori set, yang dilambangkan dengan (V), adalah penyatuan semua (V_ / alpha), (alpha) ordinal.

Kelas yang betul (V), bersama dengan hubungan (in), memenuhi semua aksioma ZFC, dan dengan demikian merupakan model ZFC. Ini adalah model ZFC yang dimaksudkan, dan seseorang mungkin menganggap ZFC sebagai memberikan keterangan mengenai (V), suatu keterangan yang sangat tidak lengkap, seperti yang akan kita lihat di bawah.

Salah satu sifat penting (V) adalah Prinsip Refleksi yang disebut. Yaitu, untuk setiap formula (varphi (x_1, / ldots, x_n)), ZFC membuktikan bahawa terdapat beberapa (V_ / alpha) yang mencerminkannya, iaitu, untuk setiap (a_1, / ldots, a_n / dalam V_ / alpha),

(varphi (a_1, / ldots, a_n)) menahan (V) jika dan hanya jika (varphi (a_1, / ldots, a_n)) menahan di (V_ / alpha).

Oleh itu, (V) tidak dapat dicirikan oleh ayat apa pun, kerana mana-mana ayat yang benar di (V) mesti juga benar di beberapa segmen awal (V_ / alpha). Khususnya, ZFC tidak dapat di aksiomatikan, kerana jika tidak, ZFC akan membuktikan bahawa, kerana banyak peraturan yang tidak terikat (alpha), (V_ / alpha) adalah model ZFC, bertentangan dengan teorema ketidaklengkapan kedua Gödel (lihat Bahagian 5.2).

Prinsip Refleksi merangkumi inti dari teori set ZF, seperti yang ditunjukkan oleh Levy (1960), aksioma Extensionality, Separation, dan Foundation, bersama dengan Prinsip Refleksi, dirumuskan sebagai skema aksioma yang menegaskan bahawa setiap formula dicerminkan oleh beberapa set yang mengandungi semua elemen dan semua subset elemennya (perhatikan bahawa (V_ / alpha) seperti ini), setara dengan ZF.

5. Tetapkan teori sebagai asas matematik

Setiap objek matematik boleh dilihat sebagai satu set. Contohnya, nombor semula jadi dikenal pasti dengan bilangan teratur, jadi (mathbb {N} = / omega). Kumpulan bilangan bulat (mathbb {Z}) boleh didefinisikan sebagai kumpulan kelas kesetaraan pasangan nombor semula jadi di bawah hubungan kesetaraan ((n, m) equiv (n ', m')) jika dan hanya jika (n + m '= m + n'). Dengan mengenal pasti setiap nombor semula jadi (n) dengan kelas kesetaraan pasangan ((n, 0)), seseorang dapat memperluas operasi secara semula jadi jumlah dan produk nombor semula jadi (mathbb {Z}) (lihat Enderton (1977) untuk perincian, dan Levy (1979) untuk pembinaan yang berbeza). Selanjutnya, seseorang dapat menentukan rasional (mathbb {Q}) sebagai kumpulan kelas kesetaraan pasangan ((n, m)) bilangan bulat, di mana (m / ne 0), di bawah hubungan kesetaraan ((n, m) persamaan (n ', m')) jika dan hanya jika (n / cdot m '= m / cdot n'). Sekali lagi, operasi (+) dan (cdot) pada (mathbb {Z}) boleh dilanjutkan secara semula jadi ke (mathbb {Q}). Lebih-lebih lagi, susunan (leq _ { mathbb {Q}}) pada rasional diberikan oleh: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) jika dan hanya jika ada (t / in / mathbb {Q}) sehingga (s = r + t). Nombor sebenar boleh didefinisikan sebagai potongan Dedekind (mathbb {Q}), iaitu, nombor nyata diberikan oleh sepasang ((A, B)) dari set tak bersatu yang kosong sehingga (A / cup B = / mathbb {Q}), dan (a / leq _ { mathbb {Q}} b) untuk setiap (a / in A) dan (b / di B). Seseorang kemudian dapat melanjutkan operasi (+) dan (cdot) pada (mathbb {Q}), serta susunan (leq _ { mathbb {Q}}), ke set nombor nyata (mathbb {R}).operasi (+) dan (cdot) on (mathbb {Z}) boleh dilanjutkan secara semula jadi ke (mathbb {Q}). Lebih-lebih lagi, susunan (leq _ { mathbb {Q}}) pada rasional diberikan oleh: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) jika dan hanya jika ada (t / in / mathbb {Q}) sehingga (s = r + t). Nombor sebenar boleh didefinisikan sebagai potongan Dedekind (mathbb {Q}), iaitu, nombor nyata diberikan oleh sepasang ((A, B)) dari set tak bersatu yang kosong sehingga (A / cup B = / mathbb {Q}), dan (a / leq _ { mathbb {Q}} b) untuk setiap (a / in A) dan (b / di B). Seseorang kemudian dapat melanjutkan operasi (+) dan (cdot) pada (mathbb {Q}), serta susunan (leq _ { mathbb {Q}}), ke set nombor nyata (mathbb {R}).operasi (+) dan (cdot) on (mathbb {Z}) boleh dilanjutkan secara semula jadi ke (mathbb {Q}). Lebih-lebih lagi, susunan (leq _ { mathbb {Q}}) pada rasional diberikan oleh: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) jika dan hanya jika ada (t / in / mathbb {Q}) sehingga (s = r + t). Nombor sebenar boleh didefinisikan sebagai potongan Dedekind (mathbb {Q}), iaitu, nombor nyata diberikan oleh sepasang ((A, B)) dari set tak bersatu yang kosong sehingga (A / cup B = / mathbb {Q}), dan (a / leq _ { mathbb {Q}} b) untuk setiap (a / in A) dan (b / di B). Seseorang kemudian dapat melanjutkan operasi (+) dan (cdot) pada (mathbb {Q}), serta susunan (leq _ { mathbb {Q}}), ke set nombor nyata (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) jika dan hanya jika ada (t / in / mathbb {Q}) sehingga (s = r + t). Nombor sebenar boleh didefinisikan sebagai potongan Dedekind (mathbb {Q}), iaitu, nombor nyata diberikan oleh sepasang ((A, B)) dari set tak bersatu yang kosong sehingga (A / cup B = / mathbb {Q}), dan (a / leq _ { mathbb {Q}} b) untuk setiap (a / in A) dan (b / di B). Seseorang kemudian dapat melanjutkan operasi (+) dan (cdot) pada (mathbb {Q}), serta susunan (leq _ { mathbb {Q}}), ke set nombor nyata (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) jika dan hanya jika ada (t / in / mathbb {Q}) sehingga (s = r + t). Nombor sebenar boleh didefinisikan sebagai potongan Dedekind (mathbb {Q}), iaitu, nombor nyata diberikan oleh sepasang ((A, B)) dari set tak bersatu yang kosong sehingga (A / cup B = / mathbb {Q}), dan (a / leq _ { mathbb {Q}} b) untuk setiap (a / in A) dan (b / di B). Seseorang kemudian dapat melanjutkan operasi (+) dan (cdot) pada (mathbb {Q}), serta susunan (leq _ { mathbb {Q}}), ke set nombor nyata (mathbb {R}).serta susunan (leq _ { mathbb {Q}}), ke set nombor nyata (mathbb {R}).serta susunan (leq _ { mathbb {Q}}), ke set nombor nyata (mathbb {R}).

Mari kita tekankan bahawa tidak diklaim bahawa, misalnya, angka sebenarnya adalah potongan Dedekind dari rasional, kerana mereka juga boleh didefinisikan menggunakan urutan Cauchy, atau dengan cara lain yang berbeza. Yang penting, dari sudut pandang asas, adalah bahawa versi set-teoretik (mathbb {R}), bersama dengan operasi algebra biasa, memenuhi aksioma kategoris yang memuaskan nombor nyata, iaitu bidang pesanan lengkap. Soalan metafizik tentang apa sebenarnya nombor sebenarnya tidak relevan di sini.

Struktur aljabar juga dapat dilihat sebagai set, kerana mana-mana hubungan (n) - ary pada unsur-unsur satu set (A) dapat dilihat sebagai satu set (n) - tuples ((a_1, / ldots, a_n)) unsur (A). Dan mana-mana (n) - fungsi ary (f) on (A), dengan nilai pada beberapa set (B), dapat dilihat sebagai set (n + 1) - tuples (((a_1, / ldots, a_n), b)) sehingga (b) adalah nilai (f) pada ((a_1, / ldots, a_m)). Oleh itu, sebagai contoh, kumpulan hanya tiga kali ganda ((A, +, 0)), di mana (A) adalah set yang tidak kosong, (+) adalah fungsi binari pada (A) yang bersekutu, (0) adalah elemen (A) sehingga (a + 0 = 0 + a = a), untuk semua (a / di A), dan untuk setiap (a / in A) ada unsur (A), dilambangkan dengan (- a), sehingga (a + (- a) = (- a) + a = 0). Juga, ruang topologi hanyalah satu set (X) bersama dengan topologi (tau) di atasnya, iaitu,(tau) adalah subset dari (mathcal {P} (X)) yang mengandung (X) dan ({ varnothing}), dan ditutup di bawah kesatuan sewenang-wenang dan persimpangan terhingga. Objek matematik apa pun boleh dilihat sebagai satu set, atau kelas yang tepat. Sifat-sifat objek kemudian dapat dinyatakan dalam bahasa teori set. Sebarang pernyataan matematik dapat diformalkan ke dalam bahasa teori set, dan teorema matematik apa pun dapat diturunkan, menggunakan kalkulus logik orde pertama, dari aksioma ZFC, atau dari beberapa peluasan ZFC. Dalam pengertian ini, teori set menyediakan asas untuk matematik. Sifat-sifat objek kemudian dapat dinyatakan dalam bahasa teori set. Sebarang pernyataan matematik dapat diformalkan ke dalam bahasa teori set, dan teorema matematik apa pun dapat diturunkan, menggunakan kalkulus logik orde pertama, dari aksioma ZFC, atau dari beberapa peluasan ZFC. Dalam pengertian ini, teori set menyediakan asas untuk matematik. Sifat-sifat objek kemudian dapat dinyatakan dalam bahasa teori set. Sebarang pernyataan matematik dapat diformalkan ke dalam bahasa teori set, dan teorema matematik apa pun dapat diturunkan, menggunakan kalkulus logik orde pertama, dari aksioma ZFC, atau dari beberapa peluasan ZFC. Dalam pengertian ini, teori set menyediakan asas untuk matematik.

Peranan asas teori set untuk matematik, walaupun penting, sama sekali bukan satu-satunya justifikasi kajiannya. Idea dan teknik yang dikembangkan dalam teori set, seperti penggabungan tak terhingga, memaksa, atau teori kardinal besar, telah mengubahnya menjadi teori matematik yang mendalam dan menarik, layak untuk dikaji sendiri, dan dengan aplikasi penting untuk hampir semua bidang matematik.

5.1 Metamatik

Fakta luar biasa bahawa hampir semua matematik dapat diformalkan dalam ZFC, memungkinkan kajian matematik matematik itu sendiri. Oleh itu, sebarang pertanyaan mengenai kewujudan beberapa objek matematik, atau keterbuktian dugaan atau hipotesis dapat diberikan rumusan yang tepat secara matematik. Ini menjadikan metamathematics mungkin, iaitu kajian matematik matematik itu sendiri. Oleh itu, persoalan mengenai kebolehpercayaan atau ketidakbuktian mana-mana pernyataan matematik yang diberikan menjadi soalan matematik yang masuk akal. Apabila berhadapan dengan masalah atau dugaan matematik terbuka, masuk akal untuk meminta pembuktian atau ketidaksesuaiannya dalam sistem formal ZFC. Malangnya, jawapannya tidak mungkin, kerana ZFC, jika konsisten, tidak lengkap.

5.2 Fenomena ketidaklengkapan

Teorema kelengkapan Gödel untuk logik pesanan pertama menyiratkan bahawa ZFC konsisten -ie, tidak ada percanggahan yang dapat diturunkan darinya-jika dan hanya jika ia mempunyai model. Model ZFC adalah pasangan ((M, E)), di mana (M) adalah set yang tidak kosong dan (E) adalah hubungan binari pada (M) sehingga semua aksioma ZFC adalah benar apabila ditafsirkan dalam ((M, E)), iaitu, apabila pemboleh ubah yang muncul dalam aksioma merangkumi elemen (M), dan (di) ditafsirkan sebagai (E). Oleh itu, jika (varphi) adalah kalimat bahasa teori set dan seseorang dapat menemui model ZFC di mana (varphi) memegang, maka penolakannya (neg / varphi) tidak dapat dibuktikan di ZFC. Oleh itu, jika seseorang dapat menemui model (varphi) dan juga model (neg / varphi), maka (varphi) tidak dapat dibuktikan atau tidak dapat dibuktikan dalam ZFC, dalam hal ini kita mengatakan bahawa (varphi) tidak dapat ditentukan dalam,atau bebas daripada, ZFC.

Pada tahun 1931, Gödel mengumumkan teorinya yang tidak lengkap, yang menegaskan bahawa sistem formal matematik yang munasabah semestinya tidak lengkap. Khususnya, jika ZFC konsisten, maka ada cadangan yang tidak dapat ditentukan dalam ZFC. Lebih-lebih lagi, teorema ketidaklengkapan kedua Gödel menyiratkan bahawa pernyataan formal (aritmetik) (CON (ZFC)), yang menegaskan bahawa ZFC konsisten, walaupun benar, tidak dapat dibuktikan dalam ZFC. Dan juga penolakannya. Oleh itu, (CON (ZFC)) tidak dapat ditentukan dalam ZFC.

Sekiranya ZFC konsisten, maka ia tidak dapat membuktikan keberadaan model ZFC, kerana sebaliknya ZFC akan membuktikan konsistensinya sendiri. Oleh itu, bukti ketekalan atau ketidaktentuan ayat yang diberikan (varphi) selalu menjadi bukti konsistensi relatif. Maksudnya, seseorang menganggap bahawa ZFC konsisten, oleh itu ia mempunyai model, dan kemudian seseorang membuat model ZFC yang lain di mana kalimat (varphi) adalah benar. Kita akan melihat beberapa contoh di bahagian seterusnya.

6. Teori set kontinum

Dari Cantor dan hingga sekitar tahun 1940, teori set dikembangkan terutamanya di sekitar kajian kontinum, iaitu garis sebenar (mathbb {R}). Topik utamanya adalah kajian mengenai apa yang disebut sifat keteraturan, dan juga sifat struktur lain, dari set nombor nyata yang dapat ditentukan, bidang matematik yang dikenali sebagai Teori Set Deskriptif.

6.1 Teori Set Deskriptif

Teori Set Deskriptif adalah kajian mengenai sifat dan struktur set nombor nyata yang dapat ditentukan dan, lebih umum, subset yang dapat ditentukan dari (mathbb {R} ^ n) dan ruang Poland lain (iaitu, ruang topologi yang homeomorfik untuk ruang metrik lengkap yang boleh dipisahkan), seperti ruang Baire (mathcal {N}) semua fungsi (f: / mathbb {N} to / mathbb {N}), ruang nombor kompleks, Hilbert ruang, dan ruang Banach yang boleh dipisahkan. Kumpulan nombor nyata yang paling mudah adalah set terbuka asas (iaitu, selang terbuka dengan titik akhir yang rasional), dan pelengkap mereka. Set yang diperoleh dalam sejumlah langkah dengan memulakan dari set terbuka asas dan menerapkan operasi mengambil pelengkap dan membentuk penyatuan yang dapat dikira dari set yang diperoleh sebelumnya adalah set Borel. Semua set Borel adalah biasa, iaitu,mereka menikmati semua sifat keteraturan klasik. Salah satu contoh sifat keteraturan adalah kebolehukuran Lebesgue: satu set kenyataan adalah Lebesgue yang dapat diukur jika ia berbeza dari set Borel oleh set nol, yaitu, satu set yang dapat dilindungi oleh set selang waktu terbuka asas dengan panjang total sewenang-wenangnya-kecil. Oleh itu, secara sepele, setiap set Borel dapat diukur Lebesgue, tetapi set yang lebih rumit daripada yang mungkin Borel. Sifat keteraturan klasik yang lain adalah harta Baire (satu set real mempunyai harta Baire jika berbeza dengan set terbuka oleh set yang sedikit, iaitu, satu set yang merupakan penyatuan set yang dapat dikira yang tidak padat dalam selang mana pun), dan harta set yang sempurna (satu set real mempunyai harta set yang sempurna jika ia boleh dikira atau mengandungi satu set yang sempurna, iaitu, satu set tertutup yang tidak mudah tanpa titik terpencil). Dalam ZFC seseorang dapat membuktikan bahawa ada set real yang tidak biasa, tetapi AC diperlukan untuk ini (Solovay 1970).

Kumpulan analitik, juga disebut (mathbf { Sigma} ^ 1_1), adalah gambar berterusan kumpulan Borel. Dan set bersama-analitik, atau (mathbf { Pi} ^ 1_1), adalah pelengkap kumpulan analitik.

Bermula dari set analitik (atau ko-analitik) dan menerapkan operasi unjuran (dari ruang produk (mathbb {R} times / mathcal {N}) hingga (mathbb {R})) dan sebagai pelengkap, seseorang memperoleh set projektif. Kumpulan projektif membentuk hierarki peningkatan kerumitan. Contohnya, jika (A / subseteq / mathbb {R} times / mathcal {N}) adalah analitik bersama, maka unjuran ({x / in / mathbb {R}: / wujud y / in / mathcal {N} ((x, y) in A) }) adalah set projektif pada tahap kerumitan seterusnya di atas set co-analytic. Set tersebut dipanggil (mathbf { Sigma} ^ 1_2), dan pelengkap mereka dipanggil (mathbf { Pi} ^ 1_2).

Set projektif muncul secara semula jadi dalam praktik matematik, kerana ternyata satu set real (A) real dapat diproyeksikan jika dan hanya jika dapat ditentukan dalam struktur

(mathcal {R} = (mathbb {R}, +, / cdot, / mathbb {Z}).)

Maksudnya, terdapat formula pesanan pertama (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)) dalam bahasa untuk struktur sedemikian rupa sehingga untuk beberapa (r_1, / ldots, r_n / in / mathbb {R }), [A = {x / in / mathbb {R}: / mathcal {R} models / varphi (x, r_1, / ldots, r_n) }.)

ZFC membuktikan bahawa setiap set analitik, dan oleh itu setiap set analisis bersama, dapat diukur Lebesgue dan memiliki harta Baire. Ini juga membuktikan bahawa setiap set analitik mempunyai sifat set yang sempurna. Tetapi sifat set sempurna untuk set analitik bersama menunjukkan bahawa kardinal pertama yang tidak dapat dihitung, (aleph_1), adalah kardinal besar di alam semesta yang dapat dibina (L) (lihat Bahagian 7), iaitu kardinal yang disebut tidak dapat diakses (lihat Bahagian 10), yang menunjukkan bahawa seseorang tidak dapat membuktikan dalam ZFC bahawa setiap set analisis bersama mempunyai sifat set yang sempurna.

Teori kerumitan projektif yang lebih besar daripada analisis bersama sama sekali tidak dapat ditentukan oleh ZFC. Sebagai contoh, di (L) ada set (mathbf { Sigma} ^ 1_2) yang tidak dapat diukur Lebesgue dan tidak memiliki harta Baire, sedangkan jika aksioma Martin berlaku (lihat Bahagian 11), setiap set sedemikian mempunyai sifat keteraturan. Terdapat, bagaimanapun, aksioma, yang disebut aksioma Penentuan Proyektif, atau PD, yang selaras dengan ZFC, modulo konsistensi beberapa kardinal besar (sebenarnya, ia berasal dari adanya beberapa kardinal besar), dan menyiratkan bahawa semua set projektif adalah biasa. Lebih-lebih lagi, PD menyelesaikan semua soalan mengenai set projektif. Lihat entri mengenai kardinal besar dan ketetapan untuk maklumat lebih lanjut.

6.2 Ketetapan

Harta kebiasaan set yang merangkumi semua sifat keteraturan klasik lain adalah ditentukan. Untuk kesederhanaan, kami akan bekerjasama dengan ruang Baire (mathcal {N}). Ingat bahawa elemen (mathcal {N}) adalah fungsi (f: / mathbb {N} to / mathbb {N}), iaitu urutan bilangan panjang semula jadi (omega). Ruang (mathcal {N}) setara secara topologi (iaitu, homeomorfik) dengan set titik tidak rasional (mathbb {R}). Oleh itu, kerana kami berminat dengan sifat keteraturan subkumpulan (mathbb {R}), dan kerana set yang dapat dikira, seperti kumpulan rasional, dapat diabaikan dari segi sifat tersebut, kami mungkin juga bekerja dengan (mathcal {N}), bukan (mathbb {R}).

Diberi (A / subseteq / mathcal {N}), permainan yang dikaitkan dengan (A), dilambangkan oleh ({ mathcal G} _A), mempunyai dua pemain, I dan II, yang bermain secara alternatif (n_i / in / mathbb {N}): Saya bermain (n_0), kemudian II bermain (n_1), kemudian saya bermain (n_2), dan seterusnya. Oleh itu, pada peringkat (2k), pemain I bermain (n_ {2k}) dan pada tahap (2k + 1), pemain II bermain (n_ {2k + 1}). Kami dapat menggambarkan permainan ini seperti berikut:

(mathbf {I}) (n_0) (n_2) (n_4) (cdots) (n_ {2k}) (cdots)
(mathbf {II}) (n_1) (n_3) (cdots) (cdots) (n_ {2k + 1}) (cdots)

Setelah banyak bergerak, kedua pemain menghasilkan urutan tak terbatas (n_0, n_1, n_2, / ldots) nombor semula jadi. Pemain I memenangi permainan jika urutan itu milik (A). Jika tidak, pemain II menang.

Permainan ({ mathcal {G}} _ A) ditentukan jika ada strategi menang untuk salah satu pemain. Strategi menang untuk salah satu pemain, katakan untuk pemain II, adalah fungsi (sigma) dari rangkaian urutan terhingga nombor semula jadi menjadi (mathbb {N}), sehingga jika pemain bermain sesuai untuk fungsi ini, iaitu, dia bermain (sigma (n_0, / ldots, n_ {2k})) pada giliran (k) - ke-3, dia akan selalu memenangi permainan, tidak kira apa yang pemain lain lakukan.

Kami mengatakan bahawa subset (A) dari (mathcal {N}) ditentukan jika dan hanya jika permainan ({ mathcal {G}} _ A) ditentukan.

Seseorang dapat membuktikan dalam ZFC-dan penggunaan AC diperlukan-bahawa ada set yang tidak ditentukan. Oleh itu, Axiom of Determinacy (AD), yang menegaskan bahawa semua subset (mathcal {N}) ditentukan, tidak sesuai dengan AC. Tetapi Donald Martin membuktikan, di ZFC, bahawa setiap set Borel ditentukan. Selanjutnya, dia menunjukkan bahawa jika ada kardinal besar yang disebut terukur (lihat Bahagian 10), bahkan set analitik ditentukan. Aksioma Penentuan Projektif (PD) menegaskan bahawa setiap set projektif ditentukan. Ternyata PD menyiratkan bahawa semua set real projektif adalah biasa, dan Woodin telah menunjukkan bahawa, dalam arti tertentu, PD menyelesaikan semua persoalan mengenai set projektif. Lebih-lebih lagi, PD nampaknya diperlukan untuk ini. Aksioma lain, (AD ^ {L (Bbb R)}), menegaskan bahawa AD menahan di (L (Bbb R)),yang merupakan kelas transitif paling sedikit yang mengandungi semua ordinal dan semua nombor nyata, dan memenuhi aksioma ZF (lihat Bahagian 7). Oleh itu, (AD ^ {L (Bbb R)}) menyiratkan bahawa setiap set real yang dimiliki oleh (L (Bbb R)) adalah biasa. Juga, kerana (L (Bbb R)) mengandungi semua set projektif, (AD ^ {L (Bbb R)}) menyiratkan PD.

6.3 Hipotesis Continuum

Hipotesis Continuum (CH), yang dirumuskan oleh Cantor pada tahun 1878, menegaskan bahawa setiap set nombor nyata yang tidak terbatas mempunyai kardinaliti sama ada (aleph_0) atau kardinaliti yang sama dengan (mathbb {R}). Oleh itu, CH setara dengan (2 ^ { aleph_0} = / aleph_1).

Cantor membuktikan pada tahun 1883 bahawa set nombor nyata yang tertutup mempunyai harta set yang sempurna, yang mana setiap kumpulan nombor nyata yang tertutup mempunyai kardinaliti yang sama dengan (mathbb {R}). Oleh itu, CH menahan set tertutup. Lebih dari tiga puluh tahun kemudian, Pavel Aleksandrov memberikan hasilnya ke semua set Borel, dan kemudian Mikhail Suslin ke semua set analitik. Oleh itu, semua set analitik memenuhi CH. Walau bagaimanapun, usaha untuk membuktikan bahawa set analisis bersama memuaskan CH tidak akan berjaya, kerana ini tidak dapat dibuktikan di ZFC.

Pada tahun 1938 Gödel membuktikan konsistensi CH dengan ZFC. Dengan mengandaikan bahawa ZF konsisten, dia membangun model ZFC, yang dikenali sebagai alam semesta yang dapat dibina, di mana CH memegang. Oleh itu, bukti menunjukkan bahawa jika ZF konsisten, begitu juga ZF bersama dengan AC dan CH. Oleh itu, dengan anggapan ZF konsisten, AC tidak dapat disangkal dalam ZF dan CH tidak dapat disangkal dalam ZFC.

Lihat entri mengenai hipotesis kontinum untuk status masalah semasa, termasuk hasil terkini oleh Woodin.

7. Alam semesta yang dapat dibina Gödel

Alam semesta yang dapat dibina Gödel, dilambangkan dengan (L), didefinisikan oleh rekursi transfinite pada ordinal, sama seperti (V), tetapi pada langkah-langkah penerus, bukannya mengambil set kuasa (V_ / alpha) untuk memperoleh (V _ { alpha +1}), seseorang hanya mengambil subset dari (L_ / alpha) yang dapat ditentukan dalam (L_ / alpha), menggunakan elemen (L_ / alpha) sebagai parameter. Oleh itu, membiarkan (mathcal {P} ^ {Def} (X)) menandakan set semua subset dari (X) yang dapat ditentukan dalam struktur ((X, / in)) oleh rumus bahasa teori set, menggunakan unsur (X) sebagai parameter definisi, kita biarkan

  • (L_0 = { varnothing})
  • (L _ { alpha +1} = / mathcal {P} ^ {Def} (L_ / alpha))
  • (L_ / lambda = / bigcup _ { alpha <\ lambda} L_ / alpha), bila-bila (lambda) adalah had ordinal.

Maka (L) adalah penyatuan semua (L_ / alpha), untuk (alpha) ordinal, iaitu, (L = / bigcup _ { alpha / in ON} L_ / alpha).

Gödel menunjukkan bahawa (L) memenuhi semua aksioma ZFC, dan juga CH. Sebenarnya, ia memenuhi Hipotesis Kontinum Umum (GCH), iaitu (2 ^ { aleph_ / alpha} = / aleph _ { alpha +1}), untuk setiap ordinal (alpha).

Pernyataan (V = L), yang disebut aksioma konstruktiviti, menegaskan bahawa setiap set adalah milik (L). Ia bertahan di (L), oleh itu ia konsisten dengan ZFC, dan menyiratkan AC dan GCH.

Kelas yang betul (L), bersama dengan hubungan (in) yang dibatasi pada (L), adalah model dalaman ZFC, iaitu transitif (iaitu, ia mengandungi semua unsur elemennya) kelas yang mengandungi semua peraturan dan memenuhi semua aksioma ZFC. Ini sebenarnya model dalaman ZFC terkecil, seperti model dalaman lain yang mengandunginya.

Secara lebih umum, dengan set apa pun (A), seseorang dapat membina model transitif terkecil ZF yang berisi (A) dan semua ordinal dengan cara yang serupa dengan (L), tetapi sekarang bermula dengan penutupan transitif ({A }), iaitu, set transitif terkecil yang mengandungi (A), bukan ({ varnothing}). Model yang dihasilkan, (L (A)), tidak semestinya model AC. Satu model yang sangat penting ialah (L (mathbb {R})), model transitif terkecil ZF yang mengandungi semua ordinal dan semua nombor sebenarnya.

Teori set yang dapat dibina berhutang pada karya Ronald Jensen. Dia mengembangkan apa yang disebut teori struktur halus (L) dan mengasingkan beberapa prinsip kombinasi, seperti berlian ((diamondsuit)) dan persegi ((Box)), yang dapat digunakan untuk membawa mengeluarkan pembinaan rumit objek matematik yang tidak dapat dikira. Teori struktur halus juga berperanan penting dalam analisis model seperti (L) yang lebih besar, seperti (L (mathbb {R})) atau model dalaman untuk kardinal besar (lihat Bahagian 10.1).

8. Memaksa

Pada tahun 1963, dua puluh lima tahun setelah bukti Gödel mengenai konsistensi CH dan AC, berbanding dengan konsistensi ZF, Paul Cohen (1966) membuktikan konsistensi penolakan CH, dan juga penolakan AC, berbanding dengan ketekalan ZF. Oleh itu, jika ZF adalah konsisten, maka CH tidak dapat diturunkan dalam ZFC, dan AC tidak dapat ditentukan dalam ZF. Untuk mencapainya, Cohen merancang teknik baru dan sangat kuat, yang disebut memaksa, untuk mengembangkan model transitif ZF yang dapat dihitung.

Oleh kerana aksioma (V = L) menyiratkan AC dan CH, setiap model penolakan AC atau CH mesti melanggar (V = L). Oleh itu, mari kita gambarkan idea memaksa sekiranya membina model untuk penolakan (V = L). Kita mulakan dengan model transitif (M) ZFC, yang mungkin kita anggap, tanpa kehilangan keluasan, menjadi model (V = L). Untuk melanggar (V = L) kita perlu mengembangkan (M) dengan menambahkan set baru (r) sehingga, dalam model yang diperluas, (r) tidak dapat dibina. Oleh kerana semua set terhingga turun temurun, kami berhasrat untuk menambahkan satu set nombor semula jadi yang tidak terbatas. Masalah pertama yang kita hadapi ialah (M) mungkin sudah mengandung semua subset dari (omega). Nasib baik, oleh teorema Löwenheim-Skolem untuk logik pesanan pertama, (M) mempunyai submodel dasar yang dapat dikira (N). Oleh itu, kerana kami hanya berminat dengan pernyataan yang terdapat di (M),dan bukan di (M) itu sendiri, kita juga boleh bekerja dengan (N) dan bukan (M), dan oleh itu kita boleh menganggap bahawa (M) itu sendiri dapat dikira. Oleh itu, kerana (mathcal {P} (omega)) tidak dapat dihitung, terdapat banyak subset dari (omega) yang bukan milik (M). Tetapi, sayangnya, kita tidak boleh memilih subset yang tidak terhingga (r) dari (omega) yang bukan milik (M) dan menambahkannya ke (M). Sebabnya ialah (r) mungkin menyandikan banyak maklumat, sehingga ketika ditambahkan ke (M), (M) tidak lagi menjadi model ZFC, atau masih merupakan model (V = L). Untuk mengelakkan ini, seseorang perlu memilih (r) dengan berhati-hati. Ideanya adalah memilih (r) generik di atas (M), yang bermaksud bahawa (r) dibina dari perkiraannya yang terbatas sehingga tidak mempunyai harta yang dapat ditentukan di (M)) dan dapat dielakkan. Sebagai contoh,dengan melihat (r) sebagai urutan nombor semula jadi yang tidak terhingga dalam urutan yang semakin meningkat, sifat (r) yang mengandungi hanya bilangan bulat-banyak genap dapat dielakkan, kerana jika ada perkiraan terbatas untuk (r) - iaitu, sebarang urutan nombor semula jadi yang semakin meningkat-seseorang selalu dapat memperluasnya dengan menambahkan lebih banyak nombor genap, sehingga pada akhir pembinaan (r) akan mengandungi bilangan genap yang banyak; sementara sifat yang mengandungi angka 7 tidak dapat dihindari, kerana ketika penghitungan yang terbatas untuk (r) mengandung angka 7, maka tetap ada tidak peduli bagaimana proses pembinaan (r) berlangsung. Oleh kerana (M) dapat dikira, terdapat generik seperti itu (r). Kemudian model yang diperluas (M [r]), yang merangkumi (M) dan berisi set baru (r), disebut peluasan generik (M). Oleh kerana kami menganggap (M) adalah model transitif dari (V = L),model (M [r]) hanya (L_ / alpha (r)), di mana (alpha) adalah supremum dari ordinal (M). Kemudian seseorang dapat menunjukkan, menggunakan hubungan memaksa antara penghampiran hingga (r) dan formula dalam bahasa teori set diperluas dengan nama yang disebut untuk set dalam peluasan generik, bahawa (M [r]) adalah model ZFC dan (r) tidak boleh dibina di (M [r]), oleh itu aksioma konstruktiviti (V = L) gagal.

Secara umum, peluasan paksa model (M) diperoleh dengan menambahkan (M) subset generik (G) dari beberapa set yang disusun separa (mathbb {P}) milik (M). Dalam contoh di atas, (mathbb {P}) adalah sekumpulan semua urutan nombor terbatas yang semakin meningkat, dilihat sebagai penghampiran hingga urutan tak terbatas (r), yang disusun oleh (subseteq); dan (G) akan menjadi kumpulan semua segmen awal terhingga (r).

Sekiranya terdapat bukti konsistensi penolakan CH, seseorang bermula dari model (M) dan menambahkan (aleph_2) subset baru (omega), sehingga dalam lanjutan generik CH gagal. Dalam kes ini seseorang perlu menggunakan susunan separa yang sesuai (mathbb {P}) supaya (aleph_2) dari (M) tidak runtuh, iaitu sama dengan (aleph_2) peluasan generik, dan dengan itu peluasan generik (M [G]) akan memenuhi ayat yang mengatakan bahawa terdapat (aleph_2) nombor nyata.

8.1 Aplikasi paksa lain

Selain CH, banyak dugaan dan masalah matematik lain mengenai kontinum, dan objek matematik tak terhingga lainnya, telah terbukti tidak dapat ditentukan dalam ZFC menggunakan teknik paksaan.

Salah satu contoh penting ialah Hipotesis Suslin (SH). Cantor telah menunjukkan bahawa setiap set yang disusun secara linear (S) tanpa titik akhir yang padat (iaitu, di antara dua elemen berlainan (S) ada yang lain), lengkap (iaitu, setiap subset (S) yang dibatasi di atas mempunyai supremum), dan dengan subset padat yang dapat dikira adalah isomorfik ke garis sebenar. Suslin menduga bahawa ini masih berlaku jika seseorang melonggarkan syarat untuk mengandungi subset padat yang dapat dikira menjadi ccc, iaitu, setiap koleksi selang berpasangan-disjoint dapat dihitung. Pada awal tahun 1970-an, Thomas Jech menghasilkan contoh yang konsisten dengan menggunakan paksa, dan Ronald Jensen menunjukkan bahawa contoh yang ada ada di (L). Pada masa yang sama,Robert Solovay dan Stanley Tennenbaum (1971) mengembangkan dan menggunakan untuk pertama kalinya teknik memaksa berulang untuk menghasilkan model di mana SH memegang, sehingga menunjukkan kebebasannya dari ZFC. Untuk memastikan bahawa SH berlaku dalam pelanjutan generik, seseorang perlu memusnahkan semua contoh, tetapi dengan menghancurkan satu contoh tertentu, seseorang secara tidak sengaja dapat membuat yang baru, dan oleh itu seseorang perlu memaksanya berulang-ulang; sebenarnya seseorang perlu meneruskan sekurang-kurangnya (omega_2) - banyak langkah. Inilah sebabnya mengapa lelaran paksa diperlukan.sebenarnya seseorang perlu meneruskan sekurang-kurangnya (omega_2) - banyak langkah. Inilah sebabnya mengapa lelaran paksa diperlukan.sebenarnya seseorang perlu meneruskan sekurang-kurangnya (omega_2) - banyak langkah. Inilah sebabnya mengapa lelaran paksa diperlukan.

Di antara masalah matematik terkenal lain yang telah ditunjukkan dalam ZFC berkat teknik memaksa, terutamanya menggunakan gaya memaksa dan kadang-kadang digabungkan dengan kardinal besar, kita mungkin menyebutkan Masalah Pengukuran dan Teori Borel dalam teori ukuran, Kaplansky's Conjecture on Banach algebras, dan Masalah Whitehead dalam teori kumpulan.

9. Pencarian aksioma baru

Sebagai hasil 50 tahun pengembangan teknik paksaan, dan penerapannya untuk banyak masalah terbuka dalam matematik, sekarang ada ribuan pertanyaan, di hampir semua bidang matematik, yang telah terbukti tidak bergantung pada ZFC. Ini merangkumi hampir semua soalan mengenai struktur set yang tidak dapat dikira. Seseorang mungkin mengatakan bahawa fenomena yang tidak dapat dipastikan meresap, sehingga penyelidikan yang tidak dapat dihitung telah dibuat hampir mustahil di ZFC sahaja (lihat bagaimanapun Shelah (1994) untuk pengecualian yang luar biasa).

Ini menimbulkan persoalan mengenai nilai kebenaran penyataan yang tidak diputuskan oleh ZFC. Perlukah seseorang merasa puas dengan mereka? Adakah masuk akal sama sekali untuk meminta nilai kebenaran mereka? Terdapat beberapa kemungkinan reaksi terhadap perkara ini. Salah satunya adalah kedudukan skeptis: pernyataan yang tidak dapat ditentukan dalam ZFC tidak mempunyai jawapan yang pasti; dan mereka mungkin tidak jelas. Yang lain, yang biasa di kalangan ahli matematik, adalah kedudukan Gödel: ketidaktentuan hanya menunjukkan bahawa sistem ZFC terlalu lemah untuk menjawab soalan-soalan itu, dan oleh itu seseorang harus mencari aksioma baru yang pernah ditambahkan ke ZFC akan menjawabnya. Pencarian aksioma baru telah dikenali sebagai Program Gödel. Lihat Hauser (2006) untuk perbincangan falsafah menyeluruh mengenai Program ini,dan juga catatan mengenai kardinal besar dan kepastian untuk pertimbangan falsafah mengenai justifikasi aksioma baru untuk teori set.

Tema utama teori set adalah pencarian dan klasifikasi aksioma baru. Ini jatuh ke dalam dua jenis utama: aksioma kardinal besar dan aksioma paksa.

10. Kardinal besar

Seseorang tidak dapat membuktikan dalam ZFC bahawa ada kardinal had biasa (kappa), kerana jika (kappa) adalah kardinal seperti itu, maka (L_ / kappa) adalah model ZFC, dan begitu juga ZFC membuktikan konsistensinya sendiri, bertentangan dengan teorema ketidaklengkapan kedua Gödel. Oleh itu, kewujudan kardinal had biasa mesti disifatkan sebagai aksioma baru. Kardinal seperti itu disebut tidak dapat diakses. Sekiranya, sebagai tambahan (kappa) adalah had yang kuat, iaitu, (2 ^ / lambda <\ kappa), untuk setiap kardinal (lambda <\ kappa), maka (kappa) adalah dipanggil sangat tidak dapat diakses. Kardinal (kappa) sangat tidak dapat diakses jika dan hanya jika ia biasa dan (V_ / kappa) adalah model ZFC. Sekiranya GCH berlaku, maka setiap kardinal yang tidak dapat diakses sangat tidak dapat diakses.

Kardinal besar adalah kardinal yang tidak dapat dihitung yang memenuhi beberapa sifat yang menjadikannya sangat besar, dan keberadaannya tidak dapat dibuktikan dalam ZFC. Kardinal pertama yang tidak dapat diakses hanyalah kardinal terkecil dari semua kardinal besar. Di luar kardinal yang tidak dapat diakses terdapat pelbagai jenis kardinal besar dan kompleks, yang membentuk hierarki linier dari segi kekuatan konsistensi, dan dalam banyak kes juga dari segi implikasi langsung. Lihat entri mengenai kebebasan dan kardinal besar untuk maklumat lebih lanjut.

Untuk merumuskan pengertian kardinal besar yang lebih kuat, mari kita katakan bahawa subset (C) kardinal tak terbatas (kappa) ditutup jika setiap had elemen (C) juga berada di (C); dan tidak terikat jika untuk setiap (alpha <\ kappa) ada (beta / in C) lebih besar daripada (alpha). Contohnya, sekumpulan had had kurang dari (kappa) ditutup dan tidak dibatasi. Juga, subset (S) dari (kappa) dipanggil pegun jika memotong setiap subset tertutup (kappa). Sekiranya (kappa) biasa dan tidak dapat dihitung, maka himpunan semua ordinal kurang dari (kappa) kesatuan (omega) adalah contoh set pegun. Kardinal biasa (kappa) dipanggil Mahlo jika kumpulan kardinal yang tidak dapat diakses lebih kecil daripada (kappa) tidak bergerak. Oleh itu,kardinal Mahlo pertama jauh lebih besar daripada kardinal pertama yang tidak dapat diakses, kerana terdapat (kappa) - banyak kardinal yang tidak dapat diakses lebih kecil daripada (kappa).

Pengertian kardinal besar yang lebih kuat timbul daripada mempertimbangkan sifat pantulan yang kuat. Ingatlah bahawa Prinsip Refleksi (Bahagian 4), yang dapat dibuktikan dalam ZFC, menegaskan bahawa setiap ayat yang benar (iaitu, setiap ayat yang terdapat di (V)) adalah benar di beberapa (V_ / alpha). Pengukuhan prinsip ini kepada ayat perintah kedua menghasilkan sebilangan besar kardinal. Sebagai contoh, (kappa) sangat tidak dapat diakses jika dan hanya jika setiap kalimat (Sigma ^ 1_1) (iaitu, ayat perintah kedua eksistensial dalam bahasa teori set, dengan satu simbol predikat tambahan) benar dalam mana-mana struktur bentuk ((V_ / kappa, / in, A)), di mana (A / subseteq V_ / kappa), berlaku di beberapa ((V_ / alpha, / in, A / cap V_ / alpha)), dengan (alpha <\ kappa). Jenis refleksi yang sama, tetapi sekarang untuk (Pi ^ 1_1) ayat (iaitu, ayat urutan kedua sejagat),menghasilkan sifat kardinal besar yang lebih kuat dari (kappa), yang disebut kekompakan yang lemah. Setiap kardinal lemah (kappa) adalah Mahlo, dan kumpulan kardinal Mahlo lebih kecil daripada (kappa) tidak bergerak. Dengan membiarkan refleksi untuk urutan kedua yang lebih kompleks, atau bahkan yang lebih tinggi, kalimat seseorang mendapat pengertian kardinal besar yang lebih kuat daripada kekompakan yang lemah.

Kardinal besar yang paling terkenal, disebut terukur, ditemui oleh Stanisław Ulam pada tahun 1930 sebagai hasil penyelesaiannya terhadap Masalah Pengukuran. Ukuran (bernilai dua), atau ultrafilter, pada kardinal (kappa) adalah subset (U) dari (mathcal {P} (kappa)) yang mempunyai sifat berikut: (i) persimpangan mana-mana dua elemen (U) berada di (U); (ii) jika (X / di U) dan (Y) adalah subset dari (kappa) sehingga (X / subseteq Y), maka (Y / di U); dan (iii) untuk setiap (X / subseteq / kappa), baik (X / di U) atau (kappa -X / di U), tetapi tidak keduanya. Ukuran (U) dipanggil (kappa) - lengkap jika setiap persimpangan kurang dari (kappa) elemen (U) juga berada di (U). Dan ukuran dipanggil bukan prinsipal jika tidak ada (alpha <\ kappa) yang termasuk dalam semua elemen (U). Kardinal (kappa) disebut terukur jika ada ukuran pada (kappa) iaitu (kappa) - lengkap dan bukan prinsipal.

Kardinal terukur dapat dicirikan oleh penyisipan dasar alam semesta (V) ke dalam beberapa kelas transitif (M). Penyisipan sedemikian (j: V / hingga M) adalah asas yang bermaksud bahawa (j) memelihara kebenaran, iaitu, untuk setiap formula (varphi (x_1, / ldots, x_n)) bahasa set teori, dan setiap (a_1, / ldots, a_n), kalimat (varphi (a_1, / ldots, a_n)) menahan (V) jika dan hanya jika (varphi (j (a_1)), / ldots, j (a_n))) menahan di (M). Ternyata bahawa kardinal (kappa) dapat diukur jika dan hanya jika ada penyisipan dasar (j: V / ke M), dengan (M) transitif, sehingga (kappa) adalah ordinal pertama yang digerakkan oleh (j), iaitu, ordinal pertama sedemikian rupa sehingga (j (kappa) ne / kappa). Kami mengatakan bahawa (kappa) adalah titik kritikal (j), dan tulis (pengkritik (j) = / kappa). Penyisipan (j) dapat didefinisikan dari (kappa) - langkah bukan utama yang lengkap pada (kappa), menggunakan apa yang disebut pembinaan kuasa ultra. Sebaliknya, jika (j: V / to M) adalah penyisipan dasar, dengan (M) transitif dan (kappa = pengkritik (j)), maka set (U = {X / subseteq / kappa: / kappa / in j (X) }) adalah (kappa) - lengkap ultrafilter bukan prinsipal di (kappa). Ukuran (U) yang diperoleh dengan cara ini dari (j) dipanggil normal.

Setiap kardinal yang dapat diukur (kappa) lemah padat, dan terdapat banyak kardinal padat yang lebih kecil daripada (kappa). Sebenarnya, di bawah (kappa) terdapat banyak kardinal yang sama sekali tidak dapat dilukiskan, iaitu, ia menggambarkan semua ayat, dari kerumitan apa pun, dan dalam bahasa yang lebih tinggi.

Sekiranya (kappa) dapat diukur dan (j: V / hingga M) diberikan oleh pembinaan kuasa ultra, maka (V_ / kappa / subseteq M), dan setiap urutan panjangnya kurang dari atau sama dengan (kappa) elemen (M) tergolong dalam (M). Oleh itu, (M) sangat serupa dengan (V), tetapi ia tidak boleh (V) itu sendiri. Sesungguhnya, teorema Kenneth Kunen yang terkenal menunjukkan bahawa tidak ada penyisipan dasar (j: V / to V), selain yang remeh, iaitu identiti. Semua bukti yang diketahui mengenai hasil ini menggunakan Axiom of Choice, dan merupakan persoalan penting yang luar biasa jika aksioma diperlukan. Teorema Kunen membuka pintu untuk merumuskan pengertian kardinal besar yang lebih kuat daripada kebolehukuran dengan mengharuskan (M) lebih dekat dengan (V).

Sebagai contoh, (kappa) disebut kuat jika untuk setiap ordinal (alpha) ada penyisipan dasar (j: V / to M), untuk beberapa (M) transitif, sehingga (kappa = pengkritik (j)) dan (V_ / alpha / subseteq M).

Fahaman kardinal besar yang penting dan lebih kuat adalah superkompak. Kardinal (kappa) superkompak jika untuk setiap (alpha) terdapat penyisipan dasar (j: V / hingga M), dengan (M) titik transitif dan kritikal (kappa), supaya (j (kappa)> / alpha) dan setiap urutan unsur-unsur (M) panjang (alpha) tergolong dalam (M).

Woodin cardinals jatuh antara kuat dan superkompak. Setiap kardinal superkompak adalah Woodin, dan jika (delta) adalah Woodin, maka (V_ / delta) adalah model ZFC di mana terdapat kelas kardinal kuat. Oleh itu, sementara kardinal Woodin (delta) tidak semestinya sangat kuat-yang pertama bahkan tidak cukup padat-ini menyiratkan adanya banyak kardinal besar di (V_ / delta).

Di luar kardinal superkompak kita dapati kardinal yang boleh diperluas, yang besar, yang sangat besar, dll.

Teorema Kunen tentang tidak adanya penyisipan elemen yang tidak sepele (j: V / to V) sebenarnya menunjukkan bahawa tidak boleh ada penyisipan dasar (j: V _ { lambda +2} ke V _ { lambda +2}) berbeza dengan identiti, untuk mana-mana (lambda).

Pengertian kardinal besar terkuat yang tidak diketahui tidak konsisten, modulo ZFC, adalah berikut:

  • Terdapat penyisipan asas (j: V _ { lambda +1} to V _ { lambda +1}) berbeza dengan identiti.
  • Terdapat penyisipan asas (j: L (V _ { lambda +1}) ke L (V _ { lambda +1})) berbeza dengan identiti.

Kardinal besar membentuk hierarki linier yang meningkatkan kekuatan konsistensi. Sebenarnya mereka adalah batu loncatan hierarki interpretasi teori matematik. Lihat entri mengenai kebebasan dan kardinal besar untuk maklumat lebih lanjut. Memandangkan mana-mana ayat (varphi), tepatnya tiga kemungkinan berikut mengenai teori ZFC plus (varphi):

  • ZFC plus (varphi) tidak konsisten.
  • ZFC plus (varphi) sama dengan ZFC.
  • ZFC plus (varphi) sama dengan ZFC ditambah dengan adanya beberapa kardinal besar.

Oleh itu, kardinal besar dapat digunakan untuk membuktikan bahawa ayat yang diberikan (varphi) tidak menyiratkan ayat lain (psi), modulo ZFC, dengan menunjukkan bahawa ZFC plus (psi) menyiratkan konsistensi beberapa kardinal besar, sedangkan ZFC plus (varphi) konsisten dengan andaian adanya kardinal besar yang lebih kecil, atau hanya menganggap konsistensi ZFC. Dengan kata lain, (psi) mempunyai kekuatan konsistensi yang lebih tinggi daripada (varphi), modulo ZFC. Kemudian, oleh teorema ketidaklengkapan kedua Gödel, ZFC plus (varphi) tidak dapat membuktikan (psi), dengan anggapan ZFC plus (varphi) konsisten.

Seperti yang telah kita nyatakan, seseorang tidak dapat membuktikan dalam ZFC bahawa terdapat kardinal besar. Tetapi semuanya menunjukkan bahawa keberadaan mereka tidak hanya tidak dapat disangkal, tetapi sebenarnya anggapan keberadaan mereka adalah aksioma teori set yang sangat wajar. Untuk satu perkara, terdapat banyak bukti untuk konsistensinya, terutama untuk kardinal besar yang memungkinkan untuk membina model dalaman.

10.1 Model dalaman kardinal besar

Model dalaman ZFC adalah kelas tepat transitif yang mengandungi semua peraturan dan memenuhi semua aksioma ZFC. Oleh itu, (L) adalah model dalaman terkecil, sementara (V) adalah yang terbesar. Beberapa kardinal besar, seperti tidak dapat diakses, Mahlo, atau lemah, mungkin wujud di (L). Iaitu, jika (kappa) mempunyai salah satu sifat kardinal yang besar ini, maka ia juga mempunyai sifat di (L). Tetapi beberapa kardinal besar tidak boleh wujud di (L). Memang, Scott (1961) menunjukkan bahawa jika ada kardinal yang dapat diukur (kappa), maka (V / ne L). Penting untuk diperhatikan bahawa (kappa) adalah milik (L), kerana (L) mengandungi semua ordinal, tetapi tidak dapat diukur di (L) kerana (kappa) - ukuran bukan utama yang lengkap pada (kappa) tidak boleh wujud di sana.

Sekiranya (kappa) adalah kardinal yang dapat diukur, maka seseorang dapat membina model seperti ((L) - di mana (kappa) dapat diukur dengan mengambil (kappa) - lengkap bukan prinsipal dan ukuran normal (U) pada (kappa), dan meneruskan seperti dalam definisi (L), tetapi sekarang menggunakan (U) sebagai predikat tambahan. Model yang dihasilkan, dipanggil (L [U]), adalah model dalaman ZFC di mana (kappa) dapat diukur, dan sebenarnya (kappa) adalah satu-satunya kardinal yang dapat diukur. Model ini bersifat kanonik, dalam arti bahawa ukuran normal lain yang menyaksikan kebolehukuran (kappa) akan menghasilkan model yang sama, dan memiliki banyak sifat (L). Sebagai contoh, ia memiliki susunan real yang baik secara proyektif, dan memuaskan GCH.

Membina model yang serupa (L) - untuk kardinal besar yang lebih kuat, seperti kuat, atau Woodin, jauh lebih sukar. Model-model tersebut adalah dalam bentuk (L [E]), di mana (E) adalah urutan pemanjangan, masing-masing pemanjang menjadi sistem pengukuran, yang menyandikan elemen dasar yang relevan.

Model dalaman terbesar (seperti model dalaman terbesar untuk kardinal besar yang diperoleh setakat ini boleh mengandungi had Woodin kardinal Woodin (Neeman 2002). Walau bagaimanapun, membina model seperti ((L) untuk kardinal superkompak masih menjadi cabaran. Penghalang superkompak nampaknya sangat penting, kerana Woodin telah menunjukkan bahawa untuk jenis model dalaman (seperti model dalaman untuk kardinal superkompak, yang disebutnya sebagai Ultimate - (L), semua kardinal besar yang lebih kuat yang mungkin ada di (V), seperti dapat diperpanjang, besar, I1, dan lain-lain juga akan wujud dalam model. Pembinaan Ultimate - (L) masih belum selesai, dan belum jelas bahawa ia akan berjaya, kerana ia bergantung pada beberapa hipotesis teknikal yang perlu disahkan.

10.2 Akibat kardinal besar

Kewujudan kardinal besar mempunyai akibat yang dramatik, bahkan untuk set kecil yang dapat ditentukan, seperti set nombor nyata yang dapat diproyeksikan. Sebagai contoh, Solovay (1970) membuktikan, dengan anggapan bahawa ada kardinal yang dapat diukur, bahawa semua set reals (mathbf { Sigma} ^ 1_2) adalah Lebesgue yang dapat diukur dan memiliki harta Baire, yang tidak dapat dibuktikan dalam ZFC sahaja. Dan Shelah dan Woodin (1990) menunjukkan bahawa adanya kelas kardinal Woodin yang tepat menyiratkan bahawa teori (L (mathbb {R})), walaupun dengan bilangan nyata sebagai parameter, tidak dapat diubah dengan memaksa, yang membayangkan bahawa semua set nombor nyata milik (L (mathbb {R})) adalah biasa. Selanjutnya, di bawah hipotesis kardinal besar yang lebih lemah, iaitu adanya banyak kardinal Woodin, Martin dan Steel (1989) membuktikan bahawa setiap set nombor nyata yang ditentukan dapat ditentukan, i.e., aksioma PD berlaku, oleh itu semua set projektif adalah tetap. Lebih-lebih lagi, Woodin menunjukkan bahawa keberadaan banyak kardinal Woodin, ditambah dengan kardinal yang dapat diukur di atas semuanya, menyiratkan bahawa setiap set real di (L (mathbb {R})) ditentukan, iaitu aksioma (AD ^ {L (mathbb {R})}) tahan, oleh itu semua set nombor nyata yang tergolong dalam (L (mathbb {R})), dan oleh itu semua set projektif, adalah tetap. Dia juga menunjukkan bahawa kardinal Woodin memberikan andaian kardinal besar yang optimum dengan membuktikan bahawa dua pernyataan berikut:oleh itu semua set nombor nyata milik (L (mathbb {R})), dan oleh itu semua set unjuran, adalah tetap. Dia juga menunjukkan bahawa kardinal Woodin memberikan andaian kardinal besar yang optimum dengan membuktikan bahawa dua pernyataan berikut:oleh itu semua set nombor nyata milik (L (mathbb {R})), dan oleh itu semua set unjuran, adalah tetap. Dia juga menunjukkan bahawa kardinal Woodin memberikan andaian kardinal besar yang optimum dengan membuktikan bahawa dua pernyataan berikut:

  1. Terdapat banyak kardinal Woodin.
  2. (AD ^ {L ({ Bbb R})}).

sama, iaitu, ZFC plus 1 konsisten jika dan hanya jika ZFC plus 2 konsisten. Lihat entri mengenai kardinal besar dan ketetapan untuk maklumat lebih lanjut dan hasil yang berkaitan.

Satu lagi bidang di mana kardinal besar memainkan peranan penting ialah pengembangan kardinal tunggal. Hipotesis Kardinal Singular yang disebut (SCH) sepenuhnya menentukan tingkah laku eksponen untuk kardinal tunggal, modulo eksponen untuk kardinal biasa. SCH mengikuti dari GCH, dan ia bertahan di (L). Akibat dari SCH adalah bahawa jika (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega), untuk semua terhingga (n), maka (2 ^ { aleph _ { omega}} = / aleph_ { omega +1}). Oleh itu, jika GCH berlaku untuk kardinal yang lebih kecil daripada (aleph_ / omega), maka ia juga berlaku pada (aleph_ / omega). SCH berada di atas kardinal superkompak pertama (Solovay). Tetapi Magidor (1977) menunjukkan bahawa, dengan mengagumkan adanya kardinal besar adalah mungkin untuk membina model ZFC di mana GCH pertama kali gagal pada (aleph_ / omega), oleh itu SCH gagal. Kardinal besar yang lebih kuat daripada yang diukur sebenarnya diperlukan untuk ini. Akan tetapi, sebaliknya, ZFC cukup untuk membuktikan bahawa jika SCH berlaku untuk semua kardinal yang lebih kecil daripada (aleph _ { omega_1}), maka ia juga berlaku untuk (aleph _ { omega_1}). Lebih-lebih lagi, jika SCH berlaku untuk semua kardinal tunggal yang dapat dihitung, maka ia berlaku untuk semua kardinal tunggal (Perak).

11. Memaksakan aksioma

Paksa aksioma adalah aksioma teori set yang menegaskan bahawa pernyataan eksistensial tertentu adalah mutlak antara alam semesta (V) dari semua set dan peluasan paksaannya (ideal), iaitu, beberapa pernyataan eksistensial yang menahan beberapa peluasan paksa (V) sudah benar di (V). Aksioma paksa pertama dirumuskan oleh Donald Martin setelah bukti Solovay-Tennenbaum mengenai konsistensi Hipotesis Suslin, dan sekarang dikenal sebagai Martin's Axiom (MA). Sebelum menyatakannya, mari kita katakan bahawa pesanan separa adalah set tidak kosong (P) bersama dengan hubungan binari (leq) pada (P) yang bersifat refleksif dan transitif. Dua elemen, (p) dan (q), dari (P) disebut serasi jika ada (r / di P) sehingga (r / leq p) dan (r / leq q). Antikain (P) adalah subset dari (P) yang unsurnya tidak sepadan dengan pasangan. Susunan separa (P) dipanggil ccc jika setiap antikain (P) dapat dikira. Subset yang tidak kosong (G) dari (P) dipanggil penapis jika (i) setiap dua elemen (G) serasi, dan (ii) jika (p / di G) dan (p / leq q), kemudian juga (q / di G). Akhirnya, subset (D) dari (P) dipanggil padat jika untuk setiap (p / in P) terdapat (q / di D) sedemikian rupa sehingga (q / leq p).

MA menegaskan perkara berikut:

Untuk setiap pesanan separa ccc (P) dan setiap set ({D_ / alpha: / alpha <\ omega_1 }) subset padat (P), terdapat penapis (G / subseteq P) yang bersifat umum untuk set, iaitu, (G / cap D_ / alpha / ne { varnothing}), untuk semua (alpha <\ omega_1).

Martin dan Solovay (1970) membuktikan bahawa MA konsisten dengan ZFC, menggunakan pemaksaan berulang dengan harta ccc. Pada pandangan pertama, MA mungkin tidak kelihatan seperti aksioma, iaitu penegasan yang jelas, atau paling tidak munasabah, mengenai set, melainkan seperti pernyataan teknikal mengenai susunan separa ccc. Ia kelihatan lebih semula jadi, bagaimanapun, apabila dinyatakan dalam istilah topologi, kerana ini hanyalah generalisasi Teorema Kategori Baire yang terkenal, yang menegaskan bahawa di setiap ruang topologi Hausdorff yang padat, persimpangan banyak set terbuka yang padat adalah bukan- kosong. Sesungguhnya, MA setara dengan:

Di setiap ruang topologi Hausdorff ccc yang padat, persimpangan (aleph_1) - banyak set terbuka yang padat tidak kosong.

MA mempunyai banyak formula yang setara dan telah berjaya digunakan untuk menyelesaikan sebilangan besar masalah terbuka dalam bidang matematik yang lain. Sebagai contoh, ini menyiratkan Hipotesis Suslin dan bahawa setiap set reals (mathbf { Sigma} ^ 1_2) adalah Lebesgue yang dapat diukur dan memiliki harta Baire. Ini juga menyiratkan penolakan CH dan bahawa (2 ^ { aleph_0}) adalah kardinal biasa, tetapi tidak menentukan kardinal apa itu. Lihat Fremlin (1984) untuk banyak lagi kesan MA dan formula lain yang setara. Walaupun begitu, status MA sebagai aksioma teori set masih belum jelas. Mungkin rumusan MA yang paling semula jadi, dari sudut asas, adalah dari segi refleksi. Menulis HC untuk set set yang boleh dikira secara turun-temurun (iaitu, set yang boleh dikira yang unsurnya dapat dikira, unsur-unsurnya juga dapat dikira,dan seterusnya), MA bersamaan dengan:

Untuk setiap pesanan separa ccc (P), jika pernyataan eksistensial mengenai (HC) ditahan dalam (ideal) lanjutan generik (V) yang diperoleh dengan memaksa dengan (P), maka pernyataan itu benar, iaitu, ia bertahan di (V). Dengan kata lain, jika satu set yang memiliki sifat yang hanya bergantung pada set di (HC) ada dalam beberapa (ideal) pelanjutan generik (V) yang diperoleh dengan memaksa dengan pesanan separa ccc, maka satu set dengan harta itu sudah wujud di (V).

Gagasan perpanjangan generik ideal (V) dapat dibuat tepat dari segi apa yang disebut model bernilai Boolean, yang memberikan versi paksa alternatif.

Aksioma paksa yang jauh lebih kuat daripada MA diperkenalkan pada tahun 1980-an, seperti J. Baumgartner's Proper Forcing Axiom (PFA), dan Martin's Maximum (MM) Foreman, Magidor, dan Shelah (1988) yang lebih kuat, yang pada dasarnya merupakan kekuatan paling kuat aksioma. Kedua-dua PFA dan MM konsisten berbanding dengan kewujudan kardinal superkompak. PFA menegaskan sama dengan MA, tetapi untuk pesanan separa yang memiliki sifat lebih lemah daripada ccc, yang disebut kelayakan, yang diperkenalkan oleh Shelah. Dan MM menegaskan perkara yang sama untuk kelas pesanan separa yang lebih luas bahawa, apabila memaksa dengan mereka, tidak memusnahkan subset pegun dari (omega_1).

Aksioma paksa yang kuat, seperti PFA dan MM menyiratkan bahawa semua set real projektif ditentukan (PD), dan mempunyai banyak kesan kuat lain dalam penggabungan tak terhingga. Terutama, ini menunjukkan bahawa kardinaliti kontinum adalah (aleph_2).

Bibliografi

  • Bagaria, J., 2008, "Set Theory", dalam The Princeton Companion to Mathematics, disunting oleh Timothy Gowers; June Barrow-Green dan Imre Leader, editor bersekutu. Princeton: Princeton University Press.
  • Cohen, PJ, 1966, Teori Set dan Hipotesis Continuum, New York: WA Benjamin, Inc.
  • Enderton, HB, 1977, Elemen Set Teori, New York: Akademik Akhbar.
  • Ferreirós, J., 2007, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory dan Peranannya dalam Matematik Moden, Edisi semakan kedua, Basel: Birkhäuser.
  • Foreman, M., M. Magidor, dan S. Shelah, 1988, "Cita-cita jenuh maksimum Martin dan ultrafilter tidak biasa", Bahagian I, Annals of Mathematics, 127: 1–47.
  • Fremlin, DH, 1984, "Konsekuensi dari Martin's Axiom", Cambridge memetik dalam Matematik # 84. Cambridge: Cambridge University Press.
  • Gödel, K., 1931, “formalber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, 38: 173–198. Terjemahan Inggeris dalam Gödel 1986, 144–195.
  • –––, 1938, “Konsistensi aksioma pilihan dan hipotesis kontinum umum”, Prosiding Akademi Sains Nasional, AS 24: 556–557.
  • –––, 1986, Koleksi Karya I. Penerbitan 1929–1936, S. Feferman et al. (eds.), Oxford: Oxford University Press.
  • Hauser, K., 2006, “Program Gödel ditinjau semula, Bahagian I: Pergantian kepada fenomenologi”, Buletin Logik Simbolik, 12 (4): 529–590.
  • Jech, T., 2003, Teori set, Edisi 3d, New York: Springer.
  • Jensen, RB, 1972, "Struktur halus dari hierarki yang dapat dibina", Annals of Mathematical Logic, 4 (3): 229-308.
  • Kanamori, A., 2003, The Higher Infinite, Edisi Kedua. Springer Monographs dalam Matematik, New York: Springer.
  • Kechris, AS, 1995, Teori Set Deskriptif Klasik, Teks Siswazah dalam Matematik, New York: Springer Verlag.
  • Kunen, K., 1980, Teori Set, Pengantar Bukti Kemerdekaan, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Levy, A., 1960, "Skema aksioma tak terbatas dalam teori set aksiomatik", Pacific Journal of Mathematics, 10: 223-238.
  • –––, 1979, Teori Set Asas, New York: Springer.
  • Magidor, M., 1977, “Mengenai masalah kardinal tunggal, II”, Annals of Mathematics, 106: 514–547.
  • Martin, DA dan R. Solovay, 1970, "Sambungan Internal Cohen", Annals of Mathematical Logic, 2: 143–178.
  • Martin, DA dan JR Steel, 1989, “Bukti ketetapan projektif”, Jurnal Persatuan Matematik Amerika, 2 (1): 71–125.
  • Mathias, ARD, 2001, "Model ramping Zermelo Set Theory", Jurnal Logik Simbolik, 66: 487-496.
  • Neeman, I., 2002, "Model dalaman di wilayah batas Woodin kardinal Woodin", Annals of Pure and Applied Logic, 116: 67-155.
  • Scott, D., 1961, "Kardinal terukur dan set yang dapat dibina", Buletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 9: 521–524.
  • Shelah, S., 1994, "Cardinal Arithmetic", Oxford Logic Guides, 29, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press.
  • –––, 1998, Pemaksaan yang betul dan tidak betul, Edisi ke-2, New York: Springer-Verlag.
  • Shelah, S. dan WH Woodin, 1990, "Kardinal besar menyiratkan bahawa setiap set real yang dapat ditentukan adalah Lebesgue yang dapat diukur", Israel Journal of Mathematics, 70 (3): 381–394.
  • Solovay, R., 1970, "Model teori set di mana setiap set real dapat diukur Lebesgue", Annals of Mathematics, 92: 1–56.
  • Solovay, R. dan S. Tennenbaum, 1971, "Sambungan Cohen yang diulangi dan masalah Souslin", Annals of Mathematics (2), 94: 201-245.
  • Todorcevic, S., 1989, "Masalah Partisi dalam Topologi", Matematik Kontemporari, Jilid 84. Persatuan Matematik Amerika.
  • Ulam, S., 1930, 'Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre', Fundamenta Mathematicae, 16: 140-150.
  • Woodin, WH, 1999, Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal, De Gruyter Series in Logic and Its Applications 1, Berlin-New York: Walter de Gruyter.
  • –––, 2001, “Hipotesis Continuum, Bahagian I”, Pemberitahuan AMS, 48 (6): 567–576, dan “Hipotesis Kontinum, Bahagian II”, Pemberitahuan AMS 48 (7): 681– 690.
  • Zeman, M., 2001, Model Dalam dan Kardinal Besar, Siri De Gruyter dalam Logik dan Aplikasinya 5, Berlin-New York: Walter de Gruyter.
  • Zermelo, E., 1908, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I”, Mathematische Annalen 65: 261–281. Diterbitkan semula dalam Zermelo 2010: 189–228, dengan terjemahan bahasa Inggeris muka depan, dan Pengantar oleh Ulrich Felgner (2010). Terjemahan Inggeris juga dalam van Heijenoort 1967: 201–215.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

Disyorkan: