Notasi Dalam Principia Mathematica

Isi kandungan:

Notasi Dalam Principia Mathematica
Notasi Dalam Principia Mathematica

Video: Notasi Dalam Principia Mathematica

Video: Notasi Dalam Principia Mathematica
Video: Самый известный учебник физики 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Notasi dalam Principia Mathematica

Pertama kali diterbitkan pada 19 Ogos 2004; semakan substantif Sun 17 Jul 2016

Principia Mathematica [PM] oleh AN Whitehead dan Bertrand Russell, yang diterbitkan pada tahun 1910-1913 dalam tiga jilid oleh Cambridge University Press, berisi turunan sebahagian besar matematik menggunakan konsep dan prinsip logik simbolik. Notasi dalam karya tersebut telah digantikan oleh perkembangan logik berikutnya pada abad ke- 20abad, sejauh mana pemula menghadapi masalah membaca PM sama sekali. Artikel ini memberikan pengenalan kepada simbolisme PM, yang menunjukkan bagaimana simbolisme itu dapat diterjemahkan ke dalam notasi yang lebih kontemporari yang semestinya tidak asing bagi siapa saja yang telah mengikuti kursus pertama dalam logik simbolik. Terjemahan ini ditawarkan sebagai bantuan untuk mempelajari notasi aslinya, yang merupakan subjek perselisihan ilmiah, dan merangkumi doktrin logik yang substansial sehingga tidak dapat digantikan hanya dengan simbolisme kontemporari. Oleh itu, belajar notasi, adalah langkah pertama untuk mempelajari doktrin logik khas Principia Mathematica.

  • 1. Mengapa Mempelajari Simbolisme di Principia Mathematica?
  • 2. Simbol Primitif
  • 3. Penggunaan Titik untuk Tanda Baca

    • 3.1 Beberapa Contoh Asas
    • 3.2 Kekuatan Perhubungan
    • 3.3 Lebih Banyak Contoh
  • 4. Fungsi Cadangan
  • 5. Notasi Hilang untuk Jenis dan Pesanan

    • 5.1 Jenis Ringkas
    • 5.2 Jenis Ramified
  • 6. Pemboleh ubah
  • 7. Fungsi Predikat dan Identiti
  • 8. Huraian yang pasti
  • 9. Kelas
  • 10. Prolegomena ke Cardinal Arithmetic
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Mengapa Mempelajari Simbolisme di Principia Mathematica?

Principia Mathematica [PM] ditulis bersama oleh Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell selama beberapa tahun, dan diterbitkan dalam tiga jilid, yang muncul antara tahun 1910 dan 1913. Ia menyajikan sistem logik simbolik dan kemudian beralih ke asas matematik untuk melaksanakan projek logik mentakrifkan tanggapan matematik dari segi tanggapan logik dan membuktikan aksioma asas matematik sebagai teorema logik. Walaupun sangat penting dalam pengembangan logik, falsafah matematik dan lebih luas lagi "Falsafah Analisis Awal", karya itu sendiri tidak lagi dipelajari untuk topik-topik ini. Akibatnya, notasi karya ini menjadi asing bagi pelajar logik kontemporari, dan itu menjadi penghalang bagi kajian Principia Mathematica.

Entri ini bertujuan untuk membantu pelajar PM membaca bahagian simbolik karya. Yang berikut adalah terjemahan separa dari simbolisme menjadi notasi yang lebih kontemporari, yang semestinya tidak asing lagi dari artikel lain dalam Ensiklopedia ini, dan yang cukup standard dalam buku teks kontemporari logik simbolik. Tidak ada algoritma lengkap yang diberikan, sebaliknya pelbagai cadangan bertujuan untuk membantu pembaca mempelajari simbolisme PM. Banyak masalah penafsiran akan diprioritaskan dengan hanya menggunakan notasi kontemporari, dan banyak perincian yang unik untuk PM bergantung pada notasi tersebut. Ini akan dilihat di bawah ini, dengan beberapa aspek notasi yang lebih kontroversial, bahawa doktrin-doktrin substansi dimasukkan ke dalam notasi PM. Mengganti notasi dengan simbolisme yang lebih moden akan mengubah kandungan buku secara drastik.

2. Simbol Primitif

Di bawah pembaca akan menemui, mengikut urutan di mana mereka diperkenalkan dalam PM, simbol berikut, yang dijelaskan secara ringkas. Maklumat lebih terperinci diberikan seperti berikut:

diucapkan "bintang"; menunjukkan nombor, atau bab, seperti di ∗ 1, atau ∗ 20.
· titik berpusat (titik perpuluhan Inggeris lama); menunjukkan ayat bernombor mengikut urutan mengikut digit pertama (semua 0s sebelum semua 1s dll), kemudian digit kedua, dan seterusnya. Definisi dan cadangan pertama ∗ 1 menggambarkan susunan “leksikografi” ini: 1 · 01, 1 · 1, 1 · 11, 1 · 2, 1 · 3, 1 · 4, 1 · 5, 1 · 6, 1 · 7, 1 · 71, 1 · 72.
(vdash) tanda penegasan; menunjukkan penegasan, baik aksioma (iaitu, proposisi primitif, yang juga dijelaskan "(Pp)") atau teorema.
(Df) tanda takrif; mengikuti definisi.
(.), \(:), \(:.), \(::), dan lain-lain. adalah titik yang digunakan untuk membatasi tanda baca; dalam logik kontemporari, kita menggunakan (), , ({ }), dll.
(p, q, r), dll. adalah pemboleh ubah proposisi.
(lor), (supset), (osim), (equiv), (sdot) adalah penghubung sentensial yang sudah biasa, masing-masing sesuai dengan “atau”, “if-then”, “not”, “if and only if” dan “and”. [Pada Edisi Kedua PM, 1925–27, Sheffer Stroke “(mid)” adalah satu penghubung primitif. Ini bermaksud "bukan keduanya … dan _".]
(x, y, z), dll. adalah pemboleh ubah individu, yang harus dibaca dengan "kesamaran khas", iaitu, dengan jenis logiknya untuk diisi (lihat di bawah).
(a, b, c), dll. adalah pemalar individu, dan bermaksud individu (jenis paling rendah). Ini berlaku hanya dalam Pengenalan PM, dan bukan dalam sistem rasmi.
(xRy, aRb, R (x)), dll. adalah ramalan atom, di mana objek yang dinamakan oleh pemboleh ubah atau pemalar berdiri dalam hubungan (R) atau mempunyai sifat (R). Ini berlaku hanya dalam Pengenalan. "(A)" dan "(b)" berlaku sebagai pemalar hanya pada Edisi Kedua. Ramalan (R (x), R (x, y)), dan lain-lain, hanya digunakan dalam Edisi Kedua.
(phi), (psi), (chi), dll, dan (f, g), dll. adalah pemboleh ubah yang merangkumi fungsi proposisi, tidak kira sama ada fungsi itu sederhana atau kompleks.
(phi x), (psi x), (phi (x, y)), dll. buka formula atom di mana "(x)" dan "(phi)" adalah percuma. [Tafsiran alternatif adalah melihat "(phi x)" sebagai huruf skematik yang bermaksud formula di mana pemboleh ubah "(x)" adalah percuma.]
(hat { phantom {x}}) sirkumfleks; apabila diletakkan di atas pemboleh ubah dalam formula terbuka (seperti dalam "(phi / hat {x})") menghasilkan istilah untuk fungsi. [Perkara ini kontroversial. Lihat Landini 1998.] Apabila pemboleh ubah yang dilingkari mendahului pemboleh ubah kompleks, hasilnya menunjukkan kelas, seperti dalam (hat {x} phi x).
(phi / hat {x}, / psi / hat {x}, / phi (hat {x}, / hat {z}),) dll. Syarat untuk fungsi cadangan. Berikut adalah contoh istilah seperti pemalar: "(hat {x}) is happy", "(hat {x}) botak dan (hat {x}) senang", "(4 / lt / hat {x} lt 6)", dll. Jika kita menerapkan, misalnya, fungsi "(hat {x}) botak dan (hat {x}) gembira”bagi individu tertentu (b), hasilnya adalah dugaan" (b) botak dan (b) gembira ".
(ada) dan ()

adalah pengukur "ada" dan "untuk semua" ("setiap"), masing-masing. Contohnya, di mana (phi x) adalah formula terbuka yang mudah atau kompleks,

((ada x) phi x) menegaskan "Ada (x) sehingga (phi x)"
((ada / phi) phi x) menegaskan "Ada fungsi proposisi (phi) sehingga (phi x)"
((x) phi x) menegaskan "Setiap (x) sedemikian rupa sehingga (phi x)"
((phi) phi x) menegaskan "Setiap fungsi cadangan (phi) sedemikian rupa sehingga (phi x)"

[Ini digunakan oleh Peano. Baru-baru ini, (forall) telah ditambahkan untuk simetri dengan (wujud). Sebilangan sarjana melihat para pengukur ((phi)) dan ((ada / phi)) sebagai pengganti.]

(phi x / supset_x / psi x)

(phi x / equiv_x / psi x)

Ini adalah notasi yang digunakan untuk menyingkat pemboleh ubah yang dihitung secara universal. Dalam notasi moden, ini masing-masing menjadi (forall x (phi x / supset / psi x)) dan (forall x (phi x / equiv / psi x)). Lihat definisi untuk notasi ini di akhir Bahagian 3.2 di bawah.
(bang) diucapkan "jeritan"; menunjukkan bahawa fungsi adalah prediktif, seperti dalam (phi / bang x) atau (phi / bang / hat {x}). Lihat Bahagian 7.
= simbol pengenalan; menyatakan identiti, yang merupakan pengertian yang jelas dalam PM, tidak primitif seperti dalam logik kontemporari.
(atoi) dibaca sebagai "the"; adalah pengendali iota atau keterangan terbalik dan digunakan dalam ungkapan untuk keterangan yang pasti, seperti ((atoi x) phi x) (yang dibaca: (x) sedemikian rupa sehingga (phi x)).
(((atoi x) phi x)] keterangan yang pasti dalam kurungan; ini adalah penunjuk skop untuk penerangan yang pasti.
(E / bang) didefinisikan pada ∗ 14 · 02, dalam konteks (E / bang (atoi x) phi x), bermaksud bahawa keterangan ((atoi x) phi x) adalah tepat, iaitu, ada betul-betul satu (phi).
(wujud / bang) didefinisikan pada ∗ 24 · 03, dalam konteks (wujud / bang / alpha), bermaksud bahawa kelas (alpha) tidak kosong, iaitu, mempunyai anggota.

3. Penggunaan Titik untuk Tanda Baca

Halangan langsung untuk membaca PM adalah penggunaan titik yang tidak biasa untuk tanda baca, bukannya tanda kurung dan tanda kurung yang lebih biasa. Sistemnya tepat, dan dapat dipelajari dengan sedikit latihan. Penggunaan titik untuk tanda baca tidak unik untuk PM. Berasal dari Peano, ia kemudian digunakan dalam karya oleh Gereja Alonzo, WVO Quine, dan lain-lain, tetapi kini sebahagian besarnya telah hilang. (Penggunaan titik-titik yang mempunyai kepentingan sejarah, ketika Alan Turing membuat kajian tentang penggunaan titik dari sudut pandang komputasi pada tahun 1942, mungkin pada waktu luangnya setelah seharian bekerja di Bletchley Park melanggar kod Mesin Enigma. Cara terbaik untuk mempelajarinya adalah dengan melihat beberapa sampel yang diterjemahkan ke dalam formula menggunakan tanda kurung, dan dengan demikian dapat merasakannya. Berikut adalah penjelasan seperti yang disajikan dalam PM, halaman 9–10,diikuti oleh beberapa contoh yang menggambarkan setiap klausa:

Penggunaan titik. Titik pada garis simbol mempunyai dua kegunaan, satu untuk membendung cadangan, yang lain untuk menunjukkan produk logik dari dua cadangan. Titik segera didahului atau diikuti oleh "(lor)" atau "(supset)" atau "(equiv)" atau "(vdash)", atau oleh "((x)) "," ((X, y)) "," ((x, y, z)) "… atau" ((ada x)) "," ((ada x, y)) "," ((ada x, y, z)) "… atau" ([(atoi x) (phi x)]) "atau" ([R'y]) "Atau ungkapan yang serupa, berfungsi untuk mengatasi cadangan; titik yang berlaku sebaliknya menandakan produk logik. Prinsip umum adalah bahawa sebilangan besar titik menunjukkan pendakap luar, bilangan yang lebih kecil menunjukkan pendakap dalam. Peraturan yang tepat mengenai ruang lingkup tanda kurung yang ditunjukkan oleh titik dicapai dengan membagi kejadian titik menjadi tiga kumpulan yang akan kami beri nama I, II, dan III. Kumpulan I terdiri daripada titik yang bersebelahan dengan tanda implikasi ((supset)) atau kesetaraan ((equiv)) atau gangguan (lor)) atau persamaan mengikut definisi ((= / Df)). Kumpulan II terdiri daripada titik-titik berikut tanda kurung yang menunjukkan pemboleh ubah yang jelas, seperti ((x)) atau ((x, y)) atau ((ada x)) atau ((ada x, y)) atau ([(atoi x) (phi x)]) atau ungkapan yang serupa. Kumpulan III terdiri daripada titik-titik yang berada di antara cadangan untuk menunjukkan produk yang logik. Kumpulan I mempunyai kekuatan lebih besar daripada Kumpulan II, dan Kumpulan II daripada Kumpulan III. Skop tanda kurung yang ditunjukkan oleh kumpulan titik manapun meluas ke belakang atau ke depan melangkaui bilangan titik yang lebih kecil, atau jumlah yang sama dari sekumpulan kurang daya,sehingga kita mencapai sama ada hujung dugaan yang ditegaskan atau bilangan titik yang lebih banyak atau bilangan yang sama yang tergolong dalam kumpulan kekuatan yang sama atau unggul. Titik yang menunjukkan produk logik mempunyai ruang lingkup yang berfungsi ke belakang dan ke hadapan; titik-titik lain hanya menjauhkan diri dari tanda gangguan, implikasi, atau kesetaraan yang berdekatan, atau maju dari simbol bersebelahan salah satu jenis lain yang disebutkan dalam Kumpulan II. Beberapa contoh akan berfungsi untuk menggambarkan penggunaan titik. (PM, 9–10)

3.1 Beberapa Contoh Asas

Pertimbangkan siri contoh tambahan berikut, di mana kita meneliti cadangan dalam PM dan kemudian membincangkan bagaimana menerjemahkannya selangkah demi selangkah ke dalam notasi moden. (Simbol di bawah kadang-kadang digunakan sebagai nama untuk diri mereka sendiri, sehingga menghindari beberapa tanda petik yang diperlukan. Russell sering dituduh membingungkan penggunaan dan sebutan, jadi mungkin ada bahaya dalam praktik ini.)

Contoh 1

(tag * {∗ 1 · 2} { vdash} usus besar p / lor p / ldot { supset} ldot p / quad / Pp)

Ini adalah penegasan kedua "bintang" 1. Ini sebenarnya aksioma atau "Proposisi Primitif" seperti yang ditunjukkan oleh '(Pp)'. Bahawa ini adalah penegasan (aksioma atau teorema) dan bukan definisi ditunjukkan oleh penggunaan "(vdash)". (Sebaliknya, definisi akan menghilangkan tanda penegasan tetapi diakhiri dengan tanda “(Df)”.) Sekarang langkah pertama dalam proses menerjemahkan ∗ 1 · 2 ke notasi moden adalah dengan mencatat titik dua. Ingat, dari petikan yang disebutkan di atas, bahawa "sebilangan besar titik menunjukkan tanda kurung luar, bilangan yang lebih kecil menunjukkan tanda kurung dalam". Oleh itu, titik dua di sini (yang terdiri daripada bilangan titik yang lebih besar daripada titik tunggal yang berlaku pada garis dalam ∗ 1 · 2) mewakili pendakap luar. Jadi, langkah pertama adalah menerjemahkan ∗ 1 · 2 kepada:

(vdash [p / lor p / ldot { supset} ldot p])

Jadi tanda kurung "[" dan "]" mewakili titik dua dalam in 1 · 2. Oleh itu, ruang lingkup usus besar melampaui bilangan titik yang lebih kecil (iaitu satu titik) hingga akhir formula. Oleh kerana formula dibaca dari kiri ke kanan, ungkapan "lalu" bermaksud "di sebelah kanan".

Selanjutnya, titik-titik di sekitar "(supset)" ditunjukkan dalam notasi moden oleh tanda kurung di sekitar anteseden dan akibatnya. Ingatlah, dalam petikan di atas, kita dapati "… titik hanya berfungsi dari tanda gangguan, implikasi, atau kesetaraan yang berdekatan …". Oleh itu, langkah seterusnya dalam proses terjemahan adalah beralih ke formula: (vdash [(p / lor p) supset (p)])

Akhirnya, konvensyen moden standard membolehkan kita menghapus tanda kurung luar dan tanda kurung di sekitar satu huruf, menghasilkan:

(vdash (p / lor p) supset p)

Contoh kami yang seterusnya melibatkan konjungsi, yang ditunjukkan oleh penjajaran sederhana ayat atom, atau dengan titik apabila contoh penggantian dapat dipertimbangkan, seperti dalam definisi kata hubung dalam yang berikut:

Contoh 2

(tag * {∗ 3 · 01} p / sdot q / ldot {=} ldot / osim (osim p / lor / osim q) quad / Df)

Di sini kita mempunyai kes di mana titik berlaku menunjukkan "produk logik" (iaitu, konjungsi) dan tanda kurung pembatas. Sebagai langkah pertama untuk menerjemahkan ∗ 3 · 01 ke notasi moden, kami mengganti titik pertama dengan ampersand (dan pembatas skopnya yang sesuai) dan menggantikan "(ldot {=} ldot)" dengan "(= _ {df})”, untuk menghasilkan:

[(p / amp q) = _ {df} (osim (osim p / lor / osim q)])

Langkah di atas menggambarkan dengan jelas bagaimana "titik yang menunjukkan produk logik mempunyai ruang lingkup yang berfungsi baik ke belakang dan ke depan". Perhatikan bahawa titik pertama di ∗ 3 · 01, iaitu di antara (p) dan (q), benar-benar pilihan, mengingat petikan di atas dari PM. Namun, kerana kadang-kadang kita mungkin ingin mengganti keseluruhan formula dengan (p) dan (q), titik menunjukkan sejauh mana formula yang diganti. Oleh itu, kita mungkin mempunyai, sebagai contoh penggantian: (r / lor s / sdot q / supset s) (dalam notasi PM) atau ((r / lor s) amp (q / supset s)) (dalam simbol kontemporari).

Akhirnya, konvensyen moden kami membolehkan kami menghilangkan tanda kurung luar dari definiendum dan tanda kurung "[" dan "]" dari definiens, menghasilkan:

[p / amp q = _ {df} osim (osim p / lor / osim q))

Perhatikan bahawa ruang lingkup tanda penolakan "(osim)" di ∗ 3 · 01 tidak ditunjukkan dengan titik, bahkan dalam sistem PM, tetapi lebih memerlukan tanda kurung.

Contoh 3

(tag * {∗ 9 · 01} osim {(x) sdot / phi x } ldot {=} ldot (ada x) sdot / osim / phi x / quad / Df)

Sekiranya kita menerapkan peraturan "titik hanya berfungsi dari tanda gangguan, implikasi, atau kesetaraan yang berdekatan, atau maju dari simbol bersebelahan dari salah satu jenis lain yang disebutkan dalam Kumpulan II" (di mana Kumpulan II termasuk "((ada x))”), maka setara modennya adalah: (osim (x) phi x = _ {df} (ada x) osim / phi x) atau (osim / forall x / phi x = _ {df} wujud x / osim / phi x)

3.2 Kekuatan Perhubungan

Peringkat konektif dari segi "kekuatan" relatif, atau ruang lingkup, adalah konvensyen standard dalam logik kontemporari. Sekiranya tidak ada tanda kurung yang jelas untuk menunjukkan ruang lingkup penghubung, mereka yang mempunyai kedudukan terdahulu dalam kedudukan dianggap sebagai penghubung utama, dan seterusnya untuk subformula. Oleh itu, sebaliknya merumuskan undang-undang DeMorgan berikut sebagai membebankan:

[(osim p) lor (osim q)] equiv (osim (p / amp q)])

kita sekarang menulisnya sebagai:

(osim p / lor / osim q / equiv / osim (p / amp q))

Rumusan yang lebih sederhana ini adalah wajar kerana (equiv) diutamakan (mempunyai "skop" yang lebih luas daripada) (lor) dan &, dan yang terakhir lebih diutamakan daripada (osim). Memang tanda kurung sering tidak diperlukan di sekitar (equiv), diberi konvensyen selanjutnya yang (equiv) lebih diutamakan daripada (supset). Oleh itu, formula (p / supset q / equiv / osim p / lor q) menjadi tidak jelas. Kami mungkin mewakili konvensyen ini dengan menyenaraikan penghubung dalam kumpulan dengan mereka yang mempunyai ruang lingkup terluas di bahagian atas:

(begin {array} {c} equiv \\ / supset \\ / amp, / lor \\ / osim / end {array})

Namun, bagi Whitehead dan Russell, simbol (supset), (equiv), (lor) dan (ldots = / ldots / Df), dalam Kumpulan I, mempunyai kekuatan yang sama. Kumpulan II terdiri daripada ungkapan mengikat pemboleh ubah, pengukur dan indikator skop untuk keterangan yang pasti, dan Kumpulan III terdiri daripada kata hubung. Negasi berada di bawah semua ini. Jadi kedudukan dalam PM adalah:

(begin {array} {c} supset, / equiv, / lor / text {dan} ldots = / ldots / quad / Df \(x), (x, y) ldots (ada x), (ada x, y) ldots [(atoi x) phi x] / p / sdot q / quad / text {(sambungan)} / \ osim / end {array})

Inilah yang dimaksudkan oleh Whitehead dan Russell ketika mereka mengatakan "Kumpulan I lebih kuat daripada Kumpulan II, dan Kumpulan II daripada Kumpulan III." Pertimbangkan perkara berikut:

Contoh 4

(tag * {∗ 3 · 12} { vdash} usus besar / osim p / ldot { lor} ldot / osim q / ldot { lor} ldot p / sdot q)

Teorema ini menggambarkan cara membaca pelbagai kegunaan bilangan titik yang sama dalam satu formula. Mengelompokkan "rakan ke kiri" baik untuk titik dan untuk serangkaian gangguan, mengikuti konvensyen membaca dari kiri ke kanan dan definisi:

(tag * {∗ 2 · 33} p / vee q / vee r / ldot {=} ldot (p / vee q) vee r / quad / Df)

Jadi, dalam ∗ 3 · 12, dua titik pertama di sekitar (lor) hanya "bekerja" dari penghubung. Yang kedua "memanjang" sehingga bertemu dengan nombor berikutnya yang sama (titik tunggal ketiga). Titik ketiga itu, dan titik keempat "bekerja" dari titik kedua (lor), dan titik akhir menunjukkan hubungan dengan ruang lingkup yang paling sempit. Hasilnya, dirumuskan dengan semua tanda baca yang mungkin untuk keterangan maksimum, adalah:

({[(osim p) lor (osim q)] lor (p / amp q) })

Sekiranya kita menggunakan semua konvensyen standard untuk menurunkan tanda kurung, ini menjadi:

[(osim p / lor / osim q) lor (p / amp q))

Ini menggambarkan petikan dalam petikan di atas yang mengatakan "Ruang lingkup tanda kurung yang ditunjukkan oleh kumpulan titik manapun meluas ke belakang atau ke depan melampaui jumlah titik yang lebih kecil, atau jumlah yang sama dari sekumpulan yang kurang kuat, hingga kita mencapai salah satu akhir dari dugaan yang ditegaskan atau bilangan titik yang lebih besar atau bilangan yang sama yang tergolong dalam kumpulan kekuatan yang sama atau unggul."

Sebelum kita melihat contoh yang lebih luas, contoh terperinci yang melibatkan pemboleh ubah yang dikuantifikasikan akan terbukti memberi pengajaran. Whitehead dan Russell mengikuti praktik Peano untuk menyatakan syarat-syarat yang dikuantifikasi secara universal (seperti "Semua (phi) s (psi) s") dengan pemboleh ubah terikat yang dilanggan di bawah tanda bersyarat. Begitu juga dengan biconditionals yang dihitung secara universal (“All and only (phi) s (psi) s”). Maksudnya, ungkapan "(phi x / supset_x / psi x)" dan "(phi x / equiv_x / psi x)" didefinisikan sebagai berikut:

(tag * {∗ 10 · 02} phi x / supset_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / supset / psi x / quad / Df) (tag * {∗ 10 · 03} phi x / equiv_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / equiv / psi x / quad / Df)

dan sesuai dengan formula yang lebih moden berikut, masing-masing:

(forall x (phi x / supset / psi x)) (forall x (phi x / equiv / psi x))

Sebagai latihan, pembaca mungkin cenderung untuk merumuskan algoritma yang ketat untuk menukar PM menjadi simbolisme kontemporari tertentu (dengan konvensyen untuk menurunkan tanda kurung), tetapi cara terbaik untuk mempelajari sistem ini adalah dengan melihat beberapa contoh terjemahan lagi, dan kemudian hanya mula membaca formula secara langsung.

3.3 Lebih Banyak Contoh

Dalam contoh di bawah, setiap nombor formula diikuti pertama oleh notasi Principia dan kemudian terjemahan modennya. Perhatikan bahawa dalam · 1 · 5 tanda kurung digunakan untuk tanda baca selain titik. (Cadangan Primitif ∗ 1 · 2, ∗ 1 · 3, ∗ 1 · 4, ∗ 1 · 5, dan ∗ 1 · 6 bersama-sama membentuk aksioma untuk logik cadangan dalam PM.) Proposisi ∗ 1 · 5 terbukti tidak berguna oleh Paul Bernays pada tahun 1926. Ini boleh diambil dari contoh yang sesuai dari yang lain dan peraturan modus ponens.

∗ 1 · 3

({ vdash} usus besar q / ldot { supset} ldot p / lor q / quad / Pp)

(q / supset p / lor q)

∗ 1 · 4

({ vdash} usus besar p / lor q / ldot { supset} ldot q / lor p / quad / Pp)

(p / lor q / supset q / lor p)

∗ 1 · 5

({ vdash} usus besar p / lor (q / lor r) ldot { supset} ldot q / lor (p / lor r) quad / Pp)

(p / lor (q / lor r)) supset q / lor (p / lor r))

∗ 1 · 6

({ vdash} colondot q / supset r / ldot { supset} usus besar p / lor q / ldot { supset} ldot p / lor r / quad / Pp)

((q / supset r) supset (p / lor q / supset p / lor r))

∗ 2 · 03

({ vdash} usus besar p / supset / osim q / ldot { supset} ldot q / supset / osim p)

((p / supset / osim q) supset (q / supset / osim p))

∗ 3 · 3

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot r / colon { supset} colon p / ldot { supset} ldot q / supset r)

([(p / amp q) supset r] supset [p / supset (q / supset r)])

∗ 4 · 15

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot / osim r / colon { equiv} colon q / sdot r / ldot { supset} ldot / osim p)

(p / amp q / supset / osim r / equiv q / amp r / supset / osim p)

∗ 5 · 71

({ vdash} colondot q / supset / osim r / ldot { supset} usus besar p / lor q / sdot r / ldot { equiv} ldot p / sdot r)

((q / supset / osim r) supset [(p / lor q) amp r / equiv p / amp r])

∗ 9 · 04

(p / ldot { lor} ldot (x) ldot / phi x / colon {=} ldot (x) ldot / phi x / lor p / quad / Df)

(p / lor / forall x / phi x = _ {df} forall x (phi x / lor p))

∗ 9 · 521

({ vdash} titik dua (ada x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot q / colon { supset} colondot (wujud x) ldot / phi x / ldot { lor } ldot r / colon { supset} ldot q / lor r)

(((ada x / phi x) supset q] supset [((ada x / phi x) lor r) supset (q / lor r))]

∗ 10 · 55

({ vdash} colondot (wujud x) ldot / phi x / sdot / psi x / colon / phi x / supset_x / psi x / colon { equiv} usus besar (ada x) ldot / phi x / usus / phi x / supset_x / psi x)

(ada x (phi x / amp / psi x) amp / forall x (phi x / supset / psi x) equiv / wujud x / phi x / amp / forall x (phi x / supset / psi x))

4. Fungsi Cadangan

Terdapat dua jenis fungsi dalam PM. Fungsi cadangan seperti "(hat {x}) adalah nombor semula jadi" harus dibezakan dari fungsi matematik yang lebih biasa, yang disebut "fungsi deskriptif" (PM, 31). Fungsi deskriptif didefinisikan menggunakan hubungan dan penerangan yang pasti. Contoh fungsi deskriptif adalah (x + y) dan "penerus (n)".

Dengan fokus pada fungsi proposisi, Whitehead dan Russell membezakan antara ungkapan dengan pemboleh ubah bebas (seperti "(x) disakiti") dan nama fungsi (seperti "(hat {x}) disakitkan") PM, 14–15). Proposisi yang dihasilkan dari formula dengan memberikan nilai yang dibenarkan ke pemboleh ubah bebas "x" dikatakan sebagai "nilai ambigu" fungsi. Ungkapan yang menggunakan notasi circumflex, seperti (phi / hat {x}) hanya berlaku pada bahan pengantar di bahagian teknikal PM dan bukan di bahagian teknikal itu sendiri (kecuali bahagian pada teori kelas), mendorong sebilangan sarjana untuk mengatakan bahawa ungkapan seperti itu tidak benar-benar berlaku dalam sistem formal PM. Isu ini berbeza dengan masalah penafsiran simbol-simbol tersebut. Adakah mereka "operator pembentuk istilah" yang mengubah formula terbuka menjadi nama untuk fungsi, atau sekadar alat sintaksis, pemegang tempat, untuk menunjukkan pemboleh ubah yang boleh dilakukan penggantian dalam formula terbuka? Sekiranya mereka diperlakukan sebagai operator pembentuk istilah, notasi moden untuk (phi / hat {x}) adalah "(lambda x / phi x)". Notasi (lambda) - mempunyai kelebihan dengan jelas menunjukkan bahawa pemboleh ubah (x) terikat oleh operator pembentuk istilah (lambda), yang mengambil predikat (phi) dan menghasilkan istilah (lambda x / phi x) (yang dalam beberapa logik adalah istilah tunggal yang boleh berlaku pada kedudukan subjek ayat, sementara dalam logik lain adalah ungkapan prediktif yang kompleks). Tidak seperti notasi (lambda) - notasi PM yang menggunakan circumflex tidak dapat menunjukkan skop. Ungkapan fungsi “(phi (hat {x},\ hat {z})) "tidak jelas antara" (lambda x / lambda y / phi xy) "dan" (lambda y / lambda x / phi xy) ", tanpa beberapa konvensi selanjutnya. Memang, Whitehead dan Russell menetapkan konvensyen ini untuk hubungan secara lanjutan (pada halaman 200 dalam bahan pengantar ∗ 21, dari segi susunan pemboleh ubah), tetapi kekaburan yang dikeluarkannya dengan paling jelas dengan menggunakan (lambda / notasi: yang pertama menunjukkan hubungan menjadi (x) dan (y) sehingga (phi xy) dan yang kedua menunjukkan hubungan sebaliknya menjadi (y) dan (x) sehingga (phi xy).tetapi kekaburan yang ditunjukkannya dengan paling jelas dengan menggunakan notasi (lambda): yang pertama menunjukkan hubungan menjadi (x) dan (y) sehingga (phi xy) dan yang kedua menunjukkan hubungan sebaliknya menjadi (y) dan (x) sehingga (phi xy).tetapi kekaburan yang ditunjukkannya dengan paling jelas dengan menggunakan notasi (lambda): yang pertama menunjukkan hubungan menjadi (x) dan (y) sehingga (phi xy) dan yang kedua menunjukkan hubungan sebaliknya menjadi (y) dan (x) sehingga (phi xy).

5. Notasi Hilang untuk Jenis dan Pesanan

Bahagian ini menerangkan notasi yang tidak terdapat dalam Principia Mathematica. Kecuali untuk beberapa notasi untuk jenis "relatif" dalam Jilid II, tidak ada simbol untuk jenis di Principia Mathematica! Kalimat umumnya dianggap sebagai "biasanya samar-samar" dan demikian bermaksud ungkapan dari berbagai jenis dan sama seperti tidak ada pemalar individu atau predikat, tidak ada fungsi tertentu dari jenis tertentu. Jadi tidak hanya seseorang yang tidak melihat bagaimana melambangkan hujah:

Semua lelaki adalah fana

Socrates adalah lelaki

Oleh itu, Socrates adalah fana

tetapi juga tidak ada indikasi jenis logik fungsi “(hat {x}) adalah fana”. Projek PM adalah untuk mengurangkan matematik menjadi logik, dan sebahagian pandangan logik di sebalik projek ini adalah bahawa kebenaran logik semuanya benar-benar umum. Penurunan kebenaran matematik dari definisi dan kebenaran logik tidak akan melibatkan pemalar tertentu selain yang diperkenalkan oleh definisi dari pengertian logik semata-mata. Akibatnya tidak ada notasi yang dimasukkan dalam PM untuk menjelaskan jenis-jenis itu. Bagi kita yang ingin menganggap PM sebagai logik yang boleh diterapkan, mesti melengkapkannya dengan beberapa petunjuk jenis.

Pembaca harus memperhatikan bahawa penjelasan jenis yang digariskan di bawah ini tidak sesuai dengan pernyataan mengenai jenis dalam teks PM. Gereja Alonzo [1976] mengembangkan penyusunan notasi yang rasional dan sederhana untuk kedua-dua jenis teori sederhana dan besar seperti yang tersirat oleh teks PM. (Terdapat alternatif, notasi setara untuk teori jenis.) Teori penuh dapat dilihat sebagai pengembangan teori jenis sederhana.

5.1 Jenis Ringkas

Definisi jenis mudah boleh diberikan seperti berikut:

  • (iota) (iota Yunani) adalah jenis untuk individu.
  • Di mana (tau_1, / ldots, / tau_n) adalah jenis apa pun, maka (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_n) urcorner) adalah jenis fungsi cadangan yang argumennya adalah jenis (tau_1, / ldots, / tau_n).
  • (ulcorner) () (urcorner) adalah jenis cadangan.

Berikut adalah beberapa cara intuitif untuk memahami definisi jenis. Katakan bahawa "Socrates" menamakan individu. (Kami di sini mengabaikan pendapat yang dianggap Russell bahawa individu biasa seperti itu sebenarnya adalah kelas kelas data akal, dan jenis yang jauh lebih tinggi.) Kemudian pemalar individu "Socrates" akan menjadi jenis (iota). Fungsi proposisi monadik yang menjadikan individu sebagai argumen adalah jenis ((iota)). Katakan bahawa "adalah fana" adalah predikat yang menyatakan fungsi tersebut. Fungsi "(hat {x}) bersifat fana" juga akan jenis ((iota)). Hubungan dua tempat atau binari antara individu adalah jenis ((iota, / iota)). Oleh itu, ungkapan hubungan seperti "induk" dan fungsi "(hat {x}) adalah induk (hat {z})" adalah jenis ((iota, / iota)).

Fungsi cadangan jenis ((iota)) sering disebut "pesanan pertama"; oleh itu nama "logik pesanan pertama" untuk logik biasa di mana pemboleh ubah hanya merangkumi argumen fungsi pesanan pertama. Fungsi monadik argumen jenis (tau) adalah jenis ((tau)) dan fungsi fungsi seperti itu adalah jenis (((tau))). "Logik urutan kedua" akan mempunyai pemboleh ubah untuk argumen fungsi tersebut (serta pemboleh ubah untuk individu). Hubungan binari antara fungsi jenis (tau) adalah jenis ((tau, / tau)), dan seterusnya, untuk hubungan yang mempunyai lebih dari 2 argumen. Jenis campuran ditakrifkan di atas. Hubungan antara individu dan proposisi (seperti “(hat {x}) percaya bahawa (hat {P})") akan jenis ((iota), ()).

5.2 Jenis Ramified

Untuk membina notasi untuk teori ramalan lengkap jenis PM, maklumat lain mesti dikodkan dalam simbol. Church memanggil sistem yang dihasilkan sebagai salah satu jenis r. Idea utama dari jenis ramised adalah bahawa setiap fungsi yang ditentukan menggunakan kuantifikasi atas fungsi dari beberapa jenis yang diberikan harus lebih "tertib" daripada fungsi tersebut. Untuk menggunakan contoh Russell:

(hat {x}) mempunyai semua kualiti yang dimiliki oleh jeneral hebat

adalah fungsi yang betul bagi orang (iaitu individu), dan dari sudut teori jenis sederhana, ia mempunyai jenis logik sederhana yang sama dengan kualiti individu tertentu (seperti keberanian dan ketegasan). Walau bagaimanapun, dalam teori jenis ramised, fungsi di atas akan lebih tinggi daripada kualiti individu tersebut, kerana tidak seperti kualiti tertentu, ia melibatkan pengukuran terhadap kualiti tersebut. Jadi, sedangkan ungkapan "(hat {x}) berani" menunjukkan fungsi r-type ((iota) / 1), ungkapan "(hat {x}) mempunyai semua kualiti yang dimiliki oleh jeneral hebat”akan mempunyai r-type ((iota) / 2). Dalam r-jenis ini, angka setelah “/” menunjukkan tahap fungsi. Urutan fungsi akan ditakrifkan dan dihitung dengan memberikan definisi berikut.

Gereja mentakrifkan jenis-r seperti berikut:

  • (iota) (iota Yunani) adalah jenis r untuk individu.
  • Di mana (tau_1, / ldots, / tau_m) adalah jenis-jenis r, (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_m) / n / urcorner) adalah jenis-r; ini adalah r-type a (m) - fungsi proposisi tingkat (n), yang mempunyai argumen r-type (tau_1, / ldots, / tau_m).

Urutan entiti didefinisikan sebagai berikut (di sini kita tidak lagi mengikuti Gereja, kerana dia menentukan pesanan untuk pemboleh ubah, iaitu, ungkapan, bukannya pesanan untuk perkara-perkara yang pemboleh ubahnya rentang):

  • susunan individu (dari r-type (iota)) adalah 0,
  • susunan fungsi r-type ((tau_1, / ldots, / tau_m) / n) adalah (n + N), di mana (N) adalah urutan argumen yang paling besar (tau_1, / lots, / tau_m).

Kedua definisi ini dilengkapi dengan prinsip yang mengenal pasti tahap fungsi yang ditentukan, iaitu, tahap fungsi yang ditentukan harus lebih tinggi daripada entiti pesanan tertinggi yang mempunyai nama atau pemboleh ubah yang muncul dalam definisi fungsi tersebut.

Untuk melihat bagaimana definisi dan prinsip ini dapat digunakan untuk menghitung urutan fungsi “(hat {x}) memiliki semua kualitas yang dimiliki oleh jenderal hebat”, perhatikan bahawa fungsi tersebut dapat ditunjukkan sebagai berikut, di mana “(x, y) "adalah pemboleh ubah yang terdiri daripada individu r-type (iota) (orde 0)," GreatGeneral ((y)) "adalah predikat yang menunjukkan fungsi proposisi r-type ((iota) / 1) (dan urutan 1), dan "(phi)" adalah pemboleh ubah yang merangkumi fungsi proposisi dari r-type ((iota) / 1) (dan seterusnya perintah 1) seperti jeneral yang hebat, keberanian, kepemimpinan, kemahiran, pandangan jauh, dan lain-lain:

[(phi) {[(y) (textrm {GreatGeneral} (y) supset / phi (y)] supset / phi / hat {x} })

Kami pertama kali memperhatikan bahawa berdasarkan prinsip di atas, r-jenis fungsi ini adalah ((iota) / 2); tahapnya adalah 2 kerana tahap r-jenis fungsi ini mestilah satu yang lebih tinggi daripada urutan tertinggi mana-mana entiti bernama (atau dalam julat pemboleh ubah yang digunakan) dalam definisi. Dalam kes ini, denotasi GreatGeneral, dan julat pemboleh ubah "(phi)", adalah urutan 1, dan tidak ada nama atau rentang ekspresi lain atas entiti yang lebih tinggi. Oleh itu, tahap fungsi yang disebutkan di atas ditakrifkan menjadi 2. Akhirnya, kita menghitung urutan fungsi yang dinyatakan di atas seperti yang telah ditentukan: jumlah tahap ditambah jumlah pesanan argumen fungsi di atas yang paling besar. Oleh kerana satu-satunya argumen dalam fungsi di atas adalah individu (urutan 0), urutan fungsi kita hanya 2.

Mengira fungsi r-type ((tau) / n) orde (k) dalam definisi fungsi baru menghasilkan fungsi r-type ((tau) / n + 1), dan fungsi fungsi pesanan satu lebih tinggi, (k + 1). Oleh itu, dua jenis fungsi boleh menjadi urutan kedua: (1) fungsi fungsi orde pertama individu, fungsi r-type (((iota) / 1) / 1), dan (2) r-type ((iota) / 2), seperti contoh kami "(hat {x}) mempunyai semua kualiti yang dimiliki oleh jeneral hebat". Yang terakhir ini adalah fungsi yang berlaku bagi individu seperti Napoleon, tetapi mempunyai urutan yang lebih tinggi daripada fungsi sederhana seperti "(hat {x}) berani", yang jenis-r ((iota) / 1).

Ahli logik hari ini menggunakan konsep “pesanan” yang berbeza. Hari ini, logik pesanan pertama adalah logik dengan pemboleh ubah hanya untuk individu. Logik urutan kedua adalah logik dengan pemboleh ubah untuk kedua-dua individu dan sifat individu. Logik urutan ketiga adalah logik dengan pemboleh ubah untuk individu, sifat individu, dan sifat sifat individu. Dan sebagainya. Sebaliknya, Gereja akan memanggil logik ini, masing-masing, logik fungsi jenis ((iota) / 1) dan ((iota, / ldots, / iota) / 1), logik fungsi dari jenis (((iota) / 1) / 1) dan (((iota, / ldots, / iota) / 1, / ldots, (iota, / ldots, / iota) / 1) / 1), dan logik fungsi jenis ((((iota) / 1) / 1) / 1) dan lain-lain (iaitu, fungsi tahap-satu fungsi jenis sebelumnya). Memandangkan definisi Gereja, ini adalah logik fungsi orde pertama, kedua dan ketiga,masing-masing, sehingga bertepatan dengan istilah moden “(n)th logik -order.

6. Pemboleh ubah

Seperti disebutkan sebelumnya, tidak ada pemalar individu atau predikat dalam sistem formal PM, hanya pemboleh ubah. Pengenalan, bagaimanapun, menggunakan contoh "(a) berdiri dalam hubungan (R) ke (b)" dalam perbincangan fakta atom (PM, 43). Walaupun "(R)" kemudian digunakan sebagai pemboleh ubah yang merangkumi hubungan dalam pemanjangan, dan "(a, b, c, / ldots)" adalah pemboleh ubah individu, mari kita tambahkannya sementara ke sistem sebagai predikat dan pemalar individu, masing-masing, untuk membincangkan penggunaan pemboleh ubah dalam PM.

PM menggunakan khas perbezaan antara pembolehubah "nyata", atau bebas, dan pemboleh ubah "nyata", atau terikat. Oleh kerana "(x)" adalah pemboleh ubah, "(xRy)" akan menjadi formula atom dalam bahasa lanjutan kami, dengan "(x)" dan "(y)" pemboleh ubah sebenar. Apabila formula sedemikian digabungkan dengan penghubung cadangan ((osim), (lor), dan lain-lain, hasilnya adalah matriks. Contohnya, "(aRx / ldot { lor} ldot xRy)" akan menjadi matriks.

Seperti yang kita lihat sebelumnya, ada juga variabel yang merangkumi fungsi: "(phi), (psi), (ldots, f, g)", dll. Ungkapan "(phi x)”dengan demikian mengandungi dua pemboleh ubah dan bermaksud proposisi, khususnya, hasil penerapan fungsi (phi) pada individu (x).

Teorema dinyatakan dengan pemboleh ubah sebenar, yang memberi mereka kepentingan khusus berkaitan dengan teori. Sebagai contoh, (tag * {∗ 10 · 1} vdash / titik dua (x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Pp)

adalah aksioma asas teori kuantitatif PM. Dalam Proposisi Primitif ini pemboleh ubah "(phi)" dan "(y)" adalah nyata (percuma), dan "(x)" jelas (terikat). Oleh kerana tidak ada pemalar dalam sistem, inilah yang paling dekat dengan PM yang menerapkan peraturan instansiasi sejagat.

Whitehead dan Russell mentafsirkan "((x) sdot / phi x)" sebagai "dalil yang menegaskan semua nilai untuk (phi / hat {x})" (PM 41). Penggunaan kata "semua" mempunyai kepentingan khusus dalam teori jenis. Mereka mengemukakan "prinsip lingkaran setan", yang mendasari teori jenis, sebagai menegaskan bahawa

… secara umum, mengingat sekumpulan objek sedemikian rupa sehingga, jika kita mengira set itu memiliki jumlah total, itu akan berisi anggota yang mengandaikan jumlah ini, maka set tersebut tidak dapat memiliki total. Dengan mengatakan bahawa set itu "tidak ada jumlahnya", kita bermaksud, terutama, bahawa tidak ada pernyataan yang signifikan yang dapat dibuat mengenai "semua anggotanya". (PM, 37)

Oleh itu, secara khusus, ungkapan terukur, kerana ia berbicara tentang "semua" anggota totalitas, harus merangkumi jenis logik tertentu untuk mematuhi prinsip lingkaran setan. Oleh itu, ketika menafsirkan pemboleh ubah terikat, kita harus menganggap bahawa ia merangkumi jenis entiti tertentu, dan jenisnya harus diberikan kepada entiti lain yang diwakili oleh ungkapan dalam formula, sesuai dengan teori jenis.

Akan tetapi, timbul persoalan apabila seseorang menyedari bahawa pernyataan proposisi dan teorema primitif dalam PM seperti ∗ 10 · 1 dianggap "biasanya samar-samar" (iaitu, samar-samar berkenaan dengan jenis). Pernyataan-pernyataan ini sebenarnya skematik dan mewakili semua kemungkinan penegasan khusus yang dapat diturunkan dari mereka dengan menafsirkan jenis dengan tepat. Tetapi jika pernyataan seperti ∗ 10 · 1 adalah skema dan belum mempunyai pemboleh ubah terikat, bagaimana kita menetapkan jenis kepada entiti di mana pemboleh ubah terikat itu berkisar? Jawapannya adalah untuk menentukan terlebih dahulu jenis perkara yang mana pemboleh ubah bebas dalam penyataan merangkumi keseluruhan. Sebagai contoh, dengan andaian bahawa pemboleh ubah (y) dalam ∗ 10 · 1 berkisar antara individu (jenis (iota)), maka pemboleh ubah (phi) mesti merangkumi fungsi jenis ((iota) / n), untuk beberapa (n). Maka pemboleh ubah terikat (x) juga akan merangkumi individu. Namun, jika kita menganggap bahawa pemboleh ubah (y) di ∗ 10 · 1 berkisar pada fungsi jenis ((iota) / 1), maka pemboleh ubah (phi) mesti merangkumi fungsi jenis (((iota) / 1) / m), untuk beberapa (m). Dalam kes ini, pemboleh ubah terikat (x) akan merangkumi fungsi jenis ((iota) / 1).

Oleh itu (y) dan (phi) disebut pemboleh ubah "nyata" dalam ∗ 10 · 1 bukan sahaja kerana ia bebas tetapi juga kerana mereka boleh merangkumi pelbagai jenis. Whitehead dan Russell sering mengatakan bahawa pemboleh ubah nyata dianggap tidak jelas menunjukkan "mana-mana" dari keadaan mereka, sementara pemboleh ubah terikat (yang juga menunjukkan secara samar-samar) berada di atas "semua" kejadian mereka (dalam jumlah yang sah, yaitu jenis).

7. Fungsi Predikat dan Identiti

Tanda seru "!" mengikuti pemboleh ubah untuk fungsi dan mendahului argumen, seperti dalam "(f / bang / hat {x})", "(phi / bang x)", "(phi / bang / hat { x})”, menunjukkan bahawa fungsi tersebut bersifat prediktif, yaitu, dari urutan terendah yang dapat diterapkan pada argumennya. Dalam notasi Gereja, ini bermaksud bahawa fungsi prediktif adalah semua tingkat pertama, dengan jenis bentuk ((ldots) / 1). Akibatnya, fungsi prediktif akan lebih baik daripada urutan tertinggi mana-mana hujah mereka. Analisis ini berdasarkan petikan seperti berikut, dalam Pengantar PM:

Kami akan mendefinisikan fungsi satu pemboleh ubah sebagai prediktif apabila dari urutan berikutnya di atas argumennya, iaitu, dari urutan terendah yang sesuai dengan yang mempunyai argumen itu. (PM, 53)

Sayangnya dalam ringkasan ∗ 12, kita dapati "Fungsi prediktif adalah fungsi yang tidak mengandungi pemboleh ubah yang jelas, iaitu matriks" [PM, 167]. Mendamaikan pernyataan ini dengan definisi itu dalam Pengenalan adalah masalah bagi para sarjana.

Untuk melihat notasi jeritan dalam tindakan, pertimbangkan definisi identiti berikut:

(tag * {∗ 13 · 01} x = y / ldot {=} usus besar (phi) usus besar / phi / bang x / ldot { supset} ldot / phi / bang y / quad / Df]

Artinya, (x) sama dengan (y) jika dan hanya jika (y) mempunyai setiap fungsi prediktif (phi) yang dimiliki oleh (x). (Sudah tentu kejadian kedua "=" menunjukkan definisi, dan tidak mempunyai makna secara bebas. Ini adalah kejadian pertama, yang menghubungkan individu (x) dan (y), yang ditakrifkan.)

Untuk melihat bagaimana definisi ini mengurangkan definisi identiti yang lebih biasa (pada objek mana yang serupa jika mereka mempunyai sifat yang sama), kita memerlukan Aksioksi Pengurangan. Axiom of Reducibility menyatakan bahawa untuk fungsi apa pun ada fungsi yang setara (iaitu, satu benar dari semua argumen yang sama) yang bersifat prediktif:

Axiom Reducibility: (tag * {∗ 12 · 1} vdash / colon (wujud f) colon / phi x / ldot { equiv_x} ldot f / bang x / quad / Pp)

Untuk melihat bagaimana aksioma ini menunjukkan definisi identiti yang lebih dikenali, perhatikan bahawa definisi identiti yang lebih dikenali adalah:

[x = y / ldot {=} titik dua (phi) usus besar / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Df)

untuk (phi) dari jenis "mana-mana". (Perhatikan bahawa ini berbeza dari ∗ 13 · 01 kerana jeritan itu tidak lagi muncul.) Sekarang untuk membuktikannya, anggap kedua ∗ 13 · 01 dan Aksioma Pengurangan, dan anggap, sebagai bukti oleh reduktio, bahawa (x = y), dan (phi x), dan bukan (phi y), untuk beberapa fungsi (phi) jenis sewenang-wenangnya. Kemudian, Axiom of Reducibility ∗ 12 · 1 menjamin bahawa akan ada fungsi prediktif (psi / bang), yang bersamaan dengan (phi) sehingga (psi / bang x) tetapi tidak (psi / bang y), yang bertentangan dengan ∗ 13 · 01.

8. Huraian yang pasti

Huruf Yunani terbalik iota "(atoi)" digunakan dalam PM, selalu diikuti oleh pemboleh ubah, untuk memulai keterangan yang pasti. ((atoi x) phi x) dibaca sebagai "the (x) sehingga (x) adalah (phi)", atau lebih sederhana, sebagai "the (phi))”. Ungkapan seperti itu mungkin terjadi pada posisi subjek, seperti di (psi (atoi x) phi x), dibaca sebagai "the (phi) adalah (psi)". Bahagian formal dari "teori penerangan pasti" yang terkenal Russell terdiri daripada definisi semua formula "… (psi (atoi x) phi x) …" di mana penerangan berlaku. Untuk membezakan bahagian (psi) dari sisa ayat yang lebih besar (ditunjukkan oleh elips di atas) di mana ungkapan (psi (atoi x) phi x) berlaku, ruang lingkup keterangan adalah ditunjukkan dengan mengulangi keterangan pasti dalam tanda kurung:

[(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x)

Pengertian ruang lingkup dimaksudkan untuk menjelaskan suatu perbezaan yang dibincangkan oleh Russell dalam "On Denoting" (1905). Russell mengatakan bahawa kalimat "Raja Perancis sekarang tidak botak" adalah tidak jelas antara dua pembacaan: (1) pembacaan di mana ia mengatakan tentang Raja Perancis sekarang bahawa dia tidak botak, dan (2) bacaan yang menyangkal bahawa Raja Perancis sekarang ini botak. Pembacaan sebelumnya mengharuskan ada Raja Perancis yang unik dalam senarai perkara yang tidak botak, sedangkan yang terakhir hanya mengatakan bahawa tidak ada Raja Perancis yang unik yang muncul dalam senarai perkara botak. Russell mengatakan yang terakhir, tetapi tidak yang pertama, boleh berlaku dalam keadaan di mana tidak ada Raja Perancis. Russell menganalisis perbezaan ini sebagai ruang lingkup keterangan yang pasti, walaupun seperti yang akan kita lihat,sebilangan ahli logik moden cenderung menganggap keadaan ini sebagai masalah skop tanda penolakan. Oleh itu, Russell memperkenalkan kaedah untuk menunjukkan ruang lingkup keterangan yang pasti.

Untuk melihat bagaimana kaedah skop Russell berfungsi untuk kes ini, kita mesti memahami definisi yang memperkenalkan penerangan yang pasti (iaitu, pengendali iota terbalik). Whitehead dan Russell mendefinisikan:

(tag * {∗ 14 · 01} [(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x / ldot {=} titik dua (ada b) usus besar / phi x / ldot { equiv_x} ldot x = b / usus / psi b / quad / Df)

Definisi semacam ini disebut definisi kontekstual, yang harus dibandingkan dengan definisi eksplisit. Huraian definisi yang jelas perlu dilihat seperti berikut:

[(atoi x) (phi x) = / colon / ldots / quad / Df)

yang akan membolehkan gambaran pasti diganti dalam konteks apa pun dengan ungkapan yang menentukan mengisi elipsis. Sebaliknya, ∗ 14 · 01 menunjukkan bagaimana ayat, di mana terdapatnya keterangan ((atoi x) (phi x)) dalam konteks (psi), dapat digantikan oleh yang lain ayat (melibatkan (phi) dan (psi)) yang setara. Untuk mengembangkan contoh definisi ini, mulakan dengan contoh berikut:

Contohnya.

Raja Perancis sekarang ini botak.

Menggunakan (PKFx) untuk mewakili fungsi proposisi menjadi Raja Perancis yang ada dan (B) untuk mewakili fungsi proposisi menjadi botak, Whitehead dan Russell akan mewakili tuntutan di atas sebagai:

[(atoi x) (PKFx)] sdot B (atoi x) (PKFx))

yang dengan ∗ 14 · 01 bermaksud:

[(ada b) kolon PKFx / ldot { equiv_x} ldot x = b / usus besar Bb)

Dengan kata-kata, ada satu-satunya (b) yang merupakan Raja Perancis sekarang dan yang botak. Dalam simbol moden, menggunakan (b) secara tidak standard, sebagai pemboleh ubah, ini menjadi:

[(ada b) (forall x (PKFx / equiv x = b) amp Bb])

Sekarang kita kembali ke contoh yang menunjukkan bagaimana ruang lingkup keterangan membuat perbezaan:

Contohnya.

Raja Perancis sekarang tidak botak.

Terdapat dua pilihan untuk mewakili ayat ini.

[(atoi x) (Kx)] sdot / osim B (atoi x) (Kx))

dan

(osim [(atoi x) (Kx)] sdot B (atoi x) (Kx))

Pada yang pertama, keterangan mempunyai ruang lingkup "luas", dan yang kedua, keterangan mempunyai ruang lingkup "sempit". Russell mengatakan bahawa keterangan tersebut mempunyai "kejadian utama" pada yang pertama, dan "kejadian sekunder" pada yang terakhir. Memandangkan definisi ∗ 14 · 01, formula dua PM tepat di atas berkembang menjadi notasi primitif seperti:

(start {align} (wujud b) kolon PKFx / equiv_x x = b / colon / osim Bb \\ / osim (wujud b) usus besar PKFx / equiv_x x = b / usus besar Bb / end {align})

Dalam notasi moden ini menjadi:

(start {align} wujud x (forall y (PKFy / equiv y = x) amp / osim Bx] / \ osim / wujud x (forall y (PKFy / equiv y = x) amp Bx] end {align})

Yang pertama mengatakan bahawa ada satu dan satu objek yang merupakan Raja Perancis sekarang dan yang tidak botak; iaitu, betul-betul ada Raja Perancis yang hadir dan dia tidak botak. Bacaan ini salah, kerana tidak ada Raja Perancis yang ada sekarang. Yang terakhir mengatakan bahawa sebenarnya tidak ada satu Raja Perancis yang botak. Bacaan ini benar.

Walaupun Whitehead dan Russell mengambil gambaran dalam contoh-contoh ini sebagai ungkapan yang mempunyai ruang lingkup, bacaan di atas dalam notasi PM yang diperluas dan dalam notasi moden menunjukkan mengapa sebilangan ahli logik moden mengambil perbezaan dalam pembacaan di sini untuk menjadi persoalan ruang lingkup tanda penolakan.

9. Kelas

Lingkaran “ˆ” di atas pemboleh ubah yang mendahului formula digunakan untuk menunjukkan kelas, oleh itu (hat {x} psi x) adalah kelas perkara (x) yang sedemikian rupa sehingga (psi x). Dalam tatatanda moden, kami mewakili kelas ini sebagai ({x / mid / psi x }), yang dibaca: kelas (x) yang sedemikian rupa sehingga (x) mempunyai (psi). Ingatlah bahawa "(phi / hat {x})", dengan sirkumfleks atas pemboleh ubah selepas pemboleh ubah predikat, menyatakan fungsi proposisi menjadi (x) sehingga (phi x). Dalam teori jenis PM, kelas (hat {x} phi x) mempunyai jenis logik yang sama dengan fungsi (phi / hat {x}). Ini menjadikannya sesuai untuk menggunakan definisi kontekstual berikut, yang memungkinkan seseorang untuk menghilangkan istilah kelas (hat {x} psi x) dari kejadian dalam konteks (f):(tag * {∗ 20 · 01} f { hat {z} (psi z) } ldot {=} usus besar (ada / phi) usus besar / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} } quad / Df) atau dalam notasi moden: [f {z / mid / psi z } = _ { df} wujud / phi (forall x (phi x / equiv / psi x) amp f (lambda x / phi x)]) di mana (phi) adalah fungsi prediktif (x)

Perhatikan bahawa (f) harus ditafsirkan sebagai fungsi urutan tinggi yang didasarkan pada fungsi (phi / bang / hat {z}). Dalam notasi moden yang digunakan di atas, bahasa harus menjadi bahasa yang ditaip di mana ungkapan (lambda) dibenarkan dalam kedudukan argumen. Seperti yang ditunjukkan kemudian (Chwistek 1924, Gödel 1944, dan Carnap 1947) harus ada indikator ruang lingkup ungkapan kelas seperti yang ada untuk keterangan yang pasti. Chwistek, misalnya, mencadangkan menyalin notasi untuk keterangan yang pasti, sehingga menggantikan ∗ 20 · 01 dengan:

[(hat {z} (psi z)] sdot f { hat {z} (psi z) } ldot {=} usus besar (ada / phi) usus besar / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} })

Formalisasi kontemporari teori set menggunakan sesuatu seperti definisi kontekstual ini, apabila mereka memerlukan teorema "kewujudan" bentuk (ada x / forall y (y / in x / equiv / ldots y / ldots)), dalam memerintahkan untuk membenarkan pengenalan istilah tunggal ({y / mid / ldots y / ldots }). (Memandangkan undang-undang ekstensi, ia mengikuti dari (ada x / forall y (y / in x / equiv / ldots y / ldots)) bahawa terdapat satu set yang unik.) Hubungan keahlian dalam kelas (in) didefinisikan dalam PM dengan terlebih dahulu menentukan hubungan yang serupa antara objek dan fungsi cadangan: (tag * {∗ 20 · 02} x / in (phi / bang / hat {z}) ldot {=} ldot / phi / bang x / quad / Df) atau, dalam notasi moden: [x / in / lambda z / phi z = _ {df} phi x)

∗ 20 · 01 dan ∗ 20 · 02 bersama-sama kemudian digunakan untuk menentukan konsep keahlian yang lebih biasa dalam kelas. Ungkapan formal "(y / in { hat {z} (phi z) })" kini dapat dilihat sebagai konteks di mana istilah kelas berlaku; ia kemudian dihapuskan oleh definisi kontekstual ∗ 20 · 01. (Senaman)

PM juga mempunyai huruf Yunani untuk kelas: (alpha, / beta, / gamma), dan lain-lain. Ini akan muncul sebagai pemboleh ubah terikat (nyata), pemboleh ubah nyata (bebas) dan dalam abstrak untuk fungsi cadangan yang benar untuk kelas, seperti dalam (phi / hat { alpha}). Hanya definisi pemboleh ubah Yunani yang terikat muncul di badan teks, yang lain secara tidak formal ditentukan dalam Pendahuluan: (tag * {∗ 20 · 07} (alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) atau, dalam notasi moden, (forall / alpha \, f / alpha = _ { df} forall / phi f {z / mid / phi z }) di mana (phi) adalah fungsi prediktif.

Oleh itu pemboleh ubah kelas yang dikuantifikasikan secara universal ditentukan dari segi pengukur yang merangkumi fungsi prediktif. Begitu juga untuk pengukuran eksistensial: (tag * {∗ 20 · 071} (υπάρχει / alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (wujud / phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) atau, dalam notasi moden, (wujud / alpha \, f / alpha = _ {df} ada / phi f {z / pertengahan / phi z }) di mana (phi) adalah fungsi prediktif.

Ungkapan dengan pemboleh ubah Yunani di sebelah kiri (in) ditakrifkan: (tag * {∗ 20 · 081} alpha / in / psi / bang / hat { alpha} ldot {=} ldot / psi / bang / alpha / quad / Df)

Definisi ini tidak merangkumi semua kemungkinan pemboleh ubah Yunani. Dalam Pengenalan kepada PM, definisi lebih lanjut mengenai (f / alpha) dan (f / hat { alpha}) diusulkan, tetapi diperhatikan bahawa definisi-definisi tersebut agak aneh dan tidak muncul dalam badan kerja. Definisi yang dipertimbangkan untuk (f / hat { alpha}) adalah:

[f / hat { alpha} ldot {=} ldot (wujud / psi) sdot / hat { phi} bang x / equiv_x / psi / bang x / sdot f { psi / bang / topi {z} })

atau, dalam notasi moden, (lambda / alpha \, f / alpha = _ {df} lambda / phi f {x / mid / phi x })

Maksudnya, (f / hat { alpha}) adalah ungkapan yang menamakan fungsi yang mengambil fungsi (phi) ke proposisi yang menegaskan (f) dari kelas (phi) s. (Notasi moden menunjukkan bahawa dalam definisi yang dicadangkan (f / hat { alpha}) dalam notasi PM, kita tidak boleh mengharapkan (alpha) dalam definisi, kerana ia benar-benar merupakan pemboleh ubah terikat di (f / hat { alpha}); sama, kita tidak boleh mengharapkan (phi) dalam definiendum kerana ia adalah pemboleh ubah terikat dalam definisi.) Seseorang juga mungkin mengharapkan definisi seperti ∗ 20 · 07 dan ∗ 20 · 071 ditahan untuk kasus di mana huruf Rom "(z)" diganti dengan huruf Yunani. Oleh itu, definisi dalam PM tidak lengkap, tetapi adalah mungkin untuk menebak bagaimana mereka akan diperluas untuk merangkumi semua kejadian huruf Yunani. Ini akan menyelesaikan projek teori kelas "tanpa kelas" dengan menunjukkan bagaimana semua perbincangan kelas dapat dikurangkan kepada teori fungsi cadangan.

10. Prolegomena ke Cardinal Arithmetic

Walaupun pelajar falsafah biasanya membaca tidak lebih dari ∗ 20 di PM, ini sebenarnya adalah titik di mana "pembinaan" matematik benar-benar bermula. Presents 21 menyajikan "Teori Hubungan Umum" (teori hubungan secara ekstensif; dalam logik kontemporari ini dianggap sebagai kumpulan pasangan tertib, mengikuti Wiener). (hat {x} hat {y} psi (x, y)) adalah hubungan antara (x) dan (y) yang diperoleh apabila (psi (x, y)) betul. Dalam notasi moden, kami menggambarkan ini sebagai kumpulan pasangan tertib ({ langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) }), yang dibaca: kumpulan pasangan tertib (langle x, y / rangle) yang (x) mempunyai hubungan (psi) dengan (y).

Definisi kontekstual berikut (∗ 21 · 01) membolehkan seseorang menghilangkan istilah hubungan (hat {x} hat {y} psi (x, y)) daripada kejadian dalam konteks (f):

[f { hat {x} hat {y} psi (x, y) } ldot {=} colondot (wujud / phi) usus besar / phi / bang (x, y) ldot { equiv_ {x, y}} ldot / psi (x, x) colon f { phi / bang (hat {u}, / hat {v}) } quad / Df)

atau dalam notasi moden:

[f { langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) } = _ {df} ada / phi (forall xy (phi (x, y) equiv / psi (x, y)) amp f (lambda u / lambda v / phi (u, v))])

di mana (phi) adalah fungsi prediktif (u) dan (v).

Principia tidak menganalisis hubungan (atau fungsi matematik) dari segi set pasangan tertib, tetapi lebih menganggap konsep fungsi proposisi sebagai primitif dan menentukan hubungan dan fungsi dari segi hubungannya. Huruf besar ({R}, {S}) dan ({T}), dan lain-lain, digunakan setelah ∗ 21 sebagai singkatan dari "hubungan dalam pemanjangan" ini, dan dibezakan dari fungsi cadangan dengan menjadi ditulis antara hujah. Oleh itu, ia (psi (x, y)) dengan argumen setelah simbol fungsi cadangan, tetapi (xRy). Dari ∗ 21 fungsi "(phi) dan (psi)", dll., Hilang dan hanya hubungan yang berlanjutan, ({R}), ({S}) dan ({T }), dan lain-lain, muncul di halaman Principia. Walaupun fungsi proposisi mungkin berlaku untuk objek yang sama namun tidak sama, tidak ada dua hubungan yang berlaku untuk objek yang sama. Oleh itu, logika Principia bersifat "ekstensional", dari halaman 200 dalam jilid I, hingga akhir pada Jilid III.

∗ 22 pada "Kalkulus Kelas" menyajikan teori kumpulan asas persimpangan, kesatuan dan set kosong yang selalunya merupakan semua teori set yang digunakan dalam matematik sekolah rendah. Pelajar yang mencari teori Principia untuk membandingkannya, mengatakan sistem Zermelo-Fraenkel, perlu melihat pelbagai nombor kemudian dalam teks. Axiom of Choice didefinisikan pada ∗ 88 sebagai "Multiplicative Axiom" dan versi Axiom of Infinity muncul pada ∗ 120 pada Volume II sebagai "Infin axe". Teori set Principia mendekati aksioma Zermelo pada tahun 1908 di antara pelbagai sistem aksioma yang sudah biasa, yang bermaksud bahawa ia tidak mempunyai Aksioma Asas dan Aksioma Penggantian aksioma teori Zermelo-Fraenkel standard sekarang. Sistem Principia berbeza dengan sistem Zermelo kerana ia dirumuskan dalam teori jenis sederhana. Sebagai hasilnya, misalnya, tidak ada pengukur yang terdiri dari semua set, dan ada satu set semua hal (untuk setiap jenis).

∗ 30 pada "Fungsi Deskriptif" menyediakan analisis fungsi matematik Whitehead dan Russell dari segi hubungan dan penerangan yang pasti. Frege telah menggunakan pengertian fungsi, dalam pengertian matematik, sebagai gagasan dasar dalam sistem logiknya. Oleh itu "konsep" Fregean adalah fungsi dari objek sebagai argumen ke salah satu dari dua "nilai kebenaran" sebagai nilainya. Konsep menghasilkan nilai "Benar" untuk setiap objek yang konsepnya berlaku, dan "Salah" untuk yang lain. Russell, dari tahun 1904, sebelum penulisan Principia lebih suka menganalisis fungsi dari segi hubungan antara setiap argumen dan nilai, dan gagasan "keunikan". Dengan simbolisme moden, pandangannya akan dinyatakan sebagai berikut. Untuk setiap fungsi (lambda xf (x)), akan ada beberapa hubungan (dalam peluasan) (R),sedemikian rupa sehingga nilai fungsi untuk argumen (a), iaitu (f (a)), akan menjadi individu unik yang mempunyai hubungan (R) dengan (a). (Pada masa ini kita mengurangkan fungsi menjadi hubungan binari antara argumen di tempat pertama dan nilai di tempat kedua.) Hasilnya adalah bahawa tidak ada simbol fungsi di Principia. Seperti kata Whitehead dan Russell, ungkapan matematik yang sudah biasa seperti "(sin / pi / 2)" akan dianalisis dengan hubungan dan keterangan yang pasti, sebagai "fungsi deskriptif". "Fungsi deskriptif", (R'y) ((R) dari (y)), didefinisikan sebagai berikut:Hasilnya adalah bahawa tidak ada simbol fungsi di Principia. Seperti kata Whitehead dan Russell, ungkapan matematik yang sudah biasa seperti "(sin / pi / 2)" akan dianalisis dengan hubungan dan keterangan yang pasti, sebagai "fungsi deskriptif". "Fungsi deskriptif", (R'y) ((R) dari (y)), didefinisikan sebagai berikut:Hasilnya adalah bahawa tidak ada simbol fungsi di Principia. Seperti kata Whitehead dan Russell, ungkapan matematik yang sudah biasa seperti "(sin / pi / 2)" akan dianalisis dengan hubungan dan keterangan yang pasti, sebagai "fungsi deskriptif". "Fungsi deskriptif", (R'y) ((R) dari (y)), didefinisikan sebagai berikut:

(tag * {∗ 30 · 01} R'y = (atoi x) xRy / quad / Df)

Kami mengakhiri bahagian ini dengan membentangkan sejumlah contoh yang menonjol dari nombor kemudian di bawah ini, dengan makna intuitif, lokasi dalam PM, definisi dalam PM, dan setara moden. (Sebilangan nombor ini adalah teorema dan bukannya definisi.) Namun, perhatikan bahawa setara moden kadang-kadang secara logiknya berbeza dari versi asalnya dalam PM, seperti dengan menganggap hubungan sebagai set pasangan tertib, dll. Dalam akaun logiknya Principia, WV Quine (1951) membantah kerumitan dan bahkan kelebihan banyak simbolisme ini. Rumus ini dapat diselesaikan, bagaimanapun, dengan penerapan definisi langkah demi langkah.

Untuk setiap nombor formula, kami menyampaikan maklumat dalam format berikut:

Simbol PM

(Makna Intuitif) [Lokasi]

Definisi PM

Setaraf Moden

(alpha / subset / beta)

((alpha) adalah subset dari (beta)) [∗ 22 · 01]

(x / in / alpha / ldot { supset_x} ldot x / in / beta)

(alpha / subseteq / beta)

(alpha / cap / beta)

(persimpangan (alpha) dan (beta)) [∗ 22 · 02]

(hat {x} (x / in / alpha / sdot x / in / beta))

(alpha / cap / beta)

(alpha / cup / beta)

(penyatuan (alpha) dan (beta)) [∗ 22 · 03]

(hat {x} (x / in / alpha / lor x / in / beta))

(alpha / cup / beta)

(- / alpha)

(pelengkap (alpha)) [∗ 22 · 04]

(hat {x} (x / osim / in / alpha)) [iaitu, (hat {x} osim (x / dalam / alpha)) oleh ∗ 20 · 06]

({x / mid x / not / in / alpha })

(alpha - / beta)

((alpha) minus (beta)) [∗ 22 · 05]

(alpha / cap - / beta)

({x / mid x / in / alpha / amp x / not / dalam / beta })

(mathrm {V})

(kelas sejagat) [∗ 24 · 01]

(hat {x} (x) = (x))

(mathrm {V}) atau ({x / pertengahan x = x })

(Lambda)

(kelas kosong) [∗ 24 · 02]

(- / mathrm {V})

(varnothing)

(R'y)

(the (R) dari (y)) (fungsi deskriptif) [∗ 30 · 01]

((atoi x) (xRy))

(f ^ {- 1} (y)), di mana (f = { langle x, y / rangle / mid Rxy })

(breve {R})

(kebalikan dari (R)) [∗ 31 · 02]

(hat {x} hat {z} (zRx))

({ langle x, z / rangle / mid Rzx })

(overarrarrow {R} 'y)

(pendahulu R (y)) [∗ 32 · 01]

(hat {x} (xRy))

({x / mid Rxy })

(overleftarrow {R} 'x)

(pengganti R (x)) [∗ 32 · 02]

(hat {z} (xRz))

({z / mid Rxz })

(D'R)

(domain (R)) [∗ 33 · 11]

(hat {x} {(wujud y) sdot xRy })

({x / mid / wujud yRxy })

(backd'R)

(julat (R)) [∗ 33 · 111]

(hat {z} {(ada x) sdot xR z })

({z / pertengahan / wujud x Rxz })

(C'R)

(medan (R)) [∗ 33 · 112]

(hat {x} {(wujud y): xRy / ldot { lor} ldot yRx })

({x / mid / wujud y (xRy / lor yRx) })

(R / pertengahan S)

(produk relatif (R) dan (S)) [∗ 34 · 01]

(hat {x} hat {z} {(wujud y) sdot xRy / sdot ySz })

({ langle x, z / rangle / mid / wujud y (xRy / amp ySz) })

(R / sekatan / beta)

(sekatan (R) ke (beta)) [∗ 35 · 02]

(hat {x} hat {z} [xRz / sdot z / in / beta])

({ langle x, z / rangle / mid z / in / beta / amp Rxz })

(alpha / uparrow / beta)

(produk Cartesian (alpha) dan (beta)) [∗ 35 · 04]

(hat {x} hat {z} [x / in / alpha / sdot z / in / beta)]

(alpha X / beta), atau ({ langle x, z / rangle / mid x / in / alpha / amp z / in / beta })

(R "\ beta)

(unjuran (beta) oleh (R)) [∗ 37 · 01]

(hat {x} {(wujud y) sdot y / in / beta / sdot x Ry })

({x / mid / wujud y (y / in / beta / amp Rxy) })

(iota'x)

(singleton x) [∗ 51 · 11]

(hat {z} (z = x))

({x })

(mathbf {1})

(nombor kardinal 1) [∗ 52 · 01]

(hat { alpha} {(wujud x) sdot x = / iota'x })

({x / pertengahan / wujud y \; (x = {y }) }) (kelas semua single)

(mathbf {2})

(nombor kardinal 2) [∗ 54 · 02]

(hat { alpha} {(wujud x, y) sdot x / neq y / sdot / alpha = / iota'x / cup / iota'y })

({x / mid / wujud y / wujud z (y / neq z / amp x = {y } cup {z }) }) (kelas semua pasangan)

(x / downarrow y)

(pasangan ordinal (x) dan (y)) [∗ 55 · 01]

(iota'x / uparrow / iota'y)

(langle x, y / rangle) (pasangan tertib (langle x, y / rangle))

Nota: Edisi ringkas paperback PM hingga ∗ 56 hanya sejauh ini, jadi definisi selebihnya hanya tersedia bagi mereka yang mempunyai akses ke tiga jilid PM penuh.
(alpha / kanan bawah / beta)

[∗ 70 · 01]

(hat {R} (overrightarrow {R} "\ backd 'R / subset / alpha / sdot / overleftarrow {R}" D'R / subset / beta)

(f: / alpha / rightarrow / beta) (fungsi (f) dari (alpha) hingga (beta))

(alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta)

(kelas hubungan persamaan antara (alpha) dan (beta)) [∗ 73 · 01]

(1 / rightarrow 1 / cap / overleftarrow {D} '\ alpha / cap / overleftarrow { backd } '\ beta)

({f / mid f: / alpha / stackrel {1-1} { longrightarrow} beta })

(mathrm {sm})

(hubungan persamaan) [∗ 73 · 02]

(hat { alpha} hat { beta} (ada! / alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta))

(alpha / lebih kurang / beta)

(R _ *)

(nenek moyang (R)) [∗ 90 · 01]

(hat {x} hat {y} {x / di C 'R / colon / breve {R} / mu / subset / mu / sdot x / in / mu / ldot { supset _ { mu}} ldot y / in / mu })

Sekarang ditulis (R ^ *) ini mengikuti definisi Frege: (y) ada dalam semua (R) - kelas keturunan (x) sudah masuk.

11. Aritmetik dalam Jilid II

Jilid II Principia Mathematica bermula dengan Bahagian III, "Cardinal Arithmetic". Konsep nombor kardinal dikembangkan secara umum, merangkumi kardinal tak terhingga. Akibatnya teori nombor semula jadi, yang disebut "Inductive Cardinals" pada PM, diperkenalkan dengan serangkaian definisi kes khas tanggapan yang pertama kali diperkenalkan dalam bentuk umum yang berlaku untuk nombor atau kelas apa pun. Sebagai contoh, penambahan nombor semula jadi, seperti dalam bukti terkenal bahawa 1 + 1 = 2 dalam ∗ 110 · 04 terbukti dengan kes khas penambahan kelas yang berlaku untuk nombor kardinal, '(+ _ c)'. Definisi ini, diakhiri dengan penampilan Axiom of Infinity pada ∗ 120 · 03 akan menyimpulkan pengenalan ini kepada simbolisme Principia Mathematica.

(mathrm {N_c})

(Nombor Kardinal) [∗ 100 · 01]

(overrightarrow { mathrm {sm}})

Ini sebenarnya hubungan antara kelas dan nombor kardinalnya.

({x / mid / forall y (y / in x / leftrightarrow / forall z / forall wz, w / in y / leftrightarrow z / approx w)) })

Nombor kardinal adalah kelas kelas yang sama (serupa).

(mathbf {0})

(nombor kardinal 0) [∗ 101 · 01]

(0 = / mathrm {N_c} '\ Lambda)

({ varnothing })

Kelas semua kelas yang setara dengan set kosong hanyalah satu-satunya mengandungi set kosong.

(alpha + / beta)

(jumlah aritmetik (alpha) dan (beta)) [∗ 110 · 01]

(downarrow (Lambda / cap / beta) "\ iota" / alpha / cup (Lambda / cap / alpha) downarrow "\ iota" / beta))

Ini adalah penyatuan (alpha) dan (beta) setelah mereka disjoint dengan memasangkan setiap elemen (beta) dengan ({ alpha }) dan setiap elemen (alpha) dengan ({ beta }). Kelas (alpha) dan (beta) berpotongan dengan kelas kosong, (Lambda), untuk menyesuaikan jenis elemen jumlah.

((beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }))

(mu + _c / nu)

(jumlah kardinal (mu) dan (nu)) [∗ 110 · 02]

(hat { xi} {(wujud / alpha, / beta) sdot / mu = / mathrm {N_0 c} '\ alpha / sdot / nu = / mathrm {N_0 c}' / beta / sdot / xi \, / mathrm {sm} (alpha + / beta) })

Penambahan kardinal adalah jumlah aritmetik daripada "kardinal homogen", kardinal jenis seragam, yang mana (alpha) dan (beta) dihubungkan oleh (mathrm {N_0 c}) (sendiri ditentukan [∗ 103 · 01]).

({x / mid x / approx (beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }) })

Pembaca kini dapat mengetahui mengapa teorema dasar ini tidak dibuktikan sehingga halaman 83 Jilid II PM:

(tag * {∗ 110 · 643} 1 + _c 1 = 2)

Whitehead dan Russell menyatakan bahawa Proposisi di atas kadang-kadang berguna. Ia digunakan sekurang-kurangnya tiga kali, dalam…”. Lelucon ini mengingatkan kita bahawa teori nombor semula jadi, sangat penting bagi karya Frege, muncul di PM sebagai hanya kes khas teori umum nombor kardinal dan ordinal dan kelas struktur isomorfik yang lebih umum.

Tinjauan notasi dalam PM ini diakhiri dengan definisi nombor semula jadi dan pernyataan Axiom of Infinity, yang memungkinkan pembuktian aksioma lain dari Peano Arithmetic kerana, sekali lagi, kes khas dengan konsep yang lebih umum.

NC aruhan

(Kardinal Induktif) [∗ 120 · 01]

(hat { alpha} { alpha ({+ _ c} 1) _ * 0 })

({x / pertengahan 0 S ^ * x })

Kardinal induktif adalah "nombor semula jadi", adalah 0 dan semua nombor kardinal yang berkaitan dengan 0 oleh leluhur "hubungan pengganti" (S), di mana (xSy) sekiranya berlaku (y = x +1).

Kapak infin

(Axiom of Infinity) [∗ 120 · 03]

(alpha / in / text {NC induct} sdot / supset _ { alpha} sdot / wujud! / alpha)

(forall y ({x / mid 0S ^ * x } supset y / neq / varnothing))

Aksiom Infinity menegaskan bahawa semua kardinal induktif tidak kosong. (Ingat bahawa 0 = ({ varnothing }), dan 0 tidak kosong.) Aksioteriti Infiniti bukanlah "proposisi primitif" tetapi sebaliknya disenaraikan sebagai "hipotesis" di mana digunakan, yaitu sebagai anteseden bersyarat, di mana akibatnya akan dikatakan bergantung pada aksioma. Secara teknikal, ini bukan aksioma PM kerana [∗ 120 · 03] adalah definisi, jadi ini hanya notasi lebih lanjut dalam PM!

12. Kesimpulannya

Definisi hingga ∗ 120 · 03 hanya merangkumi separuh daripada definisi dalam PM. Lapan halaman terakhir (667–674) Jilid I edisi kedua (1925) terdiri daripada “Senarai Definisi” lengkap dari ketiga jilid. Surat-menyurat dalam Bertrand Russell Archives menunjukkan bahawa senarai ini mungkin telah disusun oleh Dorothy Wrinch. Senarai boleh digunakan untuk mengesan setiap ungkapan PM yang ditentukan kembali ke notasi yang dibincangkan dalam entri ini.

Bibliografi

  • Carnap, R., 1947, Makna dan Keperluan, Chicago: University of Chicago Press.
  • Church, A., 1976, "Perbandingan Resolusi Russell tentang Semantik Antinomies dengan Tarski", Journal of Symbolic Logic, 41: 747-60.
  • Chwistek, L., 1924, “Teori Jenis Konstruktif”, Annales de la Société Polonaise de Mathématique (Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego), II: 9–48.
  • Feys, R. and Fitch, FB, 1969, Kamus Simbol Logik Matematik, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Gödel, K., 1944, "Logika Matematik Russell", dalam PA Schilpp, ed., Falsafah Bertrand Russell, LaSalle: Open Court, 125–153.
  • Landini, G., 1998, Teori Perlembagaan Tersembunyi Russell, New York dan Oxford: Oxford University Press.
  • Linsky, B., 1999, Logika Metafizik Russell, Stanford: Penerbitan CSLI.
  • –––, 2009, "Dari Fungsi Deskriptif ke Set Pasangan yang Dipesan", dalam Pengurangan - Abstraksi - Analisis, A. Hieke dan H. Leitgeb (ed.), Ontos: Munich, 259-272.
  • –––, 2011, Evolusi Principia Mathematica: Naskah Bertrand Russell dan Catatan untuk Edisi Kedua, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Quine, WVO, 1951, "Whitehead dan Kebangkitan Logik Moden", Falsafah Alfred North Whitehead, ed. PA Schilpp, edisi ke-2, New York: Tudor Publishing, 127–163.
  • Russell, B., 1905, “On Denoting”, Pikiran (NS), 14: 530–538.
  • Turing, AM, 1942, “Penggunaan Titik sebagai Kurung dalam Sistem Gereja”, Jurnal Logik Simbolik, 7: 146–156.
  • Whitehead, AN dan B. Russell, [PM], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press, 1910–13, edisi ke-2, 1925–27.
  • Whitehead, AN dan B. Russell, 1927, Principia Mathematica hingga ∗ 56, Cambridge: Cambridge University Press.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

  • Principia Mathematica, diterbitkan semula dalam Koleksi Matematik Sejarah Universiti Michigan.
  • Russell "On Denoting", dari cetak semula dalam Logik dan Pengetahuan (R. Marsh, ed., 1956) artikel asal dalam Mind 1905, ditaip ke dalam HTML oleh Cosma Shalizi (Pusat Pengajian Sistem Kompleks, U. Michigan)

Disyorkan: