Intuisi Dalam Falsafah Matematik

Isi kandungan:

Intuisi Dalam Falsafah Matematik
Intuisi Dalam Falsafah Matematik

Video: Intuisi Dalam Falsafah Matematik

Video: Intuisi Dalam Falsafah Matematik
Video: Intuisi dalam Matematika 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Intuisi dalam Falsafah Matematik

Pertama kali diterbitkan pada 4 Sep 2008; semakan substantif Sel 11 Jun 2019

Intuitionism adalah falsafah matematik yang diperkenalkan oleh ahli matematik Belanda LEJ Brouwer (1881–1966). Intuisiisme berdasarkan idea bahawa matematik adalah ciptaan minda. Kebenaran pernyataan matematik hanya dapat difahami melalui pembinaan mental yang membuktikannya benar, dan komunikasi antara ahli matematik hanya berfungsi sebagai kaedah untuk mewujudkan proses mental yang sama dalam pemikiran yang berbeza.

Pandangan mengenai matematik ini mempunyai implikasi yang jauh untuk amalan matematik harian, salah satu akibatnya ialah prinsip tengah yang dikecualikan, ((A / vee / neg A)), tidak lagi berlaku. Sesungguhnya, terdapat dalil-dalil, seperti hipotesis Riemann, yang pada masa ini tidak ada bukti pernyataan atau penolakannya. Oleh kerana mengetahui penolakan pernyataan dalam intuisi bermaksud seseorang dapat membuktikan bahawa pernyataan itu tidak benar, ini menunjukkan bahawa kedua-dua (A) dan (neg A) tidak berpegang pada intuisi, sekurang-kurangnya tidak pada masa ini. Ketergantungan intuisi pada waktu adalah mustahak: pernyataan dapat dibuktikan dalam jangka masa dan oleh itu mungkin menjadi intuisi secara sah walaupun belum pernah berlaku sebelumnya.

Selain penolakan prinsip tengah yang dikecualikan, intuisiisme sangat menyimpang dari matematik klasik dalam konsep kontinum, yang pada pengaturan sebelumnya memiliki sifat bahawa semua fungsi di atasnya adalah berterusan. Oleh itu, tidak seperti beberapa teori lain mengenai matematik konstruktif, intuisiisme bukanlah sekatan penaakulan klasik; ia bertentangan dengan matematik klasik dengan cara asas.

Brouwer mengabdikan sebahagian besar hidupnya untuk pengembangan matematik berdasarkan asas baru ini. Walaupun intuisi tidak pernah menggantikan matematik klasik sebagai pandangan standard mengenai matematik, ia selalu menarik banyak perhatian dan masih banyak dikaji hingga kini.

Dalam entri ini kita memusatkan perhatian pada aspek intuisi yang membezakannya dari cabang-cabang lain dari matematik konstruktif, dan bahagian yang dibahagikannya dengan bentuk-bentuk konstruktivisme lain, seperti teori dan model asas, hanya akan dibincangkan secara ringkas.

  • 1. Brouwer
  • 2. Intuisiisme

    • 2.1 Kedua-dua tindakan intuisi
    • 2.2 Subjek Membuat
  • 3. Matematik

    • 3.1 Tafsiran BHK
    • 3.2 Logik intuisi
    • 3.3 Nombor semula jadi
    • 3.4 Kontinum
    • 3.5 Aksioma kesinambungan
    • 3.6 Teorema bar
    • 3.7 Aksioma pilihan
    • 3.8 Teori set deskriptif, topologi, dan teori topos
  • 4. Konstruktivisme
  • 5. Meta-matematik

    • 5.1 Aritmetik
    • 5.2 Analisis
    • 5.3 Urutan tidak sah
    • 5.4 Formalisasi Subjek Membuat
    • 5.5 Asas dan model
    • 5.6 Matematik terbalik
  • 6. Falsafah

    • 6.1 Fenomenologi
    • 6.2 Wittgenstein
    • 6.3 Dummett
    • 6.4 Finitisme
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer dilahirkan di Overschie, Belanda. Dia belajar matematik dan fizik di University of Amsterdam, di mana dia memperoleh PhD pada tahun 1907. Pada tahun 1909 dia menjadi pensyarah di universiti yang sama, di mana dia dilantik sebagai profesor penuh pada tahun 1912, jawatan yang dipegangnya sehingga dia bersara pada tahun 1951. Brouwer adalah seorang ahli matematik yang cemerlang yang membuat kerja topologi dalam bidang topologi dan menjadi terkenal sejak usia muda. Sepanjang hidupnya, dia adalah seorang yang bebas yang mengejar hal-hal yang dia percayai dengan semangat yang kuat, yang membawanya bertentangan dengan banyak rakan sekerja, terutama dengan David Hilbert. Dia juga mengagumi, dan di rumahnya "pondok" di Blaricum dia menyambut banyak ahli matematik terkenal pada zamannya. Hingga ke akhir hayatnya, dia menjadi lebih terpencil, tetapi kepercayaannya terhadap kebenaran falsafahnya tidak pernah goyah. Dia meninggal dalam kemalangan kereta pada usia 85 tahun di Blaricum, tujuh tahun selepas kematian isterinya Lize Brouwer.

Pada usia 24 tahun, Brouwer menulis buku Life, Art and Mysticism (Brouwer 1905), yang kandungan solipsistiknya menggambarkan falsafah matematiknya. Dalam disertasi, asas-asas intuisiisme dirumuskan untuk pertama kalinya, walaupun belum di bawah nama itu dan belum dalam bentuk akhir. Pada tahun-tahun pertama setelah disertasi, sebagian besar kehidupan ilmiah Brouwer dikhaskan untuk topologi, suatu bidang di mana dia masih terkenal dengan teori dimensi dan teorem titik tetapnya. Karya ini adalah sebahagian daripada matematik klasik; menurut pandangan Brouwer kemudian, teorema titik tetapnya tidak berlaku, walaupun pemeran analog dari segi penghampiran dapat dibuktikan sesuai dengan prinsipnya.

Sejak tahun 1913, Brouwer semakin mendedikasikan dirinya untuk pengembangan idea-idea yang disusun dalam disertasi menjadi falsafah matematik yang lengkap. Dia tidak hanya menyempurnakan falsafah intuisi, tetapi juga mengolah semula matematik, terutama teori kontinum dan teori set, berdasarkan prinsip-prinsip ini. Pada masa itu, Brouwer adalah seorang ahli matematik terkenal yang memberikan ceramah berpengaruh mengenai intuisi pada meccas saintifik pada masa itu, Cambridge, Vienna, dan Göttingen di antara mereka. Falsafahnya dianggap janggal oleh banyak orang, tetapi dianggap sebagai alternatif yang serius untuk penaakulan klasik oleh beberapa ahli matematik paling terkenal pada zamannya, walaupun mereka mempunyai pandangan yang berbeza mengenai masalah ini. Kurt Gödel, yang merupakan Platonis sepanjang hidupnya, adalah salah seorang dari mereka. Hermann Weyl pada satu ketika menulis "Begitu juga dengan hal yang sama seperti Versuch Preis und schließe mich Brouwer an" (Weyl 1921, 56). Dan walaupun dia jarang mempraktikkan matematik intuisi di kemudian hari, Weyl tidak pernah berhenti mengagumi Brouwer dan falsafah matematiknya yang intuisi.

Kehidupan Brouwer sarat dengan konflik, yang paling terkenal ialah konflik dengan David Hilbert, yang akhirnya menyebabkan Brouwer dikeluarkan dari dewan Mathematische Annalen. Konflik ini adalah sebahagian dari Grundlagenstreit yang menggegarkan masyarakat matematik pada awal abad ke-20 dan yang muncul sebagai hasil dari kemunculan paradoks dan bukti yang sangat tidak konstruktif dalam matematik. Ahli falsafah dan ahli matematik terpaksa mengakui kekurangan asas epistemologi dan ontologi untuk matematik. Intuisiisme Brouwer adalah falsafah matematik yang bertujuan untuk menyediakan asas seperti itu.

2. Intuisiisme

2.1 Kedua-dua tindakan intuisi

Menurut Brouwer, matematik adalah ciptaan minda tanpa bahasa. Masa adalah satu-satunya tanggapan apriori, dalam erti kata Kantian. Brouwer membezakan dua tindakan intuisi:

Tindakan intuisiisme pertama adalah:

Memisahkan sepenuhnya matematik dari bahasa matematik dan oleh itu dari fenomena bahasa yang dijelaskan oleh logik teoritis, menyedari bahawa matematik intuisi adalah aktiviti asasnya tanpa bahasa yang mempunyai asalnya dalam persepsi pergerakan masa. Persepsi pergerakan masa ini dapat digambarkan sebagai perpecahan momen hidup ke dalam dua perkara yang berbeza, salah satunya memberi jalan kepada yang lain, tetapi dipertahankan oleh ingatan. Sekiranya keduadua yang dilahirkan dengan demikian dilupuskan dari semua kualiti, ia masuk ke dalam bentuk kosong dari substratum umum dari semua dua. Dan ini adalah substratum biasa, bentuk kosong ini, yang merupakan intuisi asas matematik. (Brouwer 1981, 4–5)

Seperti yang akan dibincangkan dalam bahagian matematik, tindakan intuisiisme pertama menimbulkan angka semula jadi tetapi menyiratkan sekatan yang teruk terhadap prinsip-prinsip penaakulan yang dibenarkan, terutama penolakan prinsip tengah yang dikecualikan. Oleh kerana penolakan prinsip ini dan hilangnya asas logik untuk kontinum, seseorang mungkin, dalam kata-kata Brouwer, "takut bahawa matematik intuisi mesti semestinya lemah dan anemia, dan khususnya tidak akan mempunyai tempat untuk analisis" (Brouwer 1952, 142). Namun, tindakan kedua menetapkan kewujudan kontinum, sebuah kontinum yang mempunyai sifat yang tidak dikongsi oleh rakan sejawatannya yang klasik. Pemulihan kontinum bergantung pada pengertian urutan pilihan yang ditetapkan dalam tindakan kedua, yaitu adanya urutan tak terbatas yang dihasilkan oleh pilihan bebas,yang oleh itu tidak diperbaiki terlebih dahulu.

Tindakan intuisiisme kedua adalah:

Mengakui dua cara untuk mewujudkan entiti matematik baru: pertama dalam bentuk lebih kurang bebas meneruskan urutan entiti matematik yang tidak terbatas yang sebelumnya diperoleh…; kedua dalam bentuk spesies matematik, iaitu sifat yang boleh dipercayai untuk entiti matematik yang diperoleh sebelumnya, memenuhi syarat bahawa jika mereka memegang entiti matematik tertentu, mereka juga memegang untuk semua entiti matematik yang telah didefinisikan sebagai "sama" dengannya…. (Brouwer 1981, 8)

Kedua-dua tindakan intuisi membentuk asas falsafah Brouwer; dari dua tindakan ini sahaja Brouwer mencipta bidang matematik intuisi, seperti yang akan dijelaskan di bawah. Dari prinsip asas ini dapat disimpulkan bahawa intuisiisme berbeza dengan Platonisme dan formalisme, kerana tidak menganggap kenyataan matematik di luar kita, dan juga tidak menganggap bahawa matematik adalah permainan dengan simbol-simbol mengikut peraturan tetap tertentu. Pada pandangan Brouwer, bahasa digunakan untuk bertukar-tukar idea matematik tetapi kewujudan yang terakhir adalah bebas daripada yang sebelumnya. Perbezaan antara intuisi dan pandangan konstruktif lain mengenai matematik yang mana objek dan hujah matematik harus dihitung, terletak pada kebebasan yang dibenarkan oleh tindakan kedua dalam pembinaan urutan yang tidak terhingga. Sesungguhnya,seperti yang akan dijelaskan di bawah, implikasi matematik dari tindakan intuisiisme kedua bertentangan dengan matematik klasik, dan oleh itu tidak berlaku dalam kebanyakan teori konstruktif, kerana ini secara amnya merupakan sebahagian daripada matematik klasik.

Oleh itu intuisiisme Brouwer tersendiri daripada falsafah matematik lain; ini didasarkan pada kesedaran masa dan keyakinan bahawa matematik adalah ciptaan fikiran bebas, dan oleh itu bukan Platonisme atau formalisme. Ini adalah bentuk konstruktivisme, tetapi hanya dalam pengertian yang lebih luas, kerana banyak konstruktivis tidak menerima semua prinsip yang dipercayai oleh Brouwer.

2.2 Subjek Membuat

Kedua-dua tindakan intuisi tidak dengan sendirinya mengecualikan tafsiran psikologi terhadap matematik. Walaupun Brouwer kadang-kadang membahas hal ini, jelas dari tulisannya bahawa dia menganggap intuisiisme bebas daripada psikologi. Pengenalan Brouwer tentang Subjek Menciptakan (Brouwer 1948) sebagai fikiran ideal di mana matematik berlaku sudah menyimpang dari aspek-aspek penaakulan manusia yang tidak penting seperti keterbatasan ruang dan masa dan kemungkinan hujah yang salah. Oleh itu, masalah intersubjektiviti, yang meminta penjelasan mengenai fakta bahawa manusia dapat berkomunikasi, tidak lagi wujud, kerana hanya ada satu Subjek Penciptaan. Dalam literatur, juga nama Creative Subject digunakan untuk Membuat Subjek, tetapi di sini istilah Brouwer digunakan. Pada (Niekus 2010),dibahaskan bahawa Brouwer Creating Subject tidak melibatkan ahli matematik yang ideal. Untuk analisis fenomenologi Penciptaan Subjek sebagai subjek transendental dalam pengertian Husserl lihat (van Atten 2007).

Brouwer menggunakan argumen yang melibatkan Creating Subject untuk membina contoh kepada pernyataan intuisi yang tidak dapat diterima. Di mana contoh yang lemah, yang akan dibincangkan di bawah, hanya menunjukkan bahawa pernyataan tertentu tidak, pada masa ini, dapat diterima secara intuisi, gagasan pemikiran yang ideal membuktikan prinsip-prinsip klasik tertentu menjadi salah. Contoh diberikan dalam Bahagian 5.4 mengenai formalisasi pengertian Subjek Membuat. Di sana juga dijelaskan bahawa prinsip berikut, yang dikenal sebagai Skema Kripke, dapat diperdebatkan dari segi Membuat Subjek:

(tag {({ bf KS})} wujud / alpha (A / leftrightarrow / υπάρχει n \, / alpha (n) = 1).)

Dalam KS, rentang (A) di atas formula dan rentang (alpha) di atas urutan pilihan, yang merupakan urutan nombor semula jadi yang dihasilkan oleh Subjek Pembuatan, yang memilih elemennya satu persatu. Urutan pilihan dan Skema Kripke dibincangkan lebih lanjut dalam Bahagian 3.4.

Dalam kebanyakan falsafah matematik, misalnya dalam Platonisme, pernyataan matematik tidak terkira. Dalam intuisi, kebenaran dan kepalsuan mempunyai aspek sementara; fakta yang telah ditetapkan akan tetap berlaku, tetapi pernyataan yang terbukti pada suatu titik waktu tertentu tidak mempunyai nilai kebenaran sebelum titik tersebut. Dalam kata formalisasi konsep Creating Subject, yang tidak dirumuskan oleh Brouwer tetapi hanya kemudian oleh yang lain, aspek temporer intuisiisme jelas muncul.

Penting kerana hujah yang menggunakan pengertian Menciptakan Subjek mungkin untuk pemahaman lebih lanjut tentang intuisi sebagai falsafah matematik, peranannya dalam pengembangan bidang kurang berpengaruh daripada dua tindakan intuisi, yang secara langsung mengarah ke kebenaran matematik Brouwer dan orang-orang yang mengejarnya bersedia menerima.

3. Matematik

Walaupun perkembangan intuisiisme Brouwer memainkan peranan penting dalam perdebatan asas di kalangan ahli matematik pada awal abad ke-20, implikasi filosofinya yang jauh untuk matematik hanya dapat dilihat setelah bertahun-tahun melakukan penyelidikan. Dua sifat intuisi yang paling ciri adalah prinsip logik penaakulan yang membenarkannya dalam bukti dan konsepsi lengkap mengenai intuisi. Hanya sejauh yang terakhir, intuisi menjadi tidak dapat dibandingkan dengan matematik klasik. Dalam entri ini fokusnya adalah pada prinsip-prinsip intuisi yang membezakannya dari disiplin matematik lain, dan oleh itu aspek konstruktifnya yang lain akan diperlakukan dengan lebih terperinci.

3.1 Tafsiran BHK

Dalam intuisi, mengetahui bahawa pernyataan A adalah benar bermaksud mempunyai bukti. Pada tahun 1934 Arend Heyting, yang pernah menjadi pelajar Brouwer, memperkenalkan bentuk apa yang kemudian dikenali sebagai interpretasi Brouwer-Heyting-Kolmogorov, yang menangkap makna simbol logik dalam intuisi, dan pada konstruktivisme pada umumnya juga. Ini mendefinisikan secara tidak formal apa yang harus dibuktikan oleh bukti intuisi dengan menunjukkan bagaimana penghubung dan pengukur harus ditafsirkan.

  • (bot) tidak dapat dibuktikan.
  • Bukti (A / baji B) terdiri daripada bukti (A) dan bukti (B).
  • Bukti (A / vee B) terdiri daripada bukti (A) atau bukti (B).
  • Bukti (A / panah kanan B) adalah pembinaan yang mengubah sebarang bukti (A) menjadi bukti (B).
  • Bukti (ada x A (x)) diberikan dengan menunjukkan elemen (d) domain dan bukti (A (d)).
  • Bukti (forall x A (x)) adalah pembinaan yang mengubah setiap bukti bahawa (d) milik domain menjadi bukti (A (d)).

Penolakan (neg A) formula (A) terbukti apabila telah ditunjukkan bahawa tidak ada bukti (A), yang bermaksud menyediakan pembinaan yang berasal dari sebarang kemungkinan bukti (A). Oleh itu (neg A) bersamaan dengan (A / rightarrow / bot). Pentafsiran BHK bukanlah definisi formal kerana konsep pembinaan tidak didefinisikan dan oleh itu terbuka kepada tafsiran yang berbeza. Walaupun begitu, pada tahap tidak formal ini seseorang terpaksa menolak salah satu prinsip logik yang selalu ada dalam logik klasik: prinsip tengah yang dikecualikan ((A / vee / neg A)). Menurut penafsiran BHK, pernyataan ini berlaku secara intuisi jika Subjek Membuat tahu bukti (A) atau bukti bahawa (A) tidak dapat dibuktikan. Sekiranya tidak untuk (A) atau untuk penolakannya, bukti yang diketahui,pernyataan ((A / vee / neg A)) tidak tahan. Kewujudan masalah terbuka, seperti dugaan Goldbach atau hipotesis Riemann, menggambarkan fakta ini. Tetapi apabila bukti (A) atau bukti penolakannya dijumpai, keadaan berubah, dan untuk ini (A) prinsip ini ((A / vee / neg A)) adalah benar dari itu sekejap.

3.2 Logik intuisi

Brouwer menolak prinsip tengah yang dikecualikan berdasarkan falsafahnya, tetapi Arend Heyting adalah yang pertama merumuskan logika prinsip yang dapat diterima dari sudut pandangan intuisi. Logik intuisi, yang merupakan logik dari kebanyakan bentuk konstruktivisme lain, sering disebut sebagai "logik klasik tanpa prinsip tengah yang dikecualikan". Ini dilambangkan oleh IQC, yang merupakan singkatan dari Intuitionistic Quantifier Logic, tetapi nama-nama lain juga terdapat dalam literatur. Kemungkinan aksiomatisasi dalam gaya Hilbert terdiri daripada prinsip

(A / baji B / kanan bawah A) (A / baji B / kanan bawah B) (A / kanan bawah A / vee B) (B / kanan bawah A / vee B)
(A / panah kanan (B / anak panah kanan A)) (forall x A (x) kanan bawah A (t)) (A (t) kanan bawah / wujud x A (x)) (bot / kanan bawah A)
((A / rightarrow (B / rightarrow C)) rightarrow ((A / rightarrow B) rightarrow (A / rightarrow C)))
(A / panah kanan (B / panah kanan A / baji B))
((A / rightarrow C) rightarrow ((B / rightarrow C) rightarrow (A / vee B / rightarrow C)))
(forall x (B / rightarrow A (x)) rightarrow (B / rightarrow / forall x A (x))) (forall x (A (x) rightarrow B) rightarrow (wujud x A (x) rightarrow B))

dengan keadaan sampingan biasa untuk dua aksioma terakhir, dan peraturan Modus Ponens,

(teks {dari (A) dan ((A / kanan bawah B)) menyimpulkan (B)},)

sebagai satu-satunya peraturan inferens. Logik intuisi telah menjadi objek penyiasatan sejak Heyting merumuskannya. Sudah berada di tahap proposisi, ia mempunyai banyak sifat yang membezakannya daripada logik klasik, seperti Harta Disjungsi:

(tag {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A / vee B / text {tersirat} { bf IQC} vdash A / text {atau} { bf IQC} vdash B.)

Prinsip ini jelas dilanggar dalam logik klasik, kerana logik klasik membuktikan ((A / vee / neg A)) juga untuk formula yang bebas dari logik, iaitu yang mana kedua (A) dan (neg A) bukan tautologi. Kemasukan prinsip Ex Falso Sequitur Quodlibet, ((bot / rightarrow A)), dalam logik intuisi adalah titik perbincangan bagi mereka yang mengkaji pernyataan Brouwer mengenai perkara ini; dalam van Atten 2008, dikatakan bahawa prinsip itu tidak berlaku dalam Intuitionisme dan bahawa prinsip logik yang berlaku menurut pandangan Brouwer adalah logik yang relevan. Lihat van Dalen 2004 untuk maklumat lanjut mengenai Brouwer dan Ex Falso Sequitur Quodlibet.

Walaupun hingga hari ini semua logik yang digunakan dalam penaakulan intuisiistik terdapat dalam IQC, pada prinsipnya dapat dibayangkan bahawa pada suatu ketika akan ditemukan suatu prinsip yang dapat diterima dari sudut pandang intuisi yang tidak diliputi oleh logik ini. Bagi kebanyakan bentuk konstruktivisme, pandangan yang diterima secara meluas adalah bahawa hal ini tidak akan pernah berlaku, dan oleh itu IQC dianggap sebagai logik konstruktivisme. Bagi intuisi, situasinya kurang jelas kerana tidak dapat dikesampingkan bahawa pada suatu ketika pemahaman intuisi kita mungkin membawa kita kepada prinsip-prinsip logik baru yang belum kita pahami sebelumnya.

Salah satu sebab penggunaan logik intuisi secara meluas adalah kerana ia berkelakuan baik baik dari teori-bukti sebagai sudut pandang model-teori. Terdapat banyak sistem bukti untuknya, seperti Gentzen calculi dan sistem pemotongan semula jadi, serta pelbagai bentuk semantik, seperti model Kripke, model Beth, aljabar Heyting, semantik topologi dan model kategori. Sebilangan dari semantik ini, bagaimanapun, hanya sarana klasik untuk mempelajari logik intuisi, kerana dapat ditunjukkan bahawa bukti kelengkapan intuisi tidak berkenaan dengan mereka (Kreisel 1962). Namun, telah ditunjukkan bahawa ada model alternatif tetapi sedikit kurang semula jadi yang mana kelengkapannya dapat bertahan secara konstruktif (Veldman 1976). Karakteristik logik intuisiistik yang konstruktif menjadi sangat jelas dalam isomorfisme Curry-Howard yang menetapkan korespondensi antara turunan dalam logik dan istilah dengan hanya diketik (lambda) - kalkulus, iaitu antara bukti dan pengiraan. Surat-menyurat mengekalkan struktur kerana pengurangan istilah sesuai dengan normalisasi bukti.

3.3 Nombor semula jadi

Kewujudan nombor semula jadi diberikan oleh tindakan intuisiisme pertama, iaitu dengan persepsi pergerakan masa dan perpecahan momen hidup menjadi dua perkara yang berbeza: apa, 1, dan apa yang bersamaan dengan apa yang sebelumnya, 2, dan dari sana hingga 3, 4, … Berbeza dengan matematik klasik, dalam intuisiisme semua infiniti dianggap sebagai tak terhingga potensial. Terutama ini berlaku untuk bilangan nombor semula jadi yang tidak terhingga. Oleh itu, pernyataan yang mengukur jumlah ini harus dilayan dengan berhati-hati. Sebaliknya, prinsip induksi boleh diterima sepenuhnya dari sudut pandangan intuisi.

Oleh kerana kehalusan nombor semula jadi berbeza dengan, misalnya, bilangan nyata, banyak pernyataan aritmetik yang bersifat terbatas yang benar dalam matematik klasik begitu juga dalam intuisi. Sebagai contoh, dalam intuisiisme setiap nombor semula jadi mempunyai pemfaktoran utama; terdapat set yang boleh dikira yang tidak dapat dikira; ((A / vee / neg A)) berlaku untuk semua penyata bebas pengukur (A). Untuk pernyataan yang lebih kompleks, seperti teorema van der Waerden atau teorem Kruskal, kesahan intuisi tidak begitu mudah. Sebenarnya, bukti intuisi dari kedua-dua pernyataan itu kompleks dan menyimpang dari bukti klasik (Coquand 1995, Veldman 2004).

Oleh itu, dalam konteks nombor semula jadi, intuisi dan matematik klasik mempunyai banyak persamaan. Hanya apabila set tak terhingga lain seperti nombor nyata dianggap bahawa intuisiisme mula berbeza secara dramatik dari matematik klasik, dan dari kebanyakan bentuk konstruktivisme lain juga.

3.4 Kontinum

Dalam intuisi, kontinum adalah perpanjangan dan sekatan rakan sejawatannya yang klasik. Dalam bentuknya yang lengkap, kedua-dua pengertian itu tidak dapat dibandingkan kerana nombor nyata intuisi mempunyai sifat yang tidak dimiliki oleh nombor nyata klasik. Contoh terkenal, yang akan dibincangkan di bawah, adalah teorema bahawa dalam intuisiisme setiap fungsi total pada kontinum adalah berterusan. Bahawa kontinu intuisi tidak memenuhi sifat klasik tertentu dapat dilihat dengan mudah melalui contoh yang lemah. Bahwa itu juga mengandung sifat-sifat yang tidak dimiliki oleh kenyataan klasik berasal dari adanya, dalam intuisi, urutan pilihan.

Contoh yang lemah

Contoh-contoh lemah yang diperkenalkan oleh Brouwer pada tahun 1908, adalah contoh pertama yang digunakan oleh Brouwer untuk menunjukkan bahawa peralihan dari konsepsi matematik yang klasik ke intuisiistik bukan tanpa konsekuensi untuk kebenaran matematik yang dapat dibentuk berdasarkan falsafah ini. Mereka menunjukkan bahawa pernyataan klasik tertentu pada masa ini tidak dapat diterima dari sudut pandangan intuisi. Sebagai contoh, pertimbangkan urutan nombor nyata yang diberikan oleh definisi berikut:

[r_n = / begin {case} 2 ^ {- n} text {if} forall m / leq n A (m) / 2 ^ {- m} text {if} neg A (m) baji m / leq n / baji / forall k / lt m A (k). / tamat {kes})

Di sini (A (n)) adalah harta yang boleh ditentukan yang mana (forall n A (n)) tidak diketahui benar atau salah. Kerentanan bermaksud bahawa pada masa ini untuk sesuatu yang diberikan (n) ada (dapat dibina) bukti (A (n)) atau (neg A (n)). Pada masa penulisan ini, kita misalnya boleh membiarkan (A (n)) menyatakan bahawa (n), jika lebih besar dari 2, adalah jumlah tiga bilangan prima; (forall n A (n)) kemudian menyatakan dugaan Goldbach (asli) bahawa setiap nombor yang lebih besar daripada 2 adalah jumlah tiga bilangan prima. Urutan (langle r_n / rangle) mentakrifkan nombor nyata (r) di mana pernyataan (r = 0) setara dengan pernyataan (forall n A (n)). Ini menunjukkan bahawa pernyataan ((r = 0 / vee r / neq 0)) tidak berlaku, dan oleh itu bahawa hukum trikotomi (forall x (x / lt y / vee x = y / vee x / gt y)) tidak benar pada kontinum intuisi.

Perhatikan perbezaan halus antara "(A) tidak benar secara intuisi" dan "(A) tidak dapat disangkal secara intuisi": dalam kes pertama kita tahu bahawa (A) tidak boleh mempunyai bukti intuisi, pernyataan kedua menyatakan bahawa kita mempunyai bukti ¬ A, iaitu pembinaan yang memperoleh falsum dari kemungkinan bukti (A). Untuk undang-undang trikotomi, kami baru saja menunjukkan bahawa ia tidak benar secara intuisi. Di bawah ini akan ditunjukkan bahawa bahkan bentuk kedua yang lebih kuat yang mengatakan bahawa undang-undang itu dapat dibantah berlaku secara intuisi. Namun, ini tidak benar untuk semua pernyataan yang terdapat contoh lemah yang lemah. Sebagai contoh, dugaan Goldbach adalah contoh yang lemah terhadap prinsip tengah yang dikecualikan, kerana (forall n A (n)) seperti di atas pada masa ini tidak diketahui benar atau salah,dan dengan itu kita tidak dapat menegaskan (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n)) secara intuisi, sekurang-kurangnya tidak pada masa ini. Tetapi penyangkalan pernyataan ini, (neg (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n))), tidak benar dalam intuisi, kerana seseorang dapat menunjukkannya untuk pernyataan apa pun (B) kontradiksi dapat diturunkan dari anggapan bahawa (neg B) dan (neg / neg B) menahan (dan dengan demikian juga dari (B) dan (neg B)). Dengan kata lain, (neg / neg (B / vee / neg B)) benar secara intuisi, dan oleh itu, walaupun ada contoh yang lemah terhadap prinsip tengah yang dikecualikan, penolakannya adalah salah dalam intuisi, iaitu, ia boleh disangkal secara intuisi.kerana seseorang dapat menunjukkan bahawa untuk pernyataan apa pun (B) percanggahan dapat diturunkan dari anggapan bahawa (neg B) dan (neg / neg B) menahan (dan juga dari (B) dan (neg B)). Dengan kata lain, (neg / neg (B / vee / neg B)) benar secara intuisi, dan oleh itu, walaupun ada contoh yang lemah terhadap prinsip tengah yang dikecualikan, penolakannya adalah salah dalam intuisi, iaitu, ia boleh disangkal secara intuisi.kerana seseorang dapat menunjukkan bahawa untuk pernyataan apa pun (B) percanggahan dapat diturunkan dari anggapan bahawa (neg B) dan (neg / neg B) menahan (dan juga dari (B) dan (neg B)). Dengan kata lain, (neg / neg (B / vee / neg B)) benar secara intuisi, dan oleh itu, walaupun ada contoh yang lemah terhadap prinsip tengah yang dikecualikan, penolakannya adalah salah dalam intuisi, iaitu, ia boleh disangkal secara intuisi.

Kewujudan nombor nyata (r) yang intuisi tidak dapat memutuskan sama ada mereka positif atau tidak menunjukkan bahawa fungsi klasik tertentu tidak lagi begitu dalam suasana intuisi, seperti fungsi pemalar sepotong

[f (r) = / begin {cases} 0 / text {if} r / geq 0 \\ 1 / text {if} r / lt 0. / end {case})

Terdapat banyak contoh yang lemah terhadap banyak pernyataan yang sah secara klasik. Pembentukan contoh lemah yang lemah ini sering mengikuti corak yang sama seperti contoh di atas. Sebagai contoh, hujah yang menunjukkan bahawa teorem nilai pertengahan tidak sah secara intuisi dijalankan seperti berikut. Biarkan (r) menjadi nombor nyata di [−1,1] yang mana ((r / leq 0 / vee 0 / lt r)) belum diputuskan, seperti dalam contoh di atas. Tentukan fungsi berterusan yang seragam (f) pada ([0,3]) oleh

[f (x) = / teks {min} (x-1,0) + / teks {maks} (0, x-2) + r.)

Dengan jelas, (f (0) = -1 + r) dan (f (3) = 1 + r), dari mana (f) mengambil nilai 0 pada suatu ketika (x) di [0, 3]. Sekiranya (x) tersebut dapat ditentukan, baik (1 / leq x) atau (x / leq 2). Oleh kerana (f) sama dengan (r) pada ([1,2]), dalam kes pertama (r / leq 0) dan dalam kes kedua (0 / leq r), bertentangan ketidaktentuan pernyataan ((r / leq 0 / vee 0 / leq r)).

Contoh-contoh ini nampaknya menunjukkan bahawa dalam peralihan dari matematik klasik ke intuisi, seseorang kehilangan beberapa teori asas analisis. Namun demikian tidak demikian, kerana dalam banyak kes intuisiisme memperoleh semula teorema seperti dalam bentuk analog di mana pernyataan eksistensial digantikan dengan pernyataan tentang adanya penghampiran dalam ketepatan sewenang-wenangnya, seperti dalam bentuk teorema nilai antara yang setara secara klasik ini iaitu sah secara konstruktif:

Teorem. Untuk setiap fungsi bernilai nyata berterusan (f) pada selang ([a, b]) dengan (a / lt b), untuk setiap (c) antara (f (a)) dan (f (b)), pegangan berikut:

(forall n / wujud x / di [a, b], | f (x) -c | / lt 2 ^ {- n}.)

Contoh yang lemah adalah kaedah untuk menunjukkan bahawa pernyataan matematik tertentu tidak berpengaruh secara intuisi, tetapi mereka belum lagi mengungkapkan kekayaan kontinu intuisi. Hanya setelah pengenalan urutan pilihan Brouwer, intuisi mendapat rasa khasnya dan menjadi sebanding dengan matematik klasik.

Urutan pilihan

Urutan pilihan diperkenalkan oleh Brouwer untuk menangkap intuisi kontinum. Oleh kerana bagi intuisi semua infiniti berpotensi, objek tak terbatas hanya dapat digenggam melalui proses yang menghasilkannya selangkah demi selangkah. Oleh itu, apa yang akan dibenarkan sebagai pembinaan yang sah memutuskan objek yang tidak terbatas yang akan diterima. Sebagai contoh, dalam kebanyakan bentuk konstruktivisme lain hanya peraturan yang dapat dikira untuk menghasilkan objek seperti itu yang dibenarkan, sementara dalam Platonisme, infiniti dianggap sebagai jumlah lengkap yang keberadaannya diterima walaupun dalam kes ketika tidak ada peraturan penjanaan yang diketahui.

Tindakan intuisiisme kedua Brouwer menimbulkan urutan pilihan, yang memberikan beberapa set tak terbatas dengan sifat yang tidak dapat diterima dari sudut pandangan klasik. Urutan pilihan adalah urutan nombor (atau objek terhingga) yang tidak terbatas yang dibuat oleh kehendak bebas. Urutan dapat ditentukan oleh undang-undang atau algoritma, seperti urutan yang hanya terdiri daripada angka nol, atau bilangan prima dalam urutan yang semakin meningkat, dalam hal ini kita berbicara tentang urutan seperti hukum, atau tidak boleh dikenakan undang-undang, dalam yang mana ia disebut tidak sah. Urutan yang tidak sah misalnya dapat dibuat dengan melemparkan duit syiling berulang-ulang, atau dengan meminta Subjek Membuat untuk memilih nombor urutan berturut-turut satu demi satu, yang memungkinkannya memilih nombor apa pun yang disukainya. Oleh itu urutan tanpa undang-undang tidak pernah selesai,dan satu-satunya maklumat yang tersedia mengenainya pada tahap apa pun pada masa ini adalah segmen awal urutan yang dibuat setakat ini. Jelas sekali, dengan adanya sifat pelanggaran hukum, kita tidak akan pernah dapat memutuskan apakah nilainya akan bertepatan dengan urutan yang tidak sesuai dengan undang-undang. Juga, kehendak bebas dapat membuat urutan yang bermula sebagai seperti undang-undang, tetapi yang pada saat tertentu undang-undang mungkin dicabut dan proses pilihan bebas mengambil alih untuk menghasilkan angka berikutnya, atau sebaliknya.tetapi yang mana pada waktu tertentu undang-undang dapat dicabut dan proses pilihan bebas mengambil alih untuk menghasilkan angka berikutnya, atau sebaliknya.tetapi yang mana pada waktu tertentu undang-undang dapat dicabut dan proses pilihan bebas mengambil alih untuk menghasilkan angka berikutnya, atau sebaliknya.

Menurut Brouwer, setiap bilangan nyata diwakili oleh urutan pilihan, dan urutan pilihan memungkinkannya menangkap kontinu intuisi melalui aksioma kesinambungan yang kontroversial. Brouwer pertama kali membicarakan urutan pilihan dalam alamat sulungnya (Brouwer 1912), tetapi pada masa itu dia belum memperlakukannya sebagai bahagian asas matematiknya. Secara beransur-ansur mereka menjadi lebih penting dan mulai tahun 1918 Brouwer mula menggunakannya dengan cara yang dijelaskan di bahagian seterusnya.

3.5 Aksioma kesinambungan

Penerimaan konsep urutan pilihan mempunyai implikasi yang luas. Ini membenarkan, bagi intuisi, penggunaan aksioma kesinambungan, dari mana pernyataan tidak klasik dapat diturunkan. Yang paling lemah dari aksioma ini adalah aksioma kesinambungan yang lemah:

(tag {({ bf WC / mbox {-} N})} forall / alpha / wujud n A (alpha, n) rightarrow / forall / alpha / wujud m / wujud n / forall / beta / in / alpha (overline {m}) A (beta, n).)

Di sini (n) dan (m) berada di antara nombor semula jadi, (alpha) dan (beta) di atas urutan pilihan, dan (beta / in / alpha (overline {m})) bermaksud bahawa elemen (m) pertama (alpha) dan (beta) sama. Walaupun sampai sekarang tidak pernah diberikan justifikasi yang memuaskan sepenuhnya dari aksioma kesinambungan untuk urutan pilihan sewenang-wenangnya, bahkan oleh Brouwer, ketika dibatasi pada kelas urutan tidak sah argumen yang menyokong kesahihan jangka masa aksioma lemah seperti berikut. Bilakah pernyataan bentuk (forall / alpha / wujud n A (alpha, n)) dapat dibuat oleh intuisi? Dengan sifat pengertian urutan tanpa undang-undang, pilihan nombor (n) yang ditahan (A (alpha, n)) harus dibuat setelah hanya segmen awal yang terbatas dari (alpha) dikenali. Kerana kita tidak tahu bagaimana (alpha) akan berjalan tepat pada waktunya,dan oleh itu kita harus mendasarkan pilihan (n) pada segmen awal (alpha) yang diketahui pada ketika itu di mana kita ingin memperbaiki (n). Ini menunjukkan bahawa untuk setiap urutan tanpa undang-undang (beta) dengan segmen awal yang sama dengan (alpha), (A (beta, n)) juga berlaku.

Aksioma kesinambungan yang lemah telah terbukti konsisten, dan sering diterapkan dalam bentuk yang dapat dibenarkan, iaitu dalam keadaan di mana predikat (A) hanya merujuk pada nilai-nilai (alpha), dan bukan pada sifat pesanan tinggi yang mungkin dimiliki. Perincian hujah akan dihilangkan di sini, tetapi ia mengandungi bahan yang sama dengan pembenaran prinsip untuk urutan tanpa undang-undang, dan boleh didapati di van Atten dan van Dalen 2002.

Kesinambungan yang lemah tidak menghabiskan intuisi intuisiis mengenai kontinum, kerana memandangkan aksioma kesinambungan yang lemah, wajar untuk menganggap bahawa pilihan nombor (m) sedemikian rupa sehingga (forall / beta / in / alpha (garis besar {m}) A (beta, n)), dapat dinyatakan dengan jelas. Oleh itu (forall / alpha / wujud n A (alpha, n)) menunjukkan wujudnya fungsi berterusan (Phi) yang untuk setiap (alpha) menghasilkan (m) yang membetulkan panjang (alpha) berdasarkan mana (n) dipilih. Secara lebih formal, biarkan (mathcal {CF}) menjadi kelas fungsi berterusan (Phi) yang menetapkan nombor semula jadi untuk urutan tak terhingga, iaitu yang memuaskan

(forall / alpha / wujud m / forall / beta / in / alpha (overline {m}) Phi (alpha) = / Phi (beta).)

Aksioma kesinambungan penuh, yang merupakan lanjutan dari aksioma kesinambungan lemah, kemudian dapat dinyatakan sebagai:

(tag {({ bf C / mbox {-} N})} forall / alpha / υπάρχει n A (alpha, n) rightarrow / υπάρχει / Phi / in / mathcal {CF}, / forall / alpha A (alpha, / Phi (alpha)).)

Melalui aksioma kesinambungan, beberapa contoh lemah yang lemah dapat diubah menjadi sanggahan asli dari prinsip yang diterima secara klasik. Sebagai contoh, ini menyiratkan bahawa versi prinsip dari bahagian tengah yang dikecualikan adalah salah:

(neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0).)

Di sini (alpha (n)) menandakan elemen (n) - th (alpha). Untuk melihat bahawa penolakan ini berlaku, anggaplah, dengan alasan percanggahan, bahawa (neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0)) memegang. Ini menunjukkan bahawa

(forall / alpha / wujud k ((forall n / alpha (n) = 0 / baji k = 0) vee (neg / forall n / alpha (n) = 0 / baji k = 1)).)

Dengan aksioma kesinambungan yang lemah, untuk (alpha) yang terdiri daripada nol sahaja terdapat nombor (m) yang menetapkan pilihan (k), yang bermaksud bahawa untuk semua (beta / in / alpha (overline {m})), (k = 0). Tetapi adanya urutan yang elemen (m) pertama adalah 0 dan yang mengandungi 1 menunjukkan bahawa ini tidak mungkin.

Contoh ini menunjukkan bahawa prinsip tengah yang dikecualikan bukan sahaja tidak berlaku tetapi sebenarnya salah dalam intuisi, membawa kepada penolakan banyak sifat asas kontinum. Pertimbangkan misalnya nombor sebenar (r_ / alpha) yang merupakan had urutan yang terdiri daripada nombor (r_n) seperti yang diberikan dalam bahagian contoh lemah, di mana (A (m)) di definisi diambil untuk menjadi pernyataan (alpha (m) = 0). Kemudian sanggahan di atas menunjukkan bahawa (neg / forall / alpha (r_ / alpha = 0 / vee r_ / alpha / neq 0)), dan dengan itu membantah hukum trikotomi:

(forall x (x / lt y / vee x = y / vee y / lt x).)

Teorema berikut adalah contoh lain dari cara aksioma kesinambungan menolak prinsip-prinsip klasik tertentu.

Teorema ({ bf (C / mbox {-} N)}) Setiap fungsi sebenar adalah berterusan.

Sesungguhnya, contoh klasik untuk teorem ini, fungsi berterusan yang mana-mana [f (x) = / begin {cases} 0 / text {if (x) adalah nombor rasional} / 1 / teks {if (x) adalah nombor yang tidak rasional} end {case}) bukan fungsi yang sah dari sudut pandangan intuisi kerana sifat bersikap rasional tidak dapat ditentukan pada angka sebenarnya. Teorema di atas menunjukkan bahawa kontinum tidak dapat diuraikan, dan dalam van Dalen 1997, ditunjukkan bahawa ini berlaku untuk sekumpulan nombor yang tidak rasional.

Kedua-dua contoh di atas adalah ciri untuk cara aksioma kesinambungan diterapkan dalam matematik intuisi. Mereka adalah satu-satunya aksioma intuisi yang bertentangan dengan pemikiran klasik, dan dengan demikian mewakili bahagian yang paling berwarna dan paling kontroversial dalam falsafah Brouwer.

Fungsi Kejiranan

Terdapat representasi fungsi fungsional berterusan yang telah digunakan secara meluas dalam literatur, walaupun tidak oleh Brouwer sendiri. Fungsi berterusan yang memberikan nombor untuk urutan tak terhingga dapat diwakili oleh fungsi kejiranan, di mana fungsi kejiranan (f) adalah fungsi pada nombor semula jadi yang memenuhi dua sifat berikut ((cdot) menunjukkan gabungan dan (f (alpha (overline {n}))) menunjukkan nilai (f) pada kod urutan terhingga (alpha (overline {n}))).

(alpha / wujud nf (alpha (overline {n})) gt 0 / \ / \ / forall n / forall m (f (n) gt 0 / rightarrow f (n / cdot m) = f (n)).)

Secara intuitif, jika (f) mewakili (Phi) maka (f (alpha (overline {n})) = 0) bermaksud (alpha (overline {n})) adalah tidak cukup lama untuk mengira (Phi (alpha)), dan (f (alpha (overline {n})) = m + 1) bermaksud (alpha (overline {n})) cukup panjang untuk mengira (Phi (alpha)) dan nilai (Phi (alpha)) adalah (m). Sekiranya (mathcal {K}) menunjukkan kelas fungsi kejiranan, maka aksioma kesinambungan ({ bf C / mbox {-} N}) dapat disusun semula sebagai (forall / alpha / wujud n A (alpha, n) rightarrow / wujud f / in / mathcal {K}, / forall m (f (m) gt 0 / rightarrow / forall / beta / in m A (beta, f (m-1))),)

di mana (beta / in m) bermaksud bahawa kod segmen awal (beta) adalah (m).

3.6 Teorema bar

Brouwer memperkenalkan urutan pilihan dan aksioma kesinambungan untuk menangkap kontinum intuisi, tetapi prinsip-prinsip ini saja tidak mencukupi untuk memulihkan bahagian analisis tradisional yang dianggap Bruwer sebagai intuisiistis, seperti teorema bahawa setiap fungsi sebenar berterusan pada selang tertutup adalah berterusan secara seragam. Atas sebab ini Brouwer membuktikan teorem bar yang disebut. Ini adalah pernyataan yang sah secara klasik, tetapi bukti yang diberikan Brouwer oleh banyak orang dianggap tidak ada bukti sama sekali kerana ia menggunakan andaian dalam bentuk bukti yang tidak ada hujah yang tegas. Ini adalah alasan bahawa teorema bar juga disebut sebagai prinsip bar.

Akibat teorema bar yang paling terkenal adalah teorema penggemar, yang cukup untuk membuktikan teorema yang disebutkan di atas mengenai kesinambungan yang seragam, dan yang akan diperlakukan terlebih dahulu. Teorema kipas dan bar membenarkan intuisi menggunakan induksi di sepanjang kumpulan objek tertentu yang disebut penyebaran. Penyebaran adalah analog intuisiistik dari satu set, dan menangkap idea objek tidak terbatas yang terus berkembang dan tidak pernah selesai. Penyebaran pada dasarnya adalah pokok bercabang yang dilabel dengan nombor semula jadi atau benda-benda lain yang terbatas dan hanya mengandungi jalan yang tidak terbatas.

Kipas adalah penyebaran bercabang, dan prinsip kipas menyatakan bentuk kekompakan yang setara secara klasik dengan lemma König, bukti klasik yang tidak dapat diterima dari sudut pandangan intuisi. Prinsipnya menyatakan bahawa untuk setiap kipas (T) di mana setiap cabang pada suatu ketika memenuhi harta benda (A), terdapat seragam yang terikat pada kedalaman di mana sifat ini dipenuhi. Harta tersebut dipanggil bar untuk (T).

(tag {({ bf FAN})} forall / alpha / in T / wujud n A (alpha (overline {n})) rightarrow / wujud m / forall / alpha / in T / wujud n / leq m A (alpha (overline {n})).)

Di sini (alpha / in T) bermaksud (alpha) adalah cabang (T). Prinsip FAN cukup untuk membuktikan teorema yang disebutkan di atas:

Teorema (FAN) Setiap fungsi sebenar berterusan pada selang tertutup berterusan berterusan.

Pembenaran Brouwer untuk teorema peminat adalah prinsip barnya untuk penyebaran sejagat:

(tag {({ bf BI})} start {align} & (forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) vee / neg A (alpha (overline {n})) big) wedge / forall / alpha / wujud n A (alpha (overline {n})) / wedge \& / quad / forall / alpha / forall n / besar (A (alpha (overline {n})) rightarrow B (alpha (overline {n})) big) / wedge \& / quad / forall / alpha / forall n / big (forall mB (alpha (overline {n}) cdot m) rightarrow B (alpha (overline {n})) besar)] anak panah kanan B (varepsilon). / end {align})

Di sini (varepsilon) bermaksud urutan kosong, (cdot) untuk penggabungan, BI untuk Induksi Bar, dan subskrip D merujuk kepada kerentanan predikat (A). Prinsip bar memberikan intuisi dengan prinsip induksi untuk pokok; ia menyatakan prinsip asas yang baik untuk penyebaran berkenaan dengan sifat yang dapat ditolak. Sambungan prinsip ini di mana syarat penolakan dilemahkan dapat diambil dari karya Brouwer tetapi akan dihilangkan di sini. Kesinambungan dan prinsip bar kadang-kadang ditangkap dalam satu aksioma yang disebut aksioma kesinambungan bar.

Terdapat hubungan erat antara prinsip bar dan fungsi kejiranan yang disebutkan dalam bahagian mengenai kesinambungan aksioma. Biarkan (mathcal {IK}) menjadi kelas fungsi kejiranan yang ditentukan secara induktif, yang terdiri daripada semua urutan bukan sifar berterusan (lambda m.n + 1), dan sedemikian rupa sehingga jika (f (0) = 0) dan (lambda mf (x / cdot m) in / mathcal {IK}) untuk semua (x), kemudian (f / in / mathcal {IK}). Kenyataan (mathcal {K} = / mathcal {IK}), iaitu, kenyataan bahawa fungsi kejiranan boleh dijana induktif, adalah bersamaan dengan BI D.

Bukti Brouwer mengenai teorema bar adalah luar biasa kerana ia menggunakan sifat bukti hipotesis yang teratur. Ini berdasarkan anggapan bahawa sebarang bukti bahawa harta A pada urutan adalah bar dapat diuraikan menjadi bukti kanonik yang disusun dengan baik. Walaupun sah secara klasik, bukti prinsip Brouwer menunjukkan bahawa alasan untuk menerimanya sebagai prinsip yang sah dalam intuisiisme secara asasnya berbeza dari hujah yang menyokong penerimaannya dalam matematik klasik.

3.7 Aksioma pilihan

Aksioma pilihan dalam bentuk penuhnya tidak dapat diterima dari sudut pandang konstruktif, sekurang-kurangnya dengan adanya aksioma pusat teori tertentu yang lain, seperti ekstensi (Diaconescu 1975). Biarkan (A) menjadi pernyataan yang tidak diketahui benar atau salah. Maka keahlian dua set berikut tidak dapat dipastikan.

(start {align} X & = {x / in {0,1 } mid x = 0 / vee (x = 1 / baji A) } / Y & = {y / in {0,1 } pertengahan y = 1 / vee (y = 0 / baji A) } akhir {align})

Adanya fungsi pilihan (f: {X, Y } rightarrow {0,1 }) memilih elemen dari (X) dan (Y) akan menyiratkan ((A / vee / neg A)). Untuk jika (f (X) neq f (Y)), ia mengikuti bahawa (X / neq Y), dan dengan itu (neg A), sedangkan (f (X) = f (Y)) menyiratkan (A). Oleh itu fungsi pilihan untuk ({X, Y }) tidak dapat wujud.

Terdapat, bagaimanapun, sekatan aksioma tertentu yang dapat diterima oleh intuisi, misalnya aksioma pilihan yang dapat dihitung, juga diterima sebagai prinsip yang sah oleh para separa intuisi yang akan dibincangkan di bawah:

(tag {({ bf AC / mbox {-} N})} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} besar (forall m / wujud n \, mRn / rightarrow / wujud / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} forall m \, mR / alpha (m) big).)

Skim ini boleh dibenarkan seperti berikut. Bukti premis harus menyediakan kaedah yang diberikan (m) memberikan nombor (n) sehingga (mRn). Oleh itu fungsi (alpha) pada nombor semula jadi (mathbb {N}) dapat dibina langkah demi langkah: pertama elemen (m_0) dipilih sedemikian rupa sehingga (0Rm_0), yang akan menjadi nilai (alpha (0)). Kemudian elemen (m_1) dipilih sedemikian rupa sehingga (1Rm_1), yang akan menjadi nilai (alpha (1)), dan seterusnya.

Beberapa aksioma pilihan lain dapat dibenarkan dengan cara yang serupa. Hanya satu lagi yang akan disebutkan di sini, aksioma pilihan bergantung:

(tag {({ bf DC / mbox {-} N})} start {align} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} besar (forall m / wujud n \, mRn / rightarrow & / forall k / wujud / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} big (alpha (0) = k / \ wedge \& / forall i / geq 0 \, / alpha (i) R / alpha (i + 1) besar) besar). / end {align})

Juga dalam matematik klasik aksioma pilihan diperlakukan dengan berhati-hati, dan sering disebutkan secara eksplisit berapa banyak pilihan yang diperlukan dalam bukti. Oleh kerana aksioma pilihan bergantung selaras dengan aksioma penting dalam teori set klasik (aksioma ketetapan) sementara aksioma pilihan tidak, perhatian khusus diberikan kepada aksioma ini dan secara umum seseorang berusaha untuk mengurangkan jumlah pilihan dalam bukti, jika pilihan ada sama sekali, kepada pilihan bergantung.

3.8 Teori set deskriptif, topologi, dan teori topos

Brouwer tidak sendirian dalam keraguannya mengenai bentuk pemikiran tertentu. Ini terutama terlihat dalam teori set deskriptif, yang muncul sebagai reaksi terhadap pengertian yang sangat tidak konstruktif yang berlaku dalam teori set Cantorian. Bapa pendiri lapangan, termasuk includingmile Borel dan Henri Lebesgue sebagai dua tokoh utama, dipanggil semi-intuisiis, dan perlakuan konstruktif mereka terhadap kontinum membawa kepada definisi hirarki Borel. Dari sudut pandang mereka, pengertian seperti himpunan semua set nombor nyata tidak bermakna, dan oleh itu harus digantikan oleh hierarki subset yang mempunyai keterangan yang jelas.

Dalam Veldman 1999, intuisi yang setara dengan pengertian set Borel dirumuskan, dan ditunjukkan bahawa definisi setara klasik dari set Borel menimbulkan pelbagai kelas intuisi yang berbeza, situasi yang sering terjadi pada intuisi. Untuk intuisiistik Borel menetapkan analog Teorem Hierarki Borel adalah intuisi secara sah. Bukti fakta ini memanfaatkan pentingnya aksioma kesinambungan yang dibincangkan di atas dan dengan demikian menunjukkan bagaimana matematik klasik dapat memandu pencarian analog intuisi yang, bagaimanapun, harus dibuktikan dengan cara yang sama sekali berbeza, kadang-kadang menggunakan prinsip yang tidak dapat diterima dari sudut klasik pandangan.

Pendekatan lain untuk kajian subkumpulan kontinum, atau ruang topologi secara umum, telah muncul melalui pengembangan topologi formal atau abstrak (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). Dalam topologi konstruktif ini peranan set dan mata terbuka terbalik; dalam topologi klasik satu set terbuka didefinisikan sebagai satu set titik tertentu, dalam kes terbuka set terbuka adalah pengertian asas dan titik didefinisikan dari segi mereka. Oleh itu pendekatan ini kadang-kadang disebut sebagai topologi tanpa titik.

Analisis fungsional intuisiistik telah dikembangkan jauh oleh banyak orang setelah Brouwer, tetapi kerana kebanyakan pendekatan tidak intuisiistik ketat tetapi juga konstruktif dalam pengertian yang lebih luas, penyelidikan ini tidak akan ditangani lebih jauh di sini.

4. Konstruktivisme

Intuisiisme mempunyai bahagian teras dengan kebanyakan bentuk konstruktivisme yang lain. Konstruktivisme secara umum berkaitan dengan objek dan penaakulan matematik yang konstruktif. Dari bukti konstruktif seseorang, sekurang-kurangnya pada prinsipnya, dapat mengekstrak algoritma yang menghitung unsur-unsur dan mensimulasikan konstruksi yang keberadaannya dibuktikan dalam bukti tersebut. Sebilangan besar bentuk konstruktivisme serasi dengan matematik klasik, kerana pada umumnya berdasarkan tafsiran yang lebih ketat mengenai pengukur dan penghubung dan konstruksi yang dibenarkan, sementara tidak ada andaian tambahan yang dibuat. Logik yang diterima oleh hampir semua komuniti konstruktif adalah sama, iaitu logik intuisi.

Banyak teori eksistensial dalam matematik klasik mempunyai analog konstruktif di mana pernyataan eksistensial digantikan dengan pernyataan mengenai penghampiran. Kami melihat contohnya, teorema nilai pertengahan, di bahagian contoh lemah yang ditunjukkan di atas. Sebilangan besar matematik dapat dipulihkan secara konstruktif dengan cara yang serupa. Sebab untuk tidak memperlakukan mereka lebih jauh di sini adalah bahawa fokus dalam entri ini adalah pada aspek intuisi yang membezakannya daripada cabang matematik yang membina. Untuk rawatan konstruktivisme secara menyeluruh, pembaca dirujuk pada entri yang sesuai dalam ensiklopedia ini.

5. Meta-matematik

Walaupun Brouwer mengembangkan matematiknya dengan tepat dan mendasar, formalisasi dalam pengertian seperti yang kita ketahui hari ini hanya dilakukan kemudian oleh orang lain. Memang, menurut pandangan Brouwer bahawa matematik berkembang secara dalaman, formalisasi, walaupun tidak dapat diterima, tidak perlu. Yang lain setelahnya berpendapat sebaliknya, dan formalisasi matematik intuisi dan kajian mengenai sifat meta-matematiknya, khususnya aritmetik dan analisis, telah menarik banyak penyelidik. Formalisasi logik intuisi yang berdasarkan semua formalisasi telah diperlakukan di atas.

5.1 Aritmetik

Heyting Arithmetic HA seperti yang dirumuskan oleh Arend Heyting adalah formalisasi teori intuisi mengenai nombor semula jadi (Heyting 1956). Ia mempunyai aksioma tak logik yang sama dengan Peano Arithmetic PA tetapi berdasarkan logik intuisi. Oleh itu, ia adalah sekatan aritmetik klasik, dan ia adalah teori nombor semula jadi yang diterima dalam hampir semua bidang matematik konstruktif. Heyting Arithmetic mempunyai banyak sifat yang mencerminkan watak konstruktifnya, seperti Disjunction Properti yang berlaku untuk logik intuisi. Satu lagi sifat HA yang tidak dikongsi oleh PA ialah sifat kewujudan berangka: ((overline {n}) adalah angka yang sesuai dengan nombor semula jadi (n))

(tag {({ bf NEP})} { bf HA} vdash / ada x A (x) Rightarrow / ada n / di { mathbb N}, { bf HA} vdash A (garis atas {n}).)

Perkara ini tidak dimiliki oleh PA berikutan fakta bahawa PA membuktikan (wujud x (A (x) vee / forall y / neg A (y))). Pertimbangkan, misalnya, bahawa (A (x)) adalah formula (T (e, e, x)), di mana (T) adalah predikat Kleene yang dapat ditentukan yang menyatakan bahawa (x) adalah kod pengiraan akhir program dengan kod (e) pada input (e). Sekiranya untuk setiap (e) akan ada nombor (n) sehingga ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee / forall y / neg T (e, e, y)), kemudian dengan memeriksa apakah (T (e, e, n)) menahannya, akan diputuskan apakah program (e) berakhir pada input (e). Walau bagaimanapun, ini secara amnya tidak dapat dipastikan.

Peraturan Markov adalah prinsip yang berlaku secara klasik dan intuisi, tetapi hanya untuk HA bukti fakta ini tidak remeh:

(tag {({ bf MR})} { bf HA} vdash / forall x (A (x) vee / neg A (x)) baji / neg / neg / ada x A (x) Rightarrow { bf HA} vdash / wujud x A (x).)

Oleh kerana HA membuktikan hukum tengah yang dikecualikan untuk setiap predikat rekursif primitif, maka untuk (A) seperti itu, derivatif (neg / neg / ada x A (x)) dalam HA menyiratkan kebolehkesanan (ada x A (x)) juga. Dari ini menunjukkan bahawa PA adalah (Pi ^ 0_2) - konservatif berbanding HA. Iaitu, untuk rekursif primitif (A): [{ bf PA} vdash / forall x / υπάρχει y A (x, y) Rightarrow { bf HA} vdash / forall x / wujud y A (x, y). Oleh itu, kelas fungsi rekursif HA bertepatan dengan kelas fungsi rekursif PA, harta yang, berdasarkan idea-idea yang mendasari konstruktivisme dan intuisi, mungkin tidak mengejutkan.

5.2 Analisis

Formalisasi matematik intuisiistik merangkumi lebih daripada aritmetik. Sebahagian besar analisis telah di aksiomatikan dari sudut pandangan konstruktif (Kleene 1965, Troelstra 1973). Konstruktiviti sistem ini dapat dibuat dengan menggunakan tafsiran fungsional, teori jenis, atau realisasi, yang kebanyakannya berdasarkan atau peluasan tafsiran Dialektika Gödel (Gödel 1958, Kreisel 1959), realisasi Kleene (Kleene 1965), atau teori jenis (Martin- Löf 1984). Dalam penafsiran ini, fungsi yang mendasari pernyataan konstruktif, seperti misalnya fungsi menetapkan (y) untuk setiap (x) di (forall x / wujud y A (x, y)), dibuat eksplisit dengan pelbagai cara.

Dalam (Scott 1968 dan 1970), model topologi untuk teori analisis intuisiistik orde kedua disajikan di mana kenyataan ditafsirkan sebagai fungsi berterusan dari ruang Baire ke real klasik. Dalam model ini Skrip Kripke serta aksioma kesinambungan tertentu berlaku. Dalam (Moschovakis 1973), kaedah ini disesuaikan untuk membina model teori analisis intuisiistik dari segi urutan pilihan. Juga dalam model ini Skema Kripke dan aksioma kesinambungan tertentu berlaku. Dalam (Van Dalen 1978) model Beth digunakan untuk menyediakan model urutan aritmetik dan pilihan yang memenuhi skema pilihan, contoh kesinambungan lemah dan Skema Kripke. Dalam model ini domain di setiap simpul adalah nombor semula jadi, sehingga seseorang tidak harus menggunakan model tidak standar, seperti dalam model Kripke. Lebih-lebih lagi, aksioma CS1–3 subjek penciptaan dapat ditafsirkan di dalamnya, sehingga menunjukkan teori ini konsisten.

5.3 Urutan tidak sah

Terdapat aksiomatisasi urutan tanpa undang-undang, dan semuanya mengandungi perpanjangan aksioma kesinambungan (Kreisel 1968, Troelstra 1977). Khususnya dalam bentuk Aksioma Data Terbuka yang menyatakan bahawa (A (alpha)) tidak mengandungi parameter lain yang tidak sesuai selain (alpha):

[A (alpha) rightarrow / wujud n / forall / beta / in / alpha (overline {n}) A (beta).)

Dalam (Troelstra 1977), teori urutan tanpa undang-undang dikembangkan (dan dibenarkan) dalam konteks analisis intuisi. Selain aksioma untuk analisis dasar, ia mengandungi, untuk urutan tanpa undang-undang, bentuk aksioma data terbuka, kesinambungan, kebolehpecahan dan ketumpatan yang diperkuat (kepadatan mengatakan bahawa setiap urutan terhingga adalah segmen awal urutan tanpa undang-undang). Apa yang sangat menarik adalah bahawa dalam teori-teori ini, pengkuantiti terhadap urutan tanpa undang-undang dapat dihapuskan, hasil yang juga dapat dilihat sebagai menyediakan model urutan hukum untuk teori-teori seperti itu. Model klasik lain dari teori urutan tanpa undang-undang telah dibina dalam teori kategori dalam bentuk model sheaf (van der Hoeven dan Moerdijk 1984). Dalam (Moschovakis 1986), diperkenalkan teori untuk urutan pilihan yang berkaitan dengan sekumpulan elemen hukum tertentu,bersama dengan model klasik di mana urutan tanpa undang-undang ternyata betul-betul yang generik.

5.4 Formalisasi Subjek Membuat

Subjek Membuat, diperkenalkan dalam Bahagian 2.2, dapat menghasilkan urutan pilihan, yang merupakan beberapa entiti matematik terpenting dan intuisiisme Brouwer. Beberapa ahli falsafah dan ahli matematik telah berusaha mengembangkan teori Subjek Pembuatan secara matematik dan juga secara falsafah.

Dalam formalisasi pengertian Penciptaan Subjek aspek temporalnya diformalkan dengan menggunakan notasi (Box_n A), yang menunjukkan bahawa Subjek Menciptakan mempunyai bukti A pada waktu n (dalam beberapa rumusan lain: mengalami kebenaran (A) pada masa (n)). Georg Kreisel (1967) memperkenalkan tiga aksioma berikut untuk Subjek Menciptakan, yang diambil bersama dilambangkan oleh CS:

(start {align} tag {({ bf CS1})} & / Box_n A / vee / neg / Box_n A \& / mbox {(pada masa (n), ia dapat diputuskan sama ada Creating Subject} & / mbox {mempunyai bukti A)} / \ tag {({ bf CS2})} & / Box_m A / rightarrow / Box_ {m + n} A \& / mbox {(Subjek Membuat tidak akan melupakan apa yang telah dibuktikannya)} / \ tag {({ bf CS3})} & (ada n / Box_n A / rightarrow A) wedge (A / rightarrow / neg / neg / wujud n / Box_n A) & / mbox {(Subjek Membuat hanya membuktikan apa yang benar dan tidak} & / mbox {pernyataan yang benar tidak mungkin dapat dibuktikan untuk} & / mbox {Membuat Subjek)} / \ end {align})

Dalam versi Anne Troelstra (1969) aksioma terakhir diperkuat menjadi

(start {align} tag {({ bf CS3} ^ +)} & / wujud n / Box_n A / leftrightarrow A \& / mbox {(Subjek Membuat hanya membuktikan apa yang benar dan apa} & / mbox {benar akan dibuktikan oleh Membuat Subjek di beberapa} & / mbox {point)} end {align})

Aksioma pertama CS1 tidak kontroversial: pada bila-bila masa, dapat ditentukan sama ada Subjek Membuat mempunyai bukti pernyataan yang diberikan atau tidak. Aksioma kedua CS2 dengan jelas menggunakan fakta bahawa Subjek Membuat adalah idealisasi kerana ia menyatakan bahawa bukti akan selalu diingat. Aksioma terakhir CS3adalah bahagian yang paling dipertikaikan dari formalisasi Subjek Penciptaan, atau lebih baik, konjungsi kedua ((A / rightarrow / neg / neg / wujud n / Box_n A)) adalah, yang diberi nama Axiom of Christian Charity oleh Kreisel. Göran Sundholm (2014), misalnya, berpendapat bahawa Axiom of Christian Charity tidak dapat diterima dari sudut pandang yang membina. Dan teorema ketidaklengkapan Gödel bahkan menyiratkan bahawa prinsip itu salah ketika (Box_n A) akan ditafsirkan sebagai dapat dibuktikan dalam sistem bukti yang cukup kuat, yang, bagaimanapun, tentu saja bukan tafsiran yang ada dalam fikiran Brouwer.

Dengan adanya pernyataan (A) yang tidak mengandungi rujukan waktu, iaitu tidak ada kejadian (Box_n), seseorang dapat menentukan urutan pilihan sesuai dengan peraturan berikut (Brouwer 1953):

(alpha (n) = / left { begin {array} {ll} 0 & / mbox {if (neg / Box_n A)} / 1 & / mbox {if (Box_n A). } end {array} kanan.)

Dari sini mengikuti prinsip yang dikenali sebagai Kripke's Schema KS, yang diperkenalkan dalam Bahagian 2.2, sebuah prinsip yang tidak seperti aksioma teori Penciptaan Subjek, tidak mengandungi rujukan eksplisit mengenai masa: (ada / alpha (A / leftrightarrow / υπάρχει n / alpha (n) = 1)).

Dengan menggunakan Skema Kripke, argumen contoh kontra yang lemah dapat dinyatakan secara formal tanpa merujuk kepada Subjek Membuat. Contoh berikut diambil dari (van Atten 2018). Let A menjadi pernyataan yang pada masa ini (neg A / vee / neg / neg A) tidak diketahui berlaku. Menggunakan KS seseorang memperoleh urutan pilihan (alpha_1) dan (alpha_2) sedemikian

(neg A / leftrightarrow / wujud n / alpha_1 (n) = 1 / \ / \ / neg / neg A / leftrightarrow / wujud n / alpha_2 (n) = 1.)

Kaitkan dengan dua urutan ini nombor nyata (r_0) dan (r_1), dengan (i = 0,1):

[r_i (n) = / begin {case} 0 & / text {if (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & / start {align} & / text {if for some (m / leq n), (alpha_i (m) = 1) dan} & / teks {untuk no (k / lt m), (alpha_i (k) = 1.)} end {align} end {case})

Kemudian untuk (r = r_0 + r_1), pernyataan (neg A / vee / neg / neg A) disiratkan oleh ((r / gt 0 / vee r / lt 0)), yang menunjukkan bahawa ((r / gt 0 / vee r / lt 0)) tidak dapat dibuktikan.

Dalam (van Dalen 1978) model dibuat berdasarkan aksioma untuk Subjek Membuat dalam konteks urutan aritmetik dan pilihan, sehingga membuktikannya selaras dengan aritmetik intuisi dan bahagian analisis tertentu. Pada (van Dalen 1982), CS terbukti konservatif berbanding Heyting Arithmetic. Akibat matematik Skema Kripke dapat dilihat di (van Dalen 1997), di mana ditunjukkan bahawa KS dan aksioma kesinambungan menolak prinsip Markov, sementara KS bersama dengan prinsip Markov menyiratkan prinsip tengah yang dikecualikan.

Kripke telah menunjukkan bahawa KS menyiratkan adanya fungsi nonrecursive, hasilnya tidak diterbitkan olehnya tetapi oleh Kreisel (1970). Jelas, ini menunjukkan bahawa teori CS juga menyiratkan adanya fungsi nonrecursive. Argumen yang mungkin untuk CS berjalan seperti berikut. Katakan (X) adalah set yang tidak dapat dikira tetapi boleh dikira dan tentukan fungsi (f) seperti berikut:

[f (m, n) = / begin {case} 0 & / text {if not (Box_m (n / not / in X))} / 1 & / text {if (Box_m (n / not / in X)).} end {case})

Kemudian, (n / not / in X) jika dan hanya jika (f (m, n) = 1) untuk beberapa nombor semula jadi (m), yang menunjukkan bahawa (f) tidak boleh boleh dikira. Jika demikian, pelengkap (X) akan dapat dihitung secara besar-besaran, yang menyiratkan kebolehkiraan (X). Oleh kerana (f) adalah fungsi dari sudut pandang intuisi, ini membuktikan bahawa dalam Intuitionisme tidak semua fungsi dapat dihitung.

5.5 Asas

Formalisasi yang dimaksudkan sebagai landasan untuk matematik konstruktif adalah baik dari set-teori (Aczel 1978, Myhill 1975) atau jenis-teori (Martin-Löf 1984). Teori-teori sebelumnya adalah adaptasi dari teori set Zermelo-Fraenkel ke pengaturan konstruktif, sementara dalam teori jenis konstruksi yang tersirat dalam pernyataan konstruktif dibuat eksplisit dalam sistem. Teori himpunan dapat dilihat sebagai landasan matematik yang luas sedangkan teori jenis pada umumnya merupakan teori intensif.

Dalam beberapa tahun kebelakangan ini banyak model bahagian teori asas untuk matematik intuisi telah muncul, beberapa di antaranya telah disebutkan di atas. Terutama dalam teori topos (van Oosten 2008) terdapat banyak model yang menangkap ciri-ciri intuisi tertentu. Terdapat, misalnya, topoi di mana semua fungsi sebenar berterusan. Tafsiran fungsional seperti realisasi dan tafsiran dalam teori jenis juga dapat dilihat sebagai model matematik intuisi dan kebanyakan teori konstruktif yang lain.

5.6 Matematik terbalik

Dalam matematik terbalik seseorang cuba menetapkan teorema matematik yang aksioma diperlukan untuk membuktikannya. Dalam matematik terbalik intuisi, seseorang mempunyai tujuan yang serupa, tetapi kemudian berkenaan dengan teorema intuisi, iaitu mengatasi teori intuisi yang lemah, aksioma dan teorema dibandingkan antara satu sama lain. Aksioma tipikal yang mana yang ingin dibandingkan teorema adalah prinsip kipas dan prinsip bar, skema Kripke dan aksioma kesinambungan.

Dalam (Veldman 2011), setara dengan prinsip kipas berbanding teori asas yang disebut Matematik Intuisiistik Dasar dikaji. Ini ditunjukkan bahawa prinsip kipas adalah setara dengan pernyataan bahawa selang unit [0,1] mempunyai harta Heine-Borel, dan dari ini banyak persamaan lain diturunkan. Pada (Veldman 2009), prinsip kipas ditunjukkan juga setara dengan Teorema Titik Tetap Brouwer. Dalam (Lubarsky et al. 2012), matematik terbalik diterapkan pada bentuk skema Kripke, yang ditunjukkan setara dengan pernyataan topologi tertentu.

Terdapat banyak lagi contoh dari matematik terbalik intuisi. Terutama dalam bidang matematik terbalik konstruktif yang lebih besar terdapat banyak hasil sifat ini yang juga relevan dari sudut pandangan intuisi.

6. Falsafah

Brouwer membangun Intuitionism-nya dari bawah ke atas dan tidak banyak mengulas mengenai hubungan antara Intuitionisme dan falsafah lain yang ada, tetapi yang lain setelah dia melakukannya. Sebilangan hubungan ini dibincangkan dalam bahagian ini, khususnya cara prinsip intuisi boleh dibenarkan dalam hal falsafah lain.

6.1 Fenomenologi

Hubungan antara Intuitionism dan Phenomenology, falsafah yang dikembangkan oleh Edmund Husserl, telah disiasat oleh beberapa pengarang, selama masa Brouwer dan juga beberapa dekad kemudian. Hermann Weyl adalah antara yang pertama membincangkan hubungan antara idea Brouwer dan pandangan fenomenologi mengenai matematik. Seperti Brouwer, Weyl berbicara dalam bukunya Das Kontinuum (Bab 2) tentang kontinum intuitif, tetapi pengertian Weyl didasarkan pada fenomenologi (kesedaran) masa. Weyl kemudiannya merasakan bahawa pengembangan analisis sebenar Brouwer lebih setia kepada idea kontinum intuitif daripada miliknya sendiri (Weyl 1921) dan oleh itu meletakkan dirinya di pihak Brouwer, sekurang-kurangnya mengenai aspek ini (van Atten 2002).

Van Atten (2003 en 2007) menggunakan fenomenologi untuk membenarkan urutan pilihan sebagai objek matematik. Penulis (2002) kritikal mengenai pembenaran Brouwer mengenai urutan pilihan, yang merupakan motif untuk mencari justifikasi falsafah di tempat lain. Urutan pilihan berlaku dalam karya Becker (1927) dan Weyl, tetapi mereka berbeza dengan pendapat Brouwer, dan Husserl tidak pernah membincangkan urutan pilihan secara terbuka. Van Atten menerangkan bagaimana homogenitas kontinum menyumbang kepada ketidakkekelasan dan ketidaktomikannya, dua sifat utama dari kontinum intuitif menurut Brouwer. Dengan menggunakan hakikat bahawa kedua-dua sifat penting ini terdapat dalam definisi urutan pilihan, seseorang mendapat justifikasi fenomenologi dari mereka.

6.2 Wittgenstein

Pada 10 Mac 1928, Brouwer memberi kuliah di Vienna mengenai asas matematiknya yang intuisi. Ludwig Wittgenstein menghadiri kuliah itu, yang dipujuk oleh Herbert Feigl, yang setelah itu menulis mengenai jam yang dia habiskan bersama Wittgenstein dan yang lain setelah kuliah itu: sebuah peristiwa besar berlaku. Tiba-tiba dan sangat senang Wittgenstein mula bercakap falsafah - panjang lebar. Mungkin ini adalah titik balik, sejak saat itu, 1929, ketika dia pindah ke Cambridge University, Wittgenstein adalah seorang filsuf lagi, dan mulai memberikan pengaruh yang luar biasa.

Yang lain mempertikaikan bahawa ceramah Brouwer mempengaruhi pemikiran Wittgenstein (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Sejauh mana, jika sama sekali, Wittgenstein dipengaruhi oleh idea-idea Brouwer tidak sepenuhnya jelas, tetapi tentunya ada perjanjian dan perselisihan yang menarik antara pandangan mereka. Marion (2003) berpendapat bahawa konsepsi matematik Wittgenstein seperti yang dijelaskan dalam Tractatus sangat dekat dengan konsep Brouwer, dan bahawa Wittgenstein setuju dengan penolakan Undang-Undang Terkecuali Tengah (naskah 1929, hlm 155–156 dalam Wittgenstein 1994) tetapi tidak setuju dengan hujah Brouwer terhadapnya. Marion (2003) mendakwa bahawa pendirian Wittgenstein lebih radikal daripada Brouwer kerana pada pandangan bekas, kurangnya kesahan Undang-undang Tengah yang Dikecualikan dalam matematik adalah ciri yang membezakan semua cadangan matematik (berbanding dengan cadangan empirikal) dan bukan hanya kekhususan matematik yang tidak terhingga, seperti bagi Brouwer.

Veldman (akan datang) membincangkan beberapa perkara (dis) perjanjian antara Brouwer dan Wittgenstein, seperti bahaya logik, yang, menurut keduanya, dapat menyebabkan konstruksi tanpa kandungan matematik. Salah satu perselisihan yang dikemukakan dalam makalah ini menyangkut pandangan Wittgenstein bahawa matematik adalah usaha biasa, yang sangat bertentangan dengan Brouwer Creating Subject dan pandangannya bahawa matematik adalah aktiviti tanpa bahasa.

6.3 Dummett

Ahli falsafah Inggeris Michael Dummett (1975) mengembangkan dasar falsafah untuk Intuitionisme, khususnya untuk logik intuisi. Dummett secara terang-terangan menyatakan bahawa teorinya bukanlah eksegesis karya Brouwer, tetapi teori falsafah yang mungkin untuk (dalam kata-katanya) menolak penaakulan klasik dalam matematik yang menyokong penaakulan intuisi.

Pendekatan Dummett bermula dengan idea bahawa pilihan untuk satu logik daripada yang lain semestinya terletak pada makna yang dilampirkan oleh seseorang terhadap pernyataan logik. Dalam teori makna yang Dummett gunakan, yang berdasarkan idea-idea Wittgenstein tentang bahasa dan khususnya pada ideanya bahawa makna adalah penggunaan, makna ayat ditentukan oleh cara kalimat itu digunakan. Makna pernyataan matematik menampakkan dirinya dalam penggunaan yang dibuatnya, dan pemahamannya adalah pengetahuan tentang keupayaan untuk menggunakan pernyataan tersebut. Pandangan ini disokong oleh cara kita memperoleh pengetahuan matematik. Apabila kita mengetahui tanggapan matematik kita belajar bagaimana menggunakannya: bagaimana cara mengira, membuktikannya atau membuat kesimpulan daripadanya. Dan satu-satunya cara untuk membuktikan bahawa kita memahami makna pernyataan matematik terletak pada kemampuan kita dalam menggunakan pernyataan yang betul.

Memandangkan pandangan mengenai makna ini, gagasan utama dalam teori makna bagi matematik bukanlah, seperti dalam Platonisme, kebenaran, tetapi bukti; pemahaman tentang pernyataan matematik terdiri dalam kemampuan untuk mengenali suatu bukti apabila seseorang itu disajikan dengan satu. Ini kemudian, seperti yang Dummett berpendapat, membawa kepada penerapan logik intuisi sebagai logik penaakulan matematik.

Menariknya, ketika Dummett (1975) menyatakan dirinya sendiri, teorinya tentang makna jauh dari idea Brouwer mengenai matematik sebagai aktiviti yang tidak dapat dipahami. Sehingga ada sekurang-kurangnya dua garis pemikiran yang sangat berbeza yang membawa kepada penerapan logik intuisi terhadap logik klasik, yang dikembangkan oleh Brouwer dan yang dibahaskan oleh Dummett. Karya Dummett mengenai Intuitionisme telah dikomentari oleh pelbagai ahli falsafah seperti Dag Prawitz (1977), Parsons (1986) dan Richard Tieszen (1994 en 2000).

6.4 Finitisme

Berbagai bentuk Finitisme didasarkan pada pandangan yang serupa dengan yang dinyatakan oleh Dummett, tetapi di mana konstruksi yang dibenarkan untuk membuktikan pernyataan matematik diperlukan untuk wujud bukan hanya pada prinsip, tetapi juga dalam praktik. Bergantung pada pelaksanaan yang tepat dari pengertian terakhir, seseorang akan mencapai berbagai bentuk Finitisme, seperti Ultra-Intuitionisme yang dikembangkan oleh Alexander Yessenin-Volpin (1970) dan Strit Finitisme yang dikembangkan oleh Crispin Wright (1982).

Bibliografi

  • Aczel, P., 1978, 'Tafsiran teori-teori teori set konstruktif,' dalam A. Macintyre, L. Pacholski, J. Paris (eds.), Logik Kolokium '77, terbitan khas Kajian dalam Logik dan Asas Matematik, 96: 55–66.
  • van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson Learning.
  • –––, 2007, Brouwer bertemu Husserl: Mengenai fenomenologi urutan pilihan, Dordrecht: Springer.
  • –––, 2008, 'Mengenai pertimbangan hipotesis dalam sejarah logik intuisi,' dalam C. Glymour dan W. Wang dan D. Westerståhl (ed.), Prosiding Kongres Antarabangsa 2007 di Beijing (Logik, Metodologi, dan Falsafah Sains: Jilid XIII), London: King's College Publications, 122–136.
  • van Atten, M. dan D. van Dalen, 2002, 'Argumen untuk prinsip kesinambungan,' Bulletin of Symbolic Logic, 8 (3): 329–374.
  • Beth, EW, 1956, 'Pembinaan semantik logik intuisi,' Mededeelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde (Nieuwe Serie), 19 (11): 357–388.
  • Brouwer, LEJ, 1975, Karya terkumpul I, A. Heyting (ed.), Amsterdam: Belanda Utara.
  • –––, 1976, Karya terkumpul II, H. Freudenthal (ed.), Amsterdam: Belanda Utara.
  • –––, 1905, Leven, kunst en mystiek, Delft: Waltman.
  • –––, 1907, Over de grondslagen der wiskunde, Ph. D. Tesis, Universiti Amsterdam, Jabatan Fizik dan Matematik.
  • –––, 1912, 'Intuïtionisme en formalisme', Alamat awal di University of Amsterdam, 1912. Juga di Wiskundig tijdschrift, 9, 1913.
  • –––, 1925, 'Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I,' Mathematische Annalen, 93: 244–257.
  • –––, 1925, 'Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik II,' Mathematische Annalen, 95: 453–472.
  • –––, 1948, 'Pada dasarnya sifat negatif', Indagationes Mathematicae, 10: 322–323.
  • –––, 1952, ‘Latar belakang sejarah, prinsip dan kaedah intuisi,’ Jurnal Sains Afrika Selatan, 49 (Oktober-November): 139–146.
  • –––, 1953, 'Poin dan Ruang,' Jurnal Matematik Kanada, 6: 1–17.
  • –––, 1981, Brouwer Cambridge memberi kuliah mengenai intuisi, D. van Dalen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, Cambridge.
  • –––, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Mannhein: Wissenschaftsverlag.
  • Brouwer, LEJ dan CS Adama van Scheltema, 1984, Droeve snaar, vriend van mij - Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdam: Uitgeverij de Arbeiderspers.
  • Coquand, T., 1995, 'Bukti topologi konstruktif teorema van der Waerden,' Journal of Pure and Applied Algebra, 105: 251–259.
  • van Dalen, D., 1978, 'Interpretasi analisis intuisiistik', Annals of Mathematical Logic, 13: 1–43.
  • –––, 1997, 'Sejauh manakah hubungannya adalah intuisiistik kontinum ?,' Journal of Symbolic Logic, 62 (4): 1147-1150.
  • –––, 1999/2005, Mystic, geometer and intuitionist, Volume I (1999) and II (2005), Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 2001, LEJ Brouwer (een biografie), Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker.
  • –––, 2004, ‘Kolmogorov dan Brouwer mengenai implikasi konstruktif dan peraturan Ex Falso’ Survei Matematik Rusia, 59: 247–257.
  • van Dalen, D. (ed.), 2001, LEJ Brouwer en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht: Epsilon Uitgaven.
  • Diaconescu, R., 1975, 'Aksio pilihan dan pelengkap,' dalam Prosiding Persatuan Matematik Amerika, 51: 176–178.
  • Dummett, M., 1975, 'The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic,' in HE Rose dan JC Shepherdson (eds.), Prosiding Kolikium Logik '73, terbitan khas Kajian dalam Logik dan Asas-asas Matematik, 80: 5 –40.
  • Fourman, M., dan R. Grayson, 1982, 'Ruang formal,' dalam AS Troelstra dan D. van Dalen (ed.), The LEJ Brouwer Centenary Symposium, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Gentzen, G., 1934, 'Untersuchungen über das logische Schließen I, II,' Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431.
  • Gödel, K., 1958, 'Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes,' Dialectia, 12: 280–287.
  • Penggodam, PMS, 1986, Insight & Illusion. Tema dalam Falsafah Wittgenstein, edisi yang disemak semula, Clarendon Press, Oxford.
  • Heyting, A., 1930, 'Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik,' Sitzungsberichte der Preussischen Akademie von Wissenschaften. Physikalisch-mathematische Klasse, 42–56.
  • –––, 1956, Intuisi, pengenalan, Amsterdam: Belanda Utara.
  • van der Hoeven, G., dan I. Moerdijk, 1984, 'Model lembaran untuk urutan pilihan,' Annals of Pure and Applied Logic, 27: 63-107.
  • Kleene, SC, dan RE Vesley, 1965, Asas-asas matematik intuisi, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Kreisel, G., 1959, 'Tafsiran analisis dengan kaedah konstruktif jenis terhingga,' dalam A. Heyting (ed.), Konstruktiviti dalam Matematik, Amsterdam: Belanda Utara.
  • –––, 1962, ‘Pada kelengkapan logik predikat intuisi yang lemah,’ Jurnal Logik Simbolik, 27: 139–158.
  • –––, 1968, 'Urutan nombor semula jadi yang tidak sah,' Compositio Mathematica, 20: 222–248.
  • Kripke, SA, 1965, 'Analisis semantik logik intuisi', dalam J. Crossley dan M. Dummett (eds.), Sistem formal dan fungsi rekursif, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Lubarsky, R., F. Richman, dan P. Schuster 2012, 'The skrip Kripke dalam metrik topologi', Matematik Logik Suku Tahunan, 58 (6): 498-501.
  • Maietti, ME, dan G. Sambin, 2007, 'Ke arah asas minimalis untuk matematik konstruktif,' dalam L. Crosilla dan P. Schuster (ed.), Dari set dan jenis ke topologi dan analisis: menuju asas minimalis untuk matematik konstruktif, Oxford: Oxford University Press.
  • Marion, M., 2003, 'Wittgenstein and Brouwer', Sintesis 137: 103–127.
  • Martin-Löf, P., 1970, Catatan mengenai matematik konstruktif, Stockholm: Almqvist & Wiskell.
  • –––, 1984, Teori jenis intuisi, Napoli: Bibliopolis.
  • Moschovakis, JR, 1973, 'Tafsiran topologi aritmetik intuisiistik orde kedua,' Compositio Mathematica, 26 (3): 261-275.
  • –––, 1986, 'Ketidakadilan relatif dalam analisis intuisi,' Journal of Symbolic Logic, 52 (1): 68-87.
  • Myhill, J., 1975, 'Teori set konstruktif,' Journal of Symbolic Logic, 40: 347-338.
  • Niekus, J., 2010, 'Objek tidak lengkap Brouwer' Sejarah dan Falsafah Logik, 31: 31–46.
  • van Oosten, J., 2008, Realisasi: Pengenalan pada sisi kategorinya, (Kajian dalam Logik dan Asas Matematik: Jilid 152), Amsterdam: Elsevier.
  • Prawitz, D., 1977, 'Makna dan bukti: Mengenai konflik antara logik klasik dan intuisi,' Theoria, 43 (1): 2-40.
  • Parsons, C., 1986, 'Intuition in Constructive Mathematics,' in Language, Mind and Logic, J. Butter (ed.), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sambin, G., 1987, 'Ruang formal intuisi,' dalam Logik Matematik dan aplikasinya, D. Skordev (ed.), New York: Plenum.
  • Scott, D., 1968, 'Memperluas tafsiran topologi ke analisis intuisi,' Compositio Mathematica, 20: 194-210.
  • –––, 1970, 'Memperluas tafsiran topologi ke analisis intuisiistik II', dalam teori intuisi dan bukti, J. Myhill, A. Kino, dan R. Vesley (ed.), Amsterdam: Belanda Utara.
  • Sundholm, BG, 'Fungsi Rekonstruktif Konstruktif, Tesis Gereja, dan Teori Brouwer mengenai Subjek Menciptakan: After Thinkts on a Paris Joint Session', dalam Jacque Dubucs & Michel Bordeau (ed.), Konstruktiviti dan Komputabiliti dalam Perspektif Sejarah dan Filosofis (Logik, Epistemologi, dan Kesatuan Sains: Jilid 34), Dordrecht: Springer: 1–35.
  • Tarski, A., 1938, 'Der Aussagenkalkül und die Topologie,' Fundamenta Mathematicae, 31: 103–134.
  • Tieszen, R., 1994, 'Apakah dasar falsafah matematik intuisi ?,' dalam D. Prawitz, B. Skyrms dan D. Westerstahl (eds.), Logik, Metodologi dan Falsafah Sains, IX: 579-594.
  • –––, 2000, 'Intuitionism, Meaning Theory and Cognition,' Sejarah dan Falsafah Logik, 21: 179–194.
  • Troelstra, AS, 1973, Metamathematical investigations of intuitionistic arithmetic and analysis, (Lecture Notes in Mathematics: Volume 344), Berlin: Springer.
  • –––, 1977, Urutan pilihan (Oxford Logic Guides), Oxford: Clarendon Press.
  • Troelstra, AS, dan D. van Dalen, 1988, Konstruktivisme I dan II, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Veldman, W., 1976, 'Teorema kelengkapan intuisi untuk logik predikat intuisi,' Journal of Symbolic Logic, 41 (1): 159–166.
  • –––, 1999, 'Hirarki Borel dan hirarki projektif dalam matematik intuisi,' Nombor Laporan 0103, Jabatan Matematik, Universiti Nijmegen. [tersedia dalam talian]
  • –––, 2004, 'Bukti intuisiistik teorema Kruskal,' Arkib untuk Logik Matematik, 43 (2): 215–264.
  • –––, 2009, 'Teorema Titik Tetap Brouwer Setaraf dengan Teorema Kipas Brouwer,' dalam S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg, V. Stoltenberg-Hansen (ed.), Logikisme, Intuisiisme, dan Formalisme (Perpustakaan Synthese: Jilid 341), Dordrecht: Springer, 277–299.
  • –––, 2014, ‘Teorema Kipas Brouwer sebagai aksioma dan kontras dengan Alternatif Kleene,’ dalam Arkib Logik Matematik, 53 (5–6): 621–693.
  • –––, akan datang, 'Intuisiisme semuanya bohong. Kecuali itu adalah inspirasi, 'dalam G. Alberts, L. Bergmans, dan F. Muller, (ed.), Significs and the Vienna Circle: Persimpangan, Dordrecht: Springer. [preprint tersedia dalam talian]
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik,' Mathematische Zeitschrift, 10: 39–70.
  • Wittgenstein, L., 1994, Wiener Ausgabe, Band 1, Philosophische Bemerkungen, Vienna, New York: Springer Verlag.
  • Wright, C., 1982, 'Strit Finitism', Synthese 51 (2): 203–282.
  • Yessenin-Volpin, AS, 1970, 'Kritikan ultra-intuisi dan program antidadisi untuk asas matematik', dalam A. Kino, J. Myhill, dan R. Vesley (eds.), Teori Intuisi dan Proof, Amsterdam: Utara -Holland Publishing Company, 3-45.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

Disyorkan: