Gaya Matematik

Isi kandungan:

Gaya Matematik
Gaya Matematik

Video: Gaya Matematik

Video: Gaya Matematik
Video: Настя и папа - загадочный челлендж в доме 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Gaya Matematik

Pertama kali diterbitkan pada 2 Jul 2009; semakan substantif Rabu 9 Ogos 2017

Karangan ini bermula dengan taksonomi konteks utama di mana pengertian 'gaya' dalam matematik telah menarik sejak awal abad kedua puluh. Ini termasuk penggunaan konsep gaya dalam perbandingan sejarah sejarah matematik, dalam mencirikan gaya kebangsaan, dan dalam menerangkan praktik matematik. Perkembangan ini kemudiannya berkaitan dengan perlakuan gaya yang lebih biasa dalam sejarah dan falsafah sains semula jadi di mana seseorang membezakan gaya 'tempatan' dan 'metodologi'. Dikatakan bahawa lokus semula jadi 'gaya' dalam matematik jatuh di antara gaya 'tempatan' dan 'metodologi' yang dijelaskan oleh sejarawan dan ahli falsafah sains. Akhirnya, bahagian terakhir karangan mengulas beberapa akaun gaya utama dalam matematik, kerana Hacking dan Granger,dan menyiasat implikasi epistemologi dan ontologi mereka.

  • 1. Pengenalan
  • 2. Gaya sebagai konsep pusat dalam sejarah budaya perbandingan
  • 3. Gaya kebangsaan dalam matematik
  • 4. Ahli matematik mengenai gaya
  • 5. Lokus gaya
  • 6. Ke arah epistemologi gaya
  • 7. Kesimpulannya
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Pengenalan

Matlamat esei ini adalah untuk meninjau dan menganalisis literatur mengenai gaya dalam sejarah dan falsafah matematik. Khususnya, masalah bagaimana seseorang dapat mendekati konsep 'gaya' dalam matematik secara filosofis akan ditangani menjelang akhir. Walaupun ini bukan salah satu topik kanonik dalam falsafah matematik, persembahan akan memanfaatkan perbincangan yang relevan mengenai gaya dalam sejarah dan falsafah sains.

Bercakap mengenai matematik dari segi gaya adalah fenomena yang cukup biasa. Seseorang menghadapi tarikan seperti ciri gaya dalam matematik yang sudah awal abad ketujuh belas. Bonaventura Cavalieri, misalnya, pada awal tahun 1635 membandingkan teknik indivisibilisnya dengan gaya Archimedean:

Saya tahu sebenarnya bahawa semua perkara yang dinyatakan di atas [teorema Cavalieri sendiri yang diperolehi oleh bukti indivisibilis] dapat dikurangkan menjadi gaya Archimedean. (Dalam bahasa Latin asli: "Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse." (Cavalieri 1635, 235)).

Kemudian pada abad ini lebih mudah untuk mencari contoh. Sebagai contoh Leibniz (1701, 270–71) menulis: "Analisis tidak berbeza dengan gaya Archimedes kecuali untuk ungkapan yang lebih langsung dan lebih sesuai dengan seni penemuan" (Bahasa Perancis: "L'analyse ne diffère du style d 'Ekspresi Archimède que dans les, qui sont plus directes et plus sesuai à l'art d'inventer'). Ini adalah fakta yang menarik bahawa kejadian seperti itu mendahului penggunaan umum konsep gaya dalam lukisan, yang hanya berasal dari tahun 1660-an (kejadian sporadis, seperti yang ditunjukkan dalam Sauerländer 1983, juga ditemukan pada abad keenam belas). Pada awal abad ketujuh belas kata pilihan dalam lukisan adalah "manière" (lihat Panofsky 1924; terjemahan Inggeris (1968, 240)). Berikut adalah beberapa contoh tambahan dari abad kesembilan belas dan kedua puluh. Chasles dalam bukunya Aperçu historique (1837) yang berbicara mengenai Monge mengatakan:

Dia memulakan cara baru untuk menulis dan bercakap mengenai sains ini. Gaya, sebenarnya, sangat terikat pada semangat metodologi sehingga mesti maju seiring dengannya; demikian juga, jika ia telah menantinya, gaya harus memberi pengaruh yang kuat terhadapnya dan terhadap kemajuan sains secara umum. (Chasles, 1837, §18, 207)

Contoh lain datang dari penilaian Edward mengenai pendekatan Dedekind terhadap matematik:

Kecemerlangan Kronecker tidak dapat diragui. Seandainya dia memiliki sepersepuluh kemampuan Dedekind untuk merumuskan dan mengekspresikan ideanya dengan jelas, sumbangannya terhadap matematik mungkin lebih besar daripada Dedekind. Bagaimanapun, kecemerlangannya, sebahagian besarnya, mati bersamanya. Warisan Dedekind, di sisi lain, tidak hanya terdiri dari teorema, contoh, dan konsep penting, tetapi dari keseluruhan gaya matematik yang menjadi inspirasi bagi setiap generasi berturut-turut. (Edwards 1980, 20)

Jelas, seseorang dapat mengumpulkan petikan yang serupa (lihat, antara lain, Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005, Weiss 1939, Wisan 1981) tetapi itu tidak begitu menarik. Malah dalam gaya matematik berkisar dari 'gaya individu' hingga 'gaya nasional' hingga 'gaya epistemik', antara lain. Apa yang diperlukan adalah pertama-tama pemahaman mengenai konteks utama di mana daya tarik terhadap 'gaya' dalam matematik berlaku, walaupun karangan ini tidak akan mengandungi banyak perbincangan mengenai 'gaya individu' (contohnya termasuk, untuk mengikuti cadangan Enrico Bombieri, gaya Euler, Ramanujan, Riemann, Serre dan A. Weil yang "sangat peribadi").

Dalam banyak kes, daya tarik terhadap gagasan gaya dianggap dipinjam dari seni rupa dan beberapa kes akan dibahas dengan segera. Harwood 1993 mendakwa bahawa "konsep gaya dirancang untuk mengklasifikasikan corak budaya yang diamati dalam kajian seni rupa". Wessely 1991 membicarakan tentang "memindahkan konsep [gaya] itu ke sejarah sains" (265). Walaupun ini mungkin berlaku untuk abad kedua puluh (lihat juga Kwa 2012), seseorang harus ingat, seperti yang dinyatakan di atas, bahawa tuntutan ini harus memenuhi syarat untuk abad ketujuh belas.

2. Gaya sebagai konsep pusat dalam sejarah budaya perbandingan

Walau apa pun peringatan sebelumnya, adalah kenyataan bahawa beberapa abad utama abad ke-20 menarik untuk kategori gaya dalam matematik telah melakukannya dengan merujuk kepada seni. Ini terutama berlaku bagi para pengarang yang didorong oleh perakaunan dengan cara yang bersatu untuk pengeluaran budaya manusia dan yang melihat keseragaman dalam proses pengeluaran ilmiah dan artistik. Dalam konteks sedemikian, Oswald Spengler dalam The Decline of the West (1919, 1921) mencuba morfologi sejarah dunia dan mendakwa bahawa sejarah matematik dicirikan oleh zaman gaya yang berbeza yang bergantung pada budaya yang menghasilkannya:

Gaya matematik apa pun yang wujud, sepenuhnya bergantung pada Budaya di mana ia berakar, jenis manusia itulah yang merenungnya. Jiwa dapat membawa kemungkinan yang ada pada pengembangan ilmiah, dapat menguruskannya secara praktikal, dapat mencapai tahap tertinggi dalam perlakuannya terhadapnya - tetapi cukup lemah untuk mengubahnya. Idea geometri Euclidean direalisasikan dalam bentuk hiasan klasik yang paling awal, dan idea Kalkulus Infinitesimal dalam bentuk seni bina Gothic yang paling awal, berabad-abad sebelum ahli matematik pertama yang dipelajari dari Budaya masing-masing dilahirkan. (Spengler 1919, 59)

Tidak hanya terdapat persamaan antara matematik dan produksi seni budaya yang lain. Mengandalkan pernyataan Goethe bahawa ahli matematik yang lengkap "merasakan dalam dirinya sendiri keindahan yang benar" dan pada pernyataan Weierstrass bahawa "yang tidak pada masa yang sama sedikit penyair tidak akan pernah menjadi ahli matematik yang benar", Spengler melanjutkan untuk mencirikan matematik sebagai seni:

Matematik adalah seni. Oleh itu, ia mempunyai gaya dan tempoh gaya. Tidak seperti yang dibayangkan oleh orang awam dan ahli falsafah (yang dalam hal ini juga orang awam), pada dasarnya tidak dapat diubah, tetapi tunduk seperti setiap seni kepada perubahan yang tidak disedari dari zaman ke zaman. (Spengler 1919, 62)

Perlakuan yang paling meluas yang berdasarkan pada selari antara seni dan matematik dan mengeksploitasi konsep gaya sebagai kategori utama untuk analisis sejarah matematik adalah Max Bense. Dalam sebuah buku berjudul Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946), Bense mengabdikan keseluruhan bab (bab 2) untuk mengartikulasikan bagaimana pengertian gaya berlaku untuk matematik. Untuk gaya Bense adalah bentuk:

Untuk gaya adalah bentuk, bentuk penting, dan kami menetapkan bentuk ini sebagai "Estetik", jika ia mengontrol secara pasti, bahan. (Bense 1946, 118)

Bense melihat sejarah seni dan sejarah matematik sebagai aspek sejarah minda [Geistesgeschichte]. Sebenarnya "gaya diberikan di mana sahaja imaginasi manusia dan kemampuan ekspresi sampai pada penciptaan". Bense tentu saja cenderung untuk menandingi antara gaya dalam sejarah seni dan gaya dalam matematik (dia terutama memperlakukan gaya barok dan romantis dalam bukunya) tetapi dia tetap, bertentangan dengan Spengler, sifat seni dan matematik terpisah. Memang dia menyedari bahawa sejarah gaya matematik tidak dapat dikurangkan "menjadi kebetulan antara kecenderungan formal matematik tertentu dan gaya seni-pandangan dunia-rohani yang hebat dari zaman-zaman tunggal seperti Renaissance, Classicism, Baroque atau Romanticism" (hlm.132;lihat Fleckenstein 1955 dan Wisan 1981 untuk persamaan yang lebih baru antara barok dalam seni dan matematik abad ketujuh belas). Dia merujuk kepada "Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus" Felix Klein untuk menunjukkan bahawa garis pengembangan tertentu yang dicirikan oleh Klein dapat dilihat sebagai menunjukkan gaya dalam sejarah perkembangan matematik (lihat Klein 1924, 91).

Percubaan seperti daya tarik Spengler dan Bense tentunya kepada ahli teori yang ingin menggunakan kategori gaya sebagai alat untuk menggambarkan, dan mungkin memperakui, corak budaya. Walau bagaimanapun, mereka meninggalkan pembaca yang berpengetahuan dalam matematik dan / atau sejarah seni skeptikal kerana persamaan yang biasanya berpandangan jauh yang seharusnya memberikan bukti untuk akaun tersebut. Sudah tentu, ini bukan untuk menolak pendekatan atau kegunaan kesesuaian kategori gaya dalam matematik tetapi seseorang ingin penggunaannya lebih berkaitan langsung dengan aspek praktik matematik.

Secara umum, seseorang dapat membezakan dua jenis teori yang boleh dikaitkan dengan percubaan tersebut. Yang pertama adalah semata-mata deskriptif, atau taksonomi, dan memuaskan dirinya dengan menunjukkan corak umum tertentu antara bidang pemikiran tertentu, seperti matematik, dan produk budaya lain dari masyarakat tertentu. Pendekatan kedua mengandaikan yang pertama tetapi juga menanyakan sebab-sebab yang menjelaskan adanya gaya pemikiran atau pengeluaran tertentu dan biasanya cuba menganggapnya sebagai faktor psikologi atau sosiologi. Dalam Spengler dan Bense terdapat unsur-unsur keduanya walaupun penekanan lebih kepada keseimbangan daripada pada penyebab yang mendasari atau menjelaskan keseimbangan.

Percubaan untuk memperluas penggunaan konsep gaya dalam seni ke bidang usaha manusia yang lain banyak pada awal abad kedua puluh. Satu kes yang terkenal adalah percubaan sosiologi Mannheim untuk mencirikan gaya pemikiran dalam kumpulan sosial yang berbeza (Mannheim 1928). Walaupun Mannheim tidak mengecualikan pemikiran saintifik dari bidang analisis sosiologi pengetahuan, dia tidak secara aktif melakukan analisis seperti itu. Sebaliknya, Ludwik Fleck mempraktikkan analisis sosiologi sains di mana "gaya pemikiran" memainkan peranan penting. Fleck memberi tumpuan kepada perubatan (Fleck 1935).

Di sini adalah penting untuk menunjukkan bahawa pengertian gaya pemikiran telah menerima, pada umumnya, dua perkembangan yang berbeza dalam penyelidikan kontemporari, yang juga mempengaruhi matematik. Pertama, terdapat tanggapan yang dihadapi di Fleck. Bergantung pada seberapa dermawan seseorang dalam menjalin hubungan, seseorang dapat melihat pendekatan gaya pemikiran yang berkaitan dengan karya kemudian oleh Kuhn, Foucault dan Hacking (lihat di bawah untuk perbincangan mengenai Peretasan). Terdapat cara berfikir yang berbeza tentang gaya pemikiran, yang biasanya disebut dengan gaya kognitif. Ini adalah bidang yang menarik bagi psikologi kognitif dan pendidik matematik (untuk gambaran keseluruhan penyelidikan psikologi di kawasan ini lihat Riding 2000 dan Stenberg dan Grigorenko 2001). Di sini fokusnya adalah pada aspek psikologi individu yang menunjukkan keutamaan terhadap gaya kognitif tertentu sama ada dalam pembelajaran, pemahaman atau pemikiran mengenai matematik (iaitu, memproses dan menyusun maklumat matematik). Perbezaan lama antara ahli matematik visual dan analitik yang ditekankan oleh Poincaré (lihat Poincaré 1905) masih menjadi sebahagian daripada gambar walaupun terdapat banyak model dan klasifikasi. Untuk tinjauan sejarah dan cadangan teori yang berpusat pada matematik lihat Borromeo Ferri 2005. Perbezaan lama antara ahli matematik visual dan analitik yang ditekankan oleh Poincaré (lihat Poincaré 1905) masih menjadi sebahagian daripada gambar walaupun terdapat banyak model dan klasifikasi. Untuk tinjauan sejarah dan cadangan teori yang berpusat pada matematik lihat Borromeo Ferri 2005. Perbezaan lama antara ahli matematik visual dan analitik yang ditekankan oleh Poincaré (lihat Poincaré 1905) masih menjadi sebahagian daripada gambar walaupun terdapat banyak model dan klasifikasi. Untuk tinjauan sejarah dan cadangan teori yang berpusat pada matematik lihat Borromeo Ferri 2005.

Dalam bidang sejarah dan falsafah matematik tidak ada catatan panjang gaya matematik yang menjelaskan kemunculan gaya tertentu dengan kategori sosiologi atau psikologi (walaupun Netz 1999 telah menarik minat ahli teori gaya sebagai percubaan sejarah kognitif segmen penting dalam matematik Yunani). Ini berbeza dengan buku-buku dalam sejarah sains semula jadi seperti Harwood 1993, yang tujuannya adalah untuk menjelaskan kemunculan gaya pemikiran masyarakat genetik Jerman melalui hujah sosiologi. Yang paling hampir dengan akaun tersebut ialah konsep gaya Bieberbach dalam matematik bergantung pada faktor psikologi dan perkauman. Dia akan dibincangkan di bahagian seterusnya mengenai gaya kebangsaan.

3. Gaya kebangsaan dalam matematik

Sesuatu yang kurang bercita-cita tinggi daripada percubaan sebelumnya dalam sejarah umum pengeluaran budaya manusia atau persamaan yang jauh antara seni dan matematik terdiri daripada penggunaan konsep gaya sebagai kategori historiografi dalam sejarah matematik tanpa merujuk kepada seni atau manusia lain aktiviti-aktiviti kebudayaan. Sekiranya seseorang kembali ke awal abad kedua puluh, seseorang mendapati bahawa "gaya nasional" sering disebut untuk mengkategorikan ciri-ciri tertentu yang mencirikan pengeluaran matematik yang sepertinya jatuh tepat dalam garis nasional. Dalam sejarah sains, kes "gaya nasional" seperti ini sering dikaji. Kita harus ingat di sini buku J. Harwood Styles of Scientific Thought (1993) dan sumbangan Nye 1986, Maienschein 1991, dan Elwick 2007. Perkara yang menarik bagi matematik adalah pertentangan antara gaya Perancis dan Jerman dalam matematik yang dipelajari oleh Herbert Mehrtens.

Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) menjelaskan, dari segi gaya, konflik dalam matematik antara "formalis" dan "ahli logik" di satu pihak dan "intuisiis" di sisi lain sebagai pertempuran antara dua konsep matematik (lihat juga Gray 2008 untuk mengambil pendekatan kritikal terhadap pendekatan Mehrtens sambil menekankan transformasi matematik "moden". Hilbert dan Poincaré digunakan sebagai paradigma untuk sumber-sumber pembangkang yang kemudiannya membawa kepada perbahasan asas Hilbert-Brouwer pada tahun 1920-an (mengenai sejarah perbahasan Brouwer-Hilbert lihat Mancosu 1998). Mehrtens juga menunjukkan bahawa pembangkang ini tidak semestinya berjalan di sepanjang garis nasional kerana, misalnya, Klein dapat dilihat dekat dengan Poincaré. Sesungguhnya,internasionalisme tertentu dalam matematik dominan pada akhir abad kesembilan belas dan bahagian awal abad kedua puluh. Namun, WWI akan mengubah keadaan dan menimbulkan konflik nasionalisme yang kuat. Pemain utama dalam 'menasionalisasi' pembangkang adalah Pierre Duhem yang menentang esprit de finesse Perancis terhadap esprit de géométrie Jerman:

Untuk memulakan dari prinsip-prinsip yang jelas … maka untuk membuat kemajuan langkah demi langkah, dengan sabar, susah payah, pada tahap yang mana peraturan disiplin logik deduktif dengan keterukan yang melampau: inilah yang unggul oleh genius Jerman; esprit Jerman pada dasarnya adalah esprit de géométrie… Jerman adalah geometer, mereka tidak halus [sirip]; orang Jerman sama sekali tidak mempunyai kemampuan. (Duhem 1915, 31–32)

Duhem bermaksud modelnya untuk diterapkan pada sains semula jadi tetapi juga untuk matematik. Kleinert 1978 menunjukkan bahawa buku Duhem hanyalah sebahagian daripada reaksi para saintis Perancis terhadap deklarasi 1914 "Aufruf an die Kulturwelt" yang ditandatangani oleh 93 intelektual Jerman yang terkenal. Ini membawa kepada apa yang disebut "Krieg der Geister" di mana polarisasi antara Jerman dan Perancis mencapai titik yang tidak hanya mengkritik cara-cara tertentu untuk memanfaatkan sains (katakanlah mempraktikkan sains dengan tujuan ketenteraan) tetapi juga menyebabkan pencirian ilmiah pengetahuan yang pada dasarnya ditentukan oleh ciri-ciri kebangsaan. Sebenarnya strategi ini pada dasarnya digunakan oleh Perancis dalam mengkritik "La Science Allemande" tetapi, dua puluh tahun kemudian, akan digunakan oleh Jerman dengan penggantian "nasional" dengan "rassisch". Kes yang paling terkenal adalah "Deutsche Physik" tetapi di sini tumpuan akan diberikan kepada "Deutsche Mathematik" (lihat juga Segal 2003 dan Peckhaus 2005).

Bentuk konfrontasi ideologi yang paling ekstrem, yang ironisnya membalikkan peranan Jerman dan Perancis dalam perbandingan yang digunakan oleh Duhem, terdapat dalam tulisan Ludwig Bieberbach, pengasas apa yang disebut "Deutsche Mathematik". Bermula dari pemecatan Landau dari Fakulti matematik di Göttingen, Bieberbach cuba membuat rasional mengapa pelajar memaksa Landau diberhentikan. Dalam bahasa Kurzreferat untuk ceramahnya, dia merangkum tujuannya sebagai berikut:

Pertimbangan saya bertujuan untuk menggambarkan pengaruh sains, matematik saya sendiri, terhadap orang [Volkstum], darah dan bangsa, terhadap gaya penciptaan dengan menggunakan beberapa contoh. Bagi nasionalis-sosialis ini tentu tidak memerlukan bukti sama sekali. Ini adalah gambaran yang sangat jelas. Untuk semua tindakan dan pemikiran kita berakar pada darah dan bangsa dan menerima dari mereka kekhususan mereka. Bahawa ada gaya seperti itu juga biasa bagi setiap ahli matematik. (Bieberbach, 1934a, 235)

Dalam dua makalahnya 1934b dan 1934c, dia mendakwa bahawa matematik yang dipraktikkan oleh Landau adalah asing bagi semangat Jerman. Dia membandingkan Erhard Schmidt dan Landau dan mendakwa bahawa dalam kes pertama

Sistem diarahkan ke arah objek, pembinaannya organik. Sebaliknya, gaya Landau asing dengan kenyataan, antagonis terhadap kehidupan, tidak organik. Gaya Erhard Schmidt konkrit, intuitif dan pada masa yang sama ia memenuhi semua tuntutan logik. (Bieberbach 1934b, 237)

Penentangan penting lain yang dikemukakan oleh Bieberbach sebagai "bukti" untuk tuntutannya ialah Gauss vs Cauchy-Goursat dengan jumlah yang kompleks; Poincaré vs Maxwell dalam fizik matematik; Landau lwn Schmidt; dan Jacobi lwn Klein.

Dengan bergantung pada psikologi jenis oleh psikologi Marburg yang terkenal, Jaensch, dia kemudian menentang jenis psikologi Yahudi / Latin dan Jerman. Garis kesalahan, antara lain, adalah antara matematik yang didorong oleh intuisi, khas matematik Jerman, dan formalisme yang didakwa disokong oleh ahli matematik Yahudi / Latin. Jelas sekali, Bieberbach terpaksa melakukan banyak gerrymandering untuk memastikan bahawa ahli matematik Jerman yang penting tidak berakhir pada sisi persamaan yang salah (lihat apa yang dia katakan mengenai Weierstrass, Euler dan Hilbert). Asas perbezaan matematik ini terdapat pada ciri-ciri kaum:

Dalam pertimbangan saya, saya telah cuba menunjukkan bahawa dalam aktiviti matematik terdapat masalah gaya dan oleh itu darah dan bangsa berpengaruh dalam cara penciptaan matematik. (Bieberbach 1934c, 358–359)

Alasan untuk membincangkan Bieberbach dalam konteks ini adalah kerana kasusnya menunjukkan percubaan untuk mengetepikan gagasan gaya dalam sesuatu yang lebih mendasar, seperti ciri-ciri nasional yang ditafsirkan dari segi psikologi dan ciri-ciri perkauman. Lebih-lebih lagi, kasusnya juga menarik karena pendekatannya terhadap gaya menunjukkan bagaimana teori seperti itu dapat digunakan dalam program politik yang berpusing.

Nasib baik, pembicaraan gaya kebangsaan dalam matematik tidak perlu membawa semua implikasi yang terdapat di Bieberbach. Memang, apabila para sejarawan hari ini merujuk kepada gaya nasional mereka melakukannya tanpa nasionalisme yang mendorong sumbangan yang lebih tua. Sebaliknya, mereka prihatin dengan menggambarkan bagaimana budaya "tempatan" berperanan dalam konstitusi pengetahuan (lihat juga Larvor 2016). Walaupun peningkatan mobiliti dan komunikasi e-mel menjadikan gaya nasional lebih sukar untuk berkembang, keadaan politik khas mungkin juga mendukung kegigihan gaya tersebut. Ini adalah, contohnya, gaya Rusia dalam teori geometri dan perwakilan algebra. Seperti yang ditunjukkan oleh Robert MacPherson kepada pengarangnya,kes gaya nasional ini memerlukan penyelidikan yang lebih luas dan akan menarik untuk mengkaji bagaimana kejatuhan Kesatuan Soviet mempengaruhi gaya ini. Sebaliknya, contoh gaya nasional yang telah banyak dikaji adalah seperti geometri aljabar gaya Itali. Kes ini telah dikaji dengan teliti oleh sebilangan sejarawan matematik dan khususnya oleh Aldo Brigaglia (lihat juga Casnati et al. 2016). Sebagai contoh dalam artikel baru-baru ini, Brigaglia menulis:

Lebih-lebih lagi, sekolah Itali bukan semata-mata 'sekolah' kebangsaan, melainkan gaya kerja dan metodologi, yang terutama berpusat di Itali, tetapi dengan perwakilan yang terdapat di tempat lain di dunia. (Brigaglia 2001, 189)

Petikan menakutkan menyoroti masalah cuba memahami perbezaan antara 'sekolah', 'gaya', 'metodologi' dan lain-lain (lihat Rowe 2003) Tidak ada usaha untuk membincangkan secara analitis mengenai konsep 'gaya nasional' untuk sejarah matematik-dalam apa jua keadaan, tidak ada yang setanding dengan apa yang dilakukan oleh Harwood 1993 dalam bab pertama bukunya. Situasi ini juga rumit oleh fakta bahawa pengarang yang berbeza menggunakan terminologi yang berbeza sementara mungkin merujuk kepada masalah yang sama. Sebagai contoh, baru-baru ini banyak perbincangan mengenai 'gambar matematik' (Corry 2004a, 2004b, Bottazzini dan Dahan Dalmedico, 2001). Pada bahagian terakhir, kita akan kembali untuk merenungkan penggunaan gaya yang berbeza ini dalam literatur historiografi mengenai matematik dan bagaimana mereka membandingkannya dengan yang ada dalam sains semula jadi.

4. Ahli matematik mengenai gaya

Sejauh ini perbincangan telah difokuskan pada gaya sebagai alat untuk ahli falsafah budaya dan ahli sejarah matematik. Tetapi adakah ahli matematik menyedari kewujudan gaya dalam matematik? Sekali lagi, tidak sukar untuk memberikan petikan terpencil di mana ahli matematik mungkin bercakap mengenai gaya kuno atau gaya algebra abstrak atau gaya kategorial. Dalam karya logik seseorang menemukan kejadian gaya dalam denominasi seperti 'Matematik konstruktif gaya Bishop'. Apa yang sukar dicari adalah perbincangan sistematik oleh ahli matematik mengenai konsep gaya. Kes Bieberbach disebutkan di atas tetapi tidak ada perbincangan terperinci mengenai contoh-contoh yang dikemukakannya sebagai bukti perbezaan gaya diberikan di sana,sebahagiannya kerana mereka sangat terpusing oleh keinginannya untuk memberikan sokongan terhadap sudut pandang ideologinya sehingga ada alasan untuk meragukan bahawa seseorang akan memperoleh banyak keuntungan melalui analisis kajian kesnya.

Sumbangan yang menarik adalah artikel oleh Claude Chevalley dari tahun 1935 yang bertajuk "Variations du style mathématique". Chevalley menganggap keberadaan gaya begitu saja. Dia bermula seperti berikut:

Gaya matematik, sama seperti gaya sastera, mengalami perubahan yang penting dalam berlalunya dari satu zaman sejarah ke zaman yang lain. Tanpa keraguan, setiap pengarang mempunyai gaya individu; tetapi seseorang juga dapat melihat pada setiap zaman sejarah kecenderungan umum yang cukup dikenali. Gaya ini, di bawah pengaruh keperibadian matematik yang kuat, kadang-kadang dikenakan revolusi yang mempengaruhi penulisan, dan dengan demikian difikirkan, untuk tempoh berikut. (Chevalley 1935, 375)

Namun, Chevalley tidak berusaha merenung pengertian gaya yang terlibat di sini. Sebaliknya dia ingin menunjukkan melalui contoh penting ciri-ciri peralihan antara dua gaya melakukan matematik yang telah mencirikan jalan dari matematik abad kesembilan belas ke pendekatan abad kedua puluh. Gaya pertama yang digambarkan oleh Chevalley adalah gaya Weierstrassian, 'gaya ε'. Ia mendapati 'raison d'être' dalam perlunya menyusun kalkulus yang menjauh dari ketidakjelasan yang berkaitan dengan tanggapan seperti "kuantiti yang sangat kecil" dan lain-lain. Perkembangan analisis pada abad kesembilan belas (fungsi analitik, siri Fourier, Gauss ') teori permukaan, persamaan Lagrangian dalam mekanik dll) membawa kepada analisis kritikal

kerangka analitik algebra di hadapan yang mereka temui; dan dari pemeriksaan kritis inilah gaya matematik yang baru muncul. (Chevalley 1935, 377)

Chevalley terus memilih penemuan fungsi yang tidak dapat dibezakan secara berterusan, kerana Weierstrass, sebagai elemen terpenting dalam revolusi ini. Oleh kerana fungsi Weierstrass dapat diberikan dari segi pengembangan Fourier dengan penampilan yang cukup normal, menjadi jelas bahawa banyak demonstrasi dalam matematik menganggap keadaan penutupan yang perlu dibuat dengan ketat. Konsep had, seperti yang ditentukan oleh Weierstrass, adalah alat yang kuat yang memungkinkan penyiasatan tersebut. Pembangunan semula analisis yang dilakukan oleh Weierstrass dan pengikutnya ternyata tidak hanya berjaya secara asas tetapi juga secara matematik membuahkan hasil. Inilah seberapa dekat Chevalley untuk mencirikan gaya ini:

Penggunaan ahli matematik sekolah ini mengenai definisi had kerana Weierstrass dapat dilihat pada penampilan luaran tulisan mereka. Pertama sekali, dalam penggunaan intensif, dan kadang-kadang tidak sesuai, penggunaan "ε" yang dilengkapi dengan pelbagai indeks (inilah sebab mengapa kita berbicara di atas mengenai gaya "ε" s). Kedua, dalam penggantian persamaan progresif untuk ketidaksamaan dalam demonstrasi dan juga hasilnya (teorema penghampiran; teorema batas atas; teori kenaikan, dll.). Aspek terakhir ini akan memikat kita kerana ia akan membuat kita memahami sebab-sebab yang memaksa mengatasi gaya pemikiran Weierstrassian. Walaupun persamaan adalah hubungan yang bermakna bagi makhluk matematik, ketidaksamaan hanya dapat diterapkan pada objek yang dilengkapi dengan hubungan tertib,praktikal hanya pada nombor nyata. Dengan cara ini seseorang dipimpin, untuk merangkumi semua analisis, untuk menyusunnya sepenuhnya dari nombor nyata dan dari fungsi nombor nyata. (Chevalley 1935, 378–379)

Dari pendekatan ini, seseorang juga dapat membangun sistem bilangan kompleks sebagai pasangan real dan titik-titik ruang dalam dimensi n sebagai n-bilangan bulatan. Ini memberi gambaran bahawa matematik dapat disatukan dengan definisi konstruktif bermula dari angka nyata. Namun, keadaan berjalan berbeda dan Chevalley cuba menjelaskan alasan yang menyebabkan seseorang melepaskan pendekatan "konstruktif" ini untuk mendukung pendekatan aksiomatik. Pelbagai teori algebra, seperti teori kumpulan menimbulkan hubungan yang tidak dapat dibina bermula dari bilangan sebenarnya. Lebih-lebih lagi, definisi konstruktif bagi nombor kompleks sama dengan memperbaiki sistem rujukan sewenang-wenangnya dan dengan demikian memberikan objek ini dengan sifat yang menyembunyikan sifat sebenarnya. Sebaliknya, seseorang sudah biasa dengan aksiomatisasi geometri Hilbert yang,walaupun teliti, tidak mempunyai watak tiruan dari teori konstruktif. Dalam kes ini entiti tidak dibina melainkan ditentukan melalui aksioma. Pendekatan ini dikembangkan untuk mempengaruhi analisis itu sendiri. Chevalley menyebut teori integral Lebesgue yang diperoleh dengan menetapkan terlebih dahulu sifat apa yang harus dipuaskan oleh integral dan kemudian menunjukkan bahawa domain objek yang memenuhi sifat-sifat itu ada. Idea yang sama digunakan oleh Frechet dengan menetapkan sifat-sifat yang menjadi ciri operasi had sehingga sampai pada teori umum ruang topologi. Contoh lain yang disebutkan oleh Chevalley ialah aksiomatisasi teori bidang yang diberikan oleh Steinitz pada tahun 1910. Chevalley menyimpulkan bahawaDalam kes ini entiti tidak dibina melainkan ditentukan melalui aksioma. Pendekatan ini dikembangkan untuk mempengaruhi analisis itu sendiri. Chevalley menyebut teori integral Lebesgue yang diperoleh dengan menetapkan terlebih dahulu sifat apa yang harus dipuaskan oleh integral dan kemudian menunjukkan bahawa domain objek yang memenuhi sifat-sifat itu ada. Idea yang sama digunakan oleh Frechet dengan menetapkan sifat-sifat yang menjadi ciri operasi had sehingga sampai pada teori umum ruang topologi. Contoh lain yang disebutkan oleh Chevalley ialah aksiomatisasi teori bidang yang diberikan oleh Steinitz pada tahun 1910. Chevalley menyimpulkan bahawaDalam kes ini entiti tidak dibina melainkan ditentukan melalui aksioma. Pendekatan ini dikembangkan untuk mempengaruhi analisis itu sendiri. Chevalley menyebut teori integral Lebesgue yang diperoleh dengan menetapkan terlebih dahulu sifat apa yang harus dipuaskan oleh integral dan kemudian menunjukkan bahawa domain objek yang memenuhi sifat-sifat itu ada. Idea yang sama digunakan oleh Frechet dengan menetapkan sifat-sifat yang menjadi ciri operasi had sehingga sampai pada teori umum ruang topologi. Contoh lain yang disebutkan oleh Chevalley ialah aksiomatisasi teori bidang yang diberikan oleh Steinitz pada tahun 1910. Chevalley menyimpulkan bahawaChevalley menyebut teori integral Lebesgue yang diperoleh dengan menetapkan terlebih dahulu sifat apa yang harus dipuaskan oleh integral dan kemudian menunjukkan bahawa domain objek yang memenuhi sifat-sifat itu ada. Idea yang sama digunakan oleh Frechet dengan menetapkan sifat-sifat yang menjadi ciri operasi had sehingga sampai pada teori umum ruang topologi. Contoh lain yang disebutkan oleh Chevalley ialah aksiomatisasi teori bidang yang diberikan oleh Steinitz pada tahun 1910. Chevalley menyimpulkan bahawaChevalley menyebut teori integral Lebesgue yang diperoleh dengan menetapkan terlebih dahulu sifat apa yang harus dipuaskan oleh integral dan kemudian menunjukkan bahawa domain objek yang memenuhi sifat-sifat itu ada. Idea yang sama digunakan oleh Frechet dengan menetapkan sifat-sifat yang menjadi ciri operasi had sehingga sampai pada teori umum ruang topologi. Contoh lain yang disebutkan oleh Chevalley ialah aksiomatisasi teori bidang yang diberikan oleh Steinitz pada tahun 1910. Chevalley menyimpulkan bahawaContoh lain yang disebutkan oleh Chevalley ialah aksiomatisasi teori bidang yang diberikan oleh Steinitz pada tahun 1910. Chevalley menyimpulkan bahawaContoh lain yang disebutkan oleh Chevalley ialah aksiomatisasi teori bidang yang diberikan oleh Steinitz pada tahun 1910. Chevalley menyimpulkan bahawa

Aksiomatisasi teori telah mengubah gaya penulisan matematik kontemporari dengan sangat mendalam. Pertama sekali, untuk setiap hasil yang diperoleh, seseorang harus selalu mengetahui yang mana satu sifat yang sangat diperlukan untuk membuatnya. Seseorang akan secara serius menangani masalah memberikan demonstrasi minimum hasil tersebut dan untuk itu seseorang perlu membatasi dengan tepat di mana bidang matematik seseorang beroperasi sedemikian rupa sehingga menolak kaedah yang asing dengan domain ini sejak yang terakhir ini kemungkinan akan membawa kepada pengenalan hipotesis yang tidak berguna. (Chevalley 1935, 382)

Lebih-lebih lagi, penyusunan domain yang sangat sesuai dengan operasi tertentu membolehkan seseorang membuat teorema umum pada objek yang dipertimbangkan. Dengan cara ini seseorang dapat mencirikan operasi analisis infinitesimal secara aljabar tetapi tanpa na anyveté yang mencirikan pendekatan aljabar sebelumnya.

Artikel Chevalley adalah sumber berharga dari ahli matematik kontemporari mengenai topik gaya. Dia dengan kuat menunjukkan perbezaan antara penghitungan analisis akhir abad kesembilan belas dan pendekatan aksiomatik-aljabar abad kedua puluh. Walau bagaimanapun, ia mempunyai hadnya. Gagasan gaya tidak bertema seperti itu dan tidak jelas bahawa ciri-ciri yang ditambahkan untuk menjelaskan peristiwa sejarah tertentu mungkin menyediakan alat umum untuk menganalisis peralihan lain dalam gaya matematik. Tetapi mungkin itu, sekiranya ada, menjadi tugas seorang ahli falsafah matematik (untuk analisis terperinci mengenai pendekatan Chevalley terhadap gaya lihat Rabouin 2017).

5. Lokus gaya

Dalam sebuah buku berjudul "Introducción al estilo matematico" (1971) ahli falsafah Sepanyol Javier de Lorenzo berusaha menulis sejarah matematik (diakui sebahagiannya) dari segi gaya. Walaupun pada tahun 1971 karya Granger, yang akan dibahas di bahagian 5, telah muncul, de Lorenzo tidak menyedarinya dan satu-satunya sumber gaya yang dia gunakan adalah artikel Chevalley. Sesungguhnya buku ini hanyalah lanjutan dari kajian Chevalley untuk memasukkan banyak lagi 'gaya' yang telah muncul dalam sejarah matematik. Senarai gaya matematik yang dikaji oleh de Lorenzo adalah seperti berikut:

  • Gaya geometri;
  • Gaya puisi;
  • Gaya cossic;
  • Gaya Cartesian-algebra;
  • Gaya yang tidak dapat dipisahkan;
  • Gaya operasi;
  • Gaya Epsilon;
  • Gaya sintetik vs analitik dalam geometri;
  • Gaya aksiomatik;
  • Gaya formal.

Pengaturan umum mengingatkan salah satu pendekatan Chevalley dan seseorang akan sia-sia dalam buku de Lorenzo untuk mendapatkan penjelasan yang memuaskan tentang gaya apa itu. Memang benar bahawa terdapat beberapa pemerhatian menarik mengenai peranan bahasa dalam menentukan gaya tetapi analisis falsafah umum tidak ada. Namun ada titik penting yang harus ditekankan mengenai perlakuan yang diberikan oleh Chevalley dan de Lorenzo, yang tampaknya menunjukkan ciri penting dari penggunaan 'gaya' dalam matematik.

Dalam makalahnya "De la catégorie de style en histoire des sciences" (Gayon 1996), dan pada Gayon 1999 yang lalu, Jean Gayon memaparkan penggunaan 'gaya' yang berbeza dalam pensejarahan sains sebagai jatuh di antara dua kubu (dalam satu cara dia mengikuti Hacking 1992 di sini). Pertama, terdapat penggunaan 'gaya saintifik' pihak yang mengejar 'sejarah sains tempatan'. Biasanya analisis jenis ini memberi tumpuan kepada 'kumpulan atau sekolah tempatan' atau 'bangsa'. Sebagai contoh, jenis sejarah ini menekankan komponen pengetahuan universal dan menekankan kesukaran yang terlibat dalam menterjemahkan eksperimen dari satu tetapan ke keadaan yang lain. Kesukaran seperti itu ditunjukkan bergantung pada tradisi 'tempatan', yang merangkumi pengetahuan teknikal dan teoritis tertentu yang "mendasar untuk mengatur, mewujudkan,dan menganalisis hasil eksperimen tersebut”(Corry 2004b) Kedua, terdapat penggunaan 'gaya saintifik' yang dicontohkan dalam karya seperti Crombie's 1994 'Styles of Scientific Thinking in the European Tradition'. Crombie menghitung gaya saintifik berikut:

  1. postulasi dalam sains matematik aksiomatik
  2. penerokaan eksperimen dan pengukuran hubungan yang dapat dikesan kompleks
  3. pemodelan hipotetikal
  4. memerintahkan pelbagai mengikut perbandingan dan taksonomi
  5. analisis statistik populasi, dan
  6. turunan sejarah perkembangan genetik (dipetik dari Hacking 1996, 65)

Gayon menyatakan bahawa tanggapan terakhir mengenai gaya ini boleh digantikan dengan 'kaedah' dan bahawa 'gaya yang dibincangkan di sini tidak ada kaitan dengan gaya tempatan'. Dia juga menyatakan bahawa ketika datang ke gaya lokal, kelompok-kelompok yang bertindak sebagai sokongan sosiologi untuk analisis semacam itu adalah 'kumpulan penyelidikan' atau 'bangsa'. Terdapat banyak penekanan dalam sejarah sains eksperimen baru-baru ini pada faktor-faktor tempatan seperti itu (lihat, misalnya, Gavroglu 1990 untuk 'gaya penaakulan' dua makmal suhu rendah, iaitu Dewar (London) dan Kamerlingh Onnes (Leiden)).

Sejarawan matematik kini berusaha menerapkan pendekatan historiografi seperti itu untuk matematik tulen. Percubaan baru-baru ini ke arah ini adalah karya Epple dari segi 'konfigurasi epistemik' seperti artikel terbarunya mengenai karya awal Alexander dan Reidemeister dalam teori simpulan (Epple 2004; tetapi lihat juga Rowe 2003 dan 2004, dan Epple 2011). Kumpulan sokongan untuk penyiasatan tersebut tidak disebut sebagai 'sekolah' melainkan sebagai 'tradisi matematik' atau 'budaya matematik'.

Bagaimana dengan tanggapan 'metodologi' gaya à la Crombie? Adakah sejarawan matematik banyak menggunakan ini? Terlepas dari banyak rawatan gaya pertama (kaedah aksiomatik), tidak banyak di kawasan ini tetapi sumbangan sejarah yang menarik adalah karya Goldstein pada Frenicle de Bessy (2001). Dia berpendapat bahawa matematik murni seperti yang dipraktikkan oleh Frenicle de Bessy mempunyai banyak persamaan dengan gaya sains eksperimen Baconian. Mungkin ada yang harus disebutkan di sini bahawa matematik eksperimen kini menjadi bidang yang berkembang yang tidak lama lagi akan menemui sejarawannya (lihat Baker 2008 untuk akaun falsafah matematik eksperimen dan Sørensen 2016 untuk analisis dari segi budaya matematik). Ini cenderung menjadi topik yang diminati oleh para ahli falsafah, kerana ia mempengaruhi isu kaedah matematik. Masalahnya dapat diselesaikan seperti berikut: sebagai tambahan kepada apa yang disenaraikan oleh Crombie sebagai gaya metodologi (a) [aksiomatik], gaya lain apa yang ditempuh dalam praktik matematik? Corfield 2003 menyentuh masalah dalam pengantar bukunya "Menuju falsafah matematik 'nyata' 'ketika dia, merujuk kepada senarai Crombie di atas, mengatakan:

Peretasan memuji penyertaan Crombie mengenai (a) sebagai 'memulihkan matematik ke sains' (Hacking 1996) setelah pemisahan positivis logik, dan memperluas jumlah gaya menjadi dua dengan mengakui gaya algoritma matematik India dan Arab. Saya gembira dengan hujah ini, terutamanya jika ia menghalang matematik dilihat sebagai aktiviti yang sama sekali tidak seperti yang lain. Memang, ahli matematik juga terlibat dalam gaya (b) (lihat bab 3), (c) dan (d) [7] dan sepanjang garis (e) ahli matematik sedang menganalisis statistik sifar dari fungsi zeta Riemann. (Corfield 2003, 19)

Dalam catatan 7 Corfield menyebutkan komen John Thompson bahawa klasifikasi kumpulan sederhana terbatas adalah latihan dalam taksonomi.

Bukanlah tujuan esei ini untuk menangani secara tepat banyak masalah yang muncul dari petikan sebelumnya. Tetapi harus dijelaskan bahawa isu-isu ini mewakili wilayah yang segar dan merangsang untuk epistemologi deskriptif matematik dan bahawa beberapa pekerjaan telah dilakukan ke arah ini (lihat Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

Akhirnya, bagaimana menggabungkan gaya 'tempatan' dan 'metodologi' dengan apa yang terdapat di Chevalley dan de Lorenzo? Dalam kes matematik terdapat bukti yang baik bahawa lokus yang paling semula jadi untuk 'gaya' jatuh, antara kedua-dua kategori ini. Sebenarnya, secara umum, gaya matematik melampaui mana-mana komuniti tempatan yang ditakrifkan dalam istilah sosiologi yang lebih sederhana (kewarganegaraan, keahlian langsung di sekolah dll.) Dan sedemikian rupa sehingga kumpulan sokongan hanya dapat dicirikan oleh kaedah penyelidikan khusus yang dijalankan. Sebaliknya, kaedah ini tidak begitu universal sehingga dapat dikenal pasti sebagai salah satu daripada enam kaedah yang dijelaskan oleh Crombie atau dalam senarai lanjutan yang diberikan oleh Hacking. Berikut adalah beberapa contoh yang mungkin, di mana nama yang dilampirkan pada setiap kedudukan tidak boleh menyesatkan pembaca untuk berfikir bahawa seseorang hanya berurusan dengan gaya 'individu'.

  1. Teknik langsung berbanding tidak langsung dalam geometri (Cavalieri dan Torricelli vs. Archimedes)
  2. Pendekatan aljabar dan geometri dalam analisis pada abad ketujuh belas dan kelapan belas (Euler vs McLaurin)
  3. Pendekatan geometri vs analisis dalam analisis kompleks pada abad kesembilan belas (Riemann vs. Weierstrass)
  4. Pendekatan konsep dan pengiraan dalam teori nombor algebra (Dedekind vs. Kronecker)
  5. gaya struktur vs intuitif dalam geometri algebra (sekolah Jerman vs sekolah Itali)

Sudah tentu, mungkin dalam sejarah dan falsafah sains terdapat tahap gaya 'perantaraan' seperti yang dijelaskan di sini (satu contoh yang terlintas di fikiran adalah 'gaya Newtonian' dalam fizik matematik) tetapi fakta bahawa Jean Gayon tidak mengesannya sebagai pusat nampaknya menunjukkan bahawa keadaan dalam sejarah dan falsafah matematik sangat berbeza, kerana gaya 'perantaraan' ini adalah gaya yang telah dibincangkan dengan lebih mendalam dan sesuai dengan gaya yang dianalisis oleh Chevalley dan de Lorenzo. Lebih-lebih lagi, perbincangan mengenai budaya matematik tempatan cenderung dilakukan tanpa konsep gaya.

6. Ke arah epistemologi gaya

Masalah epistemologi gaya mungkin dapat dikemukakan secara kasar seperti berikut. Adakah unsur-unsur gaya yang terdapat dalam wacana matematik tidak mempunyai nilai kognitif dan hanya sebahagian daripada pewarnaan wacana matematik atau bolehkah mereka dilihat lebih berkaitan dengan kandungan kognitifnya? Gagasan mewarnai di sini berasal dari Frege yang membezakan dalam "Pemikiran" antara keadaan kebenaran pernyataan dan aspek pernyataan yang mungkin memberikan maklumat mengenai keadaan fikiran penutur atau pendengar tetapi tidak menyumbang kepada keadaan kebenarannya. Dalam bahasa semula jadi, elemen pewarnaan khas adalah ungkapan penyesalan seperti "sayangnya". "Sayangnya, bersalju" mempunyai syarat kebenaran yang sama dengan "itu bersalju" dan "sayangnya", dalam kalimat pertama, hanya merupakan bagian dari pewarnaan. Jacques dan Monique Dubucs telah menggeneralisasikan perbezaan ini dengan bukti dalam "La couleur des preuves" (Dubucs dan Dubucs 1994) di mana mereka menangani masalah 'retorik matematik', masalah yang hampir sama dengan analisis gaya. Dengan menyebut retorik tradisional sebagai 'residualist', kerana hanya mengambil kira fenomena kepentingan bukan kognitif seperti hiasan dll teks matematik tetapi membiarkan objek (seperti kandungan demonstrasi) tidak tersentuh, mereka meneroka pilihan untuk "retorik matematik" yang lebih bercita-cita tinggi.kerana hanya mengambil kira fenomena kepentingan bukan kognitif seperti hiasan dll teks matematik tetapi membiarkan objek (seperti isi demonstrasi) tidak tersentuh, mereka meneroka pilihan untuk "retorik matematik" yang lebih bercita-cita tinggi.kerana hanya mengambil kira fenomena kepentingan bukan kognitif seperti hiasan dll teks matematik tetapi membiarkan objek (seperti isi demonstrasi) tidak tersentuh, mereka meneroka pilihan untuk "retorik matematik" yang lebih bercita-cita tinggi.

Oleh itu, seseorang dapat mula mengartikulasikan kedudukan pertama yang dapat dipertahankan berkenaan dengan kepentingan gaya epistemologi. Ini adalah kedudukan yang menolak gaya peranan kognitif penting dan mengurangkannya menjadi fenomena pewarnaan subjektif. Menurut kedudukan ini, variasi gaya hanya akan mengungkapkan perbezaan ekspresi dangkal yang membiarkan isi wacana tidak tersentuh.

Dua kedudukan yang lebih bercita-cita tinggi dipertahankan dalam literatur mengenai kandungan gaya kognitif. Yang pertama nampaknya serasi dengan bentuk Platonisme atau realisme dalam matematik sedangkan yang kedua pasti menentangnya. Yang disinggung adalah dua cadangan utama yang terdapat dalam literatur, yaitu Granger 1968 dan Hacking 1992, yang sekarang akan dijelaskan secara ringkas.

Granger's Essay of a falsafah of style (Essai d'une falsafah du style 1968) adalah usaha paling sistematik dan bersungguh-sungguh untuk mengembangkan teori gaya untuk matematik. Program Granger begitu bercita-cita tinggi dan kaya sehingga perbincangan menyeluruh mengenai struktur bukunya dan analisis terperinci akan memerlukan makalah dengan sendirinya. Oleh kerana keterbatasan ruang, tujuan di sini adalah untuk memberikan gambaran kasar tentang apa yang disusun oleh projek dan untuk menunjukkan bahawa peranan epistemologi gaya yang dipertahankan oleh Ganger sesuai dengan realisme mengenai entiti atau struktur matematik.

Tujuan Granger adalah untuk memberikan analisis 'praktik saintifik'. Dia mendefinisikan praktik sebagai "suatu kegiatan yang dipertimbangkan dengan konteksnya yang kompleks, dan khususnya keadaan sosial yang memberikannya makna dalam dunia yang dialami secara efektif (vécu)" (1968, 6). Ilmu yang dia definisikan sebagai "pembinaan model abstrak, konsisten dan berkesan, dari fenomena" (13). Oleh itu, amalan saintifik mempunyai komponen 'universal' atau 'umum' dan komponen 'individu'. Analisis praktik saintifik memerlukan sekurang-kurangnya tiga jenis penyelidikan:

  1. Terdapat banyak cara penstrukturan, melalui model, fenomena tertentu; dan model yang sama dapat digunakan untuk fenomena yang berbeza. Lebih-lebih lagi, pembinaan saintifik, termasuk yang matematik, memperlihatkan "kesatuan struktur" tertentu. Kedua-dua aspek ini akan menjadi tema analisis gaya.
  2. Penyelidikan kedua menyangkut 'ciri saintifik', yang bertujuan untuk mengkaji komponen psikologi yang relevan dalam individu praktik saintifik;
  3. Penyelidikan ketiga menyangkut kajian 'kontingensi' penciptaan ilmiah, yang selalu berada di ruang dan waktu.

Ketiga-tiga aspek itu diperlukan untuk analisis 'praktik saintifik' tetapi dalam bukunya Granger hanya memfokuskan pada 1. Dari mana gaya dan matematik masuk? Matematik masuk sebagai salah satu bidang penyiasatan yang dapat dikenakan analisis gaya sains (buku Granger menyediakan aplikasi bukan hanya untuk matematik tetapi juga untuk linguistik dan sains sosial). Bagaimana dengan gaya? Setiap amalan sosial, menurut Granger, dapat dipelajari dari sudut gaya. Ini merangkumi tindakan politik, penciptaan seni dan aktiviti ilmiah. Oleh itu, terdapat gaya umum yang akan cuba menangkap ciri gaya yang paling umum dari aktiviti tersebut dan kemudian analisis gaya yang lebih 'tempatan' seperti yang diberikan oleh Granger untuk aktiviti saintifik. Jelas,konsep gaya yang digunakan di sini mestilah lebih rumit daripada konsep yang biasanya dikaitkan dengan istilah ini dan sesungguhnya konsep yang akan mengaplikasikan bidang seperti aktiviti politik atau aktiviti ilmiah bukan hanya kiasan tetapi lebih tepat pada aktiviti tersebut.

Analisis Granger mengenai gaya matematik merangkumi bab 2, 3, dan 4 bukunya. Bab 2 membincangkan gaya Euclidean dan tanggapan besarnya; bab 3 dengan penentangan antara 'gaya Cartesian dan gaya Desarguian' (pada gaya Cartesian lihat juga Rabouin 2017); akhirnya, bab 4 berkenaan 'kelahiran gaya vektor'. Semua analisis ini berpusat pada konsep "magnitud geometri".

Seseorang mendapat pemahaman yang baik tentang apa yang dilakukan oleh Granger dengan hanya melihat contoh yang dia gambarkan dalam pendahulunya. Ini adalah contoh mengenai nombor kompleks.

Gaya, menurut Granger, adalah cara memaksakan struktur kepada pengalaman. Pengalaman mesti diambil di sini untuk melampaui pengalaman empirikal. Secara umum jenis pengalaman yang menarik minat ahli matematik tidak bersifat empirikal. Dari pengalaman ini muncul komponen "intuitif" yang disusun dalam aktiviti matematik. Tetapi seseorang tidak boleh berpikir bahawa ada "intuisi" yang, seperti halnya secara luaran, seseorang kemudian menerapkan suatu bentuk. Aktiviti matematik muncul pada masa yang sama untuk membentuk dan isi dalam latar belakang pengalaman tertentu.

Gaya nampak pada kita di satu pihak sebagai cara memperkenalkan konsep teori, menghubungkannya, menyatukannya; dan sebaliknya, sebagai cara untuk membatasi intuisi apa yang menyumbang kepada penentuan konsep-konsep ini. (Granger 1968, 20)

Sebagai contoh Granger memberikan tiga cara memperkenalkan nombor kompleks; ketiga-tiga cara tersebut merangkumi sifat struktur yang menjadi ciri struktur algebra yang dimaksudkan. Cara pertama memperkenalkan nombor kompleks dengan perwakilan trigonometri menggunakan sudut dan arah. Yang kedua memperkenalkannya sebagai operator yang menggunakan vektor. Dalam kes pertama, seseorang mendefinisikan nombor kompleks sebagai sepasang nombor nyata dan sifat tambahan kemudiannya segera. Sebaliknya, dalam kes kedua, sifat pendaraban yang segera disita. Tetapi, dan ini adalah cara ketiga, seseorang juga dapat memperkenalkan nombor kompleks dengan matriks persegi biasa. Ini membawa kepada melihat nombor kompleks sebagai sistem polinomial dalam x modulo x 2 +1.

Ini cara yang berbeza untuk memahami konsep, mengintegrasikannya dalam sistem operasi dan mengaitkannya dengan beberapa implikasi intuitif - yang mana satu harus membatasi tahap yang tepat - merupakan apa yang kita sebut aspek gaya. Jelas bahawa kandungan struktur pengertian tidak terpengaruh di sini, bahawa konsep objek matematik qua wujud sama melalui kesan gaya ini. Namun demikian tidak selalu demikian dan kita akan menghadapi kedudukan gaya yang menuntut variasi konsep yang benar. Apa yang selalu berubah, dalam hal apa pun, adalah orientasi konsep terhadap penggunaan ini atau penggunaan, ini atau peluasan itu. Oleh itu, gaya memainkan peranan yang mungkin penting baik berkaitan dialektika perkembangan dalaman matematik dan hubungannya dengan dunia objek yang lebih konkrit. (Granger 1968, 21).

Oleh itu, dalam teori Granger, gaya matematik adalah kaedah persembahan, atau cara memahami struktur matematik. Sekurang-kurangnya dalam beberapa kes kesan gaya ini meninggalkan objek atau struktur matematik tidak terpengaruh walaupun ia akan mempengaruhi mod kognitif di mana mereka ditangkap, oleh itu mempengaruhi bagaimana mereka boleh dilanjutkan, diterapkan di pelbagai bidang dll. Walaupun Granger mungkin mempunyai bersimpati dengan Kantianisme tanpa subjek transendental, dan dengan demikian menganggap gaya sebagai konstitutif, nampaknya kedudukannya sekurang-kurangnya sesuai dengan bentuk realisme mengenai entiti matematik. Ini nampaknya tidak berlaku untuk kedudukan epistemologi ketiga dan terakhir yang akan dibincangkan, yang disebabkan oleh Ian Hacking.

Seperti yang dinyatakan sebelumnya, Hacking, mengikuti Crombie, telah mengusulkan untuk menyelidiki pengertian gaya sebagai "alat analisis baru" untuk sejarah dan falsafah sains. Keutamaannya adalah untuk berbicara mengenai gaya penaakulan (lihat juga Mancosu 2005) berbanding dengan gaya pemikiran Fleck atau gaya pemikiran Crombie (pilihan terakhirnya adalah membicarakan 'Gaya pemikiran saintifik & melakukan' untuk perbincangan terbaru mengenai Program penggodaman pada masa penulisan melihat Kusch 2010 dan edisi khas Pengajian dalam Sejarah dan Falsafah Sains (isu 43, 2012), termasuk Hacking 2012 dan beberapa sumbangan lain). Sebabnya ialah Peretasan ingin menjauhkan diri dari tahap psikologi penaakulan dan bekerja dengan tahap hujah yang lebih 'objektif'. Dia secara eksplisit mendefinisikan projeknya sebagai kesinambungan dari projek Kant yang bertujuan untuk menjelaskan bagaimana objektiviti mungkin. Dan memang, kedudukan Hacking menolak realisme dan menerapkan peranan gaya yang kuat. Menurut Hacking, gaya ditentukan oleh satu set syarat yang diperlukan (dia tidak berusaha, dengan bijak, untuk memberikan syarat yang mencukupi):

Tidak ada kalimat yang menjadi kandidat kebenaran, atau objek yang dikenal pasti secara bebas, sebelum pengembangan gaya penaakulan. Setiap gaya penaakulan memperkenalkan banyak perkara baru termasuk jenis baru: Objek; bukti; ayat, cara baru untuk menjadi calon kebenaran atau kepalsuan; undang-undang, atau dengan cara apa pun; kemungkinan. Kita juga harus melihat, kadang-kadang, jenis klasifikasi baru dan jenis penjelasan baru. (Peretasan 1992, 11)

Harus jelas bahawa gagasan gaya ini, sama seperti gaya Granger, memberikan peranan yang sangat penting kepada gaya sebagai landasan objektiviti seluruh bidang aktiviti ilmiah tetapi bahawa, tidak seperti Granger, ia berkomitmen ontologis terhadap penolakan realisme. Gaya penting dalam penyusunan objek matematik dan yang terakhir tidak mempunyai bentuk kewujudan yang bebas daripadanya. Peretasan tidak banyak membincangkan kajian kes dari sejarah matematik walaupun salah satu makalahnya (Hacking 1995) membincangkan empat gambar matematik konstruksionalis (perkataan "konstruksionalisme" dipinjam dari Nelson Goodman) dan menunjukkan seberapa sesuai dengan gambarnya mengenai 'gaya berfikir'. Secara implikasinya, jelas juga bahawa kedudukan realistik yang lebih komited tidak akan sesuai dengan gaya penaakulan akaun Hacking.

Oleh itu, tiga model yang mungkin untuk menerangkan peranan epistemologi 'gaya' dalam matematik telah dipertimbangkan. Sudah pasti ada banyak kemungkinan kedudukan yang menunggu untuk diartikulasikan tetapi sejauh ini hanya yang terdapat dalam literatur.

7. Kesimpulannya

Seperti yang ditunjukkan pada awalnya, topik gaya matematik bukanlah salah satu bidang penyelidikan kanonik dalam falsafah matematik. Sesungguhnya, entri ini adalah percubaan pertama untuk memasukkan dalam satu kertas sumbangan yang pelbagai dalam topik ini. Walaupun begitu, harus jelas sekarang bahawa refleksi mengenai gaya matematik terdapat dalam kegiatan falsafah kontemporari dan wajar dipandang serius. Tetapi kerja baru bermula. Seseorang memerlukan lebih banyak kajian kes gaya matematik dan artikulasi yang lebih jelas mengenai akibat epistemologi dan ontologi yang dihasilkan oleh konsep gaya yang berbeza. Sebagai tambahan, seseorang ingin melihat penyatuan yang lebih baik dari semua karya ini dengan karya mengenai gaya kognitif yang terdapat dalam psikologi kognitif dan pendidikan matematik. Akhirnya, chestnut falsafah standard,seperti hubungan antara bentuk dan isi dengan gaya, dan hubungan gaya dengan normativiti dan kesungguhan juga harus ditangani (untuk perbincangan yang sangat baik mengenai topik-topik seperti dalam estetika lihat Meskin 2005).

Bibliografi

  • Baker, A., 2008, "Matematik eksperimental", Erkenntnis, 68: 331-344.
  • Bense, M., 1946, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissenschaften, Hamburg: Claassen & Goverts. Sekarang di Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (lihat bab 2 "Stilgeschichte in der Mathematik").
  • –––, 1949, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik di der Kunst, Hamburg: Claassen & Goverts. Sekarang di Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (lihat bab 1 "Zum Begriff des Stils").
  • Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235–237.
  • –––, 1934b, “Persönlichkeitsstruktur und mathematisches Schaffen”, Unterrichtblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
  • –––, 1934c, “Stilarten mathematischen Schaffens”, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
  • Borromeo Ferri, R., 2005, Mathematische Denkstile. Ergebnisse einer empirische Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
  • Bottazzini, U., 2001, "Dari Paris ke Berlin: Imej Berbeza dari matematik abad kesembilan belas", dalam U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (ed.), 2001, hlm. 31–47.
  • Bottazzini, U., dan Dahan Dalmedico, A., (eds.), 2001, Mengubah Imej Matematik, London: Routledge.
  • Brigaglia, A., 2001, "Penciptaan dan kegigihan sekolah kebangsaan: kes geometri algebra Itali", dalam U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (eds.), 2001, hlm. 187-206.
  • Casnati, G., et al. (eds.), 2016, Dari Geometri Algebra Klasik hingga Moden. Corrado Segre Mastership and Legacy, Cham: Birkhäuser.
  • Cavalieri, B., 1635, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Bologna: Clemente Ferroni.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu Historique sur l'Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie, Bruxelles: M. Hayez.
  • Chevalley, C., 1935, “Variations du style mathématique”, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
  • Cohen, IB, 1992, "The Principia, gravitasi sejagat dan 'gaya Newtonian,' berkaitan dengan revolusi Newton dalam sains", dalam Bechler, Z., (ed.), Penyelidikan Newtonian Kontemporari, Dordrecht: Reidel, pp. 21–108.
  • Corfield, D., 2003, Menuju Falsafah Matematik 'Sebenar', Cambridge: Cambridge University Press.
  • Corry, L., 2004a, Algebra Moden dan Kebangkitan Struktur Matematik, Basel: Birkhäuser; Edisi ke-2.
  • Corry, L., 2004b, "Pengenalan", Sains dalam Konteks, 17: 1–22.
  • Crombie, A., 1994, Gaya Pemikiran Ilmiah dalam Tradisi Eropah, London: Duckworth.
  • de Gandt, F., 1986, "Le style mathématique des" Principia "de Newton", Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
  • de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Madrid: Tecnos Editorial.
  • Dhombres, J., 1993, La tokoh dans le Discs géométrique: gaya les façonnages d'un, Nantes: Université de Nantes.
  • Dubucs, J. dan Dubucs, M., 1994, “La couleur des preuves”, dalam V. de Coorebyter, (ed.), Structures rhétorique en science, Paris: PUF, hlm. 231–249.
  • Duhem, P., 1915, La Science Allemande, Paris: Hermann. Terjemahan Bahasa Inggeris: German Science, Chicago: Carus Publishing, 2000.
  • Edwards, HM, 1987, “Penemuan cita-cita Dedekind”, dalam Phillips, E., Kajian dalam Sejarah Matematik, Washington: Persatuan Matematik Amerika, hlm. 8–20.
  • Elwick, J., 2007, Gaya Penalaran dalam Sains Kehidupan British: Asumsi Bersama, 1820–1858, London: Pickering & Chatto.
  • Epple, M., 1997, "Gaya pertengkaran pada akhir abad ke -19 geometri dan struktur kemodenan matematik", dalam M. Otte dan M. Panza (ed.), Analisis dan Sintesis dalam Matematik, Dordrecht: Kluwer, pp 177–198.
  • –––, 2004, “Knot Invariants di Vienna dan Princeton pada tahun 1920-an: Konfigurasi epistemik penyelidikan matematik”, Science in Context, 17: 131–164.
  • –––, 2011, “Antara abadi dan sejarah: Tentang dinamika objek epistemik matematik”, Isis, 102: 481–493.
  • Etcheverría, J., 1996, “Kaedah empirik dalam matematik. Satu kajian kes: dugaan Goldbach”, dalam G. Munévar (ed.), Pengajian Sepanyol dalam Falsafah Sains, Dordrecht: Kluwer, hlm. 19–55.
  • Fleck, L., 1935, Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil und Denkkollektiv, Basel: Schwabe. Terjemahan Bahasa Inggeris: Genesis and Development of a Scientific Fact (Diterjemahkan ke dalam Bahasa Inggeris oleh Frederick Bradley), Chicago: University of Chicago Press, 1979.
  • Fleckenstein, JO, 1955, “Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung”, Studium Generale, 8: 159–166.
  • Freudenthal, H., 1975, Matematik sebagai Tugas Pendidikan, Dordrecht: Reidel.
  • Gavroglu, K., 1990, "Perbezaan Gaya sebagai Cara Menguji Konteks Penemuan", Philosophia, 45: 53-75.
  • Gayon, J., 1996, "De la catégorie de style en histoire des sciences", Alliage, 26: 13–25.
  • –––, 1998, “De l'usage de la notion de style en histoire des sciences”, dalam J. Gayon et al. (eds.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Bruxelles: OUSIA, hlm. 162–181.
  • Goldstein, C., 2001, "L'expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy", Revue de Synthèse, 122: 425-454.
  • Granger, GG, 1968, Essai d'une falsafah du gaya, Paris: Armand Colin, dicetak semula dengan pembetulan oleh Paris: Odile Jacob.
  • –––, 2003, “Le style mathématique de l'Académie platonicienne”, dalam GG Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, hlm. 267–294.
  • Gray, J., 2008, Plato's Ghost: Transformasi moden matematik, Princeton: Princeton University Press.
  • Hacking, I., 1992, "'Gaya' untuk sejarawan dan ahli falsafah", Kajian dalam Sejarah dan Falsafah Sains, 23: 1–20.
  • –––, 1995, “Immagini radicalmente costruzionaliste del progresso matematico”, dalam A. Pagnini, Realismo / Antirealismo, Firenze: La Nuova Italia, hlm. 59–92.
  • –––, 1996, “The disilies of science”, dalam P. Galison dan D. Stump, The Disunity of Science: Boundaries, Context and Power, Stanford: Stanford University Press, hlm. 37–74.
  • –––, 2002, Sejarah Ontologi, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 2012, "'Bahasa, Kebenaran, dan Alasan' 30 tahun kemudian", Pengajian dalam Sejarah dan Falsafah Sains, 43: 599-609.
  • Harwood, J., 1993, Gaya Pemikiran Ilmiah-Komuniti Genetik Jerman, 1900–1933, Chicago: The University of Chicago Press.
  • Høyrup, J., 2005, "Tertium non datur: mengenai gaya penaakulan dalam matematik awal", dalam P. Mancosu et al. (Eds.), Visualisasi, Penjelasan dan Gaya Penaakulan dalam Matematik, Dordrecht: Springer, hlm. 91–121.
  • Katz, S., 2004, “Inkarnasi akar-Zionis Berlin: etos matematik murni dan permulaan Institut matematik Einstein di Hebrew University of Jerusalem”, Science in Context, 17: 199–234.
  • Klein, F., 1924, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Erster Band. Arithmetik, Aljabar, Analisis, edisi ketiga, Berlin: Julius Springer.
  • Kleinert, A., 1978, “Von der Science Allemande zur Deutschen Physik”, Forschungen zur westeuropäischer Geschichte, 6: 509–525.
  • Kusch, M., 2010, “Epistemologi sejarah peretasan: kritikan gaya penaakulan”, Kajian dalam Sejarah dan Falsafah Sains, 41: 158–173.
  • Kwa, C., 2012, "Pandangan 'ekologi' mengenai gaya sains dan seni: Eksplorasi Alois Riegl mengenai konsep gaya", Kajian dalam Sejarah dan Falsafah Sains, 43: 610-618.
  • Larvor, B. (ed.), 2016, Budaya Matematik. Mesyuarat London 2012–2014, Cham: Birkhäuser.
  • Laugwitz, D., 1993, Zur Genese des Denkens dalam matematikatis Begriffen: Bernhard Riemanns neuer Stil in der Analysis, Darmstadt.
  • Leibniz, GW, 1701, "Mémoire de Mr. Leibniz sentuhan putra sentimen sur le calcul différentiel", Journal de Trévoux, 270-272. Diterbitkan semula dalam GW Leibniz, Mathematische Schriften (Disunting oleh CI Gerhardt), Hildesheim: Georg Olms, 1962, jilid. IV, hlm 95–96.
  • Maienschein, J., 1991, "Gaya Epistemik dalam Embriologi Jerman dan Amerika", Sains dalam Konteks, 4: 407-427.
  • Mancosu, P. (ed.), 1998, Dari Brouwer ke Hilbert, New York dan Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, P., et al. (eds.), 2005, Visualisasi, Penjelasan dan Gaya Penaakulan dalam Matematik, Dordrecht: Springer.
  • Mannheim, K., 1929, Ideologie und Utopie, Bonn: F. Cohen. Terjemahan Bahasa Inggeris: Ideologi dan utopia: pengantar sosiologi pengetahuan, New York: Harcourt, Brace, and World, 1968.
  • Mehrtens, H., 1987, "Ludwig Bieberbach dan 'Deutsche Mathematik'", dalam ER Philipps, Pengajian dalam Sejarah Matematik, Washington: Persatuan Matematik Amerika, hlm 195-224.
  • –––, 1990a, “Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940”, dalam Y. Cohen dan K. Manfrass (ed.), Frankreich und Deutschland: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. und 20. Jahrhundert, Munich: CH Beck.
  • –––, 1990b, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurt: Suhrkamp.
  • –––, 1996, “Modernisme vs kontra-modenisme, nasionalisme vs internasionalisme: gaya dan politik dalam matematik, 1900–1950”, dalam C. Goldstein et al. (eds.), L'Europe Mathématique. Histoires, Mythes, Identités, itionsditions de la Maison de Sciences de l'Homme, Paris, hlm.519–530.
  • Meskin, A., 2005, "Style", dalam B. Gout dan DM Lopes (eds.), The Routledge Companion untuk Aesthetics, 2 nd edisi, London: Routledge, ms 489-500..
  • Netz, R., 1999, The Shaping of Deduction in Greek Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Novy, L., 1981, "Catatan mengenai gaya pemikiran matematik Bolzano", Acta Historiae Rerum Naturalium nec non Technicarum, 16: 9-28.
  • Nye, MJ, 1993, "Gaya Nasional? Kimia Perancis dan Inggeris pada abad kesembilan belas dan awal abad kedua puluh”, Osiris, 8: 30–49.
  • Panofsky, E., 1924, Idea, Berlin: Erwin Panofsky und Bruno Hessling Verlag. Terjemahan Bahasa Inggeris: Idea, New York: Harper and Row, 1968.
  • Peckhaus, V., 2007, "Stilarten mathematischen Schaffens", dalam K. Robering (ed.), "Stil" di den Wissenschaften, Münster: Nodus-Verlag, hlm. 39-49.
  • JH Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Paris: Flammarion. Terjemahan Bahasa Inggeris: The Value of Science, New York: Dover Publications, 1958.
  • Rabouin, D., 2017, "Gaya dalam praktik matematik", dalam K. Chemla dan E. Fox-Keller (ed.), Budaya Tanpa Budaya dalam Pembuatan Ilmu Ilmiah, Durham: Duke University Press, hlm. 262–306.
  • Reck, E., 2009, “Dedekind, Penalaran Struktural, dan Pemahaman Matematik”, dalam B. van Kerkhove (ed.), Perspektif Baru mengenai Amalan Matematik, Singapura: WSPC Press, hlm. 150–173
  • Riding, R., 2000, "Cognitive Style: a Review", dalam RJ Riding dan SG Rayner, Perspektif Antarabangsa mengenai Perbezaan Individu, vol. 1, Gaya Kognitif, Stamford (CT): Ablex, hlm. 315–344
  • Rowe, D., 2003, "Sekolah matematik, komuniti, dan rangkaian", dalam Cambridge History of Science, vol. 5, Sains Fizikal dan Matematik Moden, Mary Jo Nye (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 113–132.
  • –––, 2004, “Membuat Matematik dalam Budaya Lisan: Göttingen di Era Klein dan Hilbert”, Sains dalam Konteks, 17: 85–129.
  • Sauerländer, W., 1983, “From Stilus to Style: Reflections on the Fate of a Notion”, Sejarah Seni, 6 (3): 253–270.
  • Segal, S., 2003, Ahli Matematik di bawah Nazi, Princeton: Princeton University Press.
  • Sørensen, HK, 2016, "'Akhir bukti'? Penyatuan budaya matematik yang berbeza kerana matematik eksperimen semakin meningkat”, dalam B. Larvor (ed.), Budaya Matematik. Mesyuarat London 2012-2014, Cham: Birkhäuser, 2016, hlm. 139-160.
  • Spengler, O., 1918 (1921) Der Untergang des Abenlandes, Vienna: Verlag Braumüller. Terjemahan Inggeris: Decline of the West: Form and Actuality, 2 jilid, London: Allen dan Unwin.
  • Sternberg, RJ dan Grigorenko, EL, 2001, "Sejarah kapsul teori dan penyelidikan tentang gaya", dalam Sternberg dan Zhang 2001, hlm 1-22.
  • Sternberg, RJ dan Zhang, LF (eds.), 2001, Perspektif mengenai gaya berfikir, pembelajaran, dan kognitif, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Tappenden, J., 2005, "Gaya bukti dan pemahaman dalam matematik I: Visualisasi, penyatuan dan pilihan aksioma", dalam Mancosu 2005, hlm. 147-214.
  • van Bendegem, JP, 1998, "Apa, jika ada, eksperimen dalam matematik?", dalam Anapolitanos, D. et al. (eds.), Falsafah dan Banyak Wajah Sains, Lanham: Rowman dan Littlefeld, hlm. 172–182.
  • Weiss, EA, 1939, “Über den mathematischen Stil von Poncelet”, Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
  • Wessely, A., 1991, "Memindahkan 'gaya' dari sejarah seni ke sejarah sains", Science in Context, 4: 265-278.
  • Wisan, W., 1981, "Galileo dan munculnya gaya ilmiah baru", dalam Teori Perubahan, Aksiomatik Kuno dan Metodologi Galileo, vol. 1, J. Hintikka, D. Gruender dan E. Agazzi (ed.), Dordrecht: Reidel, hlm. 311–339

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

[Sila hubungi pengarang dengan cadangan.]

Disyorkan: