Matematik Yang Tidak Konsisten

Isi kandungan:

Matematik Yang Tidak Konsisten
Matematik Yang Tidak Konsisten

Video: Matematik Yang Tidak Konsisten

Video: Matematik Yang Tidak Konsisten
Video: Cg Rajaei - 3 Cara Berkesan TARIK MINAT Anak Dengan Matematik 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Matematik yang tidak konsisten

Pertama kali diterbitkan Sel 2 Jul 1996; semakan substantif Jum 18 Ogos 2017

Matematik yang tidak konsisten adalah kajian teori matematik yang terhasil apabila aksioma matematik klasik ditegaskan dalam kerangka logik (bukan klasik) yang dapat bertolak ansur dengan adanya percanggahan tanpa mengubah setiap ayat menjadi teorema.

  • 1. Asas Matematik
  • 2. Aritmetik
  • 3. Analisis
  • 4. Ketidakkonsistenan Geometri
  • 5. Potongan dan Perapan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Asas Matematik

Matematik yang tidak konsisten bermula dari segi sejarah dengan pertimbangan asas. Paradoks set-teoretik yang diperhatikan oleh Russell dan lain-lain menyebabkan usaha menghasilkan teori set yang konsisten sebagai asas untuk matematik. Tetapi, seperti yang diketahui umum, teori set seperti ZF, NBG dan seumpamanya terdapat dalam pelbagai cara secara ad hoc. Oleh itu, sebilangan orang termasuk da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley, & Norman (1989, hlm. 152, 498), menganggap lebih baik untuk mengekalkan kekuatan penuh prinsip pemahaman semula jadi (setiap predikat menentukan satu set), dan bertolak ansur dengan tahap ketidakkonsistenan dalam teori set. Brady, khususnya, telah memperluas, menyelaraskan dan mempermudah hasil ini pada teori set naif dalam bukunya (2006); untuk akaun yang jelas lihat juga ulasan Restall (2007).

Konstruksi ini memerlukan, tentu saja, seseorang itu sekurang-kurangnya melepaskan prinsip logik ex contrictione quodlibet (ECQ) (dari percanggahan setiap proposisi dapat disimpulkan, juga baru-baru ini disebut letupan), serta setiap prinsip yang mengarah kepadanya, seperti silogisme disjunctive (DS) (dari A -atau- B dan bukan- A simpulkan B). ECQ mengurangkan sebarang teori yang tidak konsisten (triviality = setiap ayat dapat dibuktikan), yang menjadikannya tidak berguna untuk pengiraan matematik. Tetapi perdebatan yang cukup besar (Burgess 1981, Mortensen 1983), menjelaskan bahawa membuang ECQ dan DS tidak begitu intuitif, terutama ketika cerita yang masuk akal muncul mengenai keadaan istimewa di mana mereka terus bertahan.

Perlu juga diperhatikan bahawa pembinaan teori set naif Brady membuka pintu untuk kebangkitan logika Frege-Russell, yang secara luas dipegang, bahkan oleh Frege sendiri, telah dirosakkan oleh Russell Paradox. Sekiranya Kontradiksi Russell tidak menyebar, maka tidak ada alasan yang jelas mengapa seseorang tidak boleh berpandangan bahawa teori set naif memberikan asas yang mencukupi untuk matematik, dan teori set naif itu dapat disimpulkan dari logik melalui skema pemahaman naif. Satu-satunya perubahan yang diperlukan adalah beralih kepada logik yang tidak konsisten. Bahkan lebih radikal, Weber, dalam makalah yang terkait (2010), (2012), telah mengambil ketidakkonsistenan untuk menjadi kebajikan positif, kerana ini memungkinkan kita menyelesaikan beberapa pertanyaan yang dibiarkan terbuka oleh Cantor, iaitu teorema susunan yang baik dan aksioma pilihan dapat dibuktikan,dan bahawa Hipotesis Continuum adalah palsu (2012, 284). Sebahagian daripada ini terbukti benar dan salah; di mana Weber prihatin untuk memajukan bukti penangkapan semula klasik, yang merupakan projek menunjukkan bahawa hasil tradisional tetap benar (2010, 72). Ini menyegarkan landasan baru. Weber juga menunjukkan sesuatu yang penting bagi projek ini, iaitu Teorema Cantor yang terus dipegang; iaitu, ia tidak bergantung pada prinsip logik yang terlalu kuat yang dipertikaikan oleh paraconsistentists. Mempertahankan Teorema Cantor adalah penting dalam pandangan Weber, kerana susunan tak terhingga yang berbeza tetap tersedia dalam teori set yang tidak konsisten.yang merupakan projek menunjukkan bahawa hasil tradisional tetap benar (2010, 72). Ini menyegarkan landasan baru. Weber juga menunjukkan sesuatu yang penting bagi projek ini, iaitu Teorema Cantor yang terus dipegang; iaitu, ia tidak bergantung pada prinsip logik yang terlalu kuat yang dipertikaikan oleh paraconsistentists. Mempertahankan Teorema Cantor adalah penting dalam pandangan Weber, kerana susunan tak terhingga yang berbeza tetap tersedia dalam teori set yang tidak konsisten.yang merupakan projek menunjukkan bahawa hasil tradisional tetap benar (2010, 72). Ini menyegarkan landasan baru. Weber juga menunjukkan sesuatu yang penting bagi projek ini, iaitu Teorema Cantor yang terus dipegang; iaitu, ia tidak bergantung pada prinsip logik yang terlalu kuat yang dipertikaikan oleh paraconsistentists. Mempertahankan Teorema Cantor adalah penting dalam pandangan Weber, kerana susunan tak terhingga yang berbeza tetap tersedia dalam teori set yang tidak konsisten.kerana pesanan tak terhingga yang berbeza tetap tersedia dalam teori set yang tidak konsisten.kerana pesanan tak terhingga yang berbeza tetap tersedia dalam teori set yang tidak konsisten.

Di samping itu, matematik mempunyai bahasa, kerana bercakap mengenai matematik itu sendiri. Ini merangkumi konsep: (i) nama untuk penyataan matematik dan bahagian sintaks lain, (ii) rujukan diri, (iii) bukti dan (iv) kebenaran. Sumbangan Gödel terhadap falsafah matematik adalah untuk menunjukkan bahawa tiga dari yang pertama dapat dinyatakan dengan teliti dalam teori aritmetik, walaupun dalam teori-teori yang tidak konsisten atau tidak lengkap. Kemungkinan contoh yang terstruktur dengan baik dari kedua alternatif ini, ketidakkonsistenan, tidak dipandang serius, sekali lagi kerana kepercayaan terhadap ECQ. Namun, selain itu bahasa semula jadi nampaknya mempunyai predikat kebenarannya sendiri. Digabungkan dengan rujukan diri ini menghasilkan paradoks Liar, "Kalimat ini salah", tidak konsisten. Priest (1987) dan Priest, Routley dan Norman (1989, hlm.154) berpendapat bahawa Pembohong harus dianggap sebagai pernyataan yang benar dan tidak benar, percanggahan yang benar. Ini mewakili hujah lain untuk mengkaji teori yang tidak konsisten, iaitu tuntutan bahawa beberapa percanggahan adalah benar, juga dikenal sebagai dialetisme. Kripke (1975) mengusulkan untuk memodelkan predikat kebenaran secara berbeza, dalam teori yang tidak lengkap secara konsisten. Kami melihat di bawah bahawa ketidaklengkapan dan ketidakkonsistenan berkait rapat.

2. Aritmetik

Tetapi pernyataan ini adalah mengenai asas, dan matematik bukanlah asasnya. Oleh itu ada motif bebas yang lebih jauh, untuk melihat struktur matematik apa yang tetap di mana kekangan konsistensi dilonggarkan. Tetapi adalah salah untuk menganggap ini sebagai penolakan terhadap struktur yang dipelajari dalam matematik klasik: struktur yang tidak konsisten mewakili penambahan struktur yang diketahui.

Robert K. Meyer (1976) nampaknya merupakan yang pertama memikirkan teori aritmetik yang tidak konsisten. Pada ketika ini, dia lebih tertarik pada nasib teori yang konsisten, aritmetik R # yang relevan. Ini sama dengan aksioma aritmetik Peano, dengan asas RQ logik relevan yang dikuantifikasi, dan Meyer berharap asas logik yang relevan yang lemah akan memungkinkan lebih banyak model. Dia betul. Terdapat terbukti keseluruhan kelas teori aritmetik yang tidak konsisten; lihat Meyer dan Mortensen (1984), sebagai contoh. Selari dengan pernyataan di atas mengenai pemulihan logika, Meyer berpendapat bahawa teori-teori aritmetik ini memberikan asas bagi Program Hilbert yang dihidupkan semula. Program Hilbert adalah projek memformalkan matematik dengan teliti dan membuktikan konsistensinya dengan prosedur kewangan / induktif yang mudah. Ia secara umum dianggap telah dirosakkan secara serius oleh Teorema Ketidaksempurnaan Kedua Gödel, yang menurutnya konsistensi aritmetik tidak dapat dibuktikan dalam aritmetik itu sendiri. Tetapi konsekuensi dari pembinaan Meyer adalah bahawa dalam aritmetik R #nya dapat dibuktikan dengan cara kewangan bahawa apa pun percanggahan yang terjadi, mereka tidak dapat mempengaruhi pengiraan numerik apa pun. Oleh itu, tujuan Hilbert untuk menunjukkan secara konklusif bahawa matematik bebas masalah membuktikan sebahagian besarnya dapat dicapai selagi logik toleransi tidak konsisten digunakan. Tetapi konsekuensi dari pembinaan Meyer adalah bahawa dalam aritmetik R #nya dapat dibuktikan dengan cara kewangan bahawa apa pun percanggahan yang terjadi, mereka tidak dapat mempengaruhi pengiraan numerik apa pun. Oleh itu, tujuan Hilbert untuk menunjukkan secara konklusif bahawa matematik bebas masalah membuktikan sebahagian besarnya dapat dicapai selagi logik toleransi tidak konsisten digunakan. Tetapi konsekuensi dari pembinaan Meyer adalah bahawa dalam aritmetiknya R # itu dapat dibuktikan dengan cara kewangan bahawa apa pun percanggahan yang mungkin terjadi, mereka tidak dapat mempengaruhi pengiraan numerik apa pun. Oleh itu, tujuan Hilbert untuk menunjukkan secara konklusif bahawa matematik bebas masalah membuktikan sebahagian besarnya dapat dicapai selagi logik toleransi tidak konsisten digunakan.

Model aritmetik yang digunakan oleh Meyer dan Mortensen kemudiannya membuktikan perwakilan predikat kebenaran tidak konsisten. Mereka juga membenarkan perwakilan struktur di luar aritmetik nombor semula jadi, seperti cincin dan bidang, termasuk sifat pesanannya. Aksiomatisasi juga disediakan. Baru-baru ini, model keruntuhan aritmetik yang tidak konsisten, kelas yang jauh lebih besar daripada yang dikaji oleh Meyer dan Mortensen, telah dicirikan sepenuhnya oleh Graham Priest. Model runtuh diperoleh dari model klasik dengan meruntuhkan domain ke kelas kongruen yang dihasilkan oleh pelbagai hubungan kongruen. Apabila ahli kelas kongruen yang sama dikenal pasti, teori yang dihasilkan tidak konsisten. Sebagai contoh, pembinaan awal Meyer runtuh bilangan bulat di bawah modulo 2 kongruen. Ini meletakkan 0 dan 2 dalam kelas kongruen yang sama, dan dalam logik bernilai tiga yang sesuai, kedua-duanya 0 = 2 dan bukan- (0 = 2) tahan. Priest menunjukkan bahawa model-model ini mengambil bentuk umum tertentu, lihat Priest (1997) dan (2000). Tegasnya, Priest terlalu jauh memasukkan "model clique". Ini diperbetulkan oleh Paris dan Pathmanathan (2006), dan diperluas ke tak terbatas oleh Paris dan Sirokfskich (2008). Baru-baru ini, Tedder (2015) memperoleh aksiomatasi untuk kelas model runtuhan hingga dengan logik latar belakang yang berbeza, Avron's A3.dan diperluas ke tak terbatas oleh Paris dan Sirokfskich (2008). Baru-baru ini, Tedder (2015) memperoleh aksiomatasi untuk kelas model runtuhan hingga dengan logik latar belakang yang berbeza, Avron's A3.dan diperluas ke tak terbatas oleh Paris dan Sirokfskich (2008). Baru-baru ini, Tedder (2015) memperoleh aksiomatasi untuk kelas model runtuhan hingga dengan logik latar belakang yang berbeza, Avron's A3.

3. Analisis

Seseorang tidak dapat mengabaikan contoh analisis dan kes khasnya, kalkulus. Untuk pendekatan model-teori untuk ini lihat Mortensen (1990, 1995)

Kini pendekatan asal Meyer terhadap nombor semula jadi, yaitu R #, adalah aksiomatik dan bukannya model-teori. Pendekatan aksiomatik juga telah diambil dalam analisis oleh McKubre-Jordens dan Weber (2012). Dalam analisis aksiomatik dengan dasar logik paraconsistent, makalah mereka mendorong pendekatan Meyer untuk aritmetik melalui R # jauh lebih jauh. Pengarang yang sama (akan datang) mengolah teori integrasi seperti yang ada di tangan Archimedes, yang menggunakan kaedah keletihan, dengan menggunakan penaakulan yang tidak konsisten. Ini memberikan hasil "hingga tidak konsisten", yang berarti seseorang dapat membuktikan "hasil klasik atau percanggahan". Hasil klasik kemudian dapat dilihat semula oleh silogisme disjunctive gerakan klasik yang diterapkan pada pemisah kedua klasik-salah (tidak konsisten).

Tentunya penting dan layak untuk mencapai arah ini, tetapi dengan berhati-hati ada di sini: projek aksiomatik sedikit berbeza dengan matematik yang tidak konsisten. Seperti yang dinyatakan sebelumnya, Meyer dalam fasa ini konsisten - dia mencari teori yang konsisten dengan logik yang tidak bertentangan. Dengan motivasi yang sama, dia juga khawatir untuk menyelesaikan apa yang disebutnya "masalah gamma", yang pada dasarnya adalah persoalan apakah teori aksiomatik R # dapat ditunjukkan mengandung aritmetik Peano klasik sebagai sub-teori. Sekiranya ini berlaku, maka bukti keraguannya untuk R # akan segera menghasilkan bukti baru mengenai konsistensi penolakan aritmetik Peano klasik! Perhatikan bahawa ini tidak akan bertentangan dengan Teorema Kedua Godel, kerana mungkin bukti hasil gamma tidak akan terbatas pada teknik kewangan.(Dalam kes teori Meyer, ternyata tidak demikian.)

Terdapat banyak tempat di sepanjang analisis di mana terdapat pandangan yang tidak konsisten yang berbeza. Contoh-contoh di bahagian ini diambil dari Mortensen (1995). Sebagai contoh: (1) Analisis tidak standard Robinson (1974) didasarkan pada infinitesimals, kuantiti lebih kecil daripada nombor nyata, serta timbal baliknya, angka tak terbatas. Ini mempunyai versi yang tidak konsisten, yang mempunyai beberapa kelebihan untuk pengiraan kerana dapat membuang infinitesimal yang lebih tinggi. Menariknya, teori pembezaan ternyata mempunyai kelebihan ini, sementara teori integrasi tidak. Hasil yang serupa, menggunakan logik latar belakang yang berbeza, diperoleh oleh Da Costa (2000). (2) Tempat lain untuk mencari aplikasi ketidakkonsistenan dalam analisis adalah topologi,di mana seseorang dengan mudah memperhatikan amalan memotong dan menampal ruang yang digambarkan sebagai "pengenalpastian" satu batas dengan yang lain. Seseorang dapat menunjukkan bahawa ini dapat dijelaskan dalam teori yang tidak konsisten di mana kedua-dua batasan itu sama dan tidak sama, dan dapat diperdebatkan lagi bahawa ini adalah penerangan yang paling semula jadi dari praktik ini. (3) Namun aplikasi lain adalah kelas fungsi berterusan yang tidak konsisten. Tidak semua fungsi yang tidak teratur secara klasik tidak dapat disokong dengan perlakuan yang tidak konsisten; tetapi ada yang, misalnya f (x) = 0 untuk semua x <0 dan f (x) = 1 untuk semua x ≥0. Sambungan tidak konsisten menggantikan yang pertama <oleh first, dan mempunyai sifat struktur yang tersendiri. Fungsi yang tidak konsisten ini mungkin mempunyai beberapa aplikasi dalam sistem dinamik di mana terdapat lonjakan yang tidak berterusan,seperti sistem pengukuran kuantum. Membezakan fungsi tersebut membawa kepada fungsi delta, yang diterapkan oleh Dirac untuk kajian pengukuran kuantum. (4) Seterusnya, terdapat kes terkenal mengenai sistem persamaan linear yang tidak konsisten, seperti sistem (i) x + y = 1, plus (ii) x + y = 2. Sistem sedemikian berpotensi timbul dalam konteks kawalan automatik. Sedikit kerja yang dilakukan secara klasik untuk menyelesaikan sistem seperti itu, tetapi dapat ditunjukkan bahawa terdapat penyelesaian yang berkelakuan baik dalam ruang vektor yang tidak konsisten. (5) Akhirnya, seseorang dapat memperhatikan penerapan selanjutnya dalam topologi dan dinamika. Mengingat anggapan yang sepertinya dapat dibayangkan, yaitu bahawa apa pun yang berlaku atau benar, berlaku atau benar pada satu set titik (ruang masa) terbuka, seseorang berpendapat bahawa logik jalan yang mungkin secara dinamis adalah logik set terbuka, yaitu intuisiis logik,yang menyokong teori-teori yang tidak lengkap. Ini kerana akaun semula jadi penolakan proposisi di ruang seperti itu mengatakan bahawa ia memegang pada set terbuka terbesar yang terdapat dalam pelengkap Boolean dari set titik di mana proposisi asal diadakan, yang pada umumnya lebih kecil daripada Boolean pelengkap. Walau bagaimanapun, menentukan ruang topologi dengan set tertutup adalah wajar sama seperti menentukannya dengan set terbuka. Namun logik set tertutup dikenali sebagai paraconsistent, iaitu. menyokong teori tidak biasa yang tidak konsisten; lihat Goodman (1981), sebagai contoh. Oleh itu, dengan anggapan (alternatif) yang nampaknya tidak dapat dibayangkan, iaitu bahawa apa sahaja yang benar adalah benar pada satu set titik tertutup, seseorang mempunyai teori yang tidak konsisten. Ini kerana akaun semula jadi dari penolakan proposisi,iaitu bahawa ia memegang pada set tertutup terkecil yang mengandungi penolakan Boolean dari proposisi, yang bermaksud bahawa pada batas tumpang tindih baik proposisi dan penolakan penolakannya. Oleh itu, teori dinamik menentukan logik mereka sendiri mengenai kemungkinan cadangan, dan teori yang sesuai yang mungkin tidak konsisten, dan semestinya wajar seperti rakan-rakan mereka yang tidak lengkap.

Pada logik dan batas set tertutup sebagai latar semula jadi untuk teori yang bertentangan, lihat Mortensen (2003, 2010). Weber dan Cotnoir (2015) juga meneroka ketidakkonsistenan sempadan, yang timbul dari ketidaksesuaian ketiga prinsip (i) ada sempadan, (ii) ruang dihubungkan secara topologi, dan (iii) entiti diskrit dapat bersentuhan (iaitu, tidak ruang antara mereka). Ini adalah masalah yang sangat menarik, kerana ketiga-tiganya masuk akal; khususnya nampaknya ada batasan di dunia kita. Ciri akaun yang awalnya mengejutkan ialah sempadan keluar sebagai "kosong"; bagaimanapun, entiti batal bertentangan dengan semangat mereologi. Tetapi ini tidak begitu mengejutkan kerana ternyata mereka hanya kosong kerana mereka mempunyai anggota yang tidak konsisten.

Teori kategori melontarkan banyak struktur matematik. Sudah tentu ia dicadangkan sebagai asas alternatif untuk matematik. Keistimewaan seperti itu pasti akan menghadapi masalah yang serupa dengan pemahaman dalam teori set; lihat, misalnya, Hatcher 1982 (hlm. 255-260). Oleh itu terdapat kemungkinan penggunaan penyelesaian yang tidak konsisten. Terdapat juga koleksi struktur kategorial yang penting, toposis, yang menyokong logik set terbuka selari dengan cara set menyokong logik Boolean. Ini telah dianggap oleh banyak orang sebagai pembenaran dari sudut pandang asas intuisiisme matematik. Walau bagaimanapun, dapat dibuktikan bahawa toposis menyokong logik set tertutup dengan mudah kerana mereka menyokong logik set terbuka, setakat ini satu-satunya semantik teori-teori untuk logik paraconsistent. Perkara ini tidak boleh dilihat sebagai keberatan terhadap intuisiisme, tetapi sebagai argumen bahawa teori yang tidak konsisten sama-sama masuk akal dengan item kajian matematik. Lihat Mortensen (1995 Bab 11, pengarang bersama Lavers). Kedudukan ini sekarang telah diambil, diperpanjang dan dipertahankan oleh Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Penulis yang sama (2016) berjanji untuk memberikan keterangan teori-teori teori sepele, dengan tujuan untuk menunjukkan bahawa remeh bukan ciri yang tidak menarik bagi teori matematik yang dimiliki. Pengarang sekarang masih tidak yakin, kerana teori sepele tentu tidak berguna untuk pengiraan matematik; tetapi kepintaran hujah mesti diakui.pengarang bersama Lavers). Kedudukan ini sekarang telah diambil, diperpanjang dan dipertahankan oleh Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Penulis yang sama (2016) berjanji untuk memberikan keterangan teori-teori teori sepele, dengan tujuan untuk menunjukkan bahawa remeh bukan ciri yang tidak menarik bagi teori matematik yang dimiliki. Pengarang sekarang masih tidak yakin, kerana teori sepele tentu tidak berguna untuk pengiraan matematik; tetapi kepintaran hujah mesti diakui.pengarang bersama Lavers). Kedudukan ini sekarang telah diambil, diperpanjang dan dipertahankan oleh Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Penulis yang sama (2016) berjanji untuk memberikan keterangan teori-teori teori sepele, dengan tujuan untuk menunjukkan bahawa remeh bukan ciri yang tidak menarik bagi teori matematik yang dimiliki. Pengarang sekarang masih tidak yakin, kerana teori sepele tentu tidak berguna untuk pengiraan matematik; tetapi kepintaran hujah mesti diakui. Pengarang sekarang masih tidak yakin, kerana teori sepele tentu tidak berguna untuk pengiraan matematik; tetapi kepintaran hujah mesti diakui. Pengarang sekarang masih tidak yakin, kerana teori sepele tentu tidak berguna untuk pengiraan matematik; tetapi kepintaran hujah mesti diakui.

Dualitas antara ketidaklengkapan / intuisi dan ketidakkonsistenan / paraconsistensi mempunyai sekurang-kurangnya dua aspek. Pertama terdapat dualitas topologi (terbuka / tertutup) di atas. Kedua terdapat Routley * duality. The Routley Star * satu set ayat S, ditakrifkan sebagai S * = df {A: ~ A tidak ada di S}. Ditemui oleh Routleys (1972) sebagai alat semantik untuk logik yang relevan, operasi * menggandakan antara teori yang tidak konsisten dan tidak lengkap dari kelas logik de Morgan yang semula jadi. Kedua-dua jenis dualitas itu juga berinteraksi, di mana * memberikan teorema dualitas dan invarians khas untuk teori aritmetik set terbuka dan set tertutup. Berdasarkan keputusan ini, adalah wajar untuk berpendapat bahawa kedua-dua jenis matematik, intuisi dan paraconsistent, sama-sama masuk akal.

4. Ketidakkonsistenan Geometri

Perkembangan yang sangat baru adalah aplikasi untuk menerangkan fenomena gambar yang tidak konsisten. Yang paling terkenal adalah karya MC Escher Belvedere, Air Terjun dan Menaik dan Menurun. Sebenarnya tradisi ini bermula sejak ribuan tahun ke Pompeii. Escher nampaknya memperoleh banyak intuisi dari artis Sweden Oscar Reutersvärd, yang memulakan karyanya yang tidak konsisten pada tahun 1934. Escher juga aktif bekerjasama dengan ahli matematik Inggeris Roger Penrose. Terdapat beberapa percubaan untuk menggambarkan struktur matematik gambar yang tidak konsisten menggunakan matematik konsisten klasik, oleh ahli teori seperti Cowan, Francis dan Penrose. Seperti yang diperdebatkan dalam Mortensen (1997), bagaimanapun, tidak ada teori matematik yang konsisten yang dapat menangkap perasaan bahawa seseorang melihat sesuatu yang mustahil. Hanya teori yang tidak konsisten yang dapat menangkap isi persepsi itu. Ini sama dengan tarikan kepada pembenaran kognitif mengenai paraconsistency. Seseorang kemudian dapat meneruskan untuk memaparkan teori yang tidak konsisten yang menjadi calon untuk kandungan yang tidak konsisten. Terdapat analogi dengan matematik klasik mengenai perkara ini: geometri projektif adalah teori matematik konsisten klasik yang menarik kerana kita adalah makhluk dengan mata, kerana ia menjelaskan mengapa perkara itu kelihatan seperti yang mereka lakukan dalam perspektif.geometri projektif adalah teori matematik konsisten klasik yang menarik kerana kita adalah makhluk dengan mata, kerana ia menjelaskan mengapa perkara itu kelihatan seperti yang mereka lakukan dalam perspektif.geometri projektif adalah teori matematik konsisten klasik yang menarik kerana kita adalah makhluk dengan mata, kerana ia menjelaskan mengapa perkara itu kelihatan seperti yang mereka lakukan dalam perspektif.

Kajian geometri yang tidak konsisten dikembangkan lebih lanjut dalam Mortensen (2002a), di mana teori kategori diterapkan untuk memberikan gambaran umum mengenai hubungan antara pelbagai teori dan pemotongannya yang konsisten dan dwi yang tidak lengkap. Untuk akaun tidak rasmi yang menyoroti perbezaan antara "paradoks" visual dan paradoks bahasa yang lebih umum secara filosofis, seperti Liar, lihat Mortensen (2002b).

Baru-baru ini, penerangan matematik yang tidak konsisten telah diperoleh untuk beberapa kelas angka yang tidak konsisten, yang dicontohkan oleh Escher's Cube (terdapat dalam cetakan Belvedere), segitiga Reutersvärd-Penrose, dan lain-lain. Lihat Mortensen (2010).

5. Potongan dan Perapan

Baru-baru ini, teknik alternatif untuk menangani kontradiksi secara umum telah muncul. Brown dan Priest (2004) telah mengusulkan teknik yang mereka sebut "Chunk and Permeate", di mana penaakulan dari premis yang tidak konsisten berjalan dengan memisahkan asumsi menjadi teori yang konsisten (potongan), menghasilkan akibat yang sesuai, kemudian menyampaikan (meresap) akibat tersebut ke yang berbeda sebahagian daripada kesan yang akan diturunkan. Mereka menunjukkan bahawa alasan asal Newton dalam mengambil derivatif dalam kalkulus, adalah seperti ini. Ini adalah pendekatan yang menarik dan baru, walaupun mesti memenuhi keberatan bahawa untuk mempercayai kesimpulan yang diperoleh berdasarkan ini, seseorang harus mempercayai semua premis sama; dan dengan demikian argumen bentuk yang lebih umum, menarik bagi semua premis tanpa memecah-belahkannya, akhirnya akan muncul. Oleh itu, keberatan adalah bahawa Chunk dan Permeate adalah sebahagian dari konteks penemuan dan bukannya konteks pembenaran.

Baru-baru ini, Benham et. al. (2014) telah memperluas kaedah ini ke fungsi Dirac delta. Ini memperluas kelas aplikasi, dan memperkuat teknik. Walau bagaimanapun, juga menjadi jelas di sini, bahawa terdapat paralel dekat antara (satu kelas besar) aplikasi Chunk dan Permeate, dan (konsisten) analisis tidak standard: di mana sahaja Chunk dan Permeate mengambil turunan dengan mengalihkan potongan ke titik di mana infinitesimals berada sifar, analisis bukan standard mengambil derivatif dengan mendefinisikan derivatif sebagai "bahagian standard sahaja". Sudah tentu, kesetaraan antara kedua teknik ini tidak menunjukkan mana yang lebih mendalam. Pembangunan mesti ditunggu dengan penuh minat.

6. Kesimpulannya

Sebagai kesimpulan: akhir-akhir ini telah muncul sejumlah bahan falsafah, yang bersimpati dengan sebab matematik yang tidak konsisten. Colyvan (2000) menangani masalah bahawa teori matematik yang tidak konsisten menyiratkan objek matematik yang tidak konsisten sebagai subjek-subjeknya. Dia juga mengambil tugas penting untuk memberikan penjelasan mengenai bagaimana matematik yang tidak konsisten dapat memiliki cabang yang merupakan matematik terapan. Priest (2013), seperti Colyvan, menyatakan bahawa matematik yang tidak konsisten menambah campuran platonis. Berto (2007) meninjau paradoks dan isu-isu dasar dengan berguna, dan menetapkan beberapa hasil aritmetik yang berkaitan dengan isu-isu falsafah penting seperti Teorema Ketidaklengkapan. Van Bendegem (2014) mengejar motivasi menarik bahawa perubahan selalu menjadi keadaan anomali, sehingga selalu berubah menunjukkan selalu tidak normal. Contohnya merangkumi infinitesimals, bilangan kompleks dan tak terhingga. Berhati-hati harus memikirkan bahawa ketidakkonsistenan selalu tidak normal, bagaimanapun, jika hanya kerana ia lebih banyak bahan untuk kajian matematik.

Perlu ditekankan sekali lagi bahawa struktur ini sama sekali tidak mencabar atau menolak matematik yang ada, melainkan memperluas konsep kita tentang apa yang mungkin secara matematik. Ini, seterusnya, mempertajam isu Pluralisme Matematik; lihat misalnya, Davies (2005), Hellman dan Bell (2006), atau Priest (2013). Pelbagai pengarang mempunyai versi pluralisme matematik yang berbeza, tetapi ia adalah sesuatu yang sesuai dengan teori matematik yang tidak sesuai. Kes pluralisme matematik bergantung pada pemerhatian bahawa terdapat "alam semesta" matematik yang berbeza di mana teori atau undang-undang matematik yang berbeza, memang tidak sesuai. Contoh yang terkenal ialah ketidaksesuaian antara matematik klasik dan matematik intuisi, dan ketidaksesuaian antara set semesta seperti ZF masing-masing dengan, dan tanpa,Aksioma Pilihan. Kelihatan tidak masuk akal untuk mengatakan bahawa ZF dengan Choice adalah matematik yang benar dan ZF tanpa Choice adalah matematik yang salah, jika keduanya merupakan contoh teori tingkah laku matematik yang sah.

Soalan utama bagi falsafah matematik adalah apa itu matematik. Operasi dualitas seperti dualitas topologi atau Routley * menguatkan titik bahawa dual yang tidak lengkap / tidak konsisten sama munasabahnya sebagai contoh matematik. Dari sudut pandangan ini, pertikaian mengenai matematik intuisi atau matematik klasik atau tidak konsisten yang akan diterima nampaknya tidak berguna; mereka semua adalah bahagian dari subjek matematik. Perkara ini dibuat dengan berkesan oleh Shapiro (2014, sebaliknya melihat 2002). Kedudukan khas Shapiro mempunyai bahan-bahan lain: matematik sebagai sains struktur, dan pluralisme matematik yang menyiratkan pluralisme logik (pada pluralisme logik lihat juga Beall dan Restall 2006); tetapi kami tidak mengambilnya di sini.

Untuk apa yang bernilai, penulis sekarang berpendapat bahawa beberapa versi pluralisme matematik jelas benar, jika seseorang mengambil matematik terlebih dahulu mengenai teori-teori matematik yang memungkinkan untuk tidak konsisten, dan hanya kedua mengenai objek-objek dalaman teori-teori tersebut. Tentu saja, tidak ada masalah mengenai teori yang tidak sesuai, kerana struktur cadangan, wujud bersama. Keutamaan teori juga sesuai dengan pemerhatian semula jadi bahawa epistemologi matematik adalah bukti deduktif. Hanya jika seseorang mengambil titik permulaan keutamaan objek matematik sebagai pembuat teori yang benar, seseorang harus bimbang bagaimana objek mereka berjaya wujud bersama.

Bibliografi

  • Beall, JC dan G. Restall, 2006, Logical Pluralism, Oxford: The Clarendon Press.
  • Benham, R., C. Mortensen dan G. Priest, 2014, “Chunk and Permeate III: The Dirac Delta Function”, Synthese, 191 (13): 3057-3062. doi: 10.1007 / s11229-014-0473-7
  • Berto, F., 2007, Cara Menjual Kontradiksi, London: College Publications.
  • Brady, R., 1971, "Konsistensi Aksioma Abstraksi dan Ekstensi dalam Logik Tiga Nilai", Notre Dame Journal of Formal Logic, 12: 447-453.
  • –––, 1989, "The Nontriviality of Dialectical Set Theory", dalam G. Priest, R. Routley dan J. Norman (ed.), Paraconsistent Logic, Munich: Philosophia Verlag.
  • –––, 2006, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications.
  • Brown, B., dan G. Priest, 2004, “Chunk and Permeate: A Paraconsistent Inference Strategy. Bahagian I: Kalkulus Tak Terbatas”, Jurnal Logik Falsafah, 33: 379–388.
  • Burgess, J., 1981, “Relevance, a Fallacy?”, Notre Dame Journal of Formic Logic, 22: 97–104.
  • Colyvan, M., 2000, "Mengaplikasikan Matematik Tidak Konsisten", Gelombang Baru dalam Falsafah Matematik, O. Bueno dan O. Limmbo (ed.), London: Palgrave McMillan, 160-172.
  • Da Costa, Newton CA, 1974, “Mengenai Teori Sistem Formal yang Tidak Konsisten”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15: 497–510.
  • –––, 2000, “Paraconsistent Mathematics”, dalam D. Batens et al. (eds.), Frontiers of Paraconsistent Logic, Hertfordshire: Research Studies Press, 165-180.
  • Davies, EB, 2005 “Pertahanan Pluralisme Matematik”, Philosophia Mathematica, 13: 252–276.
  • Estrada-Gonzales, L., 2010, “Pelengkap-Topoi dan Logam Intuisiistik Ganda”, Australasian Journal of Logic, 9: 26–44.
  • –––, 2015a, “The Evil Twin: The Basics of Complement-toposes”, dalam Beziau, Chakraborty dan Dutta (ed.), Petunjuk Baru dalam Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer: 375-425.
  • –––, 2015b, "Dari logika topos (paraconsistent) ke logik Universal (topos)", di Koslow dan Buchsbaum (ed.), The Road to Universal Logic: Festschrift untuk Jean-Yves Beziau pada Hari Lahirnya yang Kelima Puluh, Dordrecht: Springer, 263-295.
  • –––, 2016, “Prospek untuk Triviality”, dalam H. Andreas dan P. Verdee (ed.), Kajian Logik Penalaran Paraconsistent dalam Sains dan Matematik, Dordrecht: Springer, 81-89.
  • Goodman, N., 1981, "Logik Kontradiksi", Zeitschrift fur Mathematische Logic und Grundlagen der Arithmetik, 27: 119–126.
  • Hatcher, WS, 1982, The Logical Foundations of Mathematics, Oxford: Pergamon.
  • Hellman, G. dan J. Bell, 2006, "Pluralisme dan Asas Matematik", dalam CK Waters et al. (eds.), Pluralisme Ilmiah (Minnesota Studies in the Philosophy of Science, Volume XIX), Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Kripke, S., 1975, "Garis Besar Teori Kebenaran", The Journal of Philosophy, 72: 690-716.
  • McKubre-Jordens, M., dan Zach Weber, 2012, “Analisis Sebenar dan Logik Paraconsistent”, Jurnal Logik Falsafah, 41 (5): 901–922.
  • –––, yang akan datang, “Pengukuran Lingkaran Paraconsistent: Jemputan untuk Matematik yang Tidak Konsisten”, Jurnal Logika Australasia.
  • Meyer, RK, 1976, "Aritmetik Berkaitan", Buletin Bahagian Logik Akademi Sains Poland, 5: 133–137.
  • Meyer, RK dan C. Mortensen, 1984, "Model yang Tidak Konsisten untuk Aritmetik yang Berkaitan", The Journal of Symbolic Logic, 49: 917-929.
  • Mortensen, C., 1983, "Balas kepada Burgess and to Reading", Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 35–40.
  • –––, 1990, “Model untuk Kalkulus Perbezaan Tidak Konsisten dan Tidak Lengkap”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31: 274-285.
  • –––, 1995, Matematik Tidak Konsisten, Matematik Kluwer dan Siri aplikasinya, Dordrecht: Kluwer. [Errata tersedia dalam talian.]
  • –––, 1997, “Mengintip yang Tidak Mungkin”, Notre Dame Journal of Formic Logic, 38: 527–534.
  • –––, 2000, “Prospek untuk Ketidakkonsistenan”, dalam D. Batens et al. (eds.), Frontiers of Paraconsistent Logic, London: Research Studies Press, 203–208.
  • –––, 2002a, “Menuju Matematik Gambar Tidak Mungkin”, dalam W. Carnielli, M. Coniglio dan I. D'Ottaviano (ed.), Paraconsistency: The Logical Way to the Infinite, (Catatan Kuliah dalam Murni dan Terapan Matematik, Jilid 228), New York: Marcel Dekker, 445–454.
  • –––, 2002b, “Paradoks Bahasa Dalam dan Luar”, Bahasa dan Komunikasi, 22: 301–311.
  • –––, 2003, “Closed Set Logic”, dalam R. Brady (ed.), Relevan Logics and their Rivals (Volume II), Aldershot: Ashgate, hlm. 252-262 (terutama 255-6).
  • –––, 2006, “Analisis Kiub Leher yang Tidak Konsisten dan Tidak Lengkap”, Jurnal Logik Australasia, 4: 216–225.
  • –––, 2010, Geometri Tidak Konsisten (Kajian dalam Logik, Jilid 27), London: Kuliah Penerbitan (King's College).
  • Paris, J., dan Pathmanathan, N., 2006, “Catatan mengenai Aritmetik Terhingga Pendeta”, The Journal of Philosophical Logic, 35: 529–537.
  • Paris, J., dan Sirokofskich, A., 2008, “Pada model LP Aritmetik”, The Journal of Symbolic Logic, 73 (1): 212–226.
  • Priest, G., 1987, In Contradiction, Dordrecht: Nijhoff; edisi diperluas kedua, Oxford: The Clarendon Press, 2006.
  • –––, 1997, “Model Tidak Konsisten untuk Aritmetik: I, Model Terhingga”, The Journal of Philosophical Logic, 26: 223–235.
  • –––, 2000, “Model Tidak Konsisten untuk Aritmetik: II, Kes Umum”, Jurnal Logik Simbolik, 65: 1519–29.
  • –––, 2013, “Pluralisme Matematik”, Logic Journal of IGPL, 21 (1): 4–13: doi: 10.1093 / jzs018
  • Priest, G., R. Routley dan J. Norman (eds.), 1989, Paraconsistent Logic, Munich: Philosophia Verlag.
  • Restall, G., 2007, “Review of Brady Universal Logic”, Buletin Simbolik Logik, 13 (4): 544–547.
  • Robinson, A., 1974, Analisis Tidak Piawai, Amsterdam: Belanda Utara, edisi semakan.
  • Routley, R. dan V. Routley, 1972, “The Semantics of First Degree Entailment”, Noûs, 6: 335–359.
  • Shapiro, S., 2002, "Ketidakkonsistenan dan Ketidaklengkapan", Pikiran, 111: 817-832.
  • –––, “Struktur dan Logik: Kes untuk (a) Relativisme”, Erkenntnis, 79: 309–329.
  • Tedder, A., 2015, “Axioms for Finite Collapse Models of Arithmetic”, Kajian Logik Simbolik, 8 (3): 529-539.
  • Van Bendegem, JP., 2014, "Ketidakkonsistenan dalam Matematik dan Matematik Ketidakkonsistenan", Synthese, 191 (13), 3063-3078.
  • Weber, Z., 2010, "Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory", The Review of Symbolic Logic, 3 (1): 71-92.
  • –––, 2012, “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, The Review of Symbolic Logic, 5 (2): 269–293.
  • ––– dan Cotnoir, AJ, 2015, “Batas Tidak Konsisten”, Sintesis, 192: 1267-1294. doi: 10.1007 / 511229-014-0614-2

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

[Sila hubungi pengarang dengan cadangan.]

Disyorkan: