Logik Substruktur

Isi kandungan:

Logik Substruktur
Logik Substruktur

Video: Logik Substruktur

Video: Logik Substruktur
Video: Substruktur 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Logik Substruktur

Pertama kali diterbitkan pada Sel 4 Julai 2000; semakan substantif Rab 21 Februari 2018

Logik substruktural adalah logik bukan klasik yang lebih lemah daripada logik klasik, terkenal kerana ketiadaan peraturan struktur yang terdapat dalam logik klasik. Logik ini didorong oleh pertimbangan dari falsafah (logik yang relevan), linguistik (kalkulus Lambek) dan pengkomputeran (logik linier). Di samping itu, teknik dari logik substruktural berguna dalam kajian logik tradisional seperti logik klasik dan intuisi. Artikel ini memberikan gambaran ringkas mengenai bidang logik substruktur. Untuk pengenalan yang lebih terperinci, lengkap dengan teorema, bukti dan contoh, pembaca boleh merujuk buku dan artikel dalam Bibliografi.

  • 1. Residuasi
  • 2. Logik dalam Keluarga
  • 3. Sistem Bukti
  • 4. Semantik
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Residuasi

Logik adalah mengenai akibat yang logik. Akibatnya, bersyarat adalah gagasan utama dalam logik kerana hubungannya yang intim dengan akibat logik. Sambungan ini dinyatakan dengan rapi dalam keadaan residu (juga dikenali sebagai teorema pemotongan):

[p, q / vdash r / text {jika dan hanya jika} p / vdash q / kananarrow r)

Ia mengatakan bahawa (r) mengikuti dari (p) bersama dengan (q) tepat ketika (q / kananarrow r) mengikuti dari (p) sahaja. Kesahan peralihan dari (q) ke (r) (diberikan (p)) direkodkan oleh bersyarat (q / kananarrow r).

Hubungan antara bersyarat dan akibat disebut residu secara analogi dengan kes dalam matematik. Pertimbangkan hubungan antara penambahan dan penolakan. (a + b = c) jika dan hanya jika (a = c - b). (A) (yang (c - b)) yang terhasil adalah baki, apa yang tersisa (c) ketika (b) dikeluarkan. Nama lain untuk hubungan ini ialah teorema pemotongan.

Walau bagaimanapun, terdapat hubungan antara akibat dan bersyarat mengandungi satu faktor tambahan. Tidak hanya terdapat pintu pusing, untuk konsekuensi logik, dan konsekuensi, pengekodan bersyarat dalam bahasa cadangan, terdapat juga koma, yang menunjukkan gabungan premis. Kami telah membaca "(p, q / vdash r)" sebagai "(r) mengikuti dari (p) bersama dengan (q)". Menggabungkan premis adalah mempunyai kaedah untuk menyatukannya. Tetapi bagaimana kita dapat mengumpulkannya? Ternyata ada cara yang berbeza untuk melakukannya, dan begitu, logik substruktural yang berbeza. Tingkah laku gabungan premis berbeza kerana tingkah laku bersyarat berbeza. Dalam pengenalan ini kita akan mempertimbangkan beberapa contohnya.

1.1 Melemahkan

Satu perkara untuk (p) menjadi kenyataan. Lain halnya dengan syarat (q / panah kanan p) benar. Namun, jika '(rightarrow)' adalah bahan bersyarat, (q / rightarrow p) mengikuti dari (p). Kerana pelbagai sebab, kami mungkin ingin memahami bagaimana keadaan bersyarat berfungsi sekiranya tidak ada kesimpulan ini. Ini berkaitan dengan tingkah laku gabungan premis, seperti yang ditunjukkan oleh demonstrasi ini.

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p, q / vdash p} {p / vdash q / rightarrow p}})

Dari aksiomatik (p / vdash p) (apa-apa yang mengikutinya) kita menyimpulkan bahawa (p) mengikuti dari (p) bersama dengan (q), dan kemudian oleh residu, (p / vdash q / panah kanan p). Sekiranya kita ingin menolak inferens dari (p) ke (q / rightarrow p), maka kita sama ada menolak residu, atau menolak aksioma identiti pada awal bukti, atau kita menolak langkah pertama pembuktian. Sangat terang untuk mempertimbangkan apa yang terlibat dalam pilihan terakhir ini. Di sini, kita harus menolak bahawa (p) mengikuti dari (p, q). Secara umum, kita harus menolak peraturan inferensi yang mempunyai bentuk ini:

(frac {X / vdash A} {X, Y / vdash A})

Ini dipanggil peraturan melemahkan. Peraturan itu bermula dari pernyataan yang lebih kuat, yang (A) mengikuti dari (X) ke yang mungkin lebih lemah, yang (A) mengikuti dari (X) bersama dengan (Y).

Orang telah memberikan alasan yang berlainan untuk menolak aturan kelemahan, bergantung pada tafsiran akibat dan gabungan premis. Salah satu contoh awal yang memotivasi berasal dari keprihatinan terhadap relevansi. Sekiranya logiknya relevan (jika mengatakan bahawa (p) memerlukan (q) adalah benar adalah untuk mengatakan, sekurang-kurangnya, bahawa (q) benar-benar bergantung pada (p)) maka koma tidak perlu tidak memuaskan melemahkan. Kita sememangnya mungkin (A) mengikuti dari (X), tanpa (A) mengikuti dari (X, Y), kerana tidak semestinya (A) bergantung pada (X) dan (Y) bersama-sama.

Dalam logik yang relevan, peraturan melemah juga gagal di pihak lain, kerana kami juga mahu argumen ini tidak sah:

(cfrac {q / vdash q} { cfrac {p, q / vdash q} {p / vdash q / rightarrow q}})

Sekali lagi, (q) mungkin mengikuti dari (q), tetapi ini tidak berarti ia mengikuti dari (p) bersama dengan (q), dengan syarat "bersama dengan" dimaksudkan dengan kuat yang tepat akal. Oleh itu, dalam logik yang relevan, kesimpulan dari premis sewenang-wenangnya terhadap kebenaran logik seperti (q / rightarrow q) mungkin gagal.

1.2 Komutatif

Sekiranya mod kombinasi premis bersifat komutatif (jika ada yang mengikuti dari (X, Y) juga mengikuti dari (Y, X)) maka kita dapat memberi alasan seperti berikut, hanya dengan menggunakan aksioma dan residu identiti:

(cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} { cfrac {p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p, p / rightarrow q / vdash q} {p / vdash (p / rightarrow q) rightarrow q}}})

Sekiranya tidak ada kombinasi komisiti premis, bukti ini tidak tersedia. Ini adalah satu lagi contoh mudah hubungan antara tingkah laku gabungan premis dan pemotongan yang melibatkan bersyarat.

Terdapat banyak jenis syarat yang kesimpulan ini gagal. Jika "(rightarrow)" mempunyai kekuatan modal (jika itu menyatakan semacam keterlibatan, di mana (p / rightarrow q) benar ketika dalam setiap keadaan terkait di mana (p) memegang, (q) juga), dan jika "(vdash)" menyatakan akibat tempatan ((p / vdash q) jika dan hanya jika ada model, dalam keadaan apa pun yang memegang (p), begitu juga (q)) ia gagal. Mungkin benar bahawa Greg adalah ahli logik ((p)) dan benar bahawa Greg menjadi ahli logik memerlukan Greg menjadi ahli falsafah ((p / kananarrow q) - dalam keadaan yang berkaitan di mana Greg adalah ahli logik, dia adalah seorang ahli falsafah) tetapi ini tidak bermaksud bahawa Greg adalah seorang ahli falsafah. (Terdapat banyak keadaan di mana ikatan ((p / kanan bawah q)) adalah benar tetapi (q) tidak. Oleh itu, kita adalah keadaan di mana (p) adalah benar tetapi ((p / rightarrow q) rightarrow q) tidak. Hujah tidak sah.

Contoh ini juga dapat difahami dari segi tingkah laku gabungan premis. Di sini apabila kita mengatakan (X, A / vdash B) adalah benar, kita tidak hanya mengatakan bahawa (B) berlaku dalam keadaan yang mana (X) dan (A) keduanya berlaku. Sekiranya kita mengejar ikatan A (rightarrow) B, maka kita ingin (B) menjadi benar dalam keadaan (yang berkaitan) di mana (A) benar. Oleh itu, (X, A / vdash B) mengatakan bahawa dalam sebarang kemungkinan di mana (A) benar, begitu juga (B). Kemungkinan ini mungkin tidak memuaskan semua (X). (Dalam teori pemikat klasik, kemungkinannya adalah teori di mana semua yang dianggap perlu di (X) adalah benar.)

Sekiranya gabungan premis tidak komutatif, maka residu boleh berlaku dalam dua cara. Sebagai tambahan kepada keadaan residu yang memberikan tingkah laku (rightarrow), kami mungkin ingin menentukan anak panah baru (leftarrow) seperti berikut:

[p, q / vdash r / text {jika dan hanya jika} q / vdash r / kiri bawah p)

Untuk anak panah kiri ke kanan kami mempunyai modus ponens ke arah ini:

[p / kanan bawah q, p / vdash q)

Untuk anak panah kanan ke kiri, modus ponens dapat dibuktikan dengan premis dalam urutan yang bertentangan:

[p, q / panah kiri p / vdash q)

Ini adalah ciri logik substruktur. Apabila kita memperhatikan apa yang berlaku ketika kita tidak memiliki pelengkap peraturan struktur, maka kemungkinan baru akan terbuka. Kami menemui dua syarat di bawah yang sebelumnya (dalam logik intuisi atau klasik).

Di bahagian seterusnya kita akan melihat contoh lain yang memotivasi kombinasi premis yang tidak komutatif dan kedua-dua syarat yang berbeza ini.

1.3 Pergaulan

Inilah cara lain bahawa peraturan struktur mempengaruhi bukti. Keterkaitan gabungan premis memberikan bukti berikut:

(cfrac {r / rightarrow p, r / vdash p / \ / p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, (r / rightarrow p, r) vdash q} { cfrac {(p / rightarrow q, r / rightarrow p), r / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, r / rightarrow p / vdash r / rightarrow q} {p / rightarrow q / vdash (r / kananarrow p) rightarrow (r / rightarrow q)}}}}}]

Bukti ini menggunakan peraturan pemotongan di langkah paling atas. Ideanya adalah bahawa kesimpulan dapat digabungkan. Sekiranya (X / vdash A) dan (Y (A) vdash B) (di mana (Y (A)) adalah struktur premis yang mungkin termasuk (A) satu atau lebih kali) maka (Y (X) vdash B) juga (di mana (Y (X)) adalah struktur premis dengan contoh (A) digantikan oleh (X)). Dalam bukti ini, kami menggantikan (p) di (p / kananarrow q, p / vdash q) dengan (r / kananarrow p, r) berdasarkan kesahan (r / kananarrow p, r / vdash p).

1.4 Kontraksi

Contoh penting terakhir adalah peraturan penguncupan yang menentukan bagaimana premis boleh digunakan semula. Kontraksi sangat penting dalam kesimpulan (p / rightarrow q) dari (p / rightarrow (p / rightarrow q))

(cfrac { matrix { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow (p / rightarrow q)} {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash p / rightarrow q } & / cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} {p / rightarrow q, p / vdash q}}} { cfrac {(p / rightarrow (p / rightarrow q), p), p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash q} {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow q}}})

Contoh yang berbeza ini memberi anda gambaran tentang apa yang dapat dilakukan oleh peraturan struktur. Bukan hanya peraturan struktur yang mempengaruhi syarat, tetapi juga mempengaruhi kesan pada sambungan lain, seperti hubungan dan pemutusan (seperti yang akan kita lihat di bawah) dan penolakan (Dunn 1993; Restall 2000).

1.5 Struktur di sebelah kanan pintu pusing

Sejak pengenalan kalkulus urutan Gentzen (Gentzen 1935), kita telah mengetahui bahawa perbezaan antara logik klasik dan logik intuisi dapat difahami sebagai perbezaan peraturan struktur. Daripada mempertimbangkan urutan bentuk (X / vdash A), di mana kita mempunyai koleksi anteseden dan satu akibat, kerana logik klasik adalah bermanfaat untuk mempertimbangkan urutan bentuk

[X / vdash Y)

di mana kedua (X) dan (Y) adalah kumpulan penyataan. Tafsiran yang dimaksudkan adalah bahawa dari semua (X) ia mengikuti bahawa beberapa (Y). Dengan kata lain, kita tidak dapat memperoleh semua (X) dan tidak ada yang (Y) memperoleh.

Membolehkan urutan dengan pelbagai akibat dan menerjemahkan peraturan ke dalam konteks yang diperluas ini, kami dapat memperoleh tautologi klasik. Contohnya, terbitannya

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p / vdash q, p} { vdash p / rightarrow q, p}})

menunjukkan bahawa (p / kanan bawah q) atau (p) mesti bertahan. Ini berlaku secara klasik (jika (p) gagal, (p) salah, dan bersyarat dengan anteseden palsu adalah benar), tetapi tidak sah dalam logik intuisi. Perbezaan antara logik klasik dan intuisi dapat difahami secara formal sebagai perbezaan antara jenis peraturan struktur yang diizinkan, dan jenis struktur yang sesuai digunakan dalam analisis konsekuensi logik.

2. Logik dalam Keluarga

Terdapat banyak sistem formal yang berbeza dalam keluarga logik substruktur. Logik ini dapat dimotivasikan dengan cara yang berbeza.

2.1 Logik Berkaitan

Banyak orang ingin memberikan gambaran mengenai kesahan logik yang memberi perhatian kepada syarat-syarat yang relevan. Sekiranya (X, A / vdash B) tahan, maka (X) mesti berkaitan dengan (A). Gabungan premis dihalang dengan cara berikut. Kita mungkin mempunyai (X / vdash A) tanpa juga mempunyai (X, Y / vdash A). Bahan baru (Y) mungkin tidak berkaitan dengan pemotongan. Pada tahun 1950-an, Moh (1950), Church (1951) dan Ackermann (1956) semuanya memberikan penjelasan mengenai apa yang logiknya 'relevan'. Idea-idea itu dikembangkan oleh aliran pekerja yang berpusat di sekitar Anderson dan Belnap, pelajar mereka Dunn dan Meyer, dan banyak lagi. Rujukan kanonik untuk kawasan tersebut adalah Entailment dua jilid Anderson, Belnap dan Dunn (1975 dan 1992). Pengenalan lain boleh didapati dalam Logik Relevan Baca, Logik Relevansi Dunn dan Restall (2002),dan Mares 'Relevan Logic: tafsiran falsafah (2004).

2.2 Kesedaran Sumber

Ini bukan satu-satunya cara untuk menyekat gabungan premis. Girard (1987) memperkenalkan logik linier sebagai model untuk proses dan penggunaan sumber. Idea dalam pengurangan akaun ini adalah bahawa sumber daya mesti digunakan (jadi kombinasi premis memenuhi kriteria relevansi) dan mereka tidak meluas selama-lamanya. Premis tidak boleh (re) - digunakan. Jadi, saya mungkin mempunyai (X, X / vdash A), yang mengatakan bahawa saya boleh menggunakan (X) dua kali untuk mendapatkan (A). Saya mungkin tidak mempunyai (X / vdash A), yang mengatakan bahawa saya boleh menggunakan (X) sekali sahaja untuk mendapatkan (A). Pengenalan yang berguna untuk logik linier diberikan dalam Troelstra's Lectures on Linear Logic (1992). Terdapat logik formal lain di mana peraturan pengecutan (dari (X, X / vdash A) hingga (X / vdash A)) tidak ada. Yang paling terkenal di antaranya adalah logik bernilai Łukasiewicz. Telah ada minat berkelanjutan dalam logika tanpa peraturan ini karena paradoks Curry (Curry 1977, Geach 1995; lihat juga Restall 1994 dalam Sumber-sumber Internet Lain).

3. Pesanan

Secara bebas dari salah satu tradisi ini, Joachim Lambek menganggap model matematik bahasa dan sintaksis (Lambek 1958, 1961). Ideanya di sini adalah bahawa gabungan premis sesuai dengan komposisi rentetan atau unit linguistik lain. Di sini (X, X) berbeza dalam kandungan dari (X), tetapi sebagai tambahan, (X, Y) berbeza dari Y, X. Jumlah premis yang digunakan tidak hanya dikira tetapi juga pesanan mereka. Pengenalan yang baik untuk kalkulus Lambek (juga disebut tatabahasa kategorial) dapat dijumpai dalam buku-buku oleh Moortgat (1988) dan Morrill (1994).

3. Sistem Bukti

Kita telah melihat serpihan satu cara untuk mengemukakan logik substruktur, dari segi bukti. Kami telah menggunakan syarat tinggal, yang dapat difahami sebagai termasuk dua peraturan untuk bersyarat, satu untuk memperkenalkan syarat

(cfrac {X, A / vdash B} {X / vdash A / rightarrow B})

dan satu lagi untuk menghilangkannya.

(cfrac {X / vdash A / rightarrow B / \ / Y / vdash A} {X, Y / vdash B})

Peraturan seperti ini membentuk landasan sistem pemotongan semula jadi, dan sistem ini tersedia untuk penyebaran logik substruktur. Tetapi teori bukti boleh dilakukan dengan cara lain. Sistem Gentzen beroperasi bukan dengan memperkenalkan dan menghilangkan penghubung, tetapi dengan memperkenalkan kedua-duanya di kiri dan kanan putaran putaran akibat logik. Kami mematuhi peraturan pengenalan di atas, dan menggantikan peraturan penyingkiran dengan memperkenalkan syarat bersyarat di sebelah kiri:

(cfrac {X / vdash A / \ / Y (B) vdash C} {Y (A / kanan bawah B, X) vdash C})

Peraturan ini lebih kompleks, tetapi mempunyai kesan yang sama dengan peraturan penghapusan anak panah: Ia mengatakan bahawa jika (X) mencukupi untuk (A), dan jika anda menggunakan (B) (dalam beberapa konteks (Y)) untuk membuktikan (C) maka anda juga boleh menggunakan (A / rightarrow B) bersama-sama dengan (X) (dalam konteks yang sama (Y)) untuk membuktikan (C), kerana (A / panah kanan B) bersama dengan (X) memberi anda (B).

Sistem Gentzen, dengan peraturan pengenalannya di kiri dan kanan, mempunyai sifat yang sangat istimewa yang berguna dalam mempelajari logik. Oleh kerana penghubung selalu diperkenalkan dalam bukti (baca dari atas ke bawah) bukti tidak pernah kehilangan struktur. Sekiranya penghubung tidak muncul dalam kesimpulan bukti, ia tidak akan muncul dalam bukti sama sekali, kerana penghubung tidak dapat dihapuskan.

Dalam logik substruktur tertentu, seperti logik linier dan kalkulus Lambek, dan dalam fragmen logik yang relevan (mathbf {R}) tanpa gangguan, sistem Gentzen dapat digunakan untuk menunjukkan bahawa logiknya dapat ditolak, dalam hal itu algoritma boleh didapati untuk menentukan sama ada suatu argumen (X / vdash A) sah atau tidak. Ini dilakukan dengan mencari bukti (X / vdash A) dalam sistem Gentzen. Oleh kerana premis kesimpulan ini tidak boleh menampilkan bahasa yang tidak ada dalam kesimpulan ini, dan mereka tidak mempunyai kerumitan yang lebih besar (dalam sistem ini), hanya ada sejumlah kemungkinan tempat. Algoritma dapat memeriksa apakah ini memenuhi peraturan sistem, dan terus mencari tempat untuk ini, atau berhenti jika kita mencapai aksioma. Dengan cara ini, kerentanan logika substruktural dapat dipastikan.

Walau bagaimanapun, tidak semua logik substruktural dapat ditentukan dalam pengertian ini. Paling terkenal, logik yang relevan (mathbf {R}) tidak dapat dipastikan. Ini sebahagiannya kerana teori pembuktiannya lebih kompleks daripada logik substruktural yang lain. (mathbf {R}) berbeza dengan logik linier dan kalkulus Lambek kerana mempunyai perlakuan konjungsi dan gangguan. Khususnya, hubungan dan pemutusan memenuhi peraturan pengedaran:

[p / amp (q / vee r) vdash (p / amp q) vee (p / amp r))

Bukti taburan semula jadi di mana-mana sistem bukti menggunakan kelemahan dan pengecutan, jadi tidak terdapat dalam logik yang relevan (mathbf {R}), yang tidak mengandungi kelemahan. Akibatnya, teori bukti untuk (mathbf {R}) sama ada mengandungi sebaran sebagai peraturan primitif, atau mengandungi bentuk gabungan premis kedua (yang disebut gabungan ekstensi, berbanding dengan kombinasi premis intensif yang telah kita lihat) yang memuaskan kelemahan dan penguncupan.

Dalam beberapa tahun kebelakangan ini, banyak kerja telah dilakukan mengenai teori bukti logik klasik, yang diilhamkan dan diberitahu oleh penyelidikan mengenai logik substruktur. Logik klasik mempunyai pelengkap peraturan struktur, dan secara historis lebih awal daripada sistem logik substruktural yang lebih baru. Walau bagaimanapun, ketika berusaha memahami struktur mendalam sistem bukti klasik (dan khususnya, apabila dua turunan yang berbeza dalam beberapa cara sintaksis dangkal adalah cara yang sangat berbeza untuk mewakili satu 'bukti' yang mendasari), adalah menyedihkan untuk memikirkan logik klasik seperti yang dibentuk oleh logik substruktural asas, di mana peraturan struktur tambahan dikenakan sebagai penambahan. Khususnya,telah menjadi jelas bahawa apa yang membezakan bukti klasik dari adik-beradiknya adalah adanya peraturan struktur pengecutan dan kelemahan pada keseluruhannya (lihat, misalnya, Bellin et al. 2006 dan literatur yang disebutkan di dalamnya).

4. Teori Model

Walaupun logik yang relevan (mathbf {R}) mempunyai sistem bukti yang lebih kompleks daripada logik substruktural seperti logik linier, yang tidak mempunyai sebaran konjungsi (ekstensi) atas gangguan, teori modelnya sama sekali lebih mudah. Model Routley-Meyer untuk logik yang relevan (mathbf {R}) terdiri daripada satu set titik (P) dengan hubungan tiga tempat (R) di (P). Bersyarat (A / kanan bawah B) dinilai di dunia seperti berikut:

(A / rightarrow B) berlaku di (x) jika dan hanya jika untuk setiap (y) dan (z) di mana (Rxyz), jika (A) benar di (y, B) adalah benar di (z).

Argumen berlaku dalam model tepat pada bila-bila masa di mana premis itu benar, begitu juga kesimpulannya. Argumen (A / vdash B / rightarrow B) tidak sah kerana kita mungkin mempunyai titik (x) di mana (A) benar, tetapi di mana (B / kananarrow B) tidak. Kita boleh (B / panah kanan B) gagal menjadi benar di (x) hanya dengan mempunyai (Rxyz) di mana (B) benar di (y) tetapi tidak di (z).

Hubungan tiga tempat (R) mengikuti perilaku gabungan mod premis dalam teori bukti untuk logik substruktural. Untuk logik yang berbeza, keadaan yang berbeza boleh diletakkan di (R). Sebagai contoh, jika gabungan premis bersifat komutatif, kita meletakkan keadaan simetri pada (R) seperti ini: (Rxyz) jika dan hanya jika (Ryxz). Semantik relasi Ternary memberi kita kemudahan besar untuk memodelkan tingkah laku logik substruktur. (Sejauh mana kesesuaian antara teori pembuktian dan aljabar logik substruktur dan semantik dicantumkan dalam karya Dunn mengenai Teori Gaggle (1991) dan diringkaskan dalam Restall's Introduction to Substructural Logics (2000).)

Selanjutnya, jika konjungsi dan disjungsi memenuhi aksioma pengedaran yang disebutkan di bahagian sebelumnya, mereka juga dapat dimodelkan secara langsung: konjungsi berlaku pada satu ketika ketika kedua-dua konjungsi benar pada ketika itu, dan gangguan berlaku pada satu ketika sekurang-kurangnya satu gangguan berlaku di sana. Untuk logik, seperti logik linier, tanpa aksioma pengedaran, semantik mestilah lebih kompleks, dengan klausa yang berbeza untuk gangguan yang diperlukan untuk membatalkan kesimpulan pembahagian.

Adalah satu perkara untuk menggunakan semantik sebagai alat formal untuk memodelkan logik. Adalah lain untuk menggunakan semantik sebagai alat tafsiran untuk menerapkan logik. Literatur mengenai logik substruktural memberi kita beberapa cara yang berbeza agar semantik hubungan terner dapat diterapkan untuk menggambarkan struktur logik beberapa fenomena di mana peraturan struktur tradisional tidak berlaku.

Untuk logik seperti kalkulus Lambek, penafsiran semantik adalah mudah. Kita boleh mengambil titik untuk menjadi item linguistik, dan hubungan terner menjadi hubungan penggabungan ((Rxyz) jika dan hanya jika (x) bergabung dengan (y) menghasilkan (z)). Dalam model-model ini, peraturan struktur pengecutan, pelemahan dan permutasi semuanya gagal, tetapi kombinasi premis bersifat asosiatif.

Literatur kontemporari mengenai klasifikasi linguistik memperluas Lambek Calculus asas dengan bentuk gabungan yang lebih kaya, di mana lebih banyak ciri sintaksis dapat dimodelkan (lihat Moortgat 1995).

Aplikasi lain dari model ini adalah dalam rawatan semantik aplikasi fungsi. Kita dapat memikirkan titik-titik dalam struktur model sebagai fungsi dan data, dan menahan bahawa (Rxyz) jika dan hanya jika (x) (dianggap sebagai fungsi) diterapkan pada (y) (dianggap sebagai data) adalah (z). Fungsi akaun tradisional tidak mendorong penggunaan dua kali ini, kerana fungsi dianggap 'lebih tinggi' daripada input atau outputnya (pada model fungsi-teori tradisional, fungsi (adalah) set inputnya -pasangan output, dan jadi, ia tidak pernah dapat mengambil dirinya sebagai input, kerana set tidak dapat memuat diri mereka sebagai anggota). Walau bagaimanapun, sistem fungsi yang dimodelkan oleh (lambda) yang tidak diketik - misalnya, kalkulus memungkinkan untuk aplikasi diri. Memandangkan pembacaan poin dalam model ini,titik adalah dari jenis (A / kananarrow B) hanya jika setiap kali memerlukan input dari jenis (A), ia memerlukan output dari jenis (B). Peraturan inferensi sistem ini kemudiannya adalah prinsip-prinsip yang mengatur jenis fungsi: urutan

[(A / panah kanan B) amp (A / anak panah kanan C) vdash A / anak panah kanan (B / amp C))

memberitahu kita bahawa setiap kali fungsi mengambil (A) s ke (B) s dan (A) s ke (C) s, maka ia memerlukan (A) s untuk perkara yang keduanya (B) dan (C).

Contoh ini memberi kita model di mana logik substruktural yang sesuai sangat lemah. Tidak ada peraturan struktur biasa (bahkan tidak bergaul) yang berpuas hati dalam model ini. Contoh model hubungan terner ini dibincangkan dalam (Restall 2000, Bab 11).

Untuk logik yang relevan (mathbf {R}) dan penafsirannya mengenai syarat bahasa semula jadi, lebih banyak kerja mesti dilakukan dalam mengenal pasti apa ciri-ciri realiti model semantik formal. Ini telah menjadi beberapa kontroversi, kerana bukan sahaja hubungan terner tidak asing dengan mereka yang pendedahannya terutama terhadap logik modal dengan hubungan aksesibilitas binari yang lebih sederhana antara dunia yang mungkin, tetapi juga kerana kebahagiaan rawatan penolakan dalam model untuk logik yang relevan. Bukan tempat kita untuk membahas perbahasan ini dengan lebih terperinci di sini, Sebilangan karya ini dilaporkan dalam artikel mengenai logik yang relevan dalam Ensiklopedia ini, dan perlakuan panjang lebar mengenai logik yang relevan dalam hal ini adalah Mares 'Relevan Logic: sebuah falsafah tafsiran (2004).

5. Pembilang

Perlakuan pengukur dalam model untuk logik substruktural terbukti cukup sukar, tetapi kemajuan telah dilakukan pada awal tahun 2000-an. Kesukaran itu muncul dalam ketidaksesuaian antara teori pembuktian dan teori model untuk pengukur. Aksioma atau peraturan yang sesuai untuk pengangka agak mudah. Aksioma penghapusan pengkuantiti universal (forall xA / rightarrow A [t / x]) menyatakan bahawa contoh mengikuti (dalam pengertian yang relevan) dari generalisasi universal. Peraturan pengenalan (cfrac { vdash A / rightarrow B} { vdash A / rightarrow / forall xB}) (di mana syarat yang (x) tidak percuma di (A) menahan) memberitahu kami bahawa jika kita dapat membuktikan contoh generalisasi (forall xB), sebagai logik, dari beberapa anggapan yang tidak membuat tuntutan khusus mengenai kejadian itu,kita juga dapat membuktikan generalisasi dari andaian itu. Aksioma dan peraturan ini sepertinya sesuai dengan penafsiran mana-mana pengukur orde pertama dalam pelbagai logik substruktur, dari sistem yang paling lemah, hingga sistem yang kuat seperti (mathbf {R}).

Walaupun teori pembuktian untuk pengukur kelihatan berkelakuan baik, generalisasi teori model untuk logik substruktur terbukti sukar. Richard Routley (1980) menunjukkan bahawa menambahkan peraturan untuk pengukur ke sistem logik substruktural yang sangat lemah (mathbf {B}) sesuai dengan semantik hubungan terner, di mana pengukur ditafsirkan sebagai merangkumi domain objek, pemalar merentasi semua titik dalam model. Fakta ini tidak berlaku untuk logik yang lebih kuat, khususnya, logik yang relevan (mathbf {R}). Kit Fine (1989) menunjukkan bahawa ada formula kompleks yang berlaku di semua model bingkai domain tetap untuk (mathbf {R}) tetapi yang tidak boleh diturunkan dari aksioma. Perincian hujah Fine tidak penting untuk tujuan kami,tetapi sebab utama ketidakcocokan itu agak jelas untuk dijelaskan. Dalam semantik domain tetap, generalisasi sejagat (forall x Fx) mempunyai syarat kebenaran yang sama-pada setiap titik dalam model-seperti keluarga contoh (Fx_1), (Fx_2), (Fx_3, / ldots), (Fx_ / lambda, / ldots), di mana objek domain dihitung oleh nilai-nilai istilah (x_i). Oleh itu, ungkapan terukur (forall x Fx) secara semantik tidak dapat dibezakan dari konjungsi (mungkin tidak terhingga) (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots). Namun, tidak ada gabungan kejadian (bahkan yang tidak terhingga) yang setara dengan tuntutan yang diukur secara universal (forall x Fx),kerana kejadiannya dapat menjadi kenyataan dalam suatu keadaan (atau dapat menjadi kenyataan oleh suatu keadaan) tanpa juga membuat generalisasi yang benar - jika ada lebih banyak perkara daripada itu. Oleh itu, model domain tetap kelihatan tidak sesuai dengan projek teori kuantifikasi yang relevan.

Karya terbaru oleh Goldblatt dan Mares (2006) telah menunjukkan bahawa ada alternatif, dan ternyata elegan dan agak mudah. Idea penting adalah untuk mengubah semantik hubungan terner sedikit, supaya tidak setiap set titik perlu dikira sebagai 'proposisi'. Maksudnya, tidak setiap set titik adalah nilai semantik yang mungkin untuk ayat. Oleh itu, walaupun terdapat sekumpulan dunia yang ditentukan oleh gabungan kejadian yang tidak terhingga dari (forall xFx): (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots), sekumpulan dunia yang tepat mungkin tidak dikira sebagai dalil. (Mungkin tidak ada cara untuk memisahkan objek-objek tertentu sedemikian rupa sehingga dapat menyatukannya dalam satu penilaian.) Apa yang dapat kita katakan adalah generalisasi (forall xFx) dan itu adalah proposisi yang merangkumi setiap kejadian (itu adalah aksioma penghapusan pengkuantiti universal), dan jika suatu proposisi merangkumi setiap kejadian, itu memerlukan generalisasi (bahawa adalah peraturan pengenalan), jadi dalil yang dinyatakan oleh (forall xFx) adalah proposisi semantik paling lemah yang melibatkan setiap contoh Fa. Ini adalah keadaan pemodelan tepat untuk pengukur universal dalam model Goldblatt & Mares, dan ia sesuai dengan aksioma dengan tepat. Ini adalah keadaan pemodelan tepat untuk pengukur universal dalam model Goldblatt & Mares, dan ia sesuai dengan aksioma dengan tepat. Ini adalah keadaan pemodelan tepat untuk pengukur universal dalam model Goldblatt & Mares, dan ia sesuai dengan aksioma dengan tepat.

Bibliografi

Bibliografi komprehensif mengenai logik yang relevan disusun oleh Robert Wolff dan boleh didapati di Anderson, Belnap dan Dunn 1992. Bibliografi di Restall 2000 (lihat Sumber Internet Lain) tidak begitu komprehensif seperti Wolff, tetapi ia merangkumi bahan hingga hari ini.

Buku mengenai Logik Substruktural dan Pengenalan ke Lapangan

  • Anderson, AR, dan Belnap, ND, 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, Volume I.
  • Anderson, AR, Belnap, ND Jr., dan Dunn, JM, 1992, Entailment, Volume II, Princeton, Princeton University Press

    [Buku ini dan yang sebelumnya merangkum karya dalam logik yang relevan dalam tradisi Anderson – Belnap. Beberapa bab dalam buku ini mempunyai pengarang lain, seperti Robert K. Meyer dan Alasdair Urquhart.]

  • Dunn, JM dan Restall, G., 2000, "Relevance Logic" dalam F. Guenthner dan D. Gabbay (ed.), Buku Panduan Logik Falsafah edisi kedua; Jilid 6, Kluwer, hlm 1–136.

    [Ringkasan karya dalam logik yang relevan dalam tradisi Anderson – Belnap.]

  • Galatos, N., P. Jipsen, T. Kowalski, dan H. Ono, 2007, Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics (Studies in Logic: Volume 151), Amsterdam: Elsevier, 2007.
  • Mares, Edwin D., 2004, Logik Berkaitan: tafsiran falsafah Cambridge University Press.

    [Pengenalan logik yang relevan, mencadangkan pemahaman teori maklumat mengenai semantik hubungan terner.]

  • Moortgat, Michael, 1988, Penyiasatan Kategorial: Aspek Logik Lambek Calculus Foris, Dordrecht.

    [Pengenalan lain untuk kalkulus Lambek.]

  • Morrill, Glyn, 1994, Jenis Tatabahasa Logik: Logik Kategorik Tanda Kluwer, Dordrecht

    [Pengenalan kalkulus Lambek.]

  • Paoli, Francesco, 2002, Logik Substruktur: A Primer Kluwer, Dordrecht

    [Pengenalan umum mengenai logik substruktur.]

  • Baca, S., 1988, Relevan Logic, Oxford: Blackwell.

    [Pengenalan kepada logik yang relevan didorong oleh pertimbangan dalam teori makna. Membangunkan teori bukti gaya Lemmon untuk logik yang relevan (mathbf {R}).]

  • Restall, Greg, 2000, Pengenalan Logik Substruktur, Routledge. (précis dalam talian)

    [Pengenalan umum mengenai bidang logik substruktur.]

  • Routley, R., Meyer, RK, Plumwood, V., dan Brady, R., 1983, Logik yang relevan dan pesaingnya, Jilid I, Atascardero, CA: Ridgeview.

    [Satu lagi catatan logik yang relevan, kali ini dari perspektif falsafah Australia.]

  • Schroeder-Heister, Peter, dan Došen, Kosta, (eds), 1993, Substructural Logics, Oxford University Press.

    [Koleksi karangan yang diedit mengenai topik yang berbeza dalam logik substruktur, dari tradisi yang berlainan di lapangan.]

  • Troestra, Anne, 1992, Lectures on Linear Logic, CSLI Publications

    [Pengenalan pantas dan mudah dibaca mengenai logik linear Girard.]

Karya Lain Dipetik

  • Ackermann, Wilhelm, 1956, “Begründung Einer Strengen Implikation,” Jurnal Simbolik Logik, 21: 113–128.
  • Avron, Arnon, 1988, “Teori Semantik dan Bukti Logik Linear,” Sains Komputer Teoritis, 57 (2–3): 161–184.
  • Gianluigi Bellin, Martin Hyland, Edmund Robinson, dan Christian Urban, 2006, “Teori Bukti Kategorik Kalkulus Cadangan Klasik,” Ilmu Komputer Teoritis, 364: 146–165.
  • Church, Alonzo, 1951, "The Weak Theory of Implication," dalam Kontrolliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften, A. Menne, A. Wilhelmy dan H. Angsil (eds.), Kommissions-Verlag Karl Alber, 22 –37.
  • Curry, Haskell B., 1977, Foundations of Mathematical Logic, New York: Dover (asalnya diterbitkan pada tahun 1963).
  • Dunn, JM, 1991, "Gaggle Theory: An Abstraction of Galois Connections and Residuation with Applications to Negation and Various Logical Operations," dalam Logics in AI, Prosiding European Workshop JELIA 1990 (Catatan kuliah dalam Sains Komputer, Jilid 476), Berlin: Springer-Verlag.
  • Dunn, JM, 1993, "Bintang dan Perp," Perspektif Falsafah, 7: 331-357.
  • Fine, K., 1989, "Ketidaklengkapan untuk Logika Relevansi Terukur," dalam J. Norman dan R. Sylvan (ed.), Petunjuk dalam Logik yang relevan, Dordrecht: Kluwer, hlm. 205-225.
  • Geach, PT, 1955, "On Insolubilia," Analisis, 15: 71-72.
  • Gentzen, Gerhard, 1935, “Untersuchungen über das logische Schließen,” Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210 dan 405–431. [Terjemahan Bahasa Inggeris terdapat di Gentzen 1969.]
  • Gentzen, Gerhard, 1969, The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ME Szabo (ed.), Amsterdam: Holland Utara, 1969.
  • Goldblatt, R., dan E. Mares, 2006, "Semantik Alternatif untuk Logik Berkaitan Kuantiti," Jurnal Logik Simbol, 71 (1): 163–187.
  • Girard, Jean-Yves, 1987, "Logik Linear," Sains Komputer Teoritis, 50: 1–101.
  • Lambek, Joachim, 1958, "Matematik Struktur Kalimat," Bulanan Matematik Amerika, 65: 154–170.
  • Lambek, Joachim, 1961, “On the Calculus of Syntactic Types,” dalam Struktur Bahasa dan Aspek Matematiknya (Prosiding Simposium dalam Matematik Terapan, XII), R. Jakobson (ed.), Providence, RI: Persatuan Matematik Amerika.
  • Moh Shaw-Kwei, 1950, “Teori Pemotongan dan Dua Sistem Logik Baru,” Methodos, 2: 56–75.
  • Moortgat, Michael, 1995, “Inferensi Linguistik Multimodal,” Logik Jurnal IGPL, 3: 371–401.
  • Ono, Hiroakira, 2003, "Logik Substruktural dan Kisi Residuasi - Pengenalan," dalam V. Hendricks dan J. Malinowski (ed.), Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Dordrecht: Kluwer, 2003, hlm. 193– 228.
  • Routley, R., 1980. "Masalah dan Penyelesaian dalam Semantik dalam Logik yang Berkaitan dengan Kuantiti," dalam A. Arruda, R. Chuaqui, dan NCA Da Costa (ed.), Logik Matematik di Amerika Latin, Amsterdam: Holland Utara, 1980, hlm 305–340.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

  • Restall, Greg, 1994, Pada Logik Tanpa Kontraksi, Ph. D. Tesis, The University of Queensland.
  • Slaney, John, 1995, MaGIC: Matrix Generator for Implication Connectives, pakej perisian untuk menghasilkan model terhingga untuk logik substruktur.

Disyorkan: