Logik Berharga

Isi kandungan:

Logik Berharga
Logik Berharga

Video: Logik Berharga

Video: Logik Berharga
Video: Logic Pro | Пробуем все вкусы капсул | Сравнение с IQOS и GLO 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Logik Berharga

Pertama kali diterbitkan Sel 25 Apr 2000; semakan substantif pada 5 Mac 2015

Logik bernilai banyak adalah logik bukan klasik. Mereka serupa dengan logik klasik kerana mereka menerima prinsip fungsi kebenaran, iaitu, bahawa kebenaran ayat majmuk ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran ayat-ayat komponennya (dan oleh itu tetap tidak terpengaruh apabila salah satu daripada ayat komponennya diganti dengan yang lain ayat dengan nilai kebenaran yang sama). Tetapi mereka berbeza dengan logik klasik oleh fakta asas bahawa mereka tidak mengehadkan bilangan nilai kebenaran kepada dua sahaja: mereka membenarkan satu set darjah kebenaran (W) yang lebih besar.

Sama seperti pengertian 'dunia yang mungkin' dalam semantik logik modal dapat ditafsirkan semula (misalnya, sebagai 'momen waktu' dalam semantik logik tegang atau sebagai 'keadaan' dalam semantik logik dinamik), tidak ada pentafsiran standard darjah kebenaran. Cara mereka difahami bergantung pada bidang aplikasi yang sebenarnya. Namun, adalah penggunaan umum untuk menganggap bahwa ada dua derajat kebenaran tertentu, biasanya dilambangkan dengan "0" dan "1". Tahap kebenaran tertentu ini bertindak, masing-masing, seperti nilai kebenaran tradisional "falsum" dan "verum" - tetapi kadang-kadang juga seperti "benar-benar palsu" dan "benar-benar benar", terutama dalam kes di mana nilai kebenaran tradisional dari logik klasik "berpecah" menjadi satu siri darjah kebenaran.

Logik bernilai banyak menganggap tahap kebenaran mereka sebagai alat teknikal, dan berhasrat memilihnya dengan sesuai untuk aplikasi tertentu. Ini adalah masalah falsafah yang agak sukar untuk membincangkan (kemungkinan, bukan teknikal) sifat "darjah kebenaran" atau "nilai kebenaran" tersebut. Pembaca yang berminat boleh merujuk monograf Shramko / Wansing (2011) atau catatan mengenai nilai kebenaran.

Bahasa formal untuk sistem logik bernilai banyak (MVL) mengikuti dua corak standard untuk logik proposisi dan predikat, masing-masing:

  • terdapat pemboleh ubah proposisi bersama dengan penghubung dan (mungkin juga) pemalar tahap kebenaran dalam hal bahasa proposisi,
  • terdapat pemboleh ubah objek bersama dengan simbol predikat, mungkin juga pemalar objek dan simbol fungsi, serta pengukur, penghubung, dan (mungkin juga) pemalar darjah kebenaran dalam hal bahasa orde pertama.

Seperti biasa dalam logik, bahasa-bahasa ini menjadi asas bagi sistem logik secara semantik dan sintaksis yang diasaskan.

  • 1. Semantik

    • 1.1 Matriks Logik Piawai
    • 1.2 Semantik Algebra
    • 1.3 Semantik Permainan
  • 2. Teori Bukti

    • 2.1 Calculi jenis Hilbert
    • 2.2 Calculi urutan jenis Gentzen
    • 2.3 Tableau calculi
  • 3. Sistem Logik Berharga

    • 3.1 Logik Łukasiewicz
    • 3.2 Logik Gödel
    • 3.3 Sistem berasaskan t-Norm
    • 3.4 Sistem bernilai tiga
    • 3.5 Sistem bernilai 4 Dunn / Belnap
    • 3.6 Sistem produk
  • 4. Aplikasi Logik Berharga

    • 4.1 Aplikasi untuk Linguistik
    • 4.2 Aplikasi untuk Logik
    • 4.3 Aplikasi untuk Masalah Falsafah
    • 4.4 Aplikasi untuk Reka Bentuk Perkakasan
    • 4.5 Aplikasi untuk Kecerdasan Buatan
    • 4.6 Aplikasi Matematik
  • 5. Sejarah Logik Berharga
  • Bibliografi

    • Kertas Monograf dan Kaji Selidik
    • Karya Lain Dipetik
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Semantik

Terdapat tiga jenis semantik untuk sistem logik yang bernilai tinggi.

  • 1.1 Matriks Logik Piawai
  • 1.2 Semantik Algebra
  • 1.3 Semantik Permainan

Kami membincangkannya secara bergiliran.

1.1 Matriks Logik Piawai

Kaedah yang paling sesuai untuk menentukan sistem (bS) logik bernilai banyak adalah dengan memperbaiki matriks logik ciri untuk bahasanya, iaitu memperbaiki:

  • set darjah kebenaran,
  • fungsi darjah kebenaran yang menafsirkan penghubung cadangan,
  • maksud pemalar darjah kebenaran,
  • tafsiran semantik pengukur,

dan juga,

  • darjah kebenaran yang ditentukan, yang membentuk subset dari set darjah kebenaran dan bertindak sebagai pengganti nilai kebenaran tradisional "verum",
  • dan kadang-kadang juga darjah kebenaran anti-ditetapkan, yang membentuk subset dari set darjah kebenaran dan bertindak sebagai pengganti nilai kebenaran tradisional "falsum".

Rumus yang dibentuk dengan baik (A) dari bahasa cadangan dianggap sah di bawah beberapa penilaian (alpha) (yang memetakan set pemboleh ubah proposisi ke dalam set darjah kebenaran) jika ia mempunyai tahap kebenaran yang ditentukan di bawah (alpha). Dan (A) sah secara logik atau tautologi sekiranya ia berlaku di bawah semua penilaian.

Dalam kes bahasa orde pertama, formula yang terbentuk dengan baik (A) dianggap sah berdasarkan tafsiran (alpha) bahasa sekiranya ia mempunyai tahap kebenaran yang ditentukan berdasarkan tafsiran ini dan semua penugasan objek dari alam semesta wacana tafsiran ini kepada pemboleh ubah objek. (A) dikira sebagai logik jika ia berlaku di bawah semua tafsiran.

Seperti dalam logik klasik, tafsiran semacam itu harus diberikan

  • alam semesta wacana (tidak kosong),
  • makna pemalar objek bahasa,
  • makna huruf predikat dan simbol fungsi bahasa.

Model beberapa set (Sigma) formula yang terbentuk dengan baik adalah penilaian (alpha) atau interpretasi (alpha) sehingga semua (A) ∈ (Sigma) sah di bawah (alpha). Itu (Sigma) memerlukan (A) bermaksud bahawa setiap model (Sigma) juga merupakan model (A).

1.2 Semantik Algebra

Terdapat jenis semantik kedua untuk sistem (bS) logik bernilai banyak yang didasarkan pada kelas ciri keseluruhan (bK) struktur aljabar (serupa). Setiap struktur aljabar seperti itu harus menyediakan semua data yang harus disediakan oleh matriks logik ciri untuk bahasa (bS).

Pengertian kesahihan formula (A) berkenaan dengan struktur aljabar dari (bK) ditakrifkan seolah-olah struktur ini akan membentuk matriks logik. Dan kesahan logik di sini bermaksud kesahan untuk semua struktur dari kelas (bK).

Jenis struktur algebra yang membentuk kelas karakteristik (bK) untuk beberapa sistem (bS) MVL biasanya mungkin berasal dari dua sumber yang berbeza. Sumber pertama dapat ditentukan oleh pertimbangan ekstralogikal yang membezakan sebilangan kelas struktur algebra. Sekiranya sistem (bS) MVL, ditentukan secara sintaksis atau oleh satu matriks ciri tunggal, kelas struktur aljabar seperti itu sering ditentukan oleh (sintaksis atau semantik) aljabar Lindenbaum dari (bS), dan dalam kes seperti itu sering memainkan peranan penting dalam bukti kelengkapan aljabar. Struktur algebra di (bK) mempunyai peranan yang serupa untuk (bS) seperti algebra Boolean untuk logik klasik.

Untuk sistem MVL tertentu, contohnya, kelas ciri struktur algebra berikut:

  • untuk logik Łukasiewicz bernilai tak terbatas kelas MV-algebras,
  • untuk logik Gödel bernilai tak terbatas kelas dari semua aljabar Heyting yang juga memuaskan prelinearity ((x / rightarrow y) cup (y / rightarrow x) = 1,)
  • untuk logik t-norma asas Hajek BL kelas semua t-algebra, iaitu semua struktur algebra yang dibentuk oleh selang unit sebenar bersama dengan t-norma berterusan-kiri (T) dan operasi residu mereka (I_ {T}) ditakrifkan sebagai (I_ {T} (x, y) = / sup {z / pertengahan T (x, z) le y }.)

Untuk dua contoh pertama ini, secara sejarah, logik ditentukan oleh matriks ciri, dan kelas struktur algebra yang sesuai ditentukan kemudian hari. Untuk contoh ketiga, keadaannya berbeza: BL dirancang untuk menjadi logik semua norma t berterusan, dan dari pendekatan ekstralogikal ini kelas semua kisi residu yang dapat dibahagikan yang memuaskan prelinearity ditemui.

Akan tetapi, dari sudut pandang falsafah, lebih baik mempunyai landasan semantik untuk sistem MVL yang menggunakan matriks logik satu ciri. Tetapi, dari sudut pandangan formal, kedua-dua pendekatan sama pentingnya, dan semantik algebra ternyata menjadi pendekatan yang lebih umum.

1.3 Semantik Permainan

Terdapat pelbagai cara di mana logik dan permainan dapat dikaitkan. Logik logik, misalnya, menawarkan semantik teori permainan untuk logik klasik dan intuisi: formula dikira sah sekiranya penyokong yang menyatakan formula ini mempunyai strategi menang atas kemungkinan serangan yang disedari oleh lawan.

Dalam konteks hubungan antara set kabur dan logik bernilai banyak, pendekatan terhadap pandangan berorientasi permainan pada kesahan logik ditawarkan oleh Robin Giles. Bermula pada tahun 1975, ia mengusulkan dalam serangkaian makalah Giles (1975,1976,1979), dan sekali lagi di Giles (1988), perlakuan umum penaakulan dengan predikat yang kabur dengan menggunakan sistem formal berdasarkan interpretasi dialog yang mudah. Dia telah menggunakan tafsiran dialog ini dalam makalah lain, seperti Giles 1974, yang membahas kepercayaan subjektif dan asas-asas fizik. Idea utamanya adalah membiarkan "ayat mewakili kepercayaan dengan menyatakannya secara nyata dalam bentuk taruhan". Pertaruhan berkenaan dengan hasil sebenar percubaan penyebaran dengan kemungkinan hasil yang berbeza dari kebarangkalian yang diketahui. Dalam tetapan ini maka “kalimat (psi) dianggap mengikuti dari ayat (phi_ {1}, / ldots, / phi_ {n}) tepat ketika dia yang menerima pertaruhan (phi_ {1 }, / ldots, / phi_ {n}) dapat pada masa yang sama bertaruh (psi) tanpa takut kehilangan”.

Bahasa (formal) yang diperoleh dengan cara ini berkait rapat dengan logik Łukasiewicz yang bernilai tak terbatas (rL _ { infty}): sebenarnya kedua-dua sistem itu bertepatan jika seseorang memberikan kalimat (phi) nilai kebenaran (1- / langle / phi / rangle), dengan (langle / phi / rangle) untuk nilai risiko menegaskan (phi). Dan dia bahkan menambahkan pernyataan bahawa, dengan penafsiran dialog ini, logika Łukasiewicz sangat tepat untuk perumusan 'teori set kabur' yang pertama kali dijelaskan oleh LA Zadeh (1965); memang, tidak keterlaluan untuk mendakwa bahawa (rL _ { infty}) berkaitan dengan teori set kabur sama seperti logik klasik yang berkaitan dengan teori set biasa”.

Versi dan generalisasi permainan dialog yang berbeza telah dikaji baru-baru ini. Pelbagai aspek perkembangan ini dibincangkan, misalnya, dalam Fermüller (2008) dan Fermüller / Roschger (2014). Pendekatan sedemikian tidak hanya dapat memberikan semantik permainan seperti logik Gödel dan logik produk. Terdapat juga jambatan yang menghubungkan permainan seperti itu dengan reka bentuk kalkulus berurutan untuk logik bernilai banyak, rujuk. Fermüller / Metcalfe (2009).

Terdapat juga jenis permainan dialog lain yang berkaitan dengan (m) - logik Łukasiewicz: penyokong meminta maklumat, dan lawan yang menjawab dibenarkan untuk berbohong hingga (m) kali. “Ulam games with lie” seperti itu telah diperkenalkan oleh Mundici (1992).

2. Teori Bukti

Jenis utama calculi logik semua tersedia untuk sistem MVL:

  • 2.1 Calculi jenis Hilbert
  • 2.2 Calculi urutan jenis Gentzen
  • 2.3 Tableau calculi

Walau bagaimanapun, beberapa perkara di atas hanya tersedia untuk sistem bernilai tinggi. Keadaan terkini untuk kelas logik bernilai tinggi ditunjukkan dalam Metcalfe / Olivetti / Gabbay (2009).

2.1 Calculi jenis Hilbert

Calculi ini dibentuk dengan cara yang sama dengan calculi yang sesuai untuk logik klasik: beberapa set aksioma digunakan bersama dengan satu set peraturan inferensi. Pengertian derivasi adalah yang biasa.

2.2 Calculi urutan jenis Gentzen

Sebagai tambahan kepada jenis calculi urutan yang biasa, para penyelidik juga baru-baru ini mula membincangkan mengenai calculi 'hypersequent' untuk sistem MVL. Hypersequents adalah multiset terhingga, iaitu senarai urutan biasa yang tidak tersusun.

Untuk sistem yang bernilai tinggi, terutamanya yang bernilai ((m)), terdapat juga kalkulus berurutan yang berfungsi dengan urutan umum. Dalam kes (m) - nilai, ini adalah urutan panjang (m) set formula.

2.3 Tableau calculi

Struktur pokok tableaux tetap sama di calculi ini seperti di calculi tableau untuk logik klasik. Label nod menjadi objek yang lebih umum, iaitu formula bertanda. Formula bertanda adalah pasangan, yang terdiri daripada tanda dan formula yang terbentuk dengan baik. Tanda sama ada darjah kebenaran, atau sekumpulan darjah kebenaran.

Tableau calculi dengan formula yang ditandatangani biasanya dibatasi pada sistem nilai MVL yang terhad, sehingga dapat ditangani dengan cara yang efektif.

3. Sistem Logik Berharga

Sistem utama MVL sering datang sebagai keluarga yang terdiri daripada sistem bernilai terbatas dan sistem tak terhingga. Berikut adalah senarai:

  • 3.1 Logik Łukasiewicz
  • 3.2 Logik Gödel
  • 3.3 Sistem berasaskan t-Norm
  • 3.4 Sistem bernilai tiga
  • 3.5 Sistem bernilai 4 Dunn / Belnap
  • 3.6 Sistem produk

3.1 Logik Łukasiewicz

Sistem (rL_ {m}) dan (rL _ { infty}) ditentukan oleh matriks logik yang mempunyai beberapa set terhingga

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} pertengahan 0 / le k / le m - 1 })

rasional dalam selang unit sebenar, atau selang keseluruhan unit

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / pertengahan 0 / le x / le 1 })

sebagai tahap kebenaran yang ditetapkan. Darjah 1 adalah satu-satunya tahap kebenaran yang ditentukan.

Penyambung utama sistem ini adalah gabungan yang kuat dan lemah, (amp) dan (wedge), masing-masing, yang diberikan oleh fungsi darjah kebenaran

start {align} u / amp v & = / max {0, u + v-1 }, \\ u / wedge v & = / min {u, v }, / end {align}

penghubung negasi (neg) ditentukan oleh

(neg u = 1-u,)

dan penyambung implikasi (panah kanan) dengan fungsi darjah kebenaran

[u / rightarrow v = / min {1, 1-u + v }.)

Selalunya, dua penghubung pemisah juga digunakan. Ini didefinisikan dalam istilah (amp) dan (wedge), masing-masing, melalui undang-undang de Morgan yang biasa menggunakan (neg). Untuk sistem Łukasiewicz orde pertama, satu menambah dua pengkuantator (forall), (wujud) sedemikian rupa sehingga tahap kebenaran (forall xH (x)) adalah minimum semua yang relevan darjah kebenaran (H (x)), dan bahawa darjah kebenaran (wujud xH (x)) adalah puncak semua darjah kebenaran yang relevan (H (x)).

3.2 Logik Gödel

Sistem (rG_ {m}) dan (rG _ { infty}) ditentukan oleh matriks logik yang mempunyai beberapa set terhingga

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} pertengahan 0 / le k / le m - 1 })

rasional dalam selang unit sebenar, atau selang keseluruhan unit

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / pertengahan 0 / le x / le 1 })

sebagai tahap kebenaran yang ditetapkan. Darjah 1 adalah satu-satunya tahap kebenaran yang ditentukan.

Sambungan utama sistem ini adalah gabungan (wedge) dan disjunction (vee) yang ditentukan oleh fungsi darjah kebenaran

mula {align} u / wedge v & = / min {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / end {align}

penghubung implikasi (panah kanan) dengan fungsi darjah kebenaran

(u / panah kanan v)
(u / le v) 1
(u / gt v) (v)

dan penghubung negasi (sim) dengan fungsi darjah kebenaran

({ sim} u)
(u = 0) 1
(u / ne 0) 0

Untuk sistem Gödel orde pertama, satu menambah dua pengkuantator (forall), (wujud) sedemikian rupa sehingga tahap kebenaran (forall xH (x)) adalah minimum semua yang relevan darjah kebenaran (H (x)), dan bahawa darjah kebenaran (wujud xH (x)) adalah puncak semua darjah kebenaran yang relevan (H (x)).

3.3 Sistem berasaskan t-Norm

Untuk sistem bernilai tak terbatas dengan set ijazah kebenaran

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / pertengahan 0 / le x / le 1 })

pengaruh teori set kabur sejak pertengahan 1980-an memulakan kajian keseluruhan kelas sistem MVL seperti itu.

Sistem-sistem ini pada dasarnya ditentukan oleh (mungkin bukan idempotent) penghubung sambungan kuat (amp _ { rT}) yang mempunyai fungsi darjah kebenaran yang sepadan dengan t-norm (rT), iaitu operasi binari (rT) dalam selang unit yang bersekutu, komutatif, tidak menurun, dan mempunyai darjah 1 sebagai elemen neutral:

start {align} & / rT (u, / rT (v, w)) = / rT (rT (u, v), w), \& / rT (u, v) = / rT (v, u), \& u / le v / rightarrow / rT (u, w) le / rT (v, w), \& / rT (u, 1) = u. / hujung {sejajar}

Untuk semua norma-norma t yang mempunyai sifat pemeliharaan sup

(rT (u, { sup} _ {i} v_ {i}) = { sup} _ {i} rT (u, v_ {i}),)

ada cara standard untuk memperkenalkan penghubung implikasi yang berkaitan (rightarrow _ { rT}) dengan fungsi darjah kebenaran

[u / rightarrow _ { rT} v = / sup {z / mid / rT (u, z) le v }.)

Penyambung implikasi ini dihubungkan dengan t-norma (rT) oleh keadaan sepadan yang penting

(rT (u, v) le w / Leftrightarrow u / le (v / rightarrow _ { rT} w),)

yang menentukan (panah kanan _ { rT}) secara unik untuk setiap (rT) dengan sifat pemeliharaan sup.

Bahasa ini lebih diperkaya dengan penghubung negasi, (-_ { rT}), ditentukan oleh fungsi darjah kebenaran

[-_ { rT} u = u / kanan bawah _ { rT} 0.)

Ini memaksa bahasa untuk mempunyai juga pemalar darjah kebenaran (uO) untuk menunjukkan darjah kebenaran 0 kerana kemudian (-_ { rT}) menjadi penghubung yang dapat ditentukan.

Biasanya satu menambah sebagai dua penghubung yang lebih jauh iaitu sambungan (lemah) (wedge) dan gangguan (vee) dengan fungsi darjah kebenaran.

mula {align} u / wedge v & = / min {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / end {align}

Untuk t-norma yang merupakan fungsi berterusan (dalam arti kesinambungan standard untuk fungsi sebenar dua pemboleh ubah) penghubung tambahan ini menjadi lebih jelas. Definisi yang sesuai ialah

start {align} min {u, v } & = / rT (u, (u / rightarrow _ { rT} v)), \\ / max {u, v } & = / min { ((u / rightarrow _ { rT} v) rightarrow _ { rT} v), ((v / rightarrow _ { rT} u) rightarrow _ { rT} u) }. / hujung {sejajar}

Kes-kes tertentu dari sistem yang berkaitan dengan t-norma adalah sistem Łukasiewicz dan Gödel bernilai tak terbatas (rL _ { infty}), (rG _ { infty}), dan juga logik produk yang mempunyai produk aritmetik biasa sebagai t-norma asasnya.

Dari sudut pandang analitik, untuk t-norma (rT) sifat pemeliharaan sup mereka adalah kesinambungan kiri fungsi binari ini (rT), iaitu sifat yang masing-masing berfungsi unary (rT_ {a} (x) = / rT (a, x)) dibiarkan berterusan. Dan kelangsungan T-norma T dapat dicirikan melalui keadaan pembahagian algebra

[u / amp _ { rT} (u / rightarrow _ { rT} v) = u / baji v.)

Kelas semua t-norma sangat besar, dan sehingga kini tidak dapat difahami dengan baik. Walaupun bagi norma-norma t yang mempunyai sifat pemeliharaan suplemen, pemahaman strukturnya jauh dari lengkap, tetapi jauh lebih baik untuk kes umum: perbincangan mengenai seni terkini diberikan oleh Jenei (2004). Cukup difahami hanyalah subkelas t-norma berterusan: mereka disusun dengan baik dari salinan isomorfik t-norma Łukasiewicz, t-norma produk, dan t-norma Gödel, iaitu operasi min, seperti yang dijelaskan contohnya dalam Gottwald (2001).

Sebenarnya seseorang dapat mengaksistem sistem berasaskan t-norma untuk beberapa kelas t-norma tertentu. Sebagai hasil yang mendasar, Hájek (1998) telah memberikan aksiomatisasi logik BL dari semua t-norma berterusan. Selain semantik algebra yang disebutkan sebelumnya, logik ini, seperti yang disangka oleh Hajek dan dibuktikan dalam Cignoli / Esteva / Godo / Torrens (2000), sebagai semantik algebra lain kelas semua struktur berdasarkan t-norma yang t-norma adalah fungsi berterusan. Berdasarkan karya ini, Esteva dan Godo (2001) mengira aksiomatisasi untuk logik MTL semua t-norma yang mempunyai sifat pemeliharaan sup, dan Jenei / Montagna (2002) membuktikan bahawa ini benar-benar aksiomatisasi yang mencukupi. Dan Esteva / Godo / Montagna (2004) menawarkan kaedah untuk mengaksimumkan logik setiap t-norma berterusan:mereka menyediakan algoritma yang memberikan bagi setiap t-norma berterusan tertentu (rT) senarai skema aksioma yang terbatas yang, jika ditambahkan ke logik BL dari semua norma-t berterusan, menghasilkan aksiomatisasi yang mencukupi dari t-norma tertentu logik berdasarkan (rT).

Aksiomatisasi sistem berasaskan t-norma selanjutnya, serta pertanyaan untuk pengukur berdasarkan t-norm, adalah masalah penyelidikan baru-baru ini. Fokus utama diberikan oleh dua aspek berikut yang menyangkut pengubahsuaian daya ekspresif dari sistem berasaskan t-norma ini: (i) pengukuhan keterbukaan ini dengan membentuk sistem dengan pengendali penolakan tambahan atau dengan beberapa operasi gabungan berdasarkan t-norma; (ii) pengubahsuaian keterbukaan ini misalnya dengan menghapus pemalar tahap kebenaran (uO) dari bahasa, tetapi menambahkan implikasi yang menghubungkan dengan perbendaharaan kata asas, dan (iii) generalisasi yang mengubah norma-norma t menjadi tidak komutatif "Pseudo-t-norms" dan dengan demikian membawa kepada logik dengan penghubung gabungan yang tidak komutatif. Tinjauan untuk perkembangan tersebut telah diberikan oleh Gottwald / Hájek (2005), Gottwald (2008),dan Cintula / Hájek (2010).

Persembahan yang paling lengkap mengenai seni rupa pada tahun 2011 adalah monograf Cintula / Hájek / Noguera (2011). Dan sumbangan khusus P. Hájek terhadap perkembangan ini dihargai dalam buku Montagna (2015).

3.4 Sistem bernilai tiga

Sistem bernilai 3 nampaknya merupakan kes yang sangat mudah yang memberikan tafsiran intuitif terhadap tahap kebenaran; sistem ini merangkumi hanya satu darjah tambahan selain nilai kebenaran klasik.

Ahli matematik dan ahli logik Kleene menggunakan ijazah kebenaran ketiga untuk "tidak ditentukan" dalam konteks fungsi rekursif separa. Perhubungannya adalah penolakan, hubungan lemah, dan gangguan lemah sistem Łukasiewicz bernilai 3 bersamaan dengan konjungsi yang dapat ditentukan (wedge _ {+}) dan implikasi yang dapat ditentukan (rightarrow _ {+}) yang ditentukan oleh fungsi darjah kebenaran dengan jadual fungsi berikut (yang terakhir ini mempunyai tahap kebenaran ½ sekiranya salah satu penyusunnya mempunyai darjah kebenaran ½):

(baji _ {+}) 0 ½ 1
0 0 ½ 0
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1
(kanan bawah _ {+}) 0 ½ 1
0 1 ½ 1
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1

Di sini ½ adalah darjah kebenaran ketiga "tidak ditentukan". Dalam sistem Kleene ini, darjah 1 adalah satu-satunya tahap kebenaran yang ditentukan.

Blau (1978) menggunakan sistem yang berbeza sebagai logik semula jadi bahasa semula jadi. Dalam sistem Blau, kedua-dua darjah 1 dan ½ ditetapkan. Tafsiran lain dari tingkat kebenaran ketiga ½, misalnya sebagai "tidak masuk akal", "tidak ditentukan", atau "paradoks", memotivasi kajian sistem-sistem lain yang bernilai 3.

3.5 Sistem bernilai 4 Dunn / Belnap

Sistem MVL yang sangat menarik ini adalah hasil kajian mengenai logik relevansi, tetapi juga mempunyai kepentingan untuk aplikasi sains komputer. Set ijazah kebenarannya boleh dianggap sebagai

[W ^ * = { varnothing, { bot }, { top }, { bot, / top } },)

dan darjah kebenaran yang ditafsirkan sebagai menunjukkan (misalnya berkenaan dengan pertanyaan pangkalan data untuk beberapa keadaan tertentu) yang ada

  • tidak ada maklumat mengenai keadaan ini,
  • maklumat yang mengatakan bahawa keadaan gagal,
  • maklumat yang mengatakan bahawa keadaan berlaku,
  • maklumat bercanggah yang mengatakan bahawa keadaan berlaku dan juga gagal.

Set darjah kebenaran ini mempunyai dua susunan semula jadi (kisi):

  • susunan kebenaran yang mempunyai ({ atas }) di atas darjah yang tidak dapat dibandingkan (varnothing), ({ bot, / top }), dan mempunyai ({ bot }) di bawah; iaitu,

    4V-kebenaran
    4V-kebenaran
  • susunan maklumat (atau: pengetahuan) yang mempunyai ({ bot, / top }) di atas darjah yang tidak dapat dibandingkan ({ bot }, { atas }), dan mempunyai (varnothing) di bahagian bawah; iaitu,

    Maklumat 4V
    Maklumat 4V

Memandangkan inf dan sup di bawah urutan kebenaran, ada fungsi darjah kebenaran untuk sambungan dan penghubung gangguan. Negasi, secara semula jadi, ditentukan oleh fungsi darjah kebenaran yang menukar darjah ({ bot }) dan ({ top }), dan yang meninggalkan darjah ({ bot, / top }) dan (varnothing) dibetulkan.

Sebenarnya, tidak ada calon standard untuk penghubung implikasi, dan pilihan darjah kebenaran yang ditentukan bergantung pada aplikasi yang dimaksudkan:

  • untuk aplikasi sains komputer adalah wajar untuk memiliki ({ top }) sebagai satu-satunya darjah yang ditentukan,
  • untuk aplikasi untuk logik relevansi pilihan ({ top }), ({ bot, / top }) sebagai darjah yang ditentukan terbukti memadai.

Pilihan hubungan yang sesuai masih menjadi topik penyelidikan terbuka.

Sistem bernilai 4 ini mempunyai tafsiran yang menarik dalam konteks pangkalan maklumat yang disimpan dalam komputer yang dijelaskan oleh Belnap (1977). Generalisasi yang lebih baru oleh Shramko / Wansing (2005) kepada pangkalan pengetahuan dalam rangkaian komputer membawa kepada sistem bernilai 16, yang juga dipelajari oleh Odintsov (2009).

Sistem bernilai 16 ini juga menarik dari sudut pandang falsafah dan dikemukakan secara meluas dalam monograf Shramko / Wansing (2011).

3.6 Sistem produk

Masalah umum untuk mencari pemahaman intuitif mengenai darjah kebenaran kadang-kadang mempunyai penyelesaian yang baik: seseorang boleh menganggapnya sebagai merangkumi aspek yang berbeza dari penilaian ayat. Dalam kes seperti, katakanlah, (k) aspek yang berbeza, darjah kebenaran boleh dipilih sebagai (k) - tupel nilai yang menilai aspek tunggal. (Dan ini, misalnya, mungkin nilai kebenaran standard.)

Fungsi darjah kebenaran melebihi (k) seperti itu - tupel juga boleh didefinisikan "komponen dengan komponen" dari fungsi darjah kebenaran (atau: nilai kebenaran) untuk nilai komponen tunggal. Dengan cara ini, sistem logik (k) dapat digabungkan menjadi satu sistem produk yang bernilai banyak.

Dengan cara ini, tahap kebenaran sistem bernilai 4 Dunn / Belnap dapat dianggap sebagai menilai dua aspek keadaan (SOA) yang berkaitan dengan pangkalan data:

  1. sama ada terdapat maklumat positif mengenai kebenaran SOA ini atau tidak, dan
  2. adakah terdapat maklumat positif mengenai kepalsuan SOA ini atau tidak.

Kedua-dua aspek boleh menggunakan nilai kebenaran standard untuk penilaian ini.

Dalam kes ini, penyatuan, pemecahan, dan penolakan sistem bernilai 4 Dunn / Belnap dapat ditentukan secara komponen dengan konjungsi, disjungsi, atau penolakan, masing-masing, dari logik klasik, iaitu sistem bernilai 4 ini adalah hasil daripada dua salinan klasik logik bernilai dua.

4. Aplikasi Logik Berharga

Logika bernilai banyak didorong sebagian oleh tujuan filosofis yang tidak pernah tercapai, dan sebagian oleh pertimbangan formal mengenai kelengkapan fungsional. Pada tahun-tahun awal pembangunan, ini menimbulkan keraguan mengenai kegunaan MVL. Namun, sementara itu, aplikasi menarik ditemukan di berbagai bidang. Sebahagian daripadanya sekarang akan disebutkan.

  • 4.1 Aplikasi untuk Linguistik
  • 4.2 Aplikasi untuk Logik
  • 4.3 Aplikasi untuk Masalah Falsafah
  • 4.4 Aplikasi untuk Reka Bentuk Perkakasan
  • 4.5 Aplikasi untuk Kecerdasan Buatan
  • 4.6 Aplikasi Matematik

4.1 Aplikasi untuk Linguistik

Masalah yang mencabar adalah rawatan andaian dalam linguistik, iaitu andaian yang hanya tersirat dalam ayat yang diberikan. Jadi, misalnya, kalimat "Raja Kanada sekarang dilahirkan di Vienna" mempunyai anggapan eksistensial bahawa ada raja Kanada sekarang.

Bukan tugas yang mudah untuk memahami perlakuan perlakuan terhadap kalimat-kalimat tersebut, misalnya memberikan kriteria untuk membentuk penolakannya, atau memahami syarat-syarat implikasi yang sebenarnya.

Salah satu jenis penyelesaian untuk masalah ini merujuk kepada penggunaan banyak darjah kebenaran, misalnya sistem produk dengan pasangan yang diperintahkan sebagai darjah kebenaran: yang bermaksud bahawa komponennya menilai secara selari sama ada praduga dipenuhi, dan sama ada ayat itu benar atau salah. Tetapi pendekatan bernilai 3 juga telah dibincangkan.

Jenis idea lain untuk menggunakan alat MVL dalam linguistik terdiri daripada pendekatan ke arah pemodelan fenomena bahasa semula jadi. Idea asas dan beberapa aplikasi ditawarkan seperti dalam Novák / Perfilieva / Močkoř (1999) dan Novák (2008).

4.2 Aplikasi untuk Logik

Jenis pertama aplikasi sistem MVL untuk logik itu sendiri adalah menggunakannya untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik mengenai sistem logik lain. Dengan cara ini sistem Gödel muncul dari pendekatan untuk menguji apakah logik intuisi dapat difahami sebagai logik yang bernilai tinggi. Pengenalan sistem MVL oleh Łukasiewicz (1920) pada awalnya dipandu oleh idea (akhirnya tidak berjaya) untuk memahami konsep kemungkinan, iaitu logik modal, dengan cara bernilai 3.

Jenis kedua aplikasi untuk logik adalah penggabungan berbagai jenis sistem logik, misalnya perumusan sistem dengan modaliti yang dinilai. Melvin Fitting (1991/92) menganggap sistem yang menentukan modaliti tersebut dengan menggabungkan modal dan logika bernilai banyak, dengan aplikasi yang dimaksudkan untuk masalah Kecerdasan Buatan.

Jenis ketiga aplikasi untuk logik adalah pemodelan predikat separa dan jurang nilai kebenaran. Namun, ini hanya mungkin dilakukan kerana jurang nilai kebenaran ini berperilaku "kebenaran secara fungsional", iaitu sejauh mana jurang nilai kebenaran dalam ayat majmuk dapat dijelaskan oleh fungsi kebenaran yang sesuai. (Ini tidak selalu terjadi, misalnya tidak berlaku dalam formulasi yang menggunakan nilai tambah.)

4.3 Aplikasi untuk Masalah Falsafah

Cara memahami makna "kebenaran" adalah masalah falsafah lama. Pendekatan logik terhadap masalah ini terdiri dari memperkaya bahasa yang diformalkan (L) dengan predikat kebenaran (T), untuk diterapkan pada kalimat (L) - atau, lebih baik lagi, untuk diterapkan pada kalimat dari peluasan (L_ {T}) (L) dengan predikat (T).

Berdasarkan idea ini, teori yang masuk akal untuk bahasa seperti itu yang mengandungi predikat kebenaran dikembangkan pada pertengahan 1930-an oleh A. Tarski. Salah satu hasilnya ialah bahasa seperti itu ((L_ {T}), yang mengandungi predikat kebenarannya sendiri (T) dan memiliki kekayaan tertentu dalam kekuatan ekspresif, semestinya tidak konsisten.

Pendekatan lain terhadap bahasa seperti itu (L_ {T}) yang mengandungi predikat kebenaran mereka sendiri (T) ditawarkan oleh S. Kripke (1975) dan pada dasarnya didasarkan pada idea menganggap (T) sebagai sebahagian predikat, iaitu sebagai predikat yang mempunyai "jurang nilai kebenaran". Dalam kes yang difikirkan oleh Kripke (1975), jurang nilai kebenaran ini berperilaku "kebenaran secara fungsional" dan dapat diperlakukan seperti tahap kebenaran ketiga. Penyebaran mereka dalam ayat majmuk kemudian dapat digambarkan oleh fungsi tahap kebenaran yang sesuai dari sistem tiga nilai. Dalam pendekatan Kripke (1975), rujukan ini adalah pada sistem bernilai tiga yang dipertimbangkan oleh SC Kleene (1938) dalam konteks (matematik) fungsi separa dan predikat dalam teori rekursi.

Aplikasi kedua falsafah dalam MVL adalah kepada paradoks lama seperti orang Sorites (timbunan) atau falakros (lelaki botak). (Lihat entri Sorites paradoks.) Bagi orang Sorites, paradoksnya adalah seperti berikut:

(i) Satu butir pasir bukan timbunan pasir. Dan (ii) menambahkan satu butir pasir ke sesuatu yang bukan timbunan tidak menjadikannya timbunan. Oleh itu (iii) sebutir pasir tidak boleh berubah menjadi timbunan pasir, tidak kira berapa biji pasir yang ditambahkan ke dalamnya.

Oleh itu, premis yang benar (i) memberikan kesimpulan yang salah (iii) melalui urutan kesimpulan menggunakan (ii). Penyelesaian yang agak semula jadi di dalam peluasan MVL dengan pengertian inferensi bertahap, yang sering disebut logik kabur, adalah dengan menganggap pengertian timbunan sebagai kabur, iaitu sebagai pengertian yang mungkin berlaku untuk objek tertentu hanya pada beberapa (kebenaran) ijazah. Selain itu adalah wajar untuk menganggap premis (ii) hanya sebahagian benar, namun pada tahap yang hampir dengan tahap maksimum 1. Kemudian setiap langkah inferensi adalah seperti:

  • (a) (k) butir pasir tidak membuat timbunan.
  • (ii) Menambah satu butir pasir ke butir (k) tidak menjadikan butir ((k + 1)) menjadi timbunan.
  • Oleh itu
  • (b) ((k + 1)) butir pasir tidak membuat timbunan.

Walau bagaimanapun, inferensi ini harus melibatkan tahap kebenaran untuk premis (a) dan (ii), dan harus memberikan tahap kebenaran untuk kesimpulan (b). Idea penting untuk pemodelan jenis penaakulan dalam MVL adalah untuk memastikan bahawa darjah kebenaran untuk (b) lebih kecil daripada darjah kebenaran untuk (a) sekiranya darjah kebenaran untuk (ii) lebih kecil daripada yang maksimum. Akibatnya, kalimat (n) butir pasir tidak membuat timbunan cenderung menjadi salah kerana bertambahnya bilangan butir (n).

4.4 Aplikasi untuk Reka Bentuk Perkakasan

Logik proposional klasik digunakan sebagai alat teknikal untuk analisis dan sintesis beberapa jenis litar elektrik yang dibina dari "suis" dengan dua keadaan stabil, iaitu tahap voltan. Generalisasi yang agak mudah membolehkan penggunaan logika bernilai ((m) - untuk membincangkan litar yang dibina dari "suis" yang serupa dengan keadaan stabil (m). Seluruh bidang penerapan logik bernilai banyak ini disebut pertukaran banyak (atau bahkan: kabur). Pengenalan yang baik ialah Epstein (1993).

4.5 Aplikasi untuk Kecerdasan Buatan

AI sebenarnya adalah bidang aplikasi yang paling menjanjikan, yang menawarkan serangkaian bidang yang berbeza di mana sistem MVL telah digunakan.

Bidang aplikasi pertama menyangkut pengertian yang tidak jelas dan pertimbangan akal, misalnya dalam sistem pakar. Kedua-dua topik dimodelkan melalui set kabur dan logik kabur, dan ini merujuk kepada sistem MVL yang sesuai. Juga, dalam pangkalan data dan sistem berasaskan pengetahuan seseorang suka menyimpan maklumat yang tidak jelas.

Bidang aplikasi kedua sangat terikat dengan yang pertama: automatisasi data dan perlombongan pengetahuan. Di sini kaedah pengelompokan dipertimbangkan; ini merujuk melalui kelompok yang tidak jelas kepada set kabur dan MVL. Dalam konteks ini seseorang juga tertarik dengan teknik membuktikan teorema automatik untuk sistem MVL, dan juga kaedah pengaturcaraan logik untuk sistem MVL. Sebahagian daripada trend ini adalah perkembangan logik deskripsi umum, yang disebut logik deskripsi kabur, yang memungkinkan kemasukan alat teknikal (darjah kebenaran, penghubung, predikat bertingkat) dari bidang MVL ke dalam - dari sudut pandang penuh logik pesanan pertama: asas - sistem logik, logika penerangan yang disebut, lihat Straccia (2001), Hájek (2005), Stoilos et al. (2008).

4.6 Aplikasi Matematik

Terdapat tiga topik utama dalam matematik yang berkaitan dengan logik bernilai banyak. Yang pertama adalah teori matematik set kabur, dan analisis matematik "kabur", atau penaakulan anggaran. Dalam kedua kes tersebut merujuk kepada sistem MVL. Topik kedua adalah pendekatan ke arah bukti konsistensi untuk teori set menggunakan sistem MVL yang sesuai. Dan terdapat - yang hanya tersirat - merujuk kepada idea asas MVL dalam bukti kemerdekaan (contohnya untuk sistem aksioma) yang sering merujuk kepada matriks logik dengan lebih daripada dua darjah kebenaran. Walau bagaimanapun, di sini MVL lebih merupakan alat teknikal semata-mata kerana dalam bukti kemerdekaan ini, seseorang sama sekali tidak berminat dengan pemahaman intuitif mengenai tahap kebenaran sama sekali.

5. Sejarah Logik Berharga

Logik bernilai banyak sebagai subjek terpisah diciptakan oleh ahli logik dan ahli falsafah Poland Łukasiewicz (1920), dan dikembangkan pertama kali di Poland. Niat pertamanya adalah menggunakan ketiga, nilai kebenaran tambahan untuk "mungkin", dan untuk memodelkan cara ini "bagaimana perlu" dan "mungkin itu". Aplikasi yang dimaksudkan untuk logika modal tidak terwujud. Hasil penyelidikan ini, bagaimanapun, adalah sistem Łukasiewicz, dan serangkaian hasil teori mengenai sistem ini.

Pada dasarnya selari dengan pendekatan Łukasiewicz, ahli matematik Amerika Post (1921) memperkenalkan idea asas darjah kebenaran tambahan, dan menerapkannya pada masalah keterwakilan fungsi.

Kemudian, Gödel (1932) cuba memahami logik intuisi dari segi kebenaran banyak. Hasilnya adalah keluarga sistem Gödel, dan hasilnya, bahawa, logik intuisi tidak mempunyai matriks logik ciri dengan hanya banyak tahap kebenaran. Beberapa tahun kemudian, Jaskowski (1936) membina matriks ciri yang tidak terhingga untuk logik intuisi. Nampaknya, tahap kebenaran matriks ini tidak mempunyai interpretasi intuitif yang bagus dan sederhana.

Aplikasi falsafah logik bernilai 3 untuk perbincangan paradoks diusulkan oleh ahli logik Rusia Bochvar (1938), dan satu matematik untuk fungsi dan hubungan separa oleh ahli logik Amerika Kleene (1938). Jauh kemudian hubungan Kleene juga menjadi menarik secara filosofis sebagai alat teknikal untuk menentukan titik-titik tetap dalam teori kebenaran kebenaran yang dimulakan oleh Kripke (1975).

Tahun 1950-an menyaksikan (i) ciri analitik fungsi kelas tahap kebenaran yang dapat ditentukan dalam sistem Łukasiewicz proposional bernilai tak terbatas oleh McNaughton (1951), (ii) bukti kelengkapan untuk sistem yang sama oleh Chang (1958, 1959) memperkenalkan gagasan MV-algebra dan yang lebih tradisional oleh Rose / Rosser (1958), serta (iii) bukti kelengkapan untuk sistem Gödel cadangan yang tidak terhingga oleh Dummett (1959). Tahun 1950-an juga melihat pendekatan Skolem (1957) untuk membuktikan konsistensi teori set dalam ranah logik yang tidak terhingga.

Pada tahun 1960-an, Scarpellini (1962) menjelaskan bahawa sistem Łukasiewicz bernilai pertama yang tidak terbatas tidak (secara berulang) aksiomatisasi. Hay (1963) dan juga Belluce / Chang (1963) membuktikan bahawa penambahan satu peraturan inferensi infinitari menyebabkan aksiomatisasi (rL _ { infty}). Dan Horn (1969) mengemukakan bukti kelengkapan untuk logik Gödel bernilai pertama yang tidak terhingga. Selain perkembangan ini dalam logika murni bernilai tinggi, Zadeh (1965) memulai pendekatan (berorientasi aplikasi) menuju formalisasi pengertian samar-samar dengan cara teori umum, yang segera dihubungkan oleh Goguen (1968/69) dengan aplikasi filosofis, dan yang mana kemudian diilhamkan juga banyak pertimbangan teori di dalam MVL.

Tahun 1970-an menandakan tempoh aktiviti yang terhad dalam logik bernilai murni. Akan tetapi, ada banyak pekerjaan di bidang terkait (sains komputer) aplikasi pengertian samar-samar yang diformalkan sebagai set kabur, yang dimulakan misalnya oleh Zadeh (1975, 1979). Dan ada peluasan penting MVL oleh pengertian dan kesimpulan bertahap di Pavelka (1979).

Pada tahun 1980-an, set kabur dan aplikasinya tetap menjadi topik hangat yang meminta asas teori dengan kaedah logik yang bernilai tinggi. Di samping itu, terdapat hasil kerumitan pertama, misalnya mengenai rangkaian formula yang valid secara logik dalam logika Łukasiewicz bernilai pertama tanpa pesanan, oleh Ragaz (1983). Mundici (1986) memulakan kajian yang lebih mendalam mengenai MV-algebras.

Trend ini berterusan sejak 1980-an. Penyelidikan telah merangkumi aplikasi MVL untuk teori set kabur dan aplikasinya, penyiasatan terperinci mengenai struktur algebra yang berkaitan dengan sistem MVL, kajian tentang pengertian pengertian yang dinilai, dan penyelidikan terhadap masalah kerumitan untuk masalah yang berlainan dalam sistem MVL. Penyelidikan ini dilengkapi dengan karya menarik mengenai teori bukti, membuktikan teorema automatik, oleh aplikasi yang berbeza dalam masalah kecerdasan buatan, dan oleh kajian terperinci mengenai sistem bernilai tak terbatas berdasarkan t-norma - yang kini sering disebut (matematik) logik kabur.

Bibliografi

Kertas Monograf dan Kaji Selidik

  • Ackermann, R., 1967, Pengantar Logik Berharga, London: Routledge dan Kegan Paul.
  • Bolc, L. dan Borowik, P., 1992, Logik Berharga (1. Asas Teoritis), Berlin: Springer.
  • –––, 2003, Logik Berharga (2. Aplikasi Penaakulan dan Praktikal Automatik), Berlin: Springer.
  • Cignoli, R., d'Ottaviano, I. dan Mundici, D., 2000, Algebra Yayasan Penalaran Berharga, Dordrecht: Kluwer.
  • Cintula, P. dan Hájek, P., 2010, logika kabur predikat berdasarkan norma segitiga, Set dan Sistem Fuzzy, 161 (3): 311–346.
  • Cintula, P., Hájek, P. dan Noguera Ch. (eds.), 2011, Buku Panduan Logik Fuzzy Matematik (Kajian dalam Logik, Jilid 37-38), Penerbitan Kolej: London.
  • Epstein G., 1993, Reka Bentuk Logik Berbilang Nilai, Bristol: Institut Penerbitan Fizik.
  • Fitting, M. dan Orlowska, E. (eds.), 2003, Beyond Two, Heidelberg: Physica Verlag.
  • Gottwald, S., 1999, Teori set logik dan kabur yang sangat bernilai, dalam U. Höhle, SE Rodabaugh (eds.) Matematik Set Fuzzy: Logik, Topologi, dan Teori Pengukuran (Buku Panduan Seri Fuzzy Sets), Boston: Kluwer, 5–89.
  • –––, 2001, Sebuah Risalah mengenai Logik Berharga (Kajian dalam Logik dan Pengiraan, jilid 9), Baldock: Research Studies Press Ltd..
  • –––, 2007, Logik bernilai banyak, dalam D. Jacquette (ed.) Falsafah Logik (Buku Panduan Siri Sains Falsafah), Amsterdam: Belanda Utara, 675–722.
  • –––, 2008, Logik kabur Matematik, Logik Simbol Buletin, 14: 210–239.
  • Gottwald, S. dan Hájek, P., 2005, logik kabur matematik berasaskan T-norm, dalam E.-P. Klement, R. Mesiar (ed.), Aspek Logik, Algebra, Analitik, dan Probabilistik Norma Segitiga, Dordrecht: Elsevier, 275–299.
  • Hähnle, R., 1993, Pemotongan Automatik dalam Logik Berbilang Nilai, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1999, Tableaux untuk logik bernilai banyak, dalam M. d'Agostino et al. (eds.) Buku Panduan Kaedah Tableau, Dordrecht: Kluwer, 529–580.
  • –––, 2001, Logik bernilai tinggi yang maju, dalam D. Gabbay, F. Guenthner (ed.), Buku Panduan Logik Falsafah (Jilid 2), edisi ke-2, Dordrecht: Kluwer, 297–395.
  • Hájek, P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic, Dordrecht: Kluwer.
  • Karpenko, AS, 1997, Mnogoznacnye Logiki (Logika i Kompjuter, jilid 4), Moscow: Nauka.
  • Malinowski, G., 1993, Logik Berharga, Oxford: Clarendon Press.
  • Metcalfe, G., Olivetti, N. dan Gabbay, D., 2009, Proof Theory for Fuzzy Logics, New York: Springer.
  • Montagna, F. (ed.), 2015, Petr Hájek on Mathematical Fuzzy Logic (Sumbangan Luar Biasa untuk Logik, jilid 6), Cham dll.: Spinger.
  • Novák, V., Perfilieva, I. dan Močkoř, J., 1999, Prinsip Matematik Logik Fuzzy, Boston: Kluwer.
  • Panti, G., 1998, Logik bernilai banyak, dalam P. Smets (ed.) Perwakilan Yang Tidak Diketahui mengenai Ketidakpastian dan Ketidaktepatan (Buku Panduan Sistem Pengurusan Penalaran dan Ketidakpastian yang Dapat Dikalahkan, Jilid 1), Dordrecht: Kluwer, 25–74.
  • Rescher, N., 1969, Logik Berharga, New York: McGraw Hill.
  • Rine, DC (ed.), 1977, Sains Komputer dan Logik Berharga Banyak, Amsterdam: Holland Utara [2nd rev. ed. 1984].
  • Rosser, JB and Turquette, AR, 1952, Logik Berharga, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Shramko, Y. dan Wansing H., 2011, Kebenaran dan Kepalsuan. Pertanyaan mengenai Nilai Logik Umum (Trend in Logic: Volume 36), Dordrecht dll: Springer.
  • Urquhart, A., 2001, Logik bernilai banyak asas, dalam D. Gabbay, F. Guenthner (ed.), Buku Panduan Logik Falsafah, Vol. 2 (edisi 2d), Dordrecht: Kluwer, 249–295.
  • Wojcicki, R. dan Malinowski, G. (eds.), 1977, Selected Papers on Łukasiewicz Sentential Calculi, Wroclaw: Ossolineum.
  • Wolf, RG, 1977, Satu tinjauan logik bernilai banyak (1966–1974), dalam JM Dunn, G. Epstein (ed.), Kegunaan Moden Logik Berharga, Dordrecht: Reidel, 167–323.
  • Zinovev, AA, 1963, Masalah Falsafah Logik Berharga, Dordrecht: Reidel.

Karya Lain Dipetik

  • Belluce, LP dan Chang, CC, 1963, Teorema kelengkapan lemah untuk logik pesanan pertama bernilai tak terbatas, Jurnal Simbolik Jurnal, 28: 43–50.
  • Belnap, ND, 1977, Bagaimana komputer seharusnya berfikir, dalam G. Ryle (ed.), Aspek Falsafah Kontemporari, Stockfield: Oriel Press, 30–56.
  • –––, 1977, Logik bernilai empat yang berguna, dalam JM Dunn, G. Epstein (ed.), Kegunaan Moden Logik Berharga, Dordrecht: Reidel, 8–37.
  • Blau, U., 1978, Die dreiwertige Logik der Sprache: ihre Syntax, Semantik und Anwendung in der Sprachanalyse, Berlin: de Gruyter.
  • Bochvar, DA, 1938, Ob odnom trechznacnom iscislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klassiceskogo rassirennogo funkcional'nogo iscislenija, Matematiceskij Sbornik, 4 (46): 287-308. [Terjemahan Bahasa Inggeris: Bochvar, DA, Pada kalkulus logik bernilai tiga dan penerapannya pada analisis paradoks kalkulus fungsional klasik, Sejarah dan Falsafah Logik, 2: 87–112.]
  • Chang, CC, 1958, Analisis aljabar mengenai banyak logik yang dihargai, Transaction American Mathematical Society, 88: 476–490.
  • –––, 1959, Bukti baru mengenai kelengkapan aksioma Łukasiewicz, Transaction American Mathematical Society, 93: 74–80.
  • Cignoli, R., Esteva, F., Godo, L. dan Torrens, A., 2000, Basic Fuzzy Logic adalah logik t-norma berterusan dan residu mereka, Soft Computing, 4: 106–112.
  • Dummett, M., 1959, Kalkulus cadangan dengan matriks yang boleh dihitung, Jurnal Simbolik Jurnal, 24: 97–106.
  • Dunn, JM, 1976, Semantik intuitif untuk penyertaan peringkat pertama dan 'pohon gandingan', Kajian Falsafah, 29: 149–168.
  • Esteva, F. dan Godo, L., 2001, logika berdasarkan t-norma Monoidal: menuju logik untuk norma-t berterusan-kiri, Set dan Sistem Fuzzy, 124: 271–288.
  • Esteva, F., Godo, L. dan Montagna, F., 2004, Pencirian persamaan subvarieti BL yang dihasilkan oleh t-norm algebras, Studia Logica, 76: 161–200.
  • Fermüller, CG, 2008, Permainan dialog untuk logik bernilai banyak - gambaran keseluruhan, Studia Logica, 90: 43–68.
  • Fermüller, CG dan Metcalfe, G., 2009, permainan Giles dan teori bukti logik Łukasiewicz, Studia Logica, 92: 27–61.
  • Fermüller, CG dan Roschger, C., 2014, Dari permainan ke fungsi kebenaran: generalisasi permainan Giles, Studia Logica, 102: 389–410.
  • Fitting, MC, 1991/92, Logika modal bernilai banyak (I, II), Fundamenta Informaticae, 15: 235–254; 17: 55–73.
  • Giles, R., 1974, Logik bukan klasik untuk fizik, Studia Logica, 33: 397–415.
  • –––, 1975. Łukasiewicz logik dan teori set kabur. Dalam: Prosiding 1975 Internat. Simposium Logik Berharga (Indiana Univ., Bloomington / IN)}, Long Beach / CA: IEEE Computer Soc., 197–211.
  • –––, 1976, logik Łukasiewicz dan teori set kabur. Internat. Perjalanan. Kajian Mesin-Manusia, 8: 313–327.
  • –––, 1979, Sistem formal untuk penaakulan kabur. Set dan Sistem Fuzzy, 2: 233–257.
  • Giles, R., 1988, Konsep gred keahlian. Set dan Sistem Fuzzy, 25: 297–323.
  • Gödel, K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien (Math.-naturwiss. Klasse), 69: 65–66; - dicetak semula: (1933), Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, 4: 40.
  • Goguen, JA, 1968–69, Logik konsep yang tidak tepat, Synthese, 19: 325–373.
  • Hájek, P., 2005, Membuat logik deskripsi kabur menjadi lebih umum, Set dan Sistem Fuzzy, 154: 1–15.
  • Hájek, P. dan Zach, R., 1994, Ulasan Logik Berharga 1: Asas Teoritis, oleh Leonard Bolc dan Piotr Borowik, Jurnal Logik Non-Klasik Terapan, 4 (2): 215–220.
  • Hay, LS, 1963, Aksiomatisasi kalkulus predikat bernilai tak terhingga, Jurnal Simbolik Jurnal, 28: 77–86.
  • Jaskowski, S., 1936, Recherches sur le système de la logique intuitioniste, dalam Actes du Congrès Internationale de Philosophie Scientifique 1936, jilid. 6, Paris, 58–61. [Terjemahan Bahasa Inggeris: Studia Logica, 34 (1975): 117–120.]
  • Jenei, S., 2004, Bagaimana membina norma segitiga berlanjutan kiri - keadaan canggih, Set dan Sistem Fuzzy, 143: 27-45.
  • Jenei, S. dan Montagna, F., 2002, Bukti kelengkapan standard Esteva dan logik Godo MTL, Studia Logica, 70: 183–192.
  • Kleene, SC, 1938, Pada notasi untuk nombor ordinal, Jurnal Simbolik Logik, 3: 150-155.
  • Kripke, SA, 1975, Garis Besar teori kebenaran, Jurnal Falsafah, 72: 690-716.
  • Łukasiewicz, J., 1920, O logice trojwartosciowej, Ruch Filozoficny, 5: 170–171. [Terjemahan Bahasa Inggeris dalam: Łukasiewicz (1970).]
  • –––, 1970, Karya Terpilih, L. Borkowski (ed.), Amsterdam: Belanda Utara dan Warsawa: PWN.
  • McNaughton, R., 1951, Teorema mengenai logik sentensial bernilai tak terhingga, Jurnal Simbolik Jurnal, 16: 1–13.
  • Mundici, D., 1986, Tafsiran AF C * -algebras dalam kalkulus sentensial Łukasiewicz, J. Analisis Fungsional, 65: 15–63.
  • –––, 1992, Logik permainan Ulam dengan pembohongan, di: C. Bicchieri dan ML dalla Chiara (ed.) Pengetahuan, kepercayaan, dan interaksi strategik, Cambridge: Cambridge Univ. Tekan, 275-284.
  • Novák, V., 2008, Teori formal pengukur pertengahan, Set dan Sistem Fuzzy, 159: 1229–1246.
  • Odintsov, SP, 2009, Pada aksiomatik Shramko-Wansing's Logic, Studia Logica, 91: 407–428.
  • Post, EL, 1920, Penentuan semua sistem jadual kebenaran yang tertutup, Bulletin American Mathematical Society, 26: 437.
  • –––, 1921, Pengantar teori umum mengenai cadangan dasar, American Journal Mathematics, 43: 163–185.
  • Ragaz, M., 1983, Die Unentscheidbarkeit der einstelligen unendlichwertigen Prädikatenlogik, Archiv mathematische Logik Grundlagenforschung, 23: 129–139.
  • Rose, A. and Rosser, JB, 1958, Fragments of calculi of statement bernilai banyak, Transactions American Mathematical Society, 87: 1–53.
  • Scarpellini, B., 1962, Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz, Jurnal Simbolik Logik, 27: 159–170.
  • Shramko, Y. dan Wansing H., 2005, Beberapa logik bernilai 16 yang berguna. Bagaimana seharusnya jaringan komputer berfikir, Jurnal Filosofis Logik, 34: 121–153.
  • Skolem, Th., 1957, Bemerkungen zum Komprehensionsaxiom, Zeitschrift mathematische Logik Grundlagen Mathematik, 3: 1–17.
  • Stoilos, G. Stamou, G., Pan, JZ, Tzouvaras, V., dan Horrocks, I., 2007, Penalaran dengan logik deskripsi kabur yang sangat ekspresif, J. Artificial Intelligence Res, 30: 273–320.
  • Straccia, U. (2001), Penalaran dalam logik deskripsi kabur, J. Artificial Intelligence Res, 14: 137–166.
  • White, RB, 1979, Konsistensi aksioma pemahaman dalam logika predikat bernilai tak terhingga Łukasiewicz, J. Logik Filosofis, 8: 509–534.
  • Wronski, A., 1987, Catatan pada artikel tinjauan mengenai banyak logik yang dihargai oleh A. Urquhart, Studia Logica, 46: 275–278.
  • Zadeh, LA, 1965, set kabur, Maklumat dan Kawalan, 8: 338–353.
  • –––, 1975, Logik kabur dan pertimbangan yang tepat, Sintesis, 30: 407–428.
  • –––, 1978, Fuzzy menetapkan sebagai dasar untuk teori kemungkinan, Fuzzy Sets and Systems, 1: 3–28.
  • –––, 1979, Teori penaakulan anggaran, dalam JE Hayes, D. Michie, LI Mikulich (ed.), Perisikan Mesin 9. New York: Halstead Press, 149–194.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

  • Jawatankuasa Teknikal IEEE CS mengenai Logik Berharga, Yutaka Hata, penyunting buletin.
  • Jurnal Logik Berharga dan Pengkomputeran Lunak, Dan A. Simovici dan Ivan Stojmenovic, penyunting pengurusan.

Disyorkan: