Logik Untuk Menganalisis Kekuatan Dalam Permainan Bentuk Biasa

Isi kandungan:

Logik Untuk Menganalisis Kekuatan Dalam Permainan Bentuk Biasa
Logik Untuk Menganalisis Kekuatan Dalam Permainan Bentuk Biasa

Video: Logik Untuk Menganalisis Kekuatan Dalam Permainan Bentuk Biasa

Video: Logik Untuk Menganalisis Kekuatan Dalam Permainan Bentuk Biasa
Video: Kuliah Manajemen Strategi #3 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Logik untuk Menganalisis Kekuatan dalam Permainan Bentuk Biasa

Pertama kali diterbitkan pada Rabu 14 Jun 2017; semakan substantif Sel 1 Ogos 2017

Entri ini membincangkan penggunaan bahasa matematik untuk menyatakan dan menganalisis sifat kuasa formal dalam permainan bentuk normal. Bahasa matematik yang dibincangkan dalam entri ini akan disebut sebagai logik, dan diklasifikasikan mengikut kemampuan mereka untuk menyatakan konsep yang berkaitan dengan permainan.

Bahan dalam entri ini akan terhad kepada analisis logik strategi dan pilihan (kumpulan) individu dalam permainan bentuk normal. Ini tidak akan merangkumi penggunaan teori permainan untuk mengkaji bahasa logik atau peranan konsep epistemik dalam keputusan strategik. Ini juga tidak akan merangkumi aspek pembuatan keputusan berurutan, khas penaakulan strategik dalam permainan yang luas. Akaun tersebut boleh didapati dalam logik entri dan permainan yang berkaitan, asas epistemik teori permainan (lihat juga van Benthem, Pacuit, & Roy 2011 dan van Benthem 2014).

  • 1. Logik Bentuk Permainan Bawah Biasa
  • 2. Bahan Asas

    • 2.1 Keutamaan
    • 2.2 Pilihan
  • 3. Menganalisis Daya

    • 3.1 Permainan Koperasi dan Logiknya
    • 3.2 Permainan Strategik dan Logiknya

      • 3.2.1 Logik Tindakan Bukan monotonik
      • 3.2.2 Permainan Berasaskan Logik
  • 4. Kesimpulan: Pada Tahap Analisis yang Betul
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Logik Bentuk Permainan Bawah Biasa

Permainan (bentuk normal) adalah penerangan matematik mengenai hubungan antara satu set individu (atau kumpulan individu) dan satu set hasil yang berpotensi. Individu memilih, secara bebas dan bersamaan, subkumpulan hasil, dengan hasil akhir dipilih dari gabungan setiap pilihan. Secara bebas bermaksud bahawa pilihan individu tidak mempengaruhi satu sama lain. Bersamaan bermaksud bahawa pilihan setiap individu diambil tanpa mengetahui pilihan pemain lain. Setiap individu diasumsikan mempunyai keutamaan daripada set hasil, iaitu, dia lebih menyukai beberapa hasil daripada yang lain, dan biasanya dianggap mengetahui pilihan dan pilihan individu yang lain, menyesuaikan keputusan mereka dengan sewajarnya.

Permainan digunakan untuk memodelkan segala macam situasi, mulai dari perilaku binatang hingga penyelesaian konflik internasional (Osborne & Rubinstein 1994). Aplikasi yang berguna untuk tujuan entri ini adalah pengambilan keputusan kolektif, contohnya akan menjadi contoh yang berfungsi sepanjang masa.

Contoh 1: (Perjanjian Rom)

Perjanjian Rom (1958-1973) menubuhkan Komuniti Ekonomi Eropah. Menurut Artikel 148 Perjanjian, tindakan Majlis (salah satu institusi perundangan utama) diperlukan untuk adopsi mereka:

  • 12 suara (jika akta itu diusulkan oleh Suruhanjaya), atau
  • 12 suara oleh sekurang-kurangnya 4 negara anggota (sekiranya tindakan itu tidak dicadangkan oleh Suruhanjaya).

Nilai di atas merujuk kepada EU-6, negara anggota pengasas. Perjanjian memperuntukkan suara seperti berikut:

  • 4 undi: Perancis, Jerman, Itali;
  • 2 undi: Belgium, Belanda;
  • 1 undi: Luxembourg.

Senario ini boleh digambarkan sebagai permainan.

Terdapat enam pemain, Negara:

Perancis, Jerman, Itali, Belgia, Belanda dan Luxembourg.

Mereka memilih satu isu pada masa itu. Isu boleh menjadi binari, misalnya, penerapan skema perlindungan sempadan, atau bernilai banyak, misalnya, berapa juta yang harus dibelanjakan untuk penerapan skema perlindungan sempadan.

Negara mungkin mempunyai keutamaan daripada hasil pemungutan suara atau lebih dari suara khusus Negara lain, dan mereka biasanya memilih tanpa mengetahui bagaimana negara lain telah memilih.

Sering kali, permainan ini sedemikian rupa sehingga tidak ada peserta, yang mampu menentukan hasil akhir, tetapi, dalam beberapa kes, mereka dapat bekerjasama dan menyepakati strategi bersama.

Bergantung pada pilihan pemain, pengetahuan dan kemampuan, beberapa hasil akan lebih cenderung untuk dipilih. Untuk memahami yang mana, teori permainan telah merancang konsep penyelesaian, berfungsi secara formal dari kumpulan permainan hingga set hasil dalam setiap permainan ini, yang menggambarkan rasionalitas pemain dalam istilah matematik. Konsep penyelesaian, seperti yang akan kita lihat nanti, dapat dinyatakan secara ringkas dalam logika sederhana dan berkelakuan baik.

Seterusnya kami menggambarkan permainan sebagai struktur matematik, menekankan pelbagai bahan utama (contohnya, kemungkinan membentuk gabungan, kemungkinan mengambil keputusan tepat pada masanya, dll.) Dan bahasa yang paling sesuai untuk menyatakannya.

2. Bahan Asas

Secara rasmi, permainan terdiri daripada satu set pemain yang terhad (N = {1,2, / ldots, n }) dan satu set hasil yang mungkin tidak terbatas (W = {w_1, w_2, / ldots, w_k, / lots }).

Contoh 2:Dalam contoh di atas kumpulan pemain N adalah {Perancis, Jerman, Itali, Belgia, Belanda, Luxembourg}. Sekiranya kita mempertimbangkan isu penggunaan skema perlindungan sempadan, ada dua hasil: ya dan tidak, iaitu, (W = { mbox {ya, tidak} }). Sekiranya kita mempertimbangkan masalah berjuta-juta yang dibelanjakan untuk skema perlindungan sempadan, terdapat ruang hasil yang berpotensi tidak terbatas, iaitu, (W = { textrm {0M}, / textrm {1M}, / textrm {2M}, / ldots }). Adalah mungkin untuk memiliki seperangkat hasil yang bahkan diperhalusi lebih jauh, misalnya menentukan cara pemain memilih. Dalam kes ini, hasil di mana Perancis memilih ya, yang lain memilih tidak, dan hasilnya tidak, akan berbeza dengan hasil di mana Itali memilih ya, yang lain memilih tidak, dan hasilnya tidak, walaupun hasil undi adalah sama. Apa yang penting untuk ditekankan ialah setiap set hasil dilengkapi dengan tahap keterangan tentang apa yang berlaku dalam interaksi yang mendasari. Tidak ada keterangan apriori yang betul atau salah, pilihan bergantung pada sifat permainan yang diminati seseorang.

Di atas pemain dan hasil, permainan dilengkapi dengan dua hubungan lagi:

  • yang berhubung keutamaan, ditandakan (succeq), menerangkan keutamaan pemain lebih hasil;
  • yang berhubung tindakan, ditandakan (E), menggambarkan hasil yang pemain atau kumpulan pemain dapat mengenakan atau sebaliknya, menolak;

Hubungan penting dalam permainan adalah pengetahuan, yang secara formal menerangkan apa yang pemain tahu mengenai permainan dan lawan mereka. Hubungan ini kadang-kadang diberikan secara eksplisit, pada masa lain tersirat. Entri kali ini tidak akan menjadikan hubungannya jelas, tetapi akan memasukkannya dalam formalisasi rasionaliti pemain.

Kedua-dua pilihan dan hubungan tindakan mengumpulkan keluarga hubungan individu, satu per pemain. Hubungan keutamaan, misalnya, dipecah menjadi keluarga ({ succeq_i } _ {i / di N}), menggambarkan keutamaan terhadap hasil bagi setiap individu, sementara hubungan tindakan mengumpulkan keluarga ({E_C } _ {C / subseteq N}) masing-masing menerangkan apa yang dapat dicapai oleh kumpulan pemain tertentu.

Secara keseluruhan, permainan boleh dilihat sebagai struktur matematik

[(mathcal {N}, W, / succeq, E))

di mana (mathcal {N}) adalah set pemain, biasanya terbatas, (W) kumpulan hasil, (succeq) hubungan pilihan dan (E) hubungan tindakan.

Struktur matematik ini juga dikenali sebagai struktur hubungan (Blackburn, Rijke, & Venema 2001), yang merupakan set-teoretik setara dengan logik modal yang disebut (Blackburn et al. 2001), bahasa matematik yang sangat sesuai untuk menyatakan sifat matematik hubungan. Struktur hubungan selanjutnya akan dilambangkan (F), yang bermaksud bingkai.

Bahan terakhir yang kita perlukan, untuk menghubungkan struktur hubungan dan logika modal, adalah spesifikasi satu set Atom proposisi atom, yang menyatakan sifat relevan dari hasil yang kita minati. Set ini biasanya dianggap dapat dihitung [1] dan dikaitkan dengan hasil dengan fungsi penilaian, iaitu fungsi bentuk

[V: W / to 2 ^ / texttt {Atoms})

mengaitkan kepada setiap hasil set atom cadangan yang benar pada hasil itu.

Tuple ((F, V)) akan disebut sebagai model, yang akan dilambangkan (M).

Hubungan dalam struktur permainan, yang relatif terhadap pemain individu (dan kumpulan), secara formal akan dijelaskan berkaitan dengan logika modal utama yang digunakan untuk menyatakan sifat mereka, pada tahap keterangan dan perincian yang berbeza.

Perenggan berikut mengumpulkan konsep teknikal latar belakang yang diperlukan untuk menafsirkan bahasa modal yang digunakan dalam entri ini. Pembaca yang sudah mengetahui logik modal boleh melewatkannya. Untuk penerokaan yang lebih mendalam, seseorang boleh merujuk entri berkaitan logik modal (Garson 2014). Buku teks klasik yang terkenal ialah Modal Logic: An Introduction (Chellas 1980), yang memfokuskan pada logik modal tidak normal, dan Modal Logic (Blackburn et al. 2001), yang memusatkan perhatian pada perlakuan yang lebih matematik terhadap logik modal biasa. [2]

Modal Logik: tanggapan latar belakang: A logik modal adalah lanjutan daripada bahasa logik usulan dengan satu set pengendali modal (Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots), yang ditakrifkan pada set terbilangkan usul atom (texttt {Atoms} = {p_1, p_2, / ldots }), di mana sekumpulan formula yang terbentuk dengan baik dibina secara induktif (untuk rawatan matematik logik dan induksi, misalnya Dalen 1980). Setiap formula yang terbentuk dengan baik (varphi) dari bahasa modal (mathcal {L}), yang selanjutnya disebut formula, dibina menggunakan tatabahasa berikut:

(varphi:: = p / mid / lnot / varphi / mid / varphi / wedge / varphi / mid / Box_i / varphi)

di mana (Box_i / in { Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots }) dan (p / in / texttt {Atoms}).

Model untuk bahasa ini adalah struktur (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots), V)), yang terdiri daripada sekumpulan dunia atau keadaan atau hasil (W); yang berhubung Kebolehcapaian (R_i) bagi setiap pengendali modal (Box_i), yang ditakrifkan melalui fungsi yang dipanggil kejiranan (Chellas 1980), iaitu, fungsi (R_i: W / 2 ^ {2 ^ {W}}); dan fungsi penilaian (V: / texttt {Atoms} to 2 ^ {W}), yang memberikan kepada setiap cadangan atom subset dari (W), dengan idea bahawa setiap cadangan atom ditugaskan untuk set dunia di mana proposisi ini benar.

Sebagai konvensyen umum, bahasa multimodal dengan modaliti (Box_1), …, (Box_n), … akan dilambangkan dengan (mathcal {L} ^ {f (Box_1), / ldots, f (Box_n), / ldots}), di mana fungsi (f) mengaitkan setiap modalnya dengan singkatan intuitifnya. Mari (Delta) menjadi bahasa modal yang terdiri daripada modaliti (Box_1), …, (Box_n), … dan biarkan (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots), V)) menjadi model untuk bahasa ini. The kepuasan berhubung formula (varphi / in / Delta) berkenaan dengan sepasang ((M, w)), di mana (w / in W), ditakrifkan mengikut syarat-syarat kebenaran berikut:

(start {align *} M, w & / models p & / mbox {if dan only if} & w / in V (p) / M, w & / models / neg / varphi & / mbox {jika dan hanya jika } & M, w / not / models / varphi \\ M, w & / models / varphi / land / psi & / mbox {if and only if} & M, w / models / varphi / mbox {dan} M, w / model / psi \\ M, wy & / models / Box_i / varphi & / mbox {if dan only if} & / varphi ^ M / in R_i (w) / \ end {align *})

di mana (varphi ^ {M} = {w / in W / mid M, w / models / varphi }) disebut set kebenaran atau peluasan (varphi).

Formula (varphi) dari bahasa modal (Delta): menahan pada keadaan (w) model (M) setiap kali (M, w / model / varphi); adalah sah dalam model (M), ditandakan (models_ {M} varphi), jika dan hanya jika (M, w / model / varphi) bagi tiap-tiap (w / in W), di mana (W) adalah domain (M); adalah sah dalam kelas model (mathcal {M}), ditandakan (model _ { mathcal {M}} varphi), jika dan hanya jika ia adalah sah di dalam setiap (M / in / mathcal {M}); adalah sah dalam rangka ({F}), ditandakan (model _ {{F}} varphi), jika dan hanya jika untuk setiap penilaian (V) yang kita ada bahawa (model _ {(F, V)} varphi); adalah sah dalam kelas bingkai (mathcal {F}), dilambangkan (models _ { mathcal {F}} varphi), jika dan hanya jika ia berlaku di setiap (F / in / mathcal {F}).

Kumpulan formula (Delta) yang sah dalam kelas model (mathcal {M}) dilambangkan (Delta _ { mathcal {M}}) (untuk bingkai denotasinya adalah (Delta _ { mathcal {F}})). Untuk sekumpulan formula (Sigma), kami menulis (M, w / models / Sigma) untuk mengatakan bahawa (M, w / model / sigma), untuk semua (sigma / in / Sigma). Kami mengatakan bahawa sekumpulan formula (Sigma) secara semantik memerlukan formula (varphi) dalam kelas model (mathcal {M}), dilambangkan (Sigma / models _ { mathcal {M }} varphi), jika untuk setiap (M / in / mathcal {M}) kita memiliki (models_ {M} Sigma) menyiratkan (models_ {M} varphi).

Peraturan kaedah

(frac { varphi_1, / ldots, / varphi_n} { psi})

adalah bunyi dalam kelas model (mathcal {M}) jika (varphi_1, / ldots, / varphi_n / model _ { mathcal {M}} psi).

Ingatlah, mengikuti Chellas (1980), bahawa logika modal (Delta) disebut klasik jika ditutup di bawah aturan kesetaraan, iaitu, untuk setiap (Kotak) dalam bahasa (Delta) kami mempunyai:

(frac { varphi / leftrightarrow / psi} { Box / varphi / leftrightarrow / Box / psi})

Ia disebut monotonik jika klasik dan apalagi ditutup di bawah peraturan monotonik, iaitu, untuk setiap (Kotak) dalam bahasa (Delta) kita mempunyai:

(frac { varphi / rightarrow / psi} { Box / varphi / rightarrow / Box / psi})

Ia dipanggil normal jika monotonik, ia ditutup di bawah aturan generalisasi dan mengandungi aksioma (K), iaitu, untuk setiap (Kotak) dalam formula (Delta) yang kita ada

(frac { varphi} { Box / varphi})

dan (Delta) mengandungi (Box (varphi / to / psi) to (Box / varphi / to / Box / psi)).

Logik modal biasa dapat ditafsirkan dalam struktur bentuk (M = ((W, R'_1, / ldots, R'_n, / ldots), V)), di mana setiap (R'_i) adalah penapis utama [3] atau, sebagai alternatif, ia adalah dalam bentuk (R'_i: W / to 2 ^ {W}).

2.1 Keutamaan

Ingat kembali struktur hubungan ((mathcal {N}, W, / succeq, E)) dan pertimbangkan hubungan (succeq). Hubungan ini secara ringkas mewakili keluarga ({ succeq_i } _ {i / in N}) hubungan keutamaan individu yang masing-masing diindeks dengan pemain.

Secara rasmi, pilihan untuk pemain (i) adalah hubungan

(succeq_i / subseteq W / kali W)

Ideanya ialah jika dua hasil (w) dan (w ') sedemikian rupa sehingga ((w, w') in / succeq_i) maka pemain (i) menganggap hasil (w) sekurang-kurangnya sebaik hasilnya (w '). Fakta bahawa ((w, w ') in / succeq_i) akan disingkat (w / succeq_i w'). Kebalikannya adalah hubungan (preceq_i), yang berlaku untuk ((w, w ')) setiap kali (w' / succeq_i w). Rakannya yang tegas adalah hubungan (succ_i), yang berlaku untuk ((w, w ')) setiap kali (w / succeq_i w') dan tidak demikian / \ w / \ succeq_i w). Lebih-lebih lagi (w / sim_i w ') menunjukkan hakikat bahawa (w / succeq_i w') dan (w '\ succeq_i w), yang bermaksud bahawa (i) tidak peduli antara (w) dan (w ').

Contoh 3:Mari kita kembali kepada contoh utama kita. Biasanya Negara mempunyai keutamaan daripada hasil keputusan, misalnya, Itali berpendapat kita harus membelanjakan antara 5 hingga 10 juta euro untuk skema itu, Jerman berpendapat kita harus membelanjakan antara 1 dan 2, Belgia antara 4 dan 5, Luxembourg, Belanda dan Perancis tepat 5. Ini bermaksud, misalnya, bahawa hubungan keutamaan Itali sedemikian rupa sehingga (w / succ _ { textrm {Italy}} w ') setiap kali (textrm {5M} leq w / leq / textrm {10M}) dan (w '> / textrm {10M}) atau (0 / leq w' / textrm {10M}) atau (0 / leq w '<\ textrm {5M}), (w / succ _ { textrm {Italy}} w ') setiap kali (textrm {5M} leq w' <w / leq / textrm {10M}) semasa (w / sim _ { textrm {Itali}} w '), sebaliknya. Tidak semua hasil undian akan mencapai kesepakatan. Kami kemudian, untuk tujuan teknikal, menentukan hasil tambahan (w ^ {d}),ditafsirkan sebagai hasil tidak setuju. Ideanya adalah bahawa ini adalah hasil dari suara yang tidak mencapai kata sepakat. Kami menganggap bahawa sebarang perjanjian adalah lebih baik untuk mana-mana pemain daripada tidak bersetuju, iaitu, (w / succ _ {{i}} w ') setiap kali (w' = w ^ {*}) dan (w / neq w ^ {*}), untuk setiap (i / di N).

Sifat hubungan ini dapat dinyatakan dengan menggunakan logika modal. Untuk melakukannya, kami memperkenalkan pengendali modal (Diamond ^ { preceq} _i), (Diamond ^ { prec} _i) dan (Diamond ^ { sim} _i) untuk setiap yang sesuai hubungan.

Tafsiran, untuk (R / in { preceq, / prec, / sim }), adalah seperti berikut:

[M, w / models / Diamond ^ {R} _i / varphi / enskip / mbox {if dan only if} enskip M, w ^ { prime} models / varphi, / mbox {for some} w ^ { prime} mbox {dengan} w R_i w ^ { prime})

Hubungan yang dimaksudkan sering kali mempunyai sifat tambahan. Contohnya, (preceq_i) biasanya diambil untuk memenuhi yang berikut:

  • refleksiviti iaitu, (forall w / in W, i / in N,) kita mempunyai bahawa: (w / preceq_i w);
  • transitiviti iaitu, (forall w_1, w_2, w_3 / in W, i / in N,) kita mempunyai: ((w_1 / preceq_i w_2) dan (w_2 / preceq_i w_3)) menyiratkan bahawa (w_1 / preceq_i w_3).
  • keterhubungan iaitu, (forall w_1, w_2 / in W, i / in N,) kita mempunyai: sama ada (w_1 / preceq_1 w_2) atau (w_2 / preceq_i w_1).

Yang dua hartanah pertama boleh dicirikan dalam logik modal biasa dengan satu pengendali modal setiap pemain, melalui aksiom dan Terdapat pengesahan berikut.

Cadangan 1

(start {align *} models_F / varphi & / rightarrow / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {if and only if} & / preceq_i / mbox {bersifat refleksif} / \ models_F / Diamond ^ { preceq} _i / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / rightarrow / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {jika dan hanya jika} & / preceq_i / mbox {bersifat transitif} end {align *})

Walau bagaimanapun, ini bukan masalah untuk berhubung, kerana bahasa modal seperti ini hanya dapat membicarakan sifat hubungan tempatan (Blackburn et al. 2001).

Untuk melakukannya, kita perlu memperkenalkan jenis operator khas: modaliti universal (atau global) (Goranko & Passy 1992). Modaliti ini menyatakan sifat semua keadaan dalam domain (W) model (M) dan ditafsirkan sebagai berikut.

[M, w / models A / varphi / enskip / mbox {if and only if} enskip M, w ^ { prime} models / varphi, / mbox {untuk semua} w ^ { prime} di W)

Rumus (neg A / neg / varphi) akan disingkat (E / varphi). Simbol (E) adalah dwi eksistensial (A) dan ini menunjukkan bahawa formula tertentu berlaku pada beberapa keadaan dalam model. Dengan modaliti global kita mempunyai penambahan ekspresi yang tulen (bersama dengan biaya dan keuntungan lebih lanjut, seperti yang ditunjukkan dalam Goranko & Passy 1992), oleh itu kita dapat menyatakan kesahihan dalam model dengan cara menyatakan kebenaran di dunia, menyaksikan kenyataan bahawa (M, w / model A / varphi) menahan jika dan hanya jika (models_M / varphi) berlaku.

Ingatlah bahawa hubungan (R) bersifat trikotom jika dan hanya jika untuk semua (x, y / di W), sama ada (xRy, yRx) atau (y = x). Kita dapat menggunakan kombinasi pilihan dan modaliti global untuk mendapatkan korespondensi kerangka berikut.

Proposisi 2 Biarkan (F) menjadi bingkai. Kami mempunyai:

(models_F (varphi / wedge / Box ^ { preceq} _i / psi) to A (psi / vee / varphi / vee / Diamond ^ { preceq} _i / varphi)) jika dan hanya jika (preceq_i) bersifat trikotom

Satu formula alternatif dan mungkin lebih intuitif yang dapat digunakan adalah, dengan (p, q) sebagai cadangan atom:

[E p / land E q / to E (p / land q) lor E (p / land / Diamond ^ { preceq} _i q) lor E (q / land / Diamond ^ { preceq} _i p))

Trichotomy, transitivity dan reflexivity of (preceq_i) setara dengan hubungan menjadi susunan linear yang lemah, dan dengan itu dihubungkan.

Hubungan (prec_i), iaitu hubungan keutamaan yang ketat, dapat didefinisikan dalam istilah (preceq_i). Tetapi (prec_i) memenuhi harta berikut:

ketidakterfleksian iaitu, (forall w / in W, i / in N,) kita mempunyai itu: tidak berlaku bahawa (w / prec_i w)

Ketidakfleksibelan tidak dapat ditentukan dalam logik modal asas (Blackburn et al. 2001). Tetapi jika cadangan atom cukup kuat untuk membezakan setiap hasilnya, maka ketidakfleksibelan menjadi jelas. Sebagai contoh mari (w_k) menjadi pemboleh ubah mengenal pasti dunia (w_k). [4] Kami mempunyai yang berikut.

Cadangan 3

(models_F w_k / to / neg / Diamond ^ / prec_i w_k / enskip / mbox {if and only if} enskip / prec_i / mbox {tidak berubah-ubah})

Akhirnya, hubungan ketidakpedulian (sim) memenuhi sifat refleksiviti, transitiviti dan simetri. Walaupun refleksiviti dan transitiviti didefinisikan secara serupa dengan kaedah sebelumnya, simetri ditakrifkan sebagai berikut.

simetri iaitu, (forall w_1, w_2 / in W, i / in N,) kita mempunyai bahawa: (w_1 / sim_i w_2) menyiratkan bahawa (w_2 / sim_i w_1)

Walaupun aksioma untuk dua yang pertama serupa dengan aksioma untuk (preceq_i), simetri dicirikan sebagai berikut

Cadangan 4

(models_F (psi / to / Box ^ { sim} _i / Diamond ^ { sim} _i / psi) enskip / mbox {if and only if} enskip / sim_i / mbox {adalah simetrik})

Ketiga sifat di atas mengatakan, bersama-sama, bahawa setiap (sim_i) secara matematik adalah hubungan kesetaraan, iaitu, hubungan sedemikian rupa sehingga

(bigcup_ {w / in W} {[w] mid w '\ in [w] mbox {bila-bila} w / sim_i w' })

ialah partisi (W). Setiap elemen partisi ini adalah kelas ketidakpedulian untuk pemain (i), iaitu, satu set hasil yang dia acuh tak acuh.

Logik hubungan kesetaraan, seperti (sim_i), juga dikenal sebagai sistem ({ bf S5}).

Keutamaan dan utiliti Kerana penggunaannya yang meluas dalam teori permainan, kelas penting hubungan keutamaan adalah yang sesuai dengan nilai berangka, atau fungsi utiliti.

A fungsi utiliti adalah fungsi

[u_i: W / kanan bawah / mathbb {R})

memetakan hasil ke nombor nyata, mewakili berapa banyak pemain menghargai keadaan tertentu.

Fungsi utiliti secara semula jadi mendorong hubungan keutamaan, dalam pengertian berikut.

Definisi 5 Biarkan (u) menjadi fungsi utiliti. Kami mengatakan bahawa (succeq ^ * _ i) sepadan dengan (u) jika perkara berikut berlaku:

[w / succeq ^ * _ i w '\ enskip / textrm {if and only if} enskip u_i (w) geq u_i (w'))

Perhatikan bagaimana setiap susunan linier yang lemah atas satu set hasil yang terbatas sesuai dengan beberapa fungsi utiliti.

Kami merujuk kepada entri berkaitan mengenai pilihan (Hansson & Grune-Yanoff 2011) dan teori keputusan (Steele & Stefansson 2015) untuk analisis yang lebih terperinci mengenai peranan pilihan dalam falsafah dan teori keputusan.

2.2 Pilihan

Permainan juga merupakan penerangan tentang apa yang dapat dicapai oleh pemain, sendiri atau dalam gabungan. Untuk memformalkan ini, kami menggunakan fungsi keberkesanan, model kekuatan abstrak yang diperkenalkan untuk mengkaji strategi pengundian dalam jawatankuasa (Moulin & Peleg 1982).

An fungsi efektifitas (Moulin & Peleg 1982) adalah fungsi yang

[E: 2 ^ {N} hingga 2 ^ {2 ^ {W}})

mengaitkan kepada setiap kumpulan pemain satu set hasil.

Ideanya adalah bahawa, kapan pun keadaannya (X / di E (C)), maka gabungan (C) dapat memutuskan bahawa hasil permainan terletak di dalam set (X), dan oleh itu dapat mengesampingkan hasil (W / setminus X) dari akhirnya dipilih. Dengan kata lain (X) berada dalam kekuatan gabungan (C).

Fungsi keberkesanan ditutup di bawah superset, iaitu, kita mempunyai (X / di E (C)) dan (X / subseteq Y / subseteq W) menyiratkan bahawa (Y / di E (C)). Dengan kata lain, jika (X) berada dalam kekuatan gabungan (C) maka demikian juga setiap superset (X). Daripada ini, perhatikan, ini menunjukkan bahawa jika fungsi keberkesanan gabungan tertentu tidak kosong maka ia selalu mengandungi sekumpulan semua hasil.

Untuk (mathcal {X} subseteq {2 ^ {W}}) kita menunjukkan (mathcal {X} ^ {+}) penutupan supersetnya.

Contoh 4: Kembali ke contoh utama, pertimbangkan kehebatan setiap Negara. Kerana peraturan permainan, tidak ada Negara yang bersendirian untuk mengesampingkan hasilnya.

Menggunakan fungsi keberkesanan: untuk setiap (i / di N), kita mempunyai (E ({i }) = {W }).

Ini juga berlaku untuk gabungan yang tidak cukup besar. Sebagai contoh, ambil semua gabungan sekurang-kurangnya dua Negara yang dapat dibentuk antara Belanda, Belgium dan Luxembourg.

(start {align *} E ({ mbox {Luxembourg, Belgium} }) & = \\ E ({ mbox {Luxembourg, Belanda} }) & = \\ E ({ mbox {Belgium, Belanda} }) & = \\ E ({ mbox {Luxembourg, Belgium, Belanda} }) & = {W }. / end {align *})

Oleh kerana berat badan mereka berjumlah maksimum 5 undi, mereka sendiri tidak dapat menyelesaikan atau menolak kemungkinan adanya perjanjian. Sebenarnya, untuk tindakan yang dicadangkan oleh Suruhanjaya, setiap gabungan (C) yang bobot pengundiannya tidak kurang dari 12 mempunyai fungsi keberkesanan yang sama (E (C) = {W }).

Bagi gabungan yang lain, keadaannya berbeza. Pertimbangkan sebagai contoh gabungan yang dibuat oleh Perancis, Jerman dan Itali, yang, bersama-sama, memiliki bobot 12 orang. Bagi mereka kita mempunyai:

[E ({ textrm {Perancis, Jerman, Itali} }) = { {w } pertengahan w / di W } ^ {+})

Ini bererti bahawa ketiga-tiga anggota boleh, dengan sendirinya, memutuskan keputusan pengundian. Ini berlaku untuk setiap gabungan yang mempunyai berat undi 12 atau lebih.

Bagaimana dengan tindakan yang tidak dicadangkan oleh Suruhanjaya? Bagi mereka mari kita gunakan fungsi keberkesanan yang berbeza, yang kita labelkan (E ^ {*}).

Dalam kes ini, gabungan yang menang mesti terdiri daripada sekurang-kurangnya empat anggota.

Oleh itu (E ^ {*} ({ mbox {Perancis, Jerman, Itali} }) = {W }) sementara (E ^ {*} ({) Perancis, Jerman, Belgium, Belanda (}) = { {w } pertengahan w / di W } ^ {+}).

Secara umum, ia menyatakan bahawa (E (C) = E ^ {*} (C)) setiap kali (| C | / geq 4). Kerana sifat permainan pengundian, kami juga memiliki (E (C) = E ^ {*} (C)) setiap kali (| C | / leq 2). Perbezaannya dibuat oleh gabungan ukuran 3: dengan (E ^ {*}), mereka tidak akan dapat mencapai lebih dari ({W }), sementara dengan (E) mereka dapat mencapai ({ {w } pertengahan w / di W } ^ {+}), jika kekuatan suara mereka sekurang-kurangnya 12. Perhatikan bahawa Luxembourg tidak relevan ketika datang ke rang undang-undang yang dicadangkan oleh Suruhanjaya, iaitu, (E (C) = E (C / cup / textrm {Luxembourg})). Ini tidak berlaku untuk bil-bil lain, seperti yang telah kita perhatikan.

Sifat fungsi keberkesanan dapat dinyatakan dalam logik modal. Untuk melakukannya, penting untuk diperhatikan bahawa setiap fungsi keberkesanan sesuai dengan hubungan (tidak normal) dalam struktur hubungan. Oleh itu, fungsi keberkesanan yang dilakukan adalah mendorong struktur kejiranan yang khas, yang kita sebut sebagai Model Gabungan.

Definisi 6 [Model Koalisi] Model Koalisi adalah triple ((W, E, V)) di mana:

  • (W) adalah sekumpulan keadaan yang tidak dilupakan;
  • (E: W / longrightarrow (2 ^ {N} longrightarrow 2 ^ {2 ^ W})) adalah fungsi keberkesanan dinamik;
  • (V: W / longrightarrow 2 ^ { texttt {Atoms}}) adalah fungsi penilaian.

Seperti yang diperhatikan oleh pembaca, fungsi keberkesanan dinamik membolehkan setiap keadaan mempunyai pengagihan kuasa yang berbeza di antara gabungan. Sensu ini tidak relevan untuk rawatan kekuatan dalam permainan bentuk normal (Bahagian 3), di mana fungsi keberkesanan yang berkaitan dengan hasil dapat dianggap setara di mana-mana model, tetapi model ini cukup umum untuk merawat secara meluas dan berulang interaksi, di mana struktur urutan interaksi ditentukan secara eksplisit. Kami biasanya akan menyingkat (E (w) (C)) sebagai (E_w (C)) atau bahkan (E (C)) apabila jelas dari konteksnya.

Bahasa yang digunakan untuk membicarakan Coalition Models adalah Coalition Logic (Pauly 2001), logik modal yang tidak normal untuk menyatakan pilihan kumpulan pemain. Koalisi Logik adalah perpanjangan logik proposisional dengan modaliti (| 2 ^ {N} |) dari bentuk ([C]), sehingga operator modal masing-masing diindeks dengan gabungan.

Hubungan kepuasan bagi formula bentuk ([C] varphi) berkenaan dengan pasangan (M, w) ditakrifkan sebagai berikut:

[M, w / models [C] varphi / enskip / textrm {if dan only if} enskip / varphi ^ M / di E_w (C))

di mana, (varphi ^ M = {w / in W / mid M, w / models / varphi }).

Secara intuitif (varphi ^ M / di E_w (C)) bermaksud bahawa gabungan (C) mampu mencapai harta (varphi).

Oleh kerana penutupan di bawah superset, atau hasil monotonik, dianggap sebagai harta semua fungsi keberkesanan, peraturan monotonik berlaku dalam Coalition Logic, yang oleh itu merupakan logik modal monotonik (Hansen 2003).

Peraturan monotonik mengambil bentuk ini untuk setiap (C / subseteq N):

(frac { varphi / to / psi} {[C] varphi / hingga [C] psi})

Secara intuitif, jika (C) dapat mencapai (varphi) dan kita mempunyai (varphi) menyiratkan (psi), maka (C) juga dapat mencapai (psi).

Sifat matematik daya Selain dari monotonik hasil, banyak sifat lain yang dianggap perlu untuk memodelkan kekuatan koalisi dalam permainan. Sebagai contoh fungsi keberkesanan mempunyai sifat:

  • semangat iaitu, (emptyset / not / di E (C)), untuk setiap (C / subseteq N);
  • keselamatan iaitu, (W / di E (C)), untuk setiap (C / subseteq N);
  • keteraturan iaitu, (X / di E (C)) menyiratkan bahawa (overline {X} not / in E (overline {C})), untuk setiap (C / subseteq N, X / subseteq W);
  • N -maximality iaitu, (overline {X} in E (emptyset)) menyiratkan bahawa ({X} in E (N)) dan (X / subseteq W);
  • superadditiviti iaitu, (X / di E (C)) dan (Y / di E (D)) menyiratkan bahawa (X / cap Y / di E (C / cup D)), untuk setiap (C), (D / subseteq N), (C / cap D = / emptyset), (X, Y / subseteq W);
  • monotonik gabungan iaitu, (X / di E (C)) menyiratkan bahawa (X / di E (D)), untuk setiap (C / subseteq D / subseteq N), (X / subseteq W);
  • asas yang baik iaitu, (X / di E (N)) menunjukkan bahawa ({x } di E (N)), untuk beberapa (x / di X), untuk setiap (X / subseteq W).

Fungsi keberkesanan disebut dimainkan (Pauly 2001) jika mempunyai daya hidup, keselamatan, N-maximality dan superadditivity. Ia dipanggil benar-benar dimainkan (Goranko, Jamroga, & Turrini 2013) jika boleh dimainkan dan mempunyai asas yang baik. Perhatikan bahawa jika (W) terbatas, fungsi keberkesanan boleh dimainkan jika dan hanya jika ia benar-benar dimainkan (Goranko et al. 2013).

Kemampuan bermain yang sebenar adalah sifat asas fungsi keberkesanan, dan menghubungkan permainan gabungan satu-satu dengan permainan strategik satu-tangkapan, seperti yang akan jelas kemudian.

Contoh 5: Fungsi keberkesanan contoh kerja kita semua boleh dimainkan.

Dalam struktur kejiranan, hubungan antara sifat set-teoritis dan logik sering berlaku dan hasil korespondensi standard antara kelas bingkai dan fungsi kejiranan (Chellas 1980) dapat digunakan secara automatik untuk Logik Koalisi.

Logik Koalisi sebenarnya cukup ekspresif untuk mencirikan semua kekangan yang disebutkan setakat ini.

Proposisi 7 Biarkan (F = (W, E)) menjadi Kerangka Koalisi, dan (C, C ^ { prime}, C '') menjadi gabungan, sehingga (C / cap C '= / emptyset) dan (C / subseteq C ''). Hasil berikut menunjukkan:

  • (models_F [C] varphi / to / neg (overline {C}] neg / varphi) jika dan hanya jika (E) biasa;
  • (models_F [C] top) jika dan hanya jika (E) mempunyai keselamatan;
  • (models_F [C] varphi / to [C ''] varphi) jika dan hanya jika (E) adalah gabungan monotonik;
  • (models_F / neg [C] bot) jika dan hanya jika (E) mempunyai semangat;
  • (models_F / neg (emptyset] neg / varphi / to [N] varphi) jika dan hanya jika (E) adalah N-maksimal;
  • (models_F [C ^ { prime}] varphi / wedge [C] psi / to [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi)) jika dan hanya jika (E) superaditif;
  • (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi) jika dan hanya jika (E) adalah hasil monotonik.

Untuk bukti, rujuk Pauly 2001.

Hasil korespondensi membolehkan kita membezakan dengan cara modal sebilangan kelas bingkai. Walau bagaimanapun, ekspresiviti pengendali modal sangat mengehadkan keupayaan bahasa untuk memahami kelas struktur. Sejauh ini pembaca harus menyedari bahawa logik kedua-dua bingkai keberkesanan yang boleh dimainkan dan benar-benar boleh dimainkan berkongsi hakikat bahawa (models_F (emptyset] top). Walau bagaimanapun, dalil ini, yang tafsirannya adalah untuk setiap (w / di W, {W } di E_w (emptyset)), tidak mencukupi untuk membuat perbezaan formal antara (E_w (emptyset)) dalam dua kelas fungsi keberkesanan yang berbeza.

Sejalan dengan itu, hasil berikut memberitahu kita bahawa Coalition Logic juga cukup baik untuk memberi alasan (atau, jika anda suka, terlalu lemah untuk membezakan) fungsi keberkesanan yang benar-benar boleh dimainkan.

Teorem 8 (Goranko et al. 2013) Biarkan (mathcal {P}) menjadi kelas bingkai yang boleh dimainkan dan (mathcal {P} ^ {*}) kelas yang boleh dimainkan. Kemudian, untuk setiap formula Coalition Logic (varphi)

(models_ / mathcal {P} varphi / textrm {if and only if} models _ { mathcal {P} ^ {*}} varphi)

Ini berikutan kenyataan bahawa Playable Coalition Logic mempunyai sifat model terhingga (Pauly 2001) dan, dalam model terhingga, fungsi keberkesanan yang boleh dimainkan benar-benar dimainkan. [5]

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, entri ini hanya akan menyebut bagaimana pengetahuan tersirat dalam struktur permainan tetapi tidak akan mengkaji kajian prasyarat epistemik permainan rasional. Entri berkaitan yang dikhaskan untuk logik epistemik (Hendricks & Symons 2006), logik epistemik dinamik (Baltag & Renne 2016), dan khususnya teori permainan epistemik (Pacuit & Roy 2015) meneroka secara mendalam peranan pengetahuan dalam membuat keputusan. Perlakuan logik modal untuk permainan yang lebih berfokus pada peranan maklumat adalah Hoek & Pauly 2006.

3. Menganalisis Daya

Bahagian ini melihat permainan di mana individu atau kumpulan mengambil pilihan mereka secara bebas dan serentak, dan, kami menekankan sekali lagi, menyimpang dari bagaimana interaksi berkembang dalam masa. Ini memberi perhatian khusus kepada hubungan antara pilihan dan pilihan pemain, menyebut peranan pengetahuan, dan yang paling penting berkaitan dengan bagaimana mengekspresikan konsep penyelesaian dalam bahasa logik.

Bahagian pertama menerangkan pengaturan umum permainan koperasi, kemudian mempertimbangkan kelas permainan strategi yang lebih terhad dan mungkin lebih terkenal.

3.1 Permainan Koperasi dan Logiknya

Huraian permainan yang diberikan dalam struktur hubungan bentuk ((mathcal {N}, W, / succeq, E)) tidak cukup untuk memahami hasil yang tepat yang akan dipilih pada akhirnya. Untuk itu kita memerlukan konsep penyelesaian, iaitu, pemetaan yang mengaitkan dengan permainan satu set hasil dari permainan itu (Abdou & Keiding 1991).

Sejumlah konsep penyelesaian telah diperkenalkan untuk permainan koalisi (lihat misalnya Osborne & Rubinstein 1994, dan Apt 2009 (Sumber Internet Lain)). Untuk tujuan sekarang, kita hanya akan membincangkan apa yang mungkin paling terkenal: intinya. Inti adalah kumpulan hasil yang stabil, iaitu, hasil yang tidak ada gabungan yang anggotanya mampu dan bersedia menyimpang darinya. Ia dapat dilihat sebagai kumpulan hasil yang tidak ada penentangan yang berkesan (Abdou & Keiding 1991).

Secara formal, diberi struktur relasional (F = (mathcal {N}, W, / succeq, E)), hasil (w / di W) dikatakan stabil jika tidak ada gabungan (C) dan set hasil (X / subseteq W) sehingga kedua-dua syarat berikut dipenuhi:

  1. (X / di E (C))
  2. (y / di X) dan (i / di C) menyiratkan bahawa (y / succ_i w)

Dengan kata-kata, hasilnya stabil jika tidak ada sekumpulan individu yang dapat mencapai alternatif yang mereka semua sukai.

The teras adalah koleksi semua hasil stabil.

Contoh 6:

Pertimbangkan hasil 1M, satu-satunya hasil yang dianggap boleh diterima oleh Jerman. Jerman, seperti yang telah diperhatikan, mempunyai fungsi keberkesanan (E ({ textrm {Germany} }) = {W }) sehingga, dengan sendirinya, tidak dapat mengubah pilihan mereka menjadi hasil. Namun, bersama dengan Negara lain, mereka dapat melakukannya. Andaikan sekutu mereka adalah Belgium, Perancis dan Belanda. Adakah 1M adalah hasil yang baik? Sekiranya kita melihat pilihan pemain lain dalam gabungan itu, iaitu Belgia, Perancis, Belanda, kita melihat perkara berikut. Belgium mempunyai keputusan antara 4M dan 5M, Perancis dan Belanda tepat 5M. Negara-negara ini dapat berkumpul dan memilih 5M, yang merupakan hasil yang dapat diterima oleh mereka. Walau bagaimanapun, fungsi keberkesanan ({) Belgium, Perancis, Belanda (}) adalah (E ({) Belgium, Perancis,Belanda (}) = {W }), yang bermaksud bahawa ketiga-tiga Negara tidak cukup untuk melepasi bil 5 juta. Tetapi gabungan yang dibuat oleh Belgium, Perancis, Itali dan Belanda akan berlaku. Perhatikan juga bahawa 5M adalah salah satu hasil pilihan Itali. 5M sebenarnya adalah satu-satunya hasil permainan yang stabil: tidak ada gabungan yang bersama-sama bersedia dan mampu menyimpang daripadanya.

Logik modal boleh digunakan untuk mewakili inti. Pertimbangkan dahulu formula

[p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan))

Ini mengatakan bahawa jika (p) benar maka anggota sebilangan koalisi dapat memperbaiki dunia (p), yang nampaknya bukan formula yang tepat untuk menyatakan kestabilan logik. Namun kita dapat membuktikan hasil berikut, yang menggunakan korespondensi antara formula dan kelas bingkai tertentu.

Biarkan (E) menjadi fungsi keberkesanan (hasil monotonik) dan biarkan (succeq_i) susunan linear yang lemah. Kemudian:

[(F, V '), w / model p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan))

menahan pada (w) untuk setiap (V ') jika dan hanya ada (C / subseteq N) dan (X / di E_w (C)) sehingga, untuk semua (i / di C), (x / di X) kita mempunyai (x / succ_i w).

Oleh itu, rumus berlaku pada (w) untuk setiap penilaian jika dan hanya jika (w) tidak termasuk dalam inti. Jelas, jika rumus itu salah pada hasil dan penilaian, maka ini bermakna bahawa hasilnya adalah inti.

Perhatikan bahawa, kerana fungsi keberkesanan adalah hasil monotonik, jika kita mempunyai (X / in E_w (C)) dan

[X / subseteq / kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan) ^ {(F, V ')},)

kemudian

(kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan) ^ {(F, V ')} di E_w (C).)

Perhatikan juga bahawa keputusan di atas memungkinkan untuk kes

(emptyset = / kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan) ^ {M} di E_w (C),)

yang mungkin berlawanan dengan intuitif. Memerlukan (E) untuk memiliki kesegaran menguruskan hal ini.

Perhatikan juga bagaimana kita harus mengenakan kuantifikasi universal pada set penilaian. Tanpa kuantifikasi eksplisit ini, rumus hanya berlaku untuk satu model tertentu, yang bukan merupakan penyelesaian yang sesuai. Sekiranya sebaliknya, kita hanya berminat untuk mengetahui sama ada terdapat beberapa hasil yang stabil atau, sebaliknya, adakah intinya kosong, cukuplah memerlukan formula di atas untuk menjadi aksioma. Ini akan mengatakan bahawa tidak ada hasil yang stabil, iaitu bahawa intinya kosong.

Proposisi 10 Biarkan (F) menjadi bingkai. Kita ada

(models_F p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan))

jika dan hanya jika tidak ada hasil dalam (F) milik inti.

Sekali lagi, semangat akan menguruskan perkara remeh di mana

(kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan) ^ {(F, V)} = / emptyset.)

Pendekatan alternatif adalah untuk mengenal pasti setiap hasil dengan nama (atau nominal) dalam bahasa, iaitu menggunakan logik hibrid. Kemudian kita mempunyai perkara berikut.

Proposisi 11 Biarkan (w_k) cadangan atom benar pada hasil (w_k) dan hanya pada hasil (w_k).

[(F, V), w_k / models w_k / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i w_k / kanan))

jika dan hanya jika (w_k) bukan milik inti.

Oleh itu, bergantung pada sifat yang kita minati, perluasan logik modal asas yang berlainan yang digabungkan dengan bentuk kesahan yang berlainan (di dunia vs model vs bingkai) sangat sesuai untuk menyatakannya.

3.2 Permainan Strategik dan Logiknya

Permainan berbentuk normal, atau permainan strategik, adalah gambaran tentang apa yang dapat dicapai oleh individu, dan bukannya gabungan, dan apa pilihan mereka.

Secara formal, bentuk permainan strategik adalah tuple

[(N, W, { Sigma_i } _ {i / di N}, o))

di mana N adalah satu set pemain yang terbatas, (W) satu set hasil, ({ Sigma_i } _ {i / di N}) kumpulan strategi, satu untuk setiap pemain (i), (o: / prod_ {i / in N} Sigma_i / to W) fungsi hasil, mengaitkan banyak strategi dengan hasil.

Permainan strategik adalah tuple ((S, { succeq_i } _ {i / in N})), di mana (S) adalah bentuk permainan strategik dan ({ succeq_i } _ { i / di N}) kumpulan hubungan pilihan, satu untuk setiap pemain (i).

Contoh 7: Jika kita menganggap Negara dalam contoh sebelumnya sebagai pemain individu dan suara mereka sebagai strategi individu, kita dapat memodelkan permainan Perjanjian Roma sebagai permainan strategik, di mana setiap individu dapat memilih sejumlah wang untuk didedikasikan untuk perlindungan sempadan dan pilihan adalah seperti di atas.

Fungsi hasil akan berhati-hati untuk mengaitkan dengan setiap undian pemain masing-masing hasil akhir dari keputusan kolektif, misalnya, memilih hasil yang diundi oleh sekumpulan Negara dengan bobot suara paling sedikit 12, atau mengakibatkan tidak ada keputusan jika tidak ada konsensus yang dicapai.

Contohnya:

  • Undi Perancis 0M
  • Undian Belgium 2M
  • Undi Itali 10M
  • Undi Jerman 0M
  • Belanda mengundi 0M
  • Undi Luxembourg 0M

Pusingan ini tidak menghasilkan keputusan, kerana tidak ada hasil yang mengumpulkan berat suara sekurang-kurangnya 12.

Namun, anggap bahawa babak kedua adalah seperti yang dilakukan oleh semua orang kecuali Belgium, dan menganggap Belgium beralih kepada pengundian 0M. Sekarang 0M mempunyai agregat 13, yang bermaksud ia dipilih sebagai keputusan akhir.

Melihat perlakuan bersatu contoh kita, nampaknya ada hubungan antara permainan bentuk normal dan permainan gabungan. Hubungan ini dapat dinyatakan secara formal.

Mari kita pertimbangkan terlebih dahulu apa yang dapat dilakukan oleh sekumpulan pemain dalam permainan bentuk biasa. Untuk melakukannya, kami menentukan (alpha) - fungsi keberkesanan, penerangan matematik strategi koalisi dalam permainan dari segi set hasil yang dapat mereka paksa.

Definisi 12 ((alpha) - fungsi keberkesanan] Biarkan (S) menjadi permainan strategik. Kami menentukan fungsi keberkesanan (alpha) (S), (E ^ { alpha} _S (C)):

(E ^ { alpha} _S (C) = {X / \ mid) ada (sigma_C) sehingga untuk semua (sigma '_ { overline {C}}) kita ada bahawa (o (sigma_C, / sigma '_ { overline {C}}) di X })

Secara intuitif, fungsi (alpha) - keberkesanan (S) mengumpulkan, untuk setiap kumpulan pemain, kumpulan hasil yang dapat mereka capai dengan menetapkan strategi mereka, tidak kira bagaimana lawan mereka bermain.

Proposisi 13 (Goranko et al. 2013)

Fungsi keberkesanan (alpha) permainan strategik boleh dimainkan.

Hasil berikut menunjukkan hubungan antara strategi dan fungsi keberkesanan.

Teorem 14 (Goranko et al. 2013)

Fungsi keberkesanan benar-benar dapat dimainkan jika dan hanya jika fungsi (alpha) - keberkesanan beberapa permainan strategik.

Ini adalah generalisasi hasil dalam Peleg 1998 untuk permainan terhingga, mulai dari model permainan strategi yang pertama kali didefinisikan dalam Pauly 2001. Ringkasnya apa yang disiratkan hasil ini adalah berikut.

Cadangan 15 Biarkan (F) struktur permainan hubungan. Maka (F) adalah permainan strategik jika dan hanya jika formula berikut berlaku di (F) untuk disjoint (C, C ^ { prime}):

  • (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi)
  • (model_F [C] atas)
  • (models_F / neg [C] bot)
  • (models_F / neg (emptyset] varphi / to [N] varphi)
  • (models_F [C ^ { prime}] varphi / wedge [C] psi / to [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi))

Dengan cara yang sama seperti permainan koperasi, kita dapat bertanya pada diri sendiri apakah hasilnya stabil, atau rasional, dalam situasi yang strategis.

Nash keseimbangan dan kebolehtentuan Konsep penyelesaian utama untuk menganalisis permainan strategik adalah Nash keseimbangan. Secara tidak seimbang Nash keseimbangan adalah kumpulan strategi, satu per pemain, sehingga tidak ada pemain yang berminat untuk mengubah strategi mereka, mengingat yang lain berpegang pada strategi mereka. Secara formal, profil strategi (sigma) adalah (strategi murni) keseimbangan Nash jika untuk semua pemain (i / di N) dan untuk semua (sigma'_i / in / Sigma_i) kita mempunyai

[o (sigma_i, / sigma _ {- i}) succeq_i o (sigma'_i, / sigma _ {- i}))

Contoh 8: Pertimbangkan suara berikut

  • Undi Perancis 5M
  • Undian Belgium 5M
  • Undi Itali 10M
  • Jerman mengundi 1M
  • Belanda mengundi 5M
  • Undi Luxembourg 5M

Dalam permainan ini tidak ada konsensus mengenai anggaran apa pun. Situasinya mungkin seperti kebuntuan, kerana setiap orang telah memilih mengikut pilihan mereka. Namun hasilnya adalah perselisihan, yang mana tidak ada pemain yang lebih memilih perjanjian apa pun. Satu-satunya cara pemain boleh bersatu dengan perjanjian ialah Itali menukar suara mereka menjadi 5M. Sekiranya ini berlaku 5M dicapai sebagai hasilnya.

Perhatikan bahawa permainan yang diubah, di mana Itali mengundi 5M adalah keseimbangan Nash.

Pertimbangkan sekarang pengubahsuaian permainan di atas, di mana Itali dan Belanda memilih 10 juta, sementara yang lain tetap memilih. Anehnya, walaupun tidak setuju, ini adalah keseimbangan Nash, kerana tidak ada pemain yang secara bersamaan dapat mencapai beberapa persetujuan, walaupun bersedia melakukannya.

Bagaimana untuk menyatakan keseimbangan Nash dalam logik? Ingat bagaimana formula

[p / ke / bigvee_ {C / subseteq N} [C] kiri (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / kanan))

menahan pada bingkai (F) jika dan hanya jika inti kosong, dan sambungan logik hibrid dapat memberitahu kita sama ada hasil tertentu tergolong dalam inti. Sekiranya (F) didasarkan pada fungsi keberkesanan yang benar-benar dapat dimainkan, kita sudah mempunyai inti versi permainan yang normal: hasilnya sehingga tidak ada gabungan yang dapat bersama dan bersedia untuk menyimpang, tidak mengambil kira apa yang dilakukan oleh yang lain. Walau bagaimanapun, Nash Equilibrium menetapkan profil strategi, sehingga tidak ada pemain yang mampu dan rela menyimpang dari sana. Dengan kata lain, ia memerlukan tanggapan terbaik untuk pemain berkenaan dengan profil yang diberikan.

Formalisme seperti Logik Koalisi terlalu lemah untuk menyatakan keseimbangan Nash. Walau bagaimanapun, mereka dapat menyatakan fakta bahawa fungsi keberkesanan tertentu memungkinkan untuk kemungkinan keseimbangan Nash. Inilah yang disebut dalam Hansen & Pauly 2002 yang disebut Nash-Coalition Logic. Nash Equilibrium sebenarnya tidak dapat ditentukan dalam logik modal asas (Benthem et al. 2011), tetapi ia dapat dilakukan dengan modaliti yang memotong hubungan pilihan dan pilihan (Benthem et al. 2011).

((F, V), w / models / langle / approx_i / cap / succ_i / rangle / varphi) jika dan hanya jika (w (approx_i / cap / succ_i) w ') menyiratkan bahawa (w' / model / varphi)

Maka respons terbaik untuk (i) ditakrifkan sebagai (langle / approx_i / cap / succ_i / rangle / top), kerana tidak ada alternatif yang pada saat yang sama dapat dicapai dan lebih disukai daripada (i). Sebagai alternatif, logik hibrid yang menyebutkan profil strategi dalam bahasa dapat memberikan jalan penyelesaian, sama seperti kes inti.

3.2.1 Logik Tindakan Bukan monotonik

Sebilangan logik mengeksploitasi perwakilan struktur hubungan yang lebih padat yang sesuai dengan permainan strategik.

Daripada menggunakan fungsi keberkesanan, setiap pemain (i) dikaitkan dengan hubungan kesetaraan (approx_i / subseteq W / times W), yang partisi yang diinduksi mewakili pilihan yang dapat dilakukannya. Hubungan kesetaraan ini menggambarkan set pilihan yang tepat yang dapat dilakukan oleh sekumpulan pemain dan model asal disebut sebagai konsekuensialis dalam literatur (lihat misalnya Belnap, Perloff, & Ming 2001).

Sekarang tentukan fungsi keberkesanan (E ^ {*}) yang memegangnya

[E ^ {*} (i) = {[x] mid x '\ in [x] mbox {bila-bila masa} x / approx_i x' } ^ {+})

Secara intuitif (E ^ {*} (i)) mengumpulkan apa yang dapat dicapai oleh individu dan semua superset mereka.

(E ^ {*}) dipanggil konsekuensialis jika berpendapat bahawa:

  • (E ^ {*} (C) = { bigcap_ {i / in C} X_i / mid / mbox {untuk beberapa} X_i / in E ^ {*} (i) })
  • (emptyset / not / in E ^ {*} (C)) untuk setiap (C / neq N)
  • (E ^ {*} (N) = { {x } pertengahan x / di W } ^ {+})

Perhatikan bahawa (E ^ *) adalah fungsi keberkesanan yang benar-benar boleh dimainkan.

Harta terakhir adalah asas yang baik, seperti dalam kes fungsi keberkesanan sewenang-wenangnya. Ini bukan harta yang diandaikan dalam semua varian, misalnya, struktur pilihan di Kooi & Tamminga 2008 dan varian temporalnya STIT (Belnap et al. 2001) tidak. Namun, seperti yang diperhatikan dalam Turrini 2012 dan Tamminga 2013, model konsekuensialis yang mapan sesuai dengan permainan strategik dan fungsi keberkesanan (E) dapat disimulasikan dengan berkesan oleh hubungan kesetaraan (approx_i) untuk setiap pemain. Secara intuitif (E ^ {*} (i)) adalah sekumpulan set hasil yang dapat dipilih oleh (i) tanpa dapat memperhalusi lebih jauh.

Untuk memikirkan model konsekuensialis, kami menggunakan apa yang disebut logik konsekuensialis, iaitu, logik proporsional yang diperluas dengan modaliti bentuk ([C] varphi), ditafsirkan sebagai berikut:

(M, w / model [C] varphi) jika dan hanya jika (M, w '\ model / varphi) untuk semua (w') sehingga (w (bigcap_ {i / in C} lebih kurang_i) w ')

Logik konsekuensialis telah dikembangkan untuk memikirkan tindakan dan akibatnya, dan mempunyai aplikasi menarik dalam logik deontik, seperti Kooi & Tamminga 2008; Tamminga 2013; Turrini 2012. Lebih-lebih lagi ini adalah asas logik temporal strategi seperti STIT dan STIT strategik, yang dibincangkan kemudian. Kes khas adalah logik kawalan proposisional (Hoek & Wooldridge 2005; Troquard, Hoek, & Wooldridge 2009).

3.2.2 Permainan Berasaskan Logik

Dalam banyak keadaan, ejen mempunyai kawalan terhadap pemboleh ubah proposisi tertentu (Hoek & Wooldridge 2005), misalnya mereka boleh bertanggungjawab terhadap aliran lalu lintas atau mereka dapat memveto masalah tertentu. Pemboleh ubah juga dapat dikongsi (Gerbrandy 2006), contohnya memilih, di mana pemain berkongsi kawalan ke atas pemboleh ubah yang realisasinya ditentukan oleh fungsi agregasi tertentu, misalnya, majoriti (Troquard, Hoek, & Wooldridge 2011). Logik kawalan proposisi ini menentukan apa yang dimiliki oleh agen proposisi dalam fungsi keberkesanannya. Sebagai contoh, jika ejen (i) mengawal (p), maka kedua (p ^ {M}) dan (neg p ^ {M}) berada dalam fungsi keberkesanannya. Dengan cara ini model-model ini adalah jenis fungsi keberkesanan yang sangat istimewa, dan apa yang dikendalikan oleh agen dapat dilihat sebagai pilihan, atau strategi, yang tersedia untuk mereka.

Logik untuk kawalan proposisional mempunyai modaliti dari jenis ( varphi), yang bermaksud bahawa pemain (i) mempunyai strategi "kawalan" untuk memastikan bahawa, tidak kira bagaimana ejen lain memilih kawalan mereka strategi, maka (varphi) bertahan pada akhirnya. Tetapi mereka juga mempunyai modaliti jenis ([C] varphi), yang bermaksud bahawa pemain di (C) mempunyai strategi kawalan bersama memastikan (varphi) pada akhirnya. Oleh itu, profil strategi setara dengan fungsi penilaian, yang memberikan nilai kebenaran dari setiap cadangan yang ada. Sebaliknya, strategi pemain (i) dapat dilihat sebagai fungsi penilaian separa, yang memberikan nilai kebenaran hanya untuk cadangan yang dikendalikan oleh (i).

Sedikit menyalahgunakan notasi, kami mengatakan bahawa penilaian (V) memenuhi formula (varphi), dilambangkan (V / models / varphi), setiap kali ia menjadikan (varphi) benar di bawah tugasan semasa cadangan. Dengan kata lain, permainan kawalan proposisional dimainkan dalam satu dunia tunggal, dan tugas individu menentukan cadangan apa yang benar adalah dunia itu. Menandakan (mathcal {V}) kumpulan semua penilaian dan (mathcal {V} _i) kepada sebahagian yang berada di bawah kawalan (i) kita mempunyai yang berikut.

((F, V) modelvarphi) jika dan hanya jika untuk semua (i / di C), ada (V'_i / in / mathcal {V} _i) sedemikian rupa, untuk semua (k / in / overline {C}, V '_ {k} in / mathcal {V} _k), kita mempunyai ((F, V') models / varphi)

Oleh itu, apabila ([C] varphi) bertahan, koalisi (C) dapat memainkan strategi kawalan sedemikian rupa sehingga tidak kira strategi kawalan yang dimainkan oleh lawan mereka, hasil yang dihasilkan memuaskan (varphi).

Logik untuk kawalan proposisional dapat diperluas ke formalisme berdasarkan tujuan, yang disebut permainan Boolean (Harrenstein, van der Hoek, Meyer, & Witteveen 2001): proposisi dipartisi di antara para pemain, dengan setiap pemain mengendalikan set cadangan yang dia atau dia ditugaskan untuk. Di atas semua itu setiap pemain juga diberi formula logik proposisional yang dimaksudkan untuk menjadi tujuannya dan yang realisasinya mungkin tidak hanya bergantung pada pilihan yang dia dapat buat.

Permainan boolean telah dipelajari secara meluas dalam bidang sistem multi-agen, sebagai model ringkas dan padat untuk mewakili interaksi strategik dalam suasana berdasarkan logik (Dunne & Hoek 2004; Dunne & Wooldridge 2012; Dunne, Hoek, Kraus, & Wooldridge 2008).

Dalam varian paling umum mereka adalah perpanjangan logik dengan kawalan proposisional, di mana setiap ejen diberikan formula tujuan. Rumus tujuan adalah formula bahasa yang memuaskan dan ciri pentingnya adalah bahawa matlamat setiap ejen tidak perlu berada di bawah kawalannya.

Sebagai contoh, ejen (i) mungkin diberi kawalan proposisi (p) sahaja, tetapi mungkin mempunyai tujuan yang (p / leftrightarrow q). Oleh itu, apakah matlamat (i) dipenuhi tidak hanya bergantung pada (i) menetapkan proposisi (p) menjadi kenyataan, tetapi juga beberapa ejen lain, katakan (j), menetapkan proposisi (q) menjadi kenyataan. Ejen (j), sebaliknya, mungkin atau mungkin tidak berminat untuk menetapkan (q) ke true. Sebagai contoh dia mungkin mahu proposisi (r) menjadi benar, dan oleh itu tidak peduli sama ada (q) atau (overline {q}) direalisasikan pada akhirnya. Atau mungkin mempunyai matlamat yang (overline {q}).

Dalam permainan Boolean beberapa objektif dapat direalisasikan bersama-sama, misalnya ejen mungkin semua ingin (p / vee / neg q) menjadi kenyataan, atau mungkin penilaian tertentu tidak merealisasikan objektif semua ejen, tetapi tidak ada ejen yang tidak berpuas hati dapat memperbaiki keadaannya sendiri dengan menukar tugas kepada pemboleh ubah cadangan yang dikendalikannya. Keadaan ini adalah bentuk keseimbangan Nash yang sangat sederhana yang dapat dinyatakan dalam permainan Boolean.

Oleh itu, kerana (gamma_i) menjadi objektif pemain (i) dan (v_i) penilaian separa yang berada di bawah kawalan pemain (i), kami mengatakan bahawa penilaian (v) adalah keseimbangan Nash jika kita mempunyai itu untuk setiap (i) dan setiap (v'_i).

[(v_i, v _ {- i}) not / models / gamma_i / mbox {menyiratkan bahawa} (v'_i, v _ {- i}) not / model / gamma_i)

Oleh itu, jika (v) tidak memenuhi matlamat (i), tidak ada yang dapat dilakukan untuk memuaskannya.

Analisis keseimbangan Nash dalam permainan Boolean menunjukkan korelasi yang erat antara permainan ini dan logik proposisi: menggunakan pengurangan terhadap masalah kepuasan formula logik proposisional, masalah memeriksa apakah hasil (v) adalah keseimbangan Nash Boolean permainan adalah co-NP lengkap (Wooldridge, Endriss, Kraus, & Lang 2013).

4. Kesimpulan: Pada Tahap Analisis yang Betul

Ingatlah contoh pertama, di mana set hasil permainan mengundi dapat dijelaskan hanya dengan mempertimbangkan keseluruhan hasil pengundian atau dengan menjelaskan secara jelas apa yang telah dipilih oleh masing-masing Negara.

Sering kali, ketika menerangkan struktur matematik dengan bahasa ringkas, kita berhadapan dengan persoalan yang mana bahasa yang paling sesuai. Ada yang dapat menyatakan keutamaan, pengetahuan dan kemampuan gabungan bersama, yang lain hanya mengenai dua daripadanya, yang lain hanya mengenai satu. Akhirnya beberapa bahasa mungkin hanya dapat menyatakan apa yang dapat dicapai oleh individu, dan bukan gabungan.

Sekali lagi, tidak ada jawapan yang tepat untuk soalan ini. Itu semua bergantung pada apa ciri-ciri asas yang cuba dimodelkan oleh seseorang. Untuk menyatakan keseimbangan Nash dalam permainan koordinasi, tidak perlu adanya formalisme berasaskan logik temporal. Sebaliknya, jika seseorang ingin mengekspresikan induksi ke belakang, maka bahasa yang tidak menjadikan struktur berurutan dari masalah keputusan itu jelas mungkin bukan bahasa yang tepat.

Kembali ke contoh kita, beberapa Negara mungkin mempunyai pilihan lebih tinggi daripada bagaimana Negara lain memilih, dan ini mungkin mempengaruhi pembuatan keputusan mereka, mengubah keseluruhan titik keseimbangan permainan. Sekiranya ini berlaku, maka bahasa yang lebih kaya adalah penting. Jika tidak, jika kita dapat menolak kemungkinan ini, bahasa yang lebih ringkas sepertinya adalah pilihan yang tepat.

Bibliografi

  • Abdou, Joseph dan Hans Keiding, 1991, Fungsi Keberkesanan dalam Pilihan Sosial, (Perpustakaan Teori dan Keputusan 8), Dordrecht: Springer Netherlands, doi: 10.1007 / 978-94-011-3448-4
  • Baltag, Alexandru dan Bryan Renne, 2016, "Logik Epistemik Dinamik", dalam Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Edisi Musim Sejuk 2016), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Belnap, Nuel, Michael Perloff, dan Ming Xu, 2001, Menghadapi Masa Depan: Ejen dan Pilihan di Dunia Indeterminis Kami, Oxford: Oxford University Press.
  • Benthem, Johan van, 2014, Logik dalam Permainan, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Benthem, Johan van, Eric Pacuit, dan Olivier Roy, 2011, “Menuju Teori Main: Perspektif Logik pada Permainan dan Interaksi”, Permainan, 2 (1): 52–86. doi: 10.3390 / g2010052
  • Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke, dan Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107050884
  • Chellas, Brian, 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Dalen, Dirk van, 1980, Logik dan Struktur, Berlin: Springer-Verlag. doi: 10.1007 / 978-3-662-02962-6
  • Dunne, Paul E. dan Wiebe van der Hoek, 2004, "Perwakilan dan Kerumitan dalam Permainan Boolean", dalam José Júlio Alferes & João Alexandre Leite (ed.), Logik dalam Kecerdasan Buatan, Persidangan Eropah ke-9, JELIA 2004, Lisbon, Portugal, 27–30 September 2004, Prosiding, Berlin, Heidelberg: Springer, 3229: 347–359. doi: 10.1007 / 978-3-540-30227-8_30
  • Dunne, Paul E. dan Michael Wooldridge, 2012, "Menuju Tractable Boolean Games", di Wiebe van der Hoek, Lin Padgham, Vincent Conitzer, & Michael Winikoff (eds.), Prosiding Persidangan Antarabangsa ke-11 mengenai Ejen Autonomi dan Sistem Multiagent, (AAMAS 2012), Valencia, Sepanyol, 4-8 Jun 2012, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, vol. 2, hlm.939–946.
  • Dunne, Paul E., Wiebe van der Hoek, Sarit Kraus, dan Michael Wooldridge, 2008, "Cooperative Boolean Games", dalam Lin Padgham, David C. Parkes, Jörg P. Müller, & Simon Parsons (eds.), Prosiding Persidangan Bersama Antarabangsa ke-7 mengenai Sistem Ejen Autonomous dan Multiagent, (AAMAS 2008), Estoril, Portugal, 12-16 Mei 2008, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent System, vol. 2, hlm 1015–1022.
  • Garson, James, 2014, "Logik Modal", dalam Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Edisi Spring 2016), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
  • Gerbrandy, Jelle, 2006, “Logics of Propositional Control”, dalam Hideyuki Nakashima, Michael P. Wellman, Gerhard Weiss, & Peter Stone (ed.), Prosiding Persidangan Bersama Antarabangsa ke-5 mengenai Sistem Ejen Autonomi dan Multiagent, (AAMAS 2006), Hakodate, Jepun, 8–12 Mei 2006, New York: ACM, hlm. 193–200. doi: 10.1145 / 1160633.1160664
  • Goranko, Valentin dan Salomon Passy, 1992, “Menggunakan Modaliti Universal: Keuntungan dan Pertanyaan”, Jurnal Logik dan Pengiraan, 2 (1): 5–30. doi: 10.1093 / logcom / 2.1.5
  • Goranko, Valentin, Wojciech Jamroga, dan Paolo Turrini, 2013, “Permainan Strategik dan Fungsi Keberkesanan yang Boleh Dimainkan Benar”, Ejen Autonomi dan Sistem Multi-Ejen, 26 (2): 288–314. doi: 10.1007 / s10458-012-9192-y
  • Hansen, Helle Hvid, 2003, Logik Modal Monotonik, Tesis Sarjana, Universiteit van Amsterdam.
  • Hansen, Helle Hvid dan Marc Pauly, 2002, “Axiomatising Nash-Consistent Coalition Logic”, dalam Sergio Flesca, Sergio Greco, Nicola Leone, & Giovambattista Ianni (eds.), Logics in Artificial Intelligence, Berlin: Springer, 2424: 394– 406. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_33
  • Hansen, Helle Hvid, Clemens Kupke, dan Eric Pacuit, 2009, "Struktur Kejiranan: Bisimilaritas dan Teori Model Asas", Kaedah Logik dalam Sains Komputer, 5 (2): lmcs: 1167. [Hansen, Kupke, & Pacuit 2009 tersedia dalam talian]
  • Hansson, Sven Ove dan Till Grune-Yanoff, 2011, “Preferences”, dalam Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Edisi Musim Gugur 2011), Edward N. Zalta (ed.), URL => https://plato.stanford.edu/ arkib / jatuh2011 / entri / pilihan />
  • Harrenstein, Paul, Wiebe van der Hoek, John-Jules Meyer, dan Cees Witteveen, 2001, "Permainan Boolean", dalam Johan van Benthem (ed.), Prosiding Persidangan ke-8 mengenai Aspek Teoritis Rasionalitas dan Pengetahuan, (Tark ') 01), San Francisco: Morgan Kaufmann, hlm. 287–298.
  • Hendricks, Vincent dan John Symons, 2006, "Epistemic Logic", dalam Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Edisi Spring 2006), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Hodges, Wilfrid, 2013, "Logik dan Permainan", dalam Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Edisi Spring 2013), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
  • Hoek, Wiebe van der dan Marc Pauly, 2006, “Logik Modal untuk Permainan dan Maklumat”, dalam Patrick Blackburn, Johan van Benthem, & Frank Wolter (ed.), Buku Panduan Modal Logik, hlm. 1077–1148, Elsevier.
  • Hoek, Wiebe van der dan Michael Wooldridge, 2005, “Mengenai Logik Kerjasama dan Pengawalan Usulan”, Kecerdasan Buatan, 164 (1-2): 81–119. doi: 10.1016 / j.artint.2005.01.003
  • Kooi, Barteld dan Allard Tamminga, 2008, "Konflik Moral Antara Kumpulan Ejen", Jurnal Logik Falsafah, 37 (1): 1–21. doi: 10.1007 / s10992-007-9049-z
  • Kracht, Marcus dan Frank Wolter, 1999, "Logik Monomodal Normal Dapat Meniru Semua Yang Lain", Jurnal Logik Simbolik, 64 (1): 99–138. doi: 10.2307 / 2586754
  • Moulin, Herve dan Bezalel Peleg, 1982, “Cores of Effectivity Functions and Implementation Theory”, Journal of Mathematical Economics, 10 (1): 115–145. doi: 10.1016 / 0304-4068 (82) 90009-X
  • Osborne, Martin dan Ariel Rubinstein, 1994, Kursus dalam Teori Permainan, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Pacuit, Eric dan Olivier Roy, 2015, "Epistemic Foundations of Game Theory", dalam Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Spring 2015 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Pauly, Marc, 2001, Logik untuk Perisian Sosial, Ph. D. tesis, Universiti Amsterdam. [Pauly 2001 boleh didapati dalam talian]
  • Peleg, Bezalel, 1998, “Fungsi Keberkesanan, Bentuk Permainan, Permainan dan Hak”, Pilihan dan Kesejahteraan Sosial, 15 (1): 67–80. doi: 10.1007 / s003550050092
  • Steele, Katie dan Orri Stefansson, 2015, “Theory Theory”, dalam Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Winter 2015 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL =
  • Tamminga, Allard, 2013, “Logik Deontik untuk Permainan Strategik”, Erkenntnis, 78 (1): 183–200. doi: 10.1007 / s10670-011-9349-0
  • Troquard, Nicolas, Wiebe van der Hoek, dan Michael Wooldridge, 2009, “A Logic of Games and Propositional Control”, dalam Carles Sierra, Cristiano Castelfranchi, Keith S. Decker, & Jaime Simão Sichman (eds.), Prosiding 8hb. Persidangan Bersama Antarabangsa mengenai Ejen Autonomi dan Sistem Multi Agen, (AAMAS 2009), Budapest, Hungary, 10-15 Mei 2009, Richland, SC: Yayasan Antarabangsa untuk Ejen Autonomi dan Sistem Multi Agen, vol. 2, hlm. 961–968.
  • –––, 2011, “Penalaran Tentang Fungsi Pilihan Sosial”, Journal of Philosophical Logic, 40 (4): 473–498. doi: 10.1007 / s10992-011-9189-z
  • Turrini, Paolo, 2012, "Perjanjian sebagai Norma", dalam Thomas Ågotnes, Jan Broersen, & Dag Elgesem (ed.), Logik Deontik dalam Sains Komputer: Persidangan Antarabangsa ke-11, (DEON 2012), Bergen, Norway, 16-18 Julai, 2012, Berlin: Springer, 7393: 31–45. doi: 10.1007 / 978-3-642-31570-1_3
  • Wooldridge, Michael, Ulle Endriss, Sarit Kraus, dan Jérôme Lang, 2013, "Insentif Kejuruteraan untuk Permainan Boolean", Artificial Intelligence, 195: 418-439. doi: 10.1016 / j.artint.2012.11.003

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

  • Apt, Krzysztof, 2009, "Permainan Koperasi", Catatan Kursus, Centrum Wiskunde & Informatica, Amsterdam.
  • Logik dalam Tindakan

Disyorkan: