Logik Paraconsistent

Isi kandungan:

Logik Paraconsistent
Logik Paraconsistent

Video: Logik Paraconsistent

Video: Logik Paraconsistent
Video: Дополнение диалетеизма - простая паранепротиворечивая логика 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Logik Paraconsistent

Pertama kali diterbitkan pada Sel 24, 1996; semakan substantif Jum 18 Mei 2018

Ortodoksi logik kontemporari mengatakan bahawa, dari premis yang bertentangan, ada yang berlaku. Hubungan konsekuensi logik boleh meletup jika menurutnya kesimpulan sewenang-wenang (B) disebabkan oleh percanggahan sewenang-wenang (A), (neg A) (ex contrictione quodlibet (ECQ)). Logik klasik, dan kebanyakan logik 'bukan klasik' standard seperti logik intuisi, mudah meletup. Ketidakkonsistenan, menurut kebijaksanaan yang diterima, tidak dapat dipertimbangkan secara koheren.

Logik yang tidak konsisten mencabar ortodoksi ini. Hubungan akibat yang logik dikatakan tidak konsisten jika tidak meletup. Oleh itu, jika hubungan konsekuensi tidak selari, maka walaupun dalam keadaan di mana maklumat yang ada tidak konsisten, hubungan akibat tidak meletup menjadi remeh. Oleh itu, logik paraconsistent menampung ketidakkonsistenan dengan cara terkawal yang menganggap maklumat yang tidak konsisten berpotensi memberi maklumat.

Awalan 'para' dalam bahasa Inggeris mempunyai dua makna: 'quasi' (atau 'mirip dengan, dimodelkan') atau 'di luar'. Ketika istilah 'paraconsistent' diciptakan oleh Miró Quesada pada Persidangan Amerika Latin Ketiga mengenai Logik Matematik pada tahun 1976, dia nampaknya memiliki makna pertama dalam fikiran. Namun, banyak ahli logik paraconsistent menganggapnya sebagai yang kedua, yang memberikan alasan yang berlainan untuk pengembangan logik paraconsistent seperti yang akan kita lihat di bawah.

Logik paraconsistent didefinisikan secara negatif: sebarang logik adalah paraconsistent selagi tidak meletup. Ini bermaksud tidak ada satu pun masalah atau program terbuka dalam logik paraconsistent. Oleh itu, entri ini bukanlah tinjauan lengkap mengenai logik paraconsistent. Tujuannya adalah untuk menerangkan beberapa ciri penting falsafah dari bidang yang pelbagai.

  • 1. Paraconsistensi

    • 1.1 Dialetisme
    • 1.2 Sejarah Ringkas quodlibet ex contrictione
    • 1.3 Sejarah Moden Paraconsistent Logic
  • 2. Motivasi

    • 2.1 Ketidakkonsistenan tanpa Perkara Rendah

      • 2.1.1 Teori Bukan Trivial
      • 2.1.2 Percanggahan Betul
      • 2.1.3 Linguistik
    • 2.2 Kecerdasan Buatan

      • 2.2.1 Penaakulan Automatik
      • 2.2.2 Semakan Kepercayaan
    • 2.3 Semantik Formal dan Teori Set

      • 2.3.1 Teori Kebenaran
      • 2.3.2 Teori Set
      • 2.3.3 Matematik secara umum
    • 2.4 Aritmetik dan Teorem Gödel
    • 2.5 Kekaburan
  • 3. Sistem Logik Paraconsistent

    • 3.1 Logik Perbincangan
    • 3.2 Sistem Bukan Adjungtif
    • 3.3 Pemeliharaan
    • 3.4 Logik Adaptif
    • 3.5 Logik Ketidakkonsistenan Formal
    • 3.6 Logik Berharga
    • 3.7 Logik Berkaitan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Paraconsistensi

Logik adalah tidak konsisten sekiranya hubungan akibat logiknya ((vDash), sama ada teori semantik atau bukti) tidak meletup. Paraconsistency adalah sifat hubungan akibat. Argumen ex contrictione quodlibet (ECQ) tidak betul secara paracons: secara amnya, tidak berlaku (A), (neg A / vDash B).

Peranan yang sering dimainkan oleh konsep konsistensi dalam logika ortodoks, iaitu, syarat paling asas yang mesti dipenuhi oleh teori mana pun, adalah sesuai dengan konsep koherensi: tidak ada teori yang dapat memasukkan setiap kalimat apa pun sekiranya dianggap dapat dipertahankan. Konsistensi teori yang sederhana (tidak ada percanggahan) adalah kes khas dari konsistensi mutlak, atau tidak remeh (tidak setiap ayat adalah bahagian teori). Seperti yang akan kita lihat di bawah ini, banyak logik paraconsistent yang mengesahkan Undang-Undang Bukan Kontradiksi (LNC), (vDash / neg (A / wedge / neg A)), walaupun mereka membatalkan ECQ.

Di luar syarat asas, definisi bahawa hubungan konsekuensi paraconsent tidak bersifat eksplosif, terdapat perbezaan logik paraconsistent yang sangat besar. Pada tahap perkembangan ini, hingga abad ke-21, nampak adil untuk mengatakan bahawa 'paraconsistency' tidak menonjolkan satu pendekatan tertentu untuk logik, melainkan merupakan sifat yang dimiliki oleh beberapa logik dan yang lain tidak (seperti, katakanlah, kekompakan, atau pelbagai kesimpulan).

1.1 Dialetisme

Dalam literatur, terutama di bagiannya yang berisi keberatan terhadap logika paraconsistent, ada beberapa kecenderungan untuk membingungkan paraconsistency dengan dialetisme, pandangan bahawa ada percanggahan yang benar (lihat entri mengenai dialetisme). Pandangan bahawa hubungan konsekuensi harus paraconsistent tidak memerlukan pandangan bahawa terdapat percanggahan yang benar. Paraconsistency adalah sifat hubungan akibat sedangkan dialetisme adalah pandangan tentang kebenaran. Fakta bahawa seseorang dapat menentukan hubungan akibat yang tidak meletup tidak bermaksud bahawa beberapa ayat itu benar. Fakta bahawa seseorang dapat membina model di mana percanggahan berlaku tetapi tidak setiap kalimat bahasa berlaku (atau di mana ini berlaku di beberapa dunia) tidak bermaksud bahawa percanggahan itu benar. Oleh itu paraconsistency mesti dibezakan daripada dialetisme (walaupun lihat Asmus 2012).

Sekarang, jika dialetisme harus koheren, maka logik yang paling digemari dialethi mesti paraconsistent. Dialetisme adalah pandangan bahawa beberapa percanggahan adalah benar, yang merupakan tesis yang berbeza dari 'trivialisme', pandangan bahawa segala sesuatu (termasuk setiap percanggahan) adalah benar. Seorang ahli logik paraconsistent mungkin merasa tertarik pada dialetisme, tetapi kebanyakan logik paraconsistent bukanlah logik 'dialetheic'. Dalam perbincangan mengenai logik paraconsistent, fokus utamanya bukanlah memperoleh kontradiksi tetapi sifat ledakan hubungan akibat.

1.2 Sejarah Ringkas quodlibet ex contrictione

Sekarang adalah standard untuk melihat quadlibet ex contrictione sebagai sah. Akan tetapi, pandangan kontemporari ini harus diletakkan dalam perspektif sejarah. Menjelang akhir abad kesembilan belas, ketika kajian logik mencapai artikulasi matematik, teori logik eksplosif menjadi standard. Dengan karya ahli logik seperti Boole, Frege, Russell dan Hilbert, logik klasik menjadi akaun logik ortodoks.

Namun, pada zaman kuno, tidak ada yang sepertinya mengesahkan kesahihan ECQ. Aristoteles mengemukakan apa yang kadang-kadang disebut sebagai prinsip penghubung: "mustahil perkara yang sama diharuskan oleh adanya dan oleh tidak adanya hal yang sama" (Analisis Sebelumnya II 4 57b3). (Logik Connexive baru-baru ini dihidupkan kembali oleh Wansing; lihat entri mengenai logik koneksif yang telah dikembangkan berdasarkan prinsip ini.) Prinsip ini menjadi topik perbahasan pada Zaman Pertengahan atau Zaman Pertengahan. Walaupun perdebatan abad pertengahan tampaknya telah dilakukan dalam konteks bersyarat, kita juga dapat melihatnya sebagai perdebatan mengenai akibatnya. Prinsip ini diambil oleh Boethius (480–524 atau 525) dan Abelard (1079–1142), yang mempertimbangkan dua kisah akibatnya. Yang pertama adalah yang biasa:mustahil premis itu benar tetapi kesimpulannya salah. Oleh itu, kisah pertama serupa dengan konsep kontemporari mengenai pemeliharaan kebenaran. Yang kedua kurang diterima baru-baru ini: rasa premis mengandungi kesimpulan. Akaun ini, seperti dalam logik yang relevan, tidak membenarkan kesimpulan yang kesimpulannya sewenang-wenangnya. Abelard berpendapat bahawa akaun pertama gagal memenuhi prinsip penghubung dan bahawa akaun kedua (akaun penahanan) menangkap prinsip Aristoteles. Abelard berpendapat bahawa akaun pertama gagal memenuhi prinsip penghubung dan bahawa akaun kedua (akaun penahanan) menangkap prinsip Aristoteles. Abelard berpendapat bahawa akaun pertama gagal memenuhi prinsip penghubung dan bahawa akaun kedua (akaun penahanan) menangkap prinsip Aristoteles.

Kedudukan Abelard ditunjukkan menghadapi masalah oleh Alberic dari Paris pada 1130-an. Sebilangan besar ahli logika abad pertengahan tidak, bagaimanapun, meninggalkan kesahihan berdasarkan pembendungan atau sesuatu yang serupa (lihat, misalnya, Martin 1987). Tetapi satu cara untuk mengatasi kesukaran adalah dengan menolak prinsip penghubung. Pendekatan ini, yang menjadi paling berpengaruh, diterima oleh pengikut Adam Balsham atau Parvipontanus (atau kadang-kadang dikenali sebagai Adam dari Jambatan Kecil [abad ke - 12]). Orang-orang Parvipontan menerima kisah pelestarian kebenaran akibat dan 'paradoks' yang berkaitan dengannya. Sebenarnya, itu adalah anggota Parvipontanians, William dari Soissons, yang menemui pada abad kedua belas apa yang sekarang kita namakan sebagai hujah CI Lewis (bebas) untuk ECQ (lihat Martin 1986).

Walau bagaimanapun, akaun penahanan tidak hilang. John Duns Scotus (1266-1308) dan pengikutnya menerima akaun penahanan (lihat Martin 1996). Sekolah Cologne pada akhir abad kelima belas menentang ECQ dengan menolak silogisme disjunctive (lihat Sylvan 2000).

Dalam sejarah logik di Asia, ada kecenderungan (misalnya, dalam tradisi Jaina dan Buddha) untuk mempertimbangkan kemungkinan pernyataan itu benar dan salah. Lebih-lebih lagi, logik yang dikembangkan oleh ahli logik Buddha utama, Dignāga (abad ke - 5) dan Dharmakīrti (abad ke - 7) tidak merangkumi ECQ. Kenyataan logik mereka, sebenarnya, didasarkan pada hubungan 'pervasion' (Skt: vyāpti, Tib: khyab pa) di antara unsur-unsur argumen. Sama seperti akaun penahanan Abelard, mesti ada hubungan yang lebih ketat antara premis dan kesimpulan daripada yang dibenarkan oleh akaun pemeliharaan kebenaran. Untuk logik Dharmakīrti dan perkembangannya yang seterusnya, lihat misalnya Dunne 2004 dan Tillemans 1999.

1.3 Sejarah Moden Paraconsistent Logic

Pada abad kedua puluh, alternatif untuk penjelasan yang meletup akibat logik berlaku kepada orang yang berlainan pada masa dan tempat yang berbeza secara bebas antara satu sama lain. Mereka sering didorong oleh pertimbangan yang berbeza. Logik paraconsistent terawal di era kontemporari nampaknya telah diberikan oleh dua orang Rusia. Bermula sekitar tahun 1910, Vasil'év mencadangkan silogistik Aristotelian yang diubahsuai termasuk penyataan bentuk: (S) keduanya (P) dan bukan (P). Pada tahun 1929, Orlov memberikan aksiomatisasi pertama dari logik yang relevan (R) yang paraconsistent. (Pada Vasil'év, lihat Arruda 1977 dan Arruda 1989: 102f; di Orlov, lihat Anderson, Belnap, & Dunn 1992: xvii.)

Karya Vasil'év atau Orlov tidak memberi kesan pada masa itu. Ahli logik pertama (formal) yang mengembangkan logik paraconsistent adalah Jaśkowski di Poland, yang merupakan pelajar Łukasiewicz, yang sendiri telah membayangkan logik paraconsistent dalam kritikannya terhadap Aristoteles di LNC (Łukasiewicz 1951). Hampir pada masa yang sama, Halldén (1949) mengemukakan karya mengenai logik omong kosong, tetapi sekali lagi ini tidak disedari.

Logik paraconsistent dikembangkan secara bebas di Amerika Selatan oleh Florencio Asenjo dan terutama Newton da Costa dalam disertasi kedoktoran mereka, masing-masing pada tahun 1954 dan 1963, dengan penekanan pada aplikasi matematik (lihat Asenjo 1966, da Costa 1974). Kumpulan ahli logik yang aktif telah meneliti logik paraconsistent secara berterusan sejak dulu, terutama di Campinas dan São Paulo, Brazil, dengan fokus pada logik ketidakkonsistenan formal. Carnielli dan Coniglio (2016) memberikan laporan terkini mengenai karya ini.

Logik yang tidak konsisten dalam bentuk logik yang relevan diusulkan di England oleh Smiley pada tahun 1959 dan juga pada masa yang sama, dalam bentuk yang jauh lebih maju, di Amerika Syarikat oleh Anderson dan Belnap. Kumpulan aktif ahli logik yang relevan dibesarkan di Pittsburgh termasuk Dunn dan Meyer. Perkembangan logik paraconsistent (dalam bentuk logik yang relevan) dibawa ke Australia. R. Routley (kemudian Sylvan) dan V. Routley (kemudian Plumwood) menemui semantik yang disengajakan untuk beberapa logik yang berkaitan dengan Anderson / Belnap. Sebuah sekolah berkembang di sekitar mereka di Canberra yang merangkumi Brady dan Mortensen, dan kemudian Imam yang, bersama-sama dengan R. Routley, memasukkan dialeteisme dalam pengembangan.

Sejak tahun 1970-an, perkembangan logik paraconsistent telah bersifat antarabangsa. Beberapa mazhab pemikiran utama dapat dilihat di bawah, termasuk logik adaptif (seperti di Batens 2001) dan pelestarian (seperti di Schotch, Brown, & Jennings 2009). Terdapat banyak kerja yang dilakukan di Argentina, Australia, Belgia, Brazil, Kanada, Republik Czech, England, Jerman, India, Israel, Jepun, Mexico, New Zealand, Poland, Scotland, Sepanyol, Amerika Syarikat, dan banyak lagi. Terdapat beberapa siri persidangan antarabangsa utama mengenai logik paraconsistent. Pada tahun 1997, Kongres Dunia Pertama mengenai Paraconsistency diadakan di University of Ghent di Belgium. Kongres Dunia Kedua diadakan di São Sebastião (São Paulo, Brazil) pada tahun 2000, yang ketiga di Toulous (Perancis) pada tahun 2003 dan Keempat di Melbourne (Australia) pada tahun 2008. Kongres Dunia Kelima telah diadakan di Kolkata, India pada tahun 2013. Satu lagi persidangan paraconsistensi besar pada tahun 2014 telah diadakan di Munich (Andreas & Verdée 2016). Lihat bahagian bibliografi mengenai Prosiding Kongres Dunia.

2. Motivasi

Sebab-sebab paraconsistency yang dikemukakan adalah khusus untuk pengembangan sistem formal tertentu logik paraconsistent. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa sebab umum untuk berfikir bahawa logik haruslah selari. Sebelum kita meringkaskan sistem logik paraconsistent, kita mengemukakan beberapa motivasi untuk logik paraconsisent.

2.1 Ketidakkonsistenan tanpa Perkara Rendah

Sebab yang paling jelas untuk logik paraconsistent adalah, prima facie, fakta bahawa terdapat teori-teori yang tidak konsisten tetapi tidak remeh. Sekiranya kita mengakui kewujudan teori-teori tersebut, logik yang mendasarinya mestilah tidak sesuai (walaupun lihat Michael 2016).

2.1.1 Teori Bukan Trivial

Contoh teori yang tidak konsisten tetapi tidak remeh mudah dihasilkan. Satu contoh boleh diambil dari sejarah sains. Pertimbangkan teori atom Bohr. Menurut ini, sebuah elektron mengorbit inti atom tanpa memancarkan tenaga. Namun, menurut persamaan Maxwell, yang membentuk bahagian integral dari teori, elektron yang mempercepat orbit mesti memancarkan tenaga. Oleh itu, akaun Bohr mengenai tingkah laku atom tidak konsisten. Namun, secara diam-diam, tidak semua yang menyangkut tingkah laku elektron dapat disimpulkan darinya, dan juga tidak seharusnya. Oleh itu, apa sahaja mekanisme inferensi yang melatarbelakanginya, ini mestilah tidak sesuai (Brown & Priest 2015).

2.1.2 Percanggahan Betul

Walaupun hakikat bahawa dialetisme dan paraconsistensi mesti dibezakan, dialetisme boleh menjadi motivasi untuk logik paraconsistent. Salah satu calon dialetia (percanggahan sebenar) adalah paradoks pembohong. Pertimbangkan ayat: 'Kalimat ini tidak benar'. Terdapat dua pilihan: sama ada ayat itu benar atau tidak. Andaikan ia benar. Maka apa yang dikatakannya adalah perkara itu. Oleh itu hukuman itu tidak benar. Andaikan, sebaliknya, itu tidak benar. Inilah yang dikatakannya. Oleh itu ayat itu benar. Dalam kedua-dua kes itu benar dan tidak benar. (Lihat entri mengenai dialetisme.)

2.1.3 Linguistik

Bahasa semula jadi adalah laman web lain yang mungkin tidak konsisten. Dalam linguistik, telah diperhatikan bahawa ciri leksikal normal dipelihara walaupun dalam konteks yang tidak konsisten. Contohnya, perkataan seperti 'dekat' mempunyai konotasi spasial yang tidak terganggu walaupun berhadapan dengan objek yang mustahil (McGinnis 2013):

Sekiranya saya memberitahu anda bahawa saya melukis kubus bulat coklat, bahagian luarnya berwarna coklat …, dan jika saya berada di dalamnya, anda tahu saya tidak berada di dekatnya. (Chomsky 1995: 20)

Oleh itu jika bahasa semula jadi boleh dikatakan mempunyai logik, logik paraconsistent boleh menjadi calon untuk memformalkannya.

2.2 Kecerdasan Buatan

Logik paraconsistent didorong bukan hanya oleh pertimbangan falsafah, tetapi juga oleh aplikasi dan implikasinya.

2.2.1 Penaakulan Automatik

Salah satu aplikasi adalah penaakulan automatik (pemprosesan maklumat). Pertimbangkan komputer yang menyimpan sejumlah besar maklumat, seperti di Belnap 1992. Walaupun komputer menyimpan maklumat, ia juga digunakan untuk beroperasi di atasnya, dan, yang penting, untuk menyimpulkannya. Sekarang adalah perkara biasa bagi komputer untuk mengandungi maklumat yang tidak konsisten, kerana kesalahan oleh pengendali kemasukan data atau kerana pelbagai sumber. Ini tentunya menjadi masalah bagi operasi pangkalan data dengan pembuktian teorema, dan begitu banyak menarik perhatian para saintis komputer. Teknik untuk menghilangkan maklumat yang tidak konsisten telah diselidiki. Namun semuanya mempunyai kemampuan penggunaan yang terhad, dan, dalam hal apa pun, tidak dijamin menghasilkan konsistensi. (Tidak ada algoritma untuk kepalsuan logik.) Oleh itu, walaupun langkah-langkah diambil untuk menyingkirkan percanggahan ketika ia dijumpai,logik paraconsistent yang mendasari adalah wajar sekiranya percanggahan tersembunyi tidak dapat menghasilkan jawapan palsu terhadap pertanyaan.

Logik Nac paraconsistent (bernilai empat) N4 telah dikaji secara khusus untuk aplikasi dalam sains komputer (Kamide & Wansing 2012). Logik anotasi dicadangkan oleh Subrahmanian (1987) dan kemudian oleh da Costa, Subrahmanian, dan Vago (1991); alat ini kini diperluas ke robotik, sistem pakar untuk diagnosis perubatan, dan kejuruteraan, dengan karya terbaru dikumpulkan dalam jilid yang diedit oleh Abe, Akama, dan Nakamatsu (2015) dan Akama (2016).

2.2.2 Semakan Kepercayaan

Penyemakan kepercayaan adalah kajian mengenai penyusunan semula kepercayaan badan secara rasional berdasarkan bukti baru. Terkenal, orang mempunyai kepercayaan yang tidak konsisten. Mereka mungkin bersikap rasional dalam melakukannya. Sebagai contoh, mungkin terdapat bukti yang luar biasa untuk sesuatu dan penolakannya. Bahkan mungkin ada kes-kes di mana pada dasarnya mustahil untuk menghilangkan ketidakkonsistenan tersebut. Sebagai contoh, pertimbangkan 'paradoks kata pengantar'. Seseorang yang rasional, setelah melakukan kajian menyeluruh, menulis sebuah buku di mana mereka menuntut (A_1), …, (A_n). Tetapi mereka juga sedar bahawa tidak ada buku yang mempunyai kerumitan yang hanya mengandungi kebenaran. Jadi mereka secara rasional mempercayai (neg (A_1 / wedge / ldots / wedge A_n)) juga. Oleh itu, prinsip-prinsip penyemakan kepercayaan yang rasional mesti dijalankan pada sekumpulan kepercayaan yang tidak konsisten. Akaun standard semakan kepercayaan, misalnya teori AGM (lihat logik semakan kepercayaan),semua gagal melakukan ini, kerana berdasarkan logik klasik (Tanaka 2005). Akaun yang lebih mencukupi mungkin berdasarkan logik paraconsistent; lihat Girard dan Tanaka 2016.

2.3 Semantik Formal dan Teori Set

Paraconsistency dapat diambil sebagai tindak balas terhadap paradoks logik dalam semantik formal dan teori set.

2.3.1 Teori Kebenaran

Semantik adalah kajian yang bertujuan untuk menjelaskan pemahaman makna secara teoritis. Sebilangan besar kisah semantik menegaskan bahawa untuk menjelaskan makna suatu kalimat adalah, dalam arti tertentu, untuk menjelaskan keadaan kebenarannya. Sekarang, paling tidak, kebenaran adalah predikat yang dicirikan oleh skema Tarski T:

[T (boldsymbol {A}) kiri kanan A)

di mana (A) adalah ayat dan (boldsymbol {A}) adalah namanya. Tetapi dengan menggunakan kaedah rujukan diri yang standard, misalnya, arithmetisation, seseorang dapat membina ayat, (B), yang mengatakan bahawa (neg T (boldsymbol {B})). Skema T memberikan bahawa (T (boldsymbol {B}) leftrightarrow / neg T (boldsymbol {B})). Ia kemudian menunjukkan bahawa (T (boldsymbol {B}) wedge / neg T (boldsymbol {B})). (Ini, tentu saja, hanya paradoks pembohong.) Perkembangan penuh teori kebenaran dalam logik paraconsistent diberikan oleh Beall (2009).

2.3.2 Teori Set

Keadaannya serupa dalam teori set. Aksioma teori set yang naif, dan intuitif, adalah Skema Pemahaman dan Prinsip Ekstensi:

(start {align *} & / wujud y / forall x (x / in y / leftrightarrow A) & / forall x (x / in y / leftrightarrow x / in z) rightarrow y = z / end { sejajar *})

di mana (x) tidak berlaku secara percuma di (A). Seperti yang ditemui oleh Russell, setiap teori yang mengandungi Skema Pemahaman tidak konsisten. Untuk meletakkan '(y / not / in y)' untuk (A) dalam Skema Pemahaman dan menunjukkan pengukur eksistensial ke objek yang sewenang-wenang '(r)' memberikan:

(forall y (y / in r / leftrightarrow y / not / in y))

Oleh itu, menunjukkan pengukur universal untuk '(r)' memberikan:

[r / in r / kiri kanan r / tidak / di r)

Ia kemudian menunjukkan bahawa (r / in r / wedge r / not / in r).

Pendekatan standard untuk masalah-masalah ketidakkonsistenan ini, pada umumnya, adalah kaedah yang berguna. Pendekatan paraconsistent memungkinkan untuk memiliki teori kebenaran dan ketetapan di mana intuisi asas matematik mengenai konsep ini dihormati. Sebagai contoh, seperti yang ditunjukkan oleh Brady (1989; 2006), percanggahan mungkin dibiarkan timbul dalam teori set paraconsistent, tetapi ini tidak perlu menjangkiti keseluruhan teori.

Terdapat beberapa pendekatan untuk menetapkan teori dengan pemahaman naif melalui logik paraconsistent. Teori nombor ordinal dan kardinal dikembangkan secara aksiomatik menggunakan logik yang relevan dalam Weber 2010b, 2012. Kemungkinan untuk menambah pengendali konsistensi untuk mengesan serpihan teori bukan paradoks dipertimbangkan dalam Omori 2015, mengambil petunjuk dari tradisi da Costa. Teori set naif menggunakan logik adaptif dikemukakan oleh Verdée (2013). Model untuk teori set paraconsistent dijelaskan oleh Libert (2005).

2.3.3 Matematik secara umum

Menurut da Costa (1974: 498),

Akan menarik untuk mengkaji sistem yang tidak konsisten seperti, misalnya, geometri bukan euclidean: kita akan memperoleh idea yang lebih baik mengenai sifat paradoks, dapat memiliki pandangan yang lebih baik mengenai hubungan antara pelbagai prinsip logik yang diperlukan untuk mendapatkan penentuan hasil, dan lain-lain … Bukan tujuan kami untuk menghilangkan ketidakkonsistenan, tetapi untuk menganalisis dan mempelajarinya.

Untuk perkembangan selanjutnya matematik dalam logik paraconsistent, lihat entri mengenai matematik yang tidak konsisten.

2.4 Aritmetik dan Teorem Gödel

Tidak seperti semantik formal dan teori set, mungkin tidak ada prinsip aritmetik yang jelas yang menimbulkan kontradiksi. Walau bagaimanapun, seperti model aritmetik bukan standard klasik, terdapat kelas model aritmetik yang tidak konsisten (atau lebih tepatnya model aritmetik yang tidak konsisten) yang mempunyai struktur matematik yang menarik dan penting.

Salah satu implikasi yang menarik dari keberadaan model aritmetik yang tidak konsisten adalah bahawa beberapa daripadanya adalah terhad (tidak seperti model bukan standard klasik). Ini bermaksud bahawa terdapat beberapa aplikasi penting dalam teorema metamathematical. Sebagai contoh, teorema Löwenheim-Skolem klasik menyatakan bahawa (Q) (aritmetik Robinson yang merupakan pecahan aritmetik Peano) mempunyai model setiap kardinaliti yang tidak terhingga tetapi tidak mempunyai model terhingga. Tetapi, (Q) dapat ditunjukkan mempunyai model dengan ukuran terhingga juga dengan merujuk pada model aritmetik yang tidak konsisten.

Bukan hanya teorema Löwenheim-Skolem tetapi juga teorema metamatematik yang lain dapat diberikan rawatan paraconsistent. Walau bagaimanapun, dalam kes teorema lain, hasil negatif yang sering ditunjukkan oleh teorema metamatematik had mungkin tidak lagi berlaku. Salah satu teorema penting ialah teorema Gödel.

Satu versi dari teorema ketidaklengkapan pertama Gödel menyatakan bahawa untuk setiap teori aritmetik aksiomatik yang konsisten, yang dapat diakui sebagai baik, akan ada kebenaran aritmetik, iaitu kalimat Gödel-tidak dapat dibuktikan di dalamnya, tetapi dapat dibentuk sebagai benar dengan penaakulan yang betul secara intuitif. Inti teorema Gödel sebenarnya adalah paradoks yang menyangkut kalimat, (G), 'Kalimat ini tidak dapat dibuktikan'. Sekiranya (G) dapat dibuktikan, maka itu benar dan tidak dapat dibuktikan. Oleh itu (G) dibuktikan. Oleh itu (G) adalah benar dan tidak dapat dibuktikan. Sekiranya logik paraconsistent yang mendasari digunakan untuk memformalkan aritmetik, dan oleh itu teorinya dibiarkan tidak konsisten, kalimat Gödel mungkin dapat dibuktikan dalam teori (pada asasnya dengan alasan di atas). Oleh itu, pendekatan paraconsistent untuk aritmetik mengatasi batasan aritmetik yang sepatutnya (oleh banyak orang) harus diikuti dari teorem Gödel. (Untuk teorema metamatematik 'terhad' lain, lihat Imam 2002.)

2.5 Kekaburan

Sejak awal, logik paraconsistent bertujuan sebahagiannya untuk mengatasi masalah samar-samar dan paradoks sorites (Jaśkowski 1948 [1969]). Beberapa bukti empirik menunjukkan bahawa kekaburan dalam bahasa semula jadi adalah calon yang baik untuk rawatan paraconsistent (Ripley 2011).

Beberapa pendekatan yang berbeza-beza untuk samar-samar telah dicadangkan. Subvaluationism adalah logical dual to supervaluationism: jika tuntutan benar pada beberapa penajaman predikat yang samar-samar, maka itu benar. Di mana supervaluationist melihat ketidaktentuan, atau jurang nilai kebenaran, subvaluationist melihat overdeterminacy, kebenaran nilai. Logik subvaluasi akan, seperti dwi supervaluasi, akan memelihara semua tautologi klasik, selagi definisi kesahan terhad kepada kes-kes yang tidak kerenah. Oleh kerana secara struktural serupa dengan supervaluationism, subvaluationism juga mengalami sebagian besar kritikan yang sama (Hyde 1997).

Secara lebih luas, paraconsistensi (dialetheic) telah digunakan dalam pendekatan fungsional kebenaran yang bernilai tiga langsung untuk samar-samar. Tujuannya adalah untuk mengekalkan kedua-dua tuntutan intuitif berikut:

  1. Toleransi: Untuk samar-samar (F), bukan perkara (x) (F) tetapi beberapa sangat (F) - serupa (x) tidak (F)
  2. Cutoffs: Untuk semua (F), jika beberapa (x) adalah (F) dan beberapa (y) tidak, dan ada perintah (F) - kemajuan dari (x) ke (y), maka ada yang terakhir (F) dan beberapa yang pertama bukan - (F)

Sekali lagi, kunci analisis adalah mengambil potongan sebagai tempat untuk ketidakkonsistenan, untuk objek F dan bukan F. Maka semua tuntutan toleransi (mengenai samar-samar F) diambil sebagai benar; tetapi kerana, secara parakonsisten, kesimpulan silogisme disjungtif tidak berlaku secara umum, tuntutan ini tidak menyiratkan kemustahilan seperti 'semua orang botak'. Model paraconsistent memberi penekanan yang besar pada titik pemotongan predikat yang kabur, yang mengaitkan banyak masalah dengan paradoks semacam itu kepada ketidakkonsistenan predikat yang tidak jelas (Weber 2010a).

Terdapat perdebatan mengenai apakah paradoks sorties sama dengan semantik terkenal dan menetapkan paradoks teori, seperti Russell dan pembohong. Sekiranya ada, maka pendekatan yang tidak konsisten terhadap satu sama wajarnya dengan yang lain.

3. Sistem Logik Paraconsistent

Sejumlah teknik formal untuk membatalkan ECQ telah dibuat. Sebilangan besar teknik telah diringkaskan di tempat lain (Brown 2002, Priest 2002). Ketika minat terhadap logika paraconsistent meningkat, teknik yang berbeza dikembangkan di berbagai belahan dunia. Akibatnya, pengembangan teknik memiliki sedikit rasa daerah (walaupun tentu saja ada pengecualian, dan perbezaan wilayah dapat dibesar-besarkan; lihat Tanaka 2003).

Sebilangan besar ahli logik yang tidak konsisten tidak mencadangkan penolakan logik klasik secara borong. Mereka biasanya menerima kesahan kesimpulan klasik dalam konteks yang konsisten. Ini adalah keperluan untuk mengasingkan ketidakkonsistenan tanpa menyebar ke mana-mana yang mendorong penolakan ECQ. Bergantung pada seberapa banyak semakan yang diperlukan seseorang, kami mempunyai teknik untuk paraconsistency. Taksonomi yang diberikan di sini didasarkan pada tahap penyemakan kepada logik klasik. Oleh kerana kebaruan logik dapat dilihat pada tahap proposisi, kita akan menumpukan perhatian pada logik paraconsistent proposional.

3.1 Logik Perbincangan

Logik paraconsistent formal pertama yang dikembangkan adalah logik diskusi (atau diskursif) oleh logik Poland Jaśkowski (1948). Pemikiran di sebalik logik diskusi adalah bahawa, dalam wacana, setiap peserta mengemukakan beberapa maklumat, kepercayaan atau pendapat. Setiap penegasan adalah benar menurut peserta yang mengemukakannya dalam wacana. Tetapi apa yang benar dalam wacana secara keseluruhan adalah jumlah penegasan yang dikemukakan oleh para peserta. Pendapat setiap peserta mungkin konsisten sendiri, tetapi mungkin tidak sesuai dengan pendapat orang lain. Jaśkowski memformalkan idea ini dalam bentuk logik diskusi.

Formalisasi logik diskusi adalah dengan memodelkan wacana dalam logik modal. Untuk kesederhanaan, Jaśkowski memilih S 5. Kami memikirkan kepercayaan setiap peserta sebagai set ayat yang benar di dunia dalam model S 5 (M). Oleh itu, ayat (A) yang ditegaskan oleh peserta dalam wacana ditafsirkan sebagai "ada kemungkinan bahawa (A)" atau kalimat (Diamond A) dari S 5. Kemudian (A) mengadakan wacana iff (A) berlaku di beberapa dunia di (M). Oleh kerana (A) mungkin berlaku di satu dunia tetapi tidak di dunia lain, kedua (A) dan (neg A) mungkin berlaku dalam wacana. Memang, seseorang harus mengharapkan bahawa para peserta tidak bersetuju dalam beberapa isu dalam wacana yang rasional. Oleh itu, idea adalah bahawa (B) adalah akibat diskusi dari (A_1, / ldots, A_n) iff (Diamond B) adalah akibat S 5 dari (Diamond A_ {1} ldots / Diamond A_ {n}).

Untuk melihat bahawa logik diskusi adalah paraconsistent, pertimbangkan model S 5, (M), sehingga (A) tahan di (w_1), (neg A) berlaku di dunia yang berbeza (w_2), tetapi (B) tidak berlaku di dunia mana pun untuk beberapa (B). Kemudian kedua (A) dan (neg A) tahan, namun (B) tidak menahan (M). Oleh itu logik perbincangan membatalkan ECQ.

Walau bagaimanapun, tidak ada model S 5 di mana (A / wedge / neg A) berlaku di beberapa dunia. Oleh itu, kesimpulan bentuk ({A / wedge / neg A } vDash B) adalah sah dalam logik perbincangan. Ini bermaksud, dalam logik diskusi, penyambung (({A, / neg A } vDash A / wedge / neg A)) gagal. Tetapi seseorang dapat menentukan hubungan diskusi, (wedge_d), sebagai (A / wedge / Diamond B) (atau (Diamond A / wedge B)). Kemudian penyambungan berlaku untuk (wedge_d) (Jaśkowski 1949).

Satu kesukaran adalah perumusan bersyarat. Dalam S 5, kesimpulan dari (Diamond p) dan (Diamond (p / supset q)) ke (Diamond q) gagal. Jaśkowski memilih untuk memperkenalkan penghubung yang disebutnya implikasi diskriptif, (supset_d), yang didefinisikan sebagai (Diamond A / supset B). Penghubung ini dapat difahami sebagai bermaksud bahawa "jika beberapa peserta menyatakan bahawa (A), maka (B)". Oleh kerana kesimpulan dari (Diamond A / supset B) dan (Diamond A) ke (Diamond B) berlaku di S 5, modus ponens untuk (supset_d) berlaku dalam logik perbincangan. Bi-implikasi berdiskusi, (equiv_d), juga boleh didefinisikan sebagai ((Diamond A / supset B) wedge / Diamond (Diamond B / supset A)) (atau (Diamond (Diamond A / supset B) baji (Diamond B / supset A))). Untuk beberapa sejarah kerja mengenai logik dan aksiomaisasi Jaśkowski, lihat Omori dan Alama (akan datang).

3.2 Sistem Bukan Adjungtif

Sistem bukan pelengkap adalah sistem yang tidak mengesahkan penyambung (iaitu, ({A, B } not / vDash A / wedge B)). Seperti yang kita lihat di atas, logik diskusi tanpa hubungan diskusi tidak bersifat tambahan. Strategi bukan tambahan yang lain disarankan oleh Rescher dan Manor (1970). Akibatnya, kita dapat menghubungkan premis, tetapi hanya dengan konsistensi maksimum. Khususnya, jika (Sigma) adalah sekumpulan premis, subset maksimum yang konsisten adalah subset yang konsisten (Sigma ') sehingga jika (A / in / Sigma - / Sigma') maka (Sigma '\ cup {A }) tidak konsisten. Kemudian kita mengatakan bahawa (A) adalah akibat (Sigma) iff (A) adalah akibat klasik dari (Sigma ') untuk beberapa subset maksimum yang konsisten (Sigma'). Kemudian ({p, q } vDash p / wedge q) tetapi ({p, / neg p } not / vDash p / wedge / neg p).

3.3 Pemeliharaan

Dalam sistem bukan tambahan dari Rescher dan Manor, hubungan konsekuensi ditakrifkan pada beberapa subset premis yang konsisten secara maksimum. Ini dapat dilihat sebagai cara untuk 'mengukur' tahap konsistensi dalam premis yang ditetapkan. Tahap ({p, q }) adalah 1 kerana subset maksimum yang konsisten adalah set itu sendiri. Akan tetapi, tahap ({p, / neg p }) adalah 2: ({p }) dan ({ neg p }).

Sekiranya kita menentukan hubungan konsekuensi terhadap beberapa subset yang konsisten secara maksimum, maka hubungan tersebut dapat dianggap sebagai mengekalkan tahap serpihan yang konsisten. Ini adalah pendekatan yang disebut preservationism. Ini pertama kali dikembangkan oleh ahli logik Kanada Ray Jennings dan Peter Schotch.

Untuk lebih tepat, sekumpulan formula (terhingga), (Sigma), dapat dipartisi menjadi serpihan yang konsisten klasik yang penyatuannya adalah (Sigma). Mari (vdash) menjadi hubungan akibat klasik. Penutup (Sigma) adalah satu set ({ Sigma_i: i / in I }), di mana setiap anggota konsisten, dan (Sigma = / bigcup_ {i / in I} Sigma_i). Tahap (Sigma, l (Sigma)), adalah yang paling sedikit (n) sehingga (Sigma) dapat dipartisi ke dalam set (n) jika ada (n)), atau (infty) jika tidak ada (n). Hubungan akibat, disebut memaksa, (Vdash), ditakrifkan sebagai berikut. (Sigma / Vdash A) iff (l (Sigma) = / infty), atau (l (Sigma) = n) dan untuk setiap penutup ukuran (n) ada (j / di I) sehingga (Sigma_j / vdash A). Sekiranya (l (Sigma) = 1) atau (infty) maka hubungan paksaan bertepatan dengan hubungan akibat klasik. Sekiranya (l (Sigma) = / infty), mesti ada ayat dari bentuk (A / wedge / neg A) dan hubungan paksa meletup.

Strategi chunking juga telah diterapkan untuk menangkap mekanisme inferensi yang mendasari beberapa teori dalam sains dan matematik. Dalam matematik, teori terbaik mengenai infinitesimals tidak konsisten. Dalam kalkulus tak terhingga Leibniz dan Newton, dalam pengiraan infinitesimals terbitan mestilah sifar dan bukan sifar. Untuk menangkap mekanisme inferensi yang mendasari kalkulus tak terhingga Leibniz dan Newton (dan teori atom Bohr), kita perlu menambah mekanisme pemotongan yang membolehkan sejumlah maklumat mengalir di antara serpihan yang konsisten ini tidak konsisten tetapi teori bukan remeh. Maksudnya, maklumat tertentu dari satu bahagian dapat meresap ke bahagian lain. Prosedur inferensi yang mendasari teori mestilah Chunk dan Permeate.

Biarkan (C = { Sigma_i: i / in I }) dan (varrho) hubungan kebolehtelapan pada (C) sehingga (varrho) adalah peta dari (I / kali I) ke subset formula bahasa. Sekiranya (i_0 / di I), maka struktur apa pun (langle C, / varrho, i_0 / rangle) disebut struktur C&P di (Sigma). Sekiranya (mathcal {B}) adalah struktur C&P di (Sigma), kami menentukan akibat C&P dari (Sigma) sehubungan dengan (mathcal {B}), seperti berikut. Untuk setiap (i / in I), satu set ayat, (Sigma_i ^ n), ditentukan oleh pengulangan pada (n):

(start {align *} Sigma_i ^ {0} & = / Sigma_i ^ { vdash} / \ Sigma_i ^ {n + 1} & = / kiri (Sigma_i ^ n / cup / bigcup_ {j / in I} kiri (Sigma_j ^ n / cap / rho (j, i) kanan) kanan) ^ { vdash} / \ end {align *})

Maksudnya, (Sigma_i ^ {n + 1}) merangkumi akibat dari (Sigma_i ^ n) bersama-sama dengan maklumat yang meresap ke dalam bahagian (i) dari bahagian lain di tingkat (n). Kami kemudian mengumpulkan semua peringkat yang terhad:

(Sigma_i ^ { omega} = / bigcup_ {n / lt / omega} Sigma_i ^ n)

Konsekuensi C&P dari (Sigma) dapat ditakrifkan dari segi ayat yang dapat disimpulkan dalam potongan yang ditentukan (i_0) apabila semua maklumat yang sesuai telah dibenarkan untuk mengalir di sepanjang hubungan kebolehtelapan (lihat Brown & Priest 2004, 2015.)

3.4 Logik Adaptif

Seseorang mungkin berfikir bukan hanya bahawa ketidakkonsistenan perlu diasingkan tetapi juga bahawa keperluan serius untuk mempertimbangkan ketidakkonsistenan adalah kejadian yang jarang terjadi. Pemikirannya mungkin adalah bahawa konsistensi adalah norma sehingga terbukti sebaliknya: kita harus memperlakukan ayat atau teori dengan sekerap mungkin. Ini pada dasarnya adalah motivasi untuk logik adaptif, yang dipelopori oleh Diderik Batens di Belgium.

Logik adaptif adalah logik yang menyesuaikan diri dengan keadaan pada masa penerapan peraturan inferensi. Ini memodelkan dinamika penaakulan kita. Terdapat dua deria di mana penaakulan adalah dinamik: luaran dan dalaman. Penalaran adalah dinamik secara luaran jika apabila maklumat baru tersedia untuk memperluas premis, akibat yang disimpulkan sebelumnya mungkin harus ditarik balik. Oleh itu, dinamika luaran adalah watak bukan monotonik dari beberapa hubungan akibat: (Gamma / vdash A) dan (Gamma / cup / Delta / not / vdash A) untuk beberapa (Gamma, / Delta) dan (A). Namun, walaupun set premis tetap, beberapa kesimpulan yang sebelumnya dapat dianggap tidak dapat diturunkan pada tahap kemudian. Ketika penaakulan kita bermula dari set premis, kita mungkin menghadapi situasi di mana kita membuat kesimpulan dengan syarat tidak ada kelainan,khususnya tidak ada percanggahan, yang dapat dicapai pada beberapa tahap proses penaakulan. Sekiranya kita terpaksa menyimpulkan kontradiksi pada tahap selanjutnya, alasan kita harus menyesuaikan diri sehingga penerapan aturan inferensi yang digunakan sebelumnya ditarik. Dalam kes sedemikian, penaakulan adalah dinamik dalaman. Penalaran kami mungkin dinamik secara dalaman jika kumpulan kesimpulan yang sah tidak dapat dikira secara berulang (iaitu, tidak ada prosedur keputusan yang mengarah ke 'ya' setelah banyak langkah jika kesimpulannya memang benar). Dinamika dalaman adalah logik adaptif yang dirancang untuk menangkap.penaakulan adalah dinamik dalaman. Penalaran kami mungkin dinamik secara dalaman jika kumpulan kesimpulan yang sah tidak dapat dikira secara berulang (iaitu, tidak ada prosedur keputusan yang mengarah ke 'ya' setelah banyak langkah jika kesimpulannya memang benar). Dinamika dalaman adalah logik adaptif yang dirancang untuk menangkap.penaakulan adalah dinamik dalaman. Penalaran kami mungkin dinamik secara dalaman jika kumpulan kesimpulan yang sah tidak dapat dikira secara berulang (iaitu, tidak ada prosedur keputusan yang mengarah ke 'ya' setelah banyak langkah jika kesimpulannya memang benar). Dinamika dalaman adalah logik adaptif yang dirancang untuk menangkap.

Untuk menggambarkan idea di sebalik logik adaptif, pertimbangkan set premis (Gamma = {p, / neg p / vee r, / neg r / vee s, / neg s, s / vee t }). Seseorang boleh memulakan penaakulan dengan (neg s) dan (s / vee t), menggunakan Disjunctive Syllogism (DS) untuk membuat kesimpulan (t), memandangkan (s / wedge / neg s) tidak memperoleh. Kami kemudian beralasan dengan (p) dan (neg p / vee r), untuk menyimpulkan (r) dengan DS, memandangkan (p / wedge / neg p) tidak memperoleh. Sekarang, kita dapat menerapkan DS ke (neg r / vee s) dan (r) untuk memperoleh (s), dengan syarat (r / wedge / neg r) tidak memperoleh. Namun, dengan menyambungkan (s) dan (neg s), kita dapat memperoleh (s / wedge / neg s). Oleh itu, kita mesti menarik balik permohonan pertama DS, dan bukti (t) luput. Akibat daripada penaakulan ini adalah apa yang tidak dapat dikalahkan pada tahap mana pun prosesnya.

Sistem logik adaptif umumnya dapat dicirikan sebagai terdiri daripada tiga elemen:

  1. Logik had bawah (LLL)
  2. Satu set kelainan
  3. Strategi penyesuaian

LLL adalah bahagian dari logik adaptif yang tidak tertakluk kepada penyesuaian. Ini pada dasarnya terdiri dari sejumlah aturan inferensi (dan / atau aksioma) yang senang diterima seseorang tanpa mengira keadaan dalam proses penaakulan. Satu set kelainan adalah sekumpulan formula yang diandaikan sebagai tidak memegang (atau tidak masuk akal) pada awal penaakulan sehingga mereka dinyatakan sebaliknya. Untuk banyak logik adaptif, formula dalam set ini adalah dalam bentuk (A / wedge / neg A). Strategi adaptif menentukan strategi menangani penerapan peraturan inferensi berdasarkan set kelainan. Sekiranya LLL diperpanjang dengan syarat bahawa tidak ada kelainan yang mungkin secara logik, seseorang memperoleh logik had atas (ULL). ULL pada dasarnya tidak hanya berisi aturan inferensi (dan / atau aksioma) LLL tetapi juga peraturan tambahan (dan / atau aksioma) yang dapat diterapkan jika tidak ada kelainan, seperti DS. Dengan menentukan ketiga elemen ini, seseorang memperoleh sistem logik adaptif.

3.5 Logik Ketidakkonsistenan Formal

Pendekatan yang diambil untuk memotivasi sistem logik paraconsistent yang selama ini kita lihat mengasingkan ketidakkonsistenan dari bahagian teori yang konsisten. Tujuannya adalah untuk mengekalkan sebanyak mungkin mesin klasik dalam mengembangkan sistem logik paraconsistent yang, bagaimanapun, mengelakkan letupan ketika menghadapi kontradiksi. Salah satu cara untuk menjadikan tujuan ini eksplisit adalah dengan memperluas kekuatan ekspresif bahasa kita dengan mengekodkan konsep metatheoretical mengenai konsistensi (dan ketidakkonsistenan) dalam bahasa objek. Logik Ketidakkonsistenan Formal (LFI) adalah sekelompok logik paraconsistent yang membentuk serpihan logik klasik yang konsisten namun menolak prinsip letupan di mana terdapat percanggahan. Penyelidikan keluarga logik ini dimulakan oleh Newton da Costa di Brazil.

Kesan konsistensi pengekodan (dan ketidakkonsistenan) dalam bahasa objek adalah kita dapat secara jelas memisahkan ketidakkonsistenan dari perkara remeh. Dengan bahasa yang cukup kaya untuk menyatakan ketidakkonsistenan (dan konsistensi), kita dapat mempelajari teori yang tidak konsisten tanpa menganggap bahawa ia semestinya remeh. Ini menjadikannya jelas bahawa kehadiran percanggahan adalah isu yang terpisah dari sifat tidak sepele dari kesimpulan paraconsistent.

Pemikiran di sebalik LFI adalah bahawa kita harus menghormati logik klasik sebanyak mungkin. Hanya apabila terdapat percanggahan, logik harus menyimpang darinya. Ini bermaksud bahawa kita dapat mengakui kesahihan ECQ sekiranya tidak ada percanggahan. Untuk melakukannya, kami mengekod 'konsistensi' ke dalam bahasa objek kami dengan (circ). Maka (vdash) adalah hubungan akibat dari LFI iff

  1. (ada / Gamma / ada A / ada B (Gamma, A, / neg A / not / vdash B)) dan
  2. (forall / Gamma / forall A / forall B (Gamma, / circ A, A, / neg A / vdash B)).

Biarkan (vdash_C) menjadi hubungan konsekuensi klasik (atau terbitan) dan (circ (Gamma)) menyatakan konsistensi kumpulan formula (Gamma) sehingga jika (circ A) dan (circ B) kemudian (circ (A * B)) di mana (*) adalah mana-mana dua tempat penghubung logik. Kemudian kita dapat menangkap derivabiliti dalam konteks yang konsisten dari segi kesetaraan: (forall / Gamma / forall B / wujud / Delta (Gamma / vdash_C B) iff (circ (Delta), / Gamma / vdash B)).

Sekarang ambil pecahan positif logik klasik dengan modus ponens ditambah penghapusan penolakan berganda ((neg / neg A / rightarrow A)) sebagai aksioma dan beberapa aksioma yang mengatur (circ):

(start {align *} circ A & / rightarrow (A / rightarrow (neg A / rightarrow B)) (circ A / wedge / circ B) & / rightarrow / circ (A / baji B) (circ A / rightarrow / circ B) & / rightarrow / circ (A / rightarrow B) end {align *})

Kemudian (vdash) menyediakan sistem da Costa (C_1). Sekiranya kita membiarkan (A ^ 1) menyingkat formula (neg (A / wedge / neg A)) dan (A ^ {n + 1}) formula ((neg (A ^ n / wedge / neg A ^ n)) ^ 1), maka kita memperoleh (C_i) untuk setiap nombor semula jadi (i) lebih besar daripada 1.

Untuk mendapatkan sistem da Costa (C _ { omega}), bukannya pecahan positif logik klasik, kita mulakan dengan logik intuisiis positif. (C_i) sistem untuk terhingga (i) tidak menolak ((A ^ n / wedge / neg A ^ n / baji A ^ {n + 1})) daripada menahan teori. Dengan menaikkan hierarki untuk (omega), (C _ { omega}) menolak kemungkinan ini. Namun, perhatikan bahawa (C _ { omega}) bukan LFC kerana tidak mengandungi logik positif klasik.

Untuk semantik untuk sistem da Costa's ((C) - lihat misalnya da Costa dan Alves 1977 dan Loparic 1977. Untuk keadaan terkini, lihat Carnielli dan Coniglio 2016.

3.6 Logik Berharga

Mungkin cara termudah untuk menghasilkan logik paraconsistent, yang pertama kali dicadangkan oleh Asenjo dalam disertasi PhDnya, adalah menggunakan logik yang bernilai tinggi. Secara klasik, terdapat dua nilai kebenaran. Pendekatan bernilai banyak adalah menjatuhkan anggapan klasik ini dan membiarkan lebih dari dua nilai kebenaran. Strategi paling mudah adalah menggunakan tiga nilai kebenaran: benar (hanya), salah (hanya) dan kedua (benar dan salah) untuk penilaian formula. Jadual kebenaran untuk penghubung logik, kecuali bersyarat, dapat diberikan seperti berikut:

(neg)
(t) (f)
(b) (b)
(f) (t)
(baji) (t) (b) (f)
(t) (t) (b) (f)
(b) (b) (b) (f)
(f) (f) (f) (f)
(vee) (t) (b) (f)
(t) (t) (t) (t)
(b) (t) (b) (b)
(f) (t) (b) (f)

Jadual-jadual ini pada asasnya adalah dari tiga logik bernilai Kleene dan Łukasiewicz di mana nilai tengah dianggap tidak tentu atau tidak (benar atau tidak).

Untuk bersyarat (supset), mengikuti tiga logik bernilai Kleene, kami mungkin menentukan jadual kebenaran seperti berikut:

(supset) (t) (b) (f)
(t) (t) (b) (f)
(b) (t) (b) (b)
(f) (t) (t) (t)

Biarkan (t) dan (b) menjadi nilai yang ditentukan. Ini adalah nilai-nilai yang terpelihara dalam kesimpulan yang sah. Sekiranya kita menentukan hubungan konsekuensi dari segi pemeliharaan nilai-nilai yang ditentukan ini, maka kita mempunyai LP logik paraconsistent (Priest 1979). Di LP, ECQ tidak sah. Untuk melihat ini, kami menetapkan (b) ke (p) dan (f) ke (q). Kemudian (neg p) juga dinilai sebagai (b) dan kedua (p) dan (neg p) ditetapkan. Namun (q) tidak dinilai mempunyai nilai yang ditentukan. Oleh itu ECQ tidak sah di LP.

Seperti yang kita lihat, LP membatalkan ECQ dengan menetapkan nilai yang ditentukan, baik yang benar dan yang tidak benar, untuk percanggahan. Oleh itu, LP jauh dari logik klasik berbanding sistem yang telah kita lihat sebelumnya. Tetapi, lebih kontroversial, ia juga sejajar dengan dialetisme. Walau bagaimanapun, kita dapat menafsirkan nilai kebenaran bukan dalam arti aletheic tetapi dalam pengertian epistemik: nilai kebenaran (atau nilai yang ditentukan) menyatakan komitmen epistemik atau doxastic (lihat misalnya Belnap 1992). Atau kita mungkin berfikir bahawa nilai keduanya diperlukan untuk alasan semantik: kita mungkin diminta untuk menyatakan sifat bertentangan dari beberapa kepercayaan, pernyataan dan sebagainya (lihat Dunn 1976: 157). Sekiranya strategi penafsiran ini berjaya, kita dapat memisahkan LP daripada semestinya jatuh di bawah dialetisme.

Satu ciri LP yang memerlukan perhatian adalah bahawa dalam modus LP ponens tidak sah. Jika (p) benar dan salah tetapi (q) salah (hanya), maka (p / supset q) adalah benar dan salah dan oleh itu ditetapkan. Jadi kedua (p) dan (p / supset q) ditetapkan, namun kesimpulannya (q) tidak. Oleh itu modus ponens untuk (supset) tidak sah di LP. (Salah satu cara untuk membetulkan masalah adalah dengan menambahkan penghubung bersyarat yang sesuai seperti yang akan kita lihat di bahagian logik yang relevan.)

Cara lain untuk mengembangkan logika paraconsistent yang bernilai banyak adalah memikirkan pemberian nilai kebenaran bukan sebagai fungsi tetapi sebagai hubungan. Mari (P) menjadi kumpulan parameter cadangan. Kemudian penilaian, (eta), adalah subset dari (P / times {0, 1 }). Proposisi hanya berkaitan dengan 1 (benar), hanya berkaitan dengan 0 (salah), mungkin berkaitan dengan 1 dan 0 atau mungkin tidak berkaitan dengan 1 atau 0. Penilaian dilanjutkan ke hubungan untuk semua formula dengan klausa rekursif berikut:

(start {align *} neg A / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 0 \\ / neg A / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 1 \[1ex] A / baji B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {dan} B / eta 1 \\ A / baji B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {atau} B / eta 0 \[1ex] A / vee B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {atau} B / eta 1 \\ A / vee B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {dan} B / eta 0 \\ / end {align *})

Sekiranya kita menentukan kesahan dari segi pemeliharaan kebenaran di bawah semua penilaian relasional, maka kita memperoleh First Degree Entailment (FDE) yang merupakan pecahan logik yang relevan. Semantik hubungan ini untuk FDE disebabkan oleh Dunn 1976.

Pendekatan yang berbeza diterokai melalui idea matriks non-deterministik, yang dikaji oleh Avron dan kolaboratornya (contohnya, Avron & Lev 2005).

3.7 Logik Berkaitan

Pendekatan untuk paraconsistency yang telah kami kaji lebih mengutamakan kehadiran yang tidak dapat dielakkan atau kebenaran beberapa percanggahan. Penolakan ECQ, dalam pendekatan ini, bergantung pada analisis premis yang mengandungi kontradiksi. Seseorang mungkin berfikir bahawa masalah sebenarnya dengan ECQ tidak berkaitan dengan premis yang bertentangan tetapi berkaitan dengan kurangnya hubungan antara premis dan kesimpulan. Pemikirannya adalah bahawa kesimpulan mesti relevan dengan premis dalam kesimpulan yang sah.

Logik yang relevan dipelopori untuk mengkaji relevansi kesimpulan berkenaan dengan premis oleh Anderson dan Belnap (1975) di Pittsburgh. Anderson dan Belnap memotivasi pengembangan logik yang relevan menggunakan sistem pemotongan semula jadi; namun mereka mengembangkan keluarga logik yang relevan dalam sistem aksiomatik. Ketika pengembangan berjalan dan dilakukan di Australia, tumpuan lebih diberikan kepada semantik.

Semantik untuk logik yang relevan dikembangkan oleh Fine (1974), Routley dan Routley (1972), Routley dan Meyer (1993) dan Urquhart (1972). (Terdapat juga semantik algebra; lihat misalnya Dunn & Restall 2002: 48ff.) Semantik Routley-Meyer didasarkan pada semantik dunia yang mungkin, yang merupakan semantik yang paling banyak dikaji untuk logik yang relevan, terutama di Australia. Dalam semantik ini, konjungsi dan gangguan berfungsi dengan cara yang biasa. Tetapi setiap dunia, (w), mempunyai dunia bersekutu, (w ^ *), dan penolakan dinilai dari segi (w ^ *: / neg A) adalah benar di (w) iff (A) salah, bukan di (w), tetapi di (w ^ *). Oleh itu, jika (A) adalah benar di (w), tetapi salah di (w ^ *), maka (A / wedge / neg A) adalah benar di (w). Untuk mendapatkan logik standard yang relevan, seseorang perlu menambahkan kekangan yang (w ^ {**} = w). Seperti yang jelas,penolakan dalam semantik ini adalah pengendali intensif.

Keprihatinan utama dengan logik yang relevan tidak banyak dengan penolakan seperti dengan penghubung bersyarat (kananarrow) (memuaskan modus ponens). Dalam logik yang relevan, jika (A / rightarrow B) adalah kebenaran logik, maka (A) relevan dengan (B), dalam arti (A) dan (B) berkongsi di sekurang-kurangnya satu pemboleh ubah cadangan.

Semantik untuk bersyarat yang relevan diperoleh dengan memberikan setiap model Routley-Meyer dengan hubungan terner. Dalam semantik dipermudahkan Priest dan Sylvan (1992) dan Restall (1993, 1995), dunia terbahagi kepada normal dan tidak normal. Sekiranya (w) adalah dunia biasa, (A / kanan bawah B) benar di (w) jika di semua dunia di mana (A) benar, (B) adalah benar. Sekiranya (w) tidak normal, (A / rightarrow B) benar di (w) iff untuk semua (x, y), sehingga (Rwxy), jika (A) adalah benar di (x, B) adalah benar di (y). Sekiranya (B) benar di (x) tetapi tidak di (y) di mana (Rwxy), maka (B / kanan bawah B) tidak benar di (w). Maka seseorang dapat menunjukkan bahawa (A / rightarrow (B / rightarrow B)) bukanlah kebenaran yang logik. (Kesahan didefinisikan sebagai pemeliharaan kebenaran di atas dunia normal.) Ini memberikan logik asas yang relevan, (B). Logik yang lebih kuat, seperti logik (R),diperoleh dengan menambahkan kekangan pada hubungan terner.

Terdapat juga versi semantik dunia untuk logik yang relevan berdasarkan semantik perhubungan Dunn untuk FDE. Maka penolakan bersifat ekstensif. Perhubungan bersyarat, kini perlu diberikan syarat kebenaran dan kepalsuan. Oleh itu, kita mempunyai: (A / rightarrow B) adalah benar di (w) iff untuk semua (x, y), sehingga (Rwxy), jika (A) benar di (x, B) adalah benar di (y); dan (A / panah kanan B) adalah salah di (w) jika ada beberapa (x, y), sehingga (Rwxy), jika (A) benar di (x, B) adalah salah di (y). Menambah pelbagai kekangan pada hubungan terner memberikan logik yang lebih kuat. Walau bagaimanapun, logik ini bukan logik relevan standard yang dikembangkan oleh Anderson dan Belnap. Untuk mendapatkan keluarga logik yang relevan, seseorang memerlukan kerangka kejiranan (lihat Mares 2004). Maklumat lebih lanjut boleh didapati dalam catatan logik yang berkaitan.

Bibliografi

Bibliografi Disusun mengikut Topik

Rujukan

  • Abe, Jair Minoro, Seiki Akama, dan Kazumi Nakamatsu (ed.), 2015, Pengenalan kepada Logik Beranotasi: Asas untuk Penalarasan Paraselengkap dan Parasonsisten (Perpustakaan Rujukan Sistem Pintar 88), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-17912-4
  • Akama, Seiki (ed.), 2016, Menuju Kejuruteraan Paraconsistent (Perpustakaan Rujukan Sistem Pintar 110), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40418-9
  • Anderson, Alan Ross dan Nuel D. Belnap, 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Volume 1, Princeton: Princeton University Press.
  • Anderson, Alan Ross, Nuel D. Belnap, dan J. Michael Dunn, 1992, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Volume 2, Princeton: Princeton University Press.
  • Andreas, Holger dan Peter Verdée, 2016, Kajian Logik Penalaran Paraconsistent dalam Sains dan Matematik (Trends in Logic 45), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40220-8
  • Arruda, Ayda I., 1977, “On the Imaginary Logic of NA Vasil'év”, dalam Arruda et al. 1977: 3–24. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70642-6
  • –––, 1989, “Aspek Perkembangan Sejarah Logik Paraconsistent”, dalam Priest et al. 1989: 99–130.
  • Arruda, Ayda I., Newton da Costa dan R. Chuaqui (eds.), 1977, Logik Bukan Klasik, Teori Model dan Komputabiliti (Kajian dalam Logik dan Asas-asas Matematik 89), Amsterdam: Belanda Utara.
  • Asenjo, FG, 1966, “A Calculus of Antinomies”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 7 (1): 103–105. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093958482
  • Asmus, Conrad, 2012, “Paraconsistency on the Rocks of Dialetheism”, Logique et Analyze, 55 (217): 3–21. [Asmus 2012]
  • Avron, Arnon dan Iddo Lev, 2005, "Struktur Berbilang Nilai Non-deterministik", Jurnal Logik dan Pengiraan, 15 (3): 241-261.
  • Batens, Diderik, 2001, "Karakterisasi Umum Logik Adaptif", Logique et Analisis, 44 (173-175): 45–68. [Batens 2001 boleh didapati dalam talian]
  • –––, 2007, “Pendekatan Logik Sejagat untuk Logika Adaptif”, Logica Universalis, 1 (1): 221–242. doi: 10.1007 / s11787-006-0012-5
  • Batens, Diderik, Chris Mortensen, Graham Priest, dan Jean-Paul van Bendegem (ed.), 2000, Frontiers of Paraconsistent Logic (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, England: Research Studies Press. [Prosiding Kongres Dunia Pertama]; lihat juga Logique & Analyze, Volume 41, Numbers 161–163.
  • Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
  • Belnap, Nuel D., Jr., 1992, "Logik Berguna Empat Nilai: Bagaimana komputer harus berfikir", Entailment: Logik Perkaitan dan Keperluan, Jilid II, Alan Ross Anderson, Nuel D. Belnap, Jr, dan J. Michael Dunn, Princeton: Princeton University Press; pertama kali muncul sebagai "Logik Berguna Berharga Empat", Penggunaan Logik Berguna Berunsur Moden, J. Michael Dunn dan George Epstein (ed.), Dordrecht: D. Reidel, 1977: 5–37, dan "Bagaimana Komputer Harus Think”, Aspek Falsafah Kontemporari, Gilbert Ryle (ed.), Oriel Press, 1977: 30–. doi: 10.1007 / 978-94-010-1161-7_2
  • Besnard, Philippe dan Anthony Hunter (ed.), 1998, Penalaran dengan Kontradiksi Sebenar dan Potensi, (Buku Panduan Sistem Pengurusan Penalaran dan Ketidakpastian yang Dapat Dikalahkan, jilid 2), Dordrecht: Penerbit Akademik Kluwer. doi: 10.1007 / 978-94-017-1739-7
  • Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli, dan Dov M. Gabbay (ed.), 2007, Buku Panduan Paraconsistency (Kajian dalam Logik 9), London: College Publications. [Prosiding Kongres Dunia Ketiga]
  • Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty, dan Soma Dutta (eds.), 2015, Petunjuk Baru dalam Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9 [Prosiding Kongres Dunia Kelima]
  • Brady, Ross T., 1989, "The Non-Triviality of Dialectical Set Theory", dalam Priest et al. 1989: 437–471.
  • ––– (ed.), 2003, Logika Berkaitan dan Saingannya, Jilid 2, Aldershot: Ashgate.
  • –––, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Brown, Bryson, 2002, “On Paraconsistency”, dalam A Companion to Philosophical Logic, Dale Jacquette (ed.), Oxford: Blackwell, hlm. 628–650. doI: 10.1002 / 9780470996751.ch40
  • Brown, Bryson dan Graham Priest, 2004, “Chunk and Permeate: A Paraconsistent Inference Strategy. Bahagian 1: Kalkulus Infinitesimal”, Jurnal Logik Falsafah, 33 (4): 379–388. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036831.48866.12
  • –––, 2015, “Chunk and Permeate II: Bohr's Hydrogen Atom”, European Journal for Philosophy of Science, 5 (3): 297–314.
  • Chomsky, Noam, 1995, Program Minimalis, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Carnielli, Walter A. dan Marcelo Esteban Coniglio, 2016, Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-33205-5
  • Carnielli, Walter A., Marcelo E. Coniglio, dan João Marcos, 2007, "Logik Ketidaksesuaian Formal", dalam Buku Panduan Logik Falsafah, Jilid 14 (Edisi Kedua), Dov M. Gabbay dan Franz Guenthner (ed.), Berlin: Springer, hlm. 15–107. doi: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_1
  • Carnielli, Walter A., M. Coniglio, dan Itala Maria Lof D'ottaviano (eds.), 2002, Paraconsistency: the Logical Way to the Inconsistent (Nota Kuliah dalam Matematik Tulen dan Terapan: Jilid 228), Boca Raton: CRC Press. [Prosiding Kongres Dunia Kedua]
  • da Costa, Newton CA, 1974, “On Theory of Inconsistent Formal Systems”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15 (4): 497–510. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093891487
  • da Costa, Newton CA dan EH Alves, 1977, "Analisis Semantik Calculi ({ bf C} _ {n})", Notre Dame Journal of Formal Logic, 18 (4): 621-630. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093888132
  • da Costa, Newton CA dan L. Dubikajtis, 1977, "Pada Logik Diskusi Jaśkowski", dalam Arruda et al. 1977: 37–56. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70644-X
  • da Costa, Newton CA, VS Subrahmanian, dan Carlo Vago, 1991, "The Paraconsistent Logics (mathrm {P} mathcal {T})", Zeitschrift für Mathematische Logic und Grundlangen der Mathematik, 37 (9-12): 139–148. doi: 10.1002 / malq.19910370903
  • Dunn, J. Michael, 1976, "Semantik Intuitif untuk Keperitan Ijazah Pertama dan 'Pokok Berpasangan'", Pengajian Filosofis, 29 (3): 149–68. doi: 10.1007 / BF00373152
  • Dunn, J. Michael dan Greg Restall, 2002, “Relevance Logic”, Handbook of Philosophical Logic, Volume 6, edisi kedua, Dov M. Gabbay dan Franz Guenthner (eds.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, hlm 1–136.
  • Dunne, John D., 2004, Asas Falsafah Dharmakīrti, Boston: Penerbitan Bijak.
  • Fine, Kit, 1974, "Model for Entailment", Journal of Philosophical Logic, 3 (4): 347–372. doi: 10.1007 / BF00257480
  • Girard, Patrick dan Koji Tanaka, 2016, “Paraconsistent Dynamics”, Synthese, 193 (1): 1–14. doi: 10.1007 / s11229-015-0740-2
  • Halldén, Sören, 1949, The Logic of Nonsense, Uppsala: A.-B. Lundequistska Bokhandeln.
  • Hyde, Dominic, 1997, “From Heaps and Caps to Heaps of Gluts”, Pikiran, 106 (424): 641–660. doi: 10.1093 / minda / 106.424.641
  • Jaśkowski, Stanisław, 1948 [1969], “Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensi (Sectio A), 1 (5): 55–77; terjemahan Bahasa Inggeris muncul sebagai "Propositional Calculus for Contradictory Deductive Systems", Studia Logica, 24 (1969): 143–157. (Terjemahan yang diperbaharui oleh J. Perzanowski muncul pada tahun 1999 sebagai "A Proposalional Calculus for Inconsistent Deductive Systems", Logic and Logical Philosophy, 7: 35–56.
  • –––, 1949 [1999], “Hai koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensis (Sectio A), 1 (8): 171–172; terjemahan Bahasa Inggeris muncul sebagai "On the Diskive Conjunction in the Propositional Calculus for Inconsistent Deductive Systems", Logic and Logical Philosophy, 7 (1999): 57-59.
  • Kamide, Norihiro dan Heinrich Wansing, 2012, "Proof Theory of Nelson's Paraconsistent Logic: A Uniform Perspective", Teori Sains Komputer, 415: 1–38. doi: 10.1016 / j.tcs.2011.11.001
  • Libert, Thiery, 2005, “Model untuk Teori Set Paraconsistent”, Jurnal Logik Terapan, 3 (1): 15–41. doi: 10.1016 / j.jal.2004.07.010
  • Loparic, A., 1977, "Une étude semantique de quelques menghitung propositionnels", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Academie des Sciences, 284: 835-838.
  • Łukasiewicz, Jan, 1951, Aristotle's Syllogistic: From the Standpoint of Modern Formal Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Mares, Edwin D., 2004, "Semantik 'Empat-Nilai' untuk Logik yang relevan R", Jurnal Logik Falsafah, 33 (3): 327–341. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000031375.18295.30
  • Martin, Christopher J., 1986, "William's Machine", Journal of Philosophy, 83 (10): 564-572. doi: 10.2307 / 2026432
  • –––, 1987, “Hujah yang Memalukan dan Kesimpulan yang Mengejutkan dalam Teori Pengembangan Bersyarat pada Abad Kedua Belas”, Gilbert De Poitiers Et Ses Contemporains, J. Jolivet, A. De Libera (ed.), Naples: Bibliopolis, hlm. 377–401.
  • –––, 1996, “Mustahil Positio sebagai Asas Metafizik atau, Logik mengenai Rencana Scotis?”, Vestigia, Imagines, Verba: Semiotics and Logic in Abad Pertengahan Teologi Teks, C. Marmo (ed.), Turnhout: Brepols, hlm 255–276.
  • McGinnis, Nicholas D., 2013, "Kebolehlaksanaan Logika Paraconsistent yang Tidak dijangka: Jalan Chomskyan ke Dialetisme", Yayasan Sains, 18 (4): 625–640. doi: 10.1007 / s10699-012-9294-7
  • McKubre-Jordens, Maarten dan Zach Weber, 2011, “Analisis Sebenar dalam Logik Paraconsistent”, Jurnal Logik Falsafah, 41 (5): 901–922. doi: 10.1007 / s10992-011-9210-6
  • Michael, Michaelis, 2016, "Pada Argumen 'paling bercerita' untuk Logik Paraconsistent", Synthese, 193 (10): 3347-3362. doi: 10.1007 / s11229-015-0935-6
  • Mortensen, Chris, 1995, Matematik Tidak Konsisten, Dordrecht: Penerbit Akademik Kluwer.
  • Omori, Hitoshi, 2015, “Catatan mengenai Teori Set Naif Berdasarkan LP”, Ulasan Logik Simbol, 8 (2): 279–295. doi: 10.1017 / S1755020314000525
  • Omori, Hitoshi, dan Jesse Alama, akan datang, "Axiomatizing Jaśkowski's logic diskic D2", Studia Logica, pertama dalam talian 10 Februari 2018. doi: 10.1007 / s1122.
  • Priest, Graham, 1979, “Logik Paradoks”, Jurnal Logik Falsafah, 8 (1): 219–241. doi: 10.1007 / BF00258428
  • –––, 1987, Dalam Kontradiksi: Kajian mengenai Transconsistent, Dordrecht: Martinus Nijhoff; edisi kedua, Oxford: Oxford University Press, 2006.
  • –––, 2001, “Revisi Kepercayaan Paraconsistent”, Theoria, 67 (3): 214–228. doi: 10.1111 / j.1755-2567.2001.tb00204.x
  • –––, 2002, “Paraconsistent Logic”, dalam Handbook of Philosophical Logic, edisi kedua, jilid 6, Dov M. Gabbay dan Franz Guenthner (ed.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, hlm. 287–393.
  • –––, 2003, "Aritmetik Tidak Konsisten: Isu Teknikal dan Falsafah", dalam Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica (Studia Logica Library, jilid 21), VF Hendricks dan J. Malinowski (ed.), Dordrecht: Kluwer Academic Penerbit, hlm. 273–99.
  • –––, 2007, “Paraconsistency and Dialetheism”, dalam Buku Panduan Sejarah Logik, Jilid 8, D. Gabbay dan J. Woods (ed.), Amsterdam: Holland Utara, hlm. 129–204.
  • Priest, Graham, JC Beall dan Bradley Armor-Garb (eds.), 2004, The Law of Non-Contradiction, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199265176.001.0001
  • Priest, Graham, Richard Routley, dan Jean Norman (ed.), 1989, Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent, München: Philosophia Verlag.
  • Priest, Graham dan Richard Sylvan, 1992, "Semantik Bersederhana untuk Logik Berkaitan Asas", Jurnal Logik Falsafah, 21 (2): 217-232. doi: 10.1007 / BF00248640
  • Rescher, Nicholas dan Ruth Manor, 1970, "Pada Inferensi dari Premis Tidak Konsisten", Teori dan Keputusan, 1 (2): 179-217. doi: 10.1007 / BF00154005
  • Restall, Greg, 1993, "Semantik Bersederhana untuk Logik yang Berkaitan (dan beberapa pesaingnya)", Jurnal Logik Falsafah, 22 (5): 481-511. doi: 10.1007 / BF01349561
  • –––, 1995, “Empat Nilai Semantik untuk Logik yang Berkaitan (dan beberapa pesaingnya)”, Jurnal Logik Falsafah, 24 (2): 139–160. doi: 10.1007 / BF01048529
  • Restall, Greg dan John Slaney, 1995, “Revisi Kepercayaan Realistik”, Prosiding Persidangan Dunia Kedua dalam Asas Kecerdasan Buatan, M. De Glas dan Z. Pawlak (eds.), Paris: Angkor, hlm. 367–378.
  • Ripley, David, 2011, "Kontradiksi di Sempadan", dalam R. Nouwen, R. van Rooij, U. Sauerland & H.-C. Schmitz (eds.), Kekaburan dalam Komunikasi, Dordrecht: Springer, hlm. 169–188. doi: 10.1007 / 978-3-642-18446-8_10
  • Routley, Richard dan Robert K. Meyer, 1993, "Semantics of Entailment", Truth, Syntax and Modality, H. Leblanc (ed.), Amsterdam: Holland Utara, hlm. 194-243.
  • Routley, Richard, Val Plumwood, Robert K. Meyer, dan Ross T. Brady, 1982, Logika Berkaitan dan Saingannya, Jilid 1, Ridgeview: Atascadero.
  • Routley, Richard dan Val Routley, 1972, “Semantik Pengambilan Ijazah Pertama”, Noûs, 6 (4): 335–359. doi: 10.2307 / 2214309
  • Schotch, PK dan RE Jennings, 1980, "Inferensi dan Keperluan", Journal of Philosophical Logic, 9 (3): 327-340. doi: 10.1007 / BF00248398
  • Schotch, Peter, Bryson Brown, dan Raymond Jennings (eds.), 2009, On Preserving: Essays on Preservationism and Paraconsistent Logic, Toronto: University of Toronto Press.
  • Smiley TJ, 1959, "Ketenangan dan deduktif", Prosiding Persatuan Aristotelian, 59: 233–254.
  • Subrahmanian, VS, 1987, "Tentang semantik program logik kualitatif", Proc. Symp IEEE ke-4. Pengaturcaraan Logik, San Francisco, CA: IEEE Computer Society Press, 178–182.
  • Sylvan, Richard, 2000, "Sejarah Awal Barat Logik Sosial", dalam Logik Sosial dan Aplikasi Mereka: Esei oleh mendiang Richard Sylvan, Dominic Hyde dan Graham Priest (ed.), Aldershot: Ashgate Publishers.
  • Tanaka, Koji, 2003, “Tiga Sekolah Paraconsistency”, The Australasian Journal of Logic, 1: 28–42.
  • –––, 2005, “Teori AGM dan Perubahan Kepercayaan Tidak Konsisten”, Logique et Analisis, 48 (189–192): 113–150. [Tanaka 2005 boleh didapati dalam talian]
  • Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares, dan Francesco Paoli (ed.), 2013, Paraconsistency: Logik dan Aplikasi (Logik, Epistemologi, dan Kesatuan Sains 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7 [Prosiding Kongres Dunia Keempat]
  • Tillemans, Tom JF, 1999, Kitab Suci, Logik, Bahasa: Esei mengenai Dharmakīrti dan Pengganti Tibetnya, Boston: Penerbitan Bijak.
  • Urquhart, Alasdair, 1972, “Semantik untuk Logik yang Berkaitan”, Jurnal Logik Simbolik, 37 (1): 159–169. doi: 10.2307 / 2272559
  • Verdée, Peter, 2013, “Teori Set yang Kuat, Universal dan Tidak Boleh Dipercayai oleh Kaedah Logik Adaptive”, Logic Journal of the IGPL, 21 (1): 108–125. doi: 10.1093 / jigpal / jzs025
  • Weber, Zach, 2010a, “Model Paraconsistent of Vagueness”, Pikiran, 119 (476): 1025–1045. doi: 10.1093 / mind / fzq071
  • –––, 2010b, “Nombor Transfinit dalam Teori Set Paraconsistent”, Ulasan Logik Simbolik, 3 (1): 71–92. doi: 10.1017 / S1755020309990281
  • –––, 2012, “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, Ulasan Logik Simbolik, 5 (2): 269–293. doi: 10.1017 / S1755020312000019

Jumlah Kongres Dunia Paraconsistensi

  • [Kongres Pertama] Batens, Diderik, Chris Mortensen, Graham Priest, dan Jean-Paul van Bendegem (ed.), 2000, Frontiers of Paraconsistent Logic (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, England: Research Studies Press.
  • [Kongres Kedua] Carnielli, Walter A., M. Coniglio, dan Itala Maria Lof D'ottaviano (eds.), 2002, Paraconsistency: the Logical Way to the Inconsistent (Nota Kuliah dalam Matematik Tulen dan Terapan: Jilid 228), Boca Raton: CRC Press.
  • [Kongres Ketiga] Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli, dan Dov M. Gabbay (ed.), 2007, Buku Panduan Paraconsistency (Kajian dalam Logik 9), London: College Publications.
  • [Kongres Keempat] Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares, dan Francesco Paoli (eds.), 2013, Paraconsistency: Logik dan Aplikasi (Logik, Epistemologi, dan Persatuan Sains 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7
  • [Kongres Kelima] Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty, dan Soma Dutta (ed.), 2015, Petunjuk Baru dalam Logik Paraconsistent, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

  • Kongres Dunia Pertama mengenai Paraconsistency
  • Kongres Dunia Kedua mengenai Paraconsistency
  • Kongres Dunia Ketiga mengenai Paraconsistency
  • Kongres Dunia Keempat mengenai Paraconsistency
  • Kongres Dunia Kelima mengenai Paraconsistency

Disyorkan: