Teori Jenis Intuisi

Isi kandungan:

Teori Jenis Intuisi
Teori Jenis Intuisi

Video: Teori Jenis Intuisi

Video: Teori Jenis Intuisi
Video: Pengetahuan Diluar Nalar Manusia ( Intuisi ) | Ngaji Filsafat | Dr. Fahrudin Faiz 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Teori Jenis Intuisi

Pertama kali diterbitkan pada Jumaat 12 Februari 2016; semakan substantif 8 Jun 2020

Teori jenis intuisi (juga teori jenis konstruktif atau teori jenis Martin-Löf) adalah sistem logik formal dan asas falsafah untuk matematik konstruktif. Ini adalah sistem skala penuh yang bertujuan untuk memainkan peranan yang sama untuk matematik konstruktif seperti yang dilakukan oleh Zermelo-Fraenkel Set Theory untuk matematik klasik. Ini berdasarkan prinsip proposisi-as-type dan menjelaskan tafsiran Brouwer-Heyting-Kolmogorov mengenai logik intuisi. Ini memperluas tafsiran ini ke tetapan teori jenis intuisi yang lebih umum dan dengan demikian memberikan konsepsi umum bukan hanya mengenai apa bukti konstruktif, tetapi juga mengenai apa itu objek matematik konstruktif. Idea utama adalah bahawa konsep matematik seperti elemen, set dan fungsi dijelaskan dari segi konsep dari pengaturcaraan seperti struktur data,jenis data dan program. Artikel ini menerangkan sistem formal teori jenis intuisi dan asas semantiknya.

Dalam entri ini, pertama-tama kita memberikan gambaran keseluruhan aspek teori intuisi yang paling penting-sejenis "abstrak yang diperpanjang". Ini bertujuan untuk pembaca yang sudah agak memahami teori tersebut. Bahagian 2 di sisi lain, dimaksudkan untuk pembaca yang baru mengenal teori jenis intuisi tetapi memahami logik tradisional, termasuk logik proposisi dan predikat, aritmetik, dan teori set. Di sini kami secara tidak rasmi memperkenalkan beberapa aspek yang membezakan teori jenis intuisi dengan teori tradisional ini. Dalam Bahagian 3 kami menyajikan versi asas teori, hampir dengan versi Martin-Löf yang pertama kali diterbitkan dari tahun 1972. Pembaca yang tertarik dengan informalinya Bahagian 2 kini akan melihat secara terperinci bagaimana teori itu dibina. Bahagian 4 kemudian membentangkan sebilangan penting teori asas. Khususnya,ia menekankan peranan utama definisi induktif (dan induktif-rekursif). Bahagian 5 memperkenalkan idea-idea falsafah yang mendasari termasuk teori makna yang dikembangkan oleh Martin-Löf. Walaupun Bahagian 5 adalah mengenai falsafah dan asas, Bahagian 6 memberikan gambaran keseluruhan model matematik teori. Pada Bahagian 7 akhirnya, kami menerangkan beberapa variasi penting teori inti Martin-Löf "intensional" yang dijelaskan dalam Bahagian 3 dan 4.kami menerangkan beberapa variasi penting teori inti Martin-Löf "intensional" yang dijelaskan dalam Bahagian 3 dan 4.kami menerangkan beberapa variasi penting teori inti Martin-Löf "intensional" yang dijelaskan dalam Bahagian 3 dan 4.

  • 1. Gambaran keseluruhan
  • 2. Cadangan sebagai Jenis

    • 2.1 Teori Jenis Intuisi: Cara Baru Melihat Logik?
    • 2.2 Surat-menyurat Kari-Howard
    • 2.3 Set Objek Bukti
    • 2.4 Jenis Bergantung
    • 2.5 Cadangan sebagai Jenis dalam Teori Jenis Intuisi
  • 3. Teori Jenis Intuisiistik Asas

    • 3.1 Penghakiman
    • 3.2 Bentuk Penghakiman
    • 3.3 Peraturan Inferens
    • 3.4 Logik Predikat Intuisi
    • 3.5 Nombor Semula Jadi
    • 3.6 Alam Semesta Jenis-Jenis Kecil
    • 3.7 Identiti Cadangan
    • 3.8 Aksioma Pilihan adalah Teorema
  • 4. Sambungan

    • 4.1 Kerangka Logik
    • 4.2 Bekas Jenis Identiti Umum
    • 4.3 Pokok yang Diasaskan dengan Baik
    • 4.4 Set Iteratif dan CZF
    • 4.5 Definisi Induktif
    • 4.6 Definisi Induktif-Rekursif
  • 5. Makna Penjelasan

    • 5.1 Pengiraan kepada Bentuk Kanonik
    • 5.2 Makna Penghakiman Kategorik
    • 5.3 Makna Penghakiman Hipotesis
  • 6. Model Matematik

    • 6.1 Model Kategorikal
    • 6.2 Model Set-Teoretik
    • 6.3 Model Realiti
    • 6.4 Model Bentuk Biasa dan Pemeriksaan Jenis
  • 7. Varian Teori

    • 7.1 Teori Jenis Ekstensif
    • 7.2 Teori Jenis Asas dan Homotopi Tidak Univalen
    • 7.3 Teori Jenis Separa dan Bukan Piawai
    • 7.4 Teori Jenis Impredikatif
    • 7.5 Pembantu Bukti
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Gambaran keseluruhan

Kita mulakan dengan pandangan mata burung mengenai beberapa aspek penting dalam teori jenis intuisi. Pembaca yang tidak biasa dengan teori ini mungkin memilih untuk melupakannya pada bacaan pertama.

Asal-usul teori jenis intuisi adalah intuisiisme Brouwer dan teori jenis Russell. Seperti teori jenis klasik klasik Gereja, ia berdasarkan kalkulus lambda dengan jenisnya, tetapi berbeza dengannya kerana berdasarkan pada prinsip proposisi-seperti-jenis, yang ditemui oleh Curry (1958) untuk logik proposisi dan diperluas ke logika predikat oleh Howard (1980) dan de Bruijn (1970). Peluasan ini dimungkinkan oleh pengenalan jenis keluarga yang diindeks (jenis bergantung) untuk mewakili predikat logik predikat. Dengan cara ini semua penghubung dan pengukur logik dapat ditafsirkan oleh pembentuk jenis. Dalam teori jenis intuisiistik jenis selanjutnya ditambahkan, seperti jenis nombor semula jadi, jenis jenis kecil (alam semesta) dan jenis pokok yang baik. Teori yang dihasilkan mengandungi teori nombor intuisiistik (aritmetik Heyting) dan banyak lagi.

Teori ini dirumuskan dalam pemotongan semula jadi di mana peraturan untuk setiap jenis bekas diklasifikasikan sebagai peraturan pembentukan, pengenalan, penghapusan, dan kesetaraan. Peraturan ini memperlihatkan simetri tertentu antara peraturan pengenalan dan penghapusan berikutan perlakuan Gentzen dan Prawitz mengenai pemotongan semula jadi, seperti yang dijelaskan dalam entri semantik bukti-teori.

Unsur-unsur proposisi, ketika ditafsirkan sebagai jenis, disebut objek bukti. Apabila objek bukti ditambahkan ke kalkulus pemotongan semula jadi ia menjadi kalkulus lambda yang ditaip dengan jenis yang bergantung, yang memperluas kalkulus lambda yang ditaip asli Gereja. Peraturan persamaan adalah peraturan pengiraan untuk syarat kalkulus ini. Setiap fungsi yang dapat ditentukan dalam teori adalah total dan dapat dikira. Oleh itu, teori jenis intuisi adalah bahasa pengaturcaraan fungsional yang ditaip dengan sifat luar biasa yang ditamatkan oleh semua program.

Teori jenis intuisi tidak hanya sistem logik formal tetapi juga menyediakan kerangka falsafah yang komprehensif untuk intuisi. Ini adalah bahasa yang ditafsirkan, di mana perbezaan antara demonstrasi penghakiman dan bukti proposisi memainkan peranan mendasar (Sundholm 2012). Kerangka ini menjelaskan tafsiran Brouwer-Heyting-Kolmogorov mengenai logik intuisi dan memperluasnya ke tetapan teori jenis intuisi yang lebih umum. Dengan berbuat demikian, ia memberikan konsepsi umum bukan hanya mengenai apa itu bukti konstruktif, tetapi juga mengenai apa itu objek matematik konstruktif. Makna penilaian teori jenis intuisiistik dijelaskan dari segi pengiraan bentuk dan istilah kanonik. Tidak rasmi ini,penjelasan makna intuitif adalah "pra-matematik" dan harus dibandingkan dengan model matematik formal yang dikembangkan di dalam kerangka matematik standard seperti teori set.

Teori makna ini juga membenarkan pelbagai definisi induktif, rekursif, dan induktif-rekursif. Walaupun pengertian yang kuat secara teoritis dapat dibenarkan, seperti analog kardinal besar tertentu, sistem ini dianggap sebagai prediktif. Definisi impredikatif dari jenis yang terdapat dalam logik orde tinggi, teori set intuisi, dan teori topos bukan sebahagian daripada teori. Prinsip Markov juga tidak, dan dengan demikian teorinya berbeza dengan konstruktivisme Rusia.

Sistem logik formal alternatif untuk matematik konstruktif prediktif adalah teori himpunan Zermelo-Fraenkel (CZF) Myhill dan Aczel. Teori ini, yang berdasarkan logika predikat orde pertama intuisi dan melemahkan beberapa aksioma Teori Set Zermelo-Fraenkel klasik, mempunyai tafsiran semula jadi dalam teori jenis intuisi. Penjelasan makna Martin-Löf juga secara tidak langsung menjadi asas bagi CZF.

Varian teori jenis intuisiistik mendasari beberapa pembantu bukti yang banyak digunakan, termasuk NuPRL, Coq, dan Agda. Pembantu bukti ini adalah sistem komputer yang telah digunakan untuk memformalkan teorema matematik yang besar dan kompleks, seperti Teorema Empat Warna dalam teori grafik dan Teorema Feit-Thompson dalam teori kumpulan terhingga. Mereka juga telah digunakan untuk membuktikan kebenaran penyusun C yang realistik (Leroy 2009) dan perisian komputer yang lain.

Secara filosofis dan praktikal, teori jenis intuisi adalah kerangka asas di mana matematik konstruktif dan pengaturcaraan komputer, dalam arti mendalam, adalah sama. Perkara ini telah ditekankan oleh (Gonthier 2008) dalam makalah di mana dia menerangkan buktinya mengenai Teorem Empat Warna:

Pendekatan yang terbukti berjaya untuk bukti ini adalah mengubah hampir semua konsep matematik menjadi struktur data atau program dalam sistem Coq, sehingga mengubah seluruh perusahaan menjadi salah satu pengesahan program.

2. Cadangan sebagai Jenis

2.1 Teori Jenis Intuisi: Cara Baru Melihat Logik?

Teori jenis intuisiistik menawarkan cara baru untuk menganalisis logik, terutamanya melalui pengenalan objek bukti eksplisit. Ini memberikan tafsiran logik secara langsung, kerana ada peraturan pengiraan untuk objek bukti. Mengenai kekuatan ekspresif, teori jenis intuisi boleh dianggap sebagai perpanjangan logik orde pertama, sama seperti logik orde tinggi, tetapi prediktif.

2.1.1 Teori Jenis

Russell mengembangkan teori jenis sebagai tindak balas kepada penemuannya mengenai paradoks dalam teori set naif. Dalam teori jenis ramalnya objek matematik diklasifikasikan mengikut jenisnya: jenis proposisi, jenis objek, jenis sifat objek, dan lain-lain. Ketika Gereja mengembangkan teori jenisnya yang sederhana berdasarkan versi yang ditaip lambda calculus dia menambahkan peraturan bahawa ada jenis fungsi antara kedua-dua jenis teori. Teori jenis intuisi meluaskan kalkulus lambda yang ditaip dengan jenis bergantung, iaitu keluarga jenis yang diindeks. Contohnya ialah keluarga jenis (n) - tupel yang diindeks oleh (n).

Jenis telah digunakan secara meluas dalam pengaturcaraan untuk waktu yang lama. Bahasa pengaturcaraan peringkat tinggi awal memperkenalkan jenis bilangan bulat dan nombor titik terapung. Bahasa pengaturcaraan moden selalunya mempunyai sistem jenis kaya dengan banyak konstruk untuk membentuk jenis baru. Teori jenis intuisi adalah bahasa pengaturcaraan yang berfungsi di mana sistem jenisnya sangat kaya sehingga hampir semua sifat yang dapat difahami dari program dapat dinyatakan sebagai jenis. Jenis boleh digunakan sebagai spesifikasi tugas program.

2.1.2 Logik intuisi dengan objek bukti

Analisis logik Brouwer membawanya ke logik intuisi yang menolak hukum pertengahan yang dikecualikan dan hukum penolakan berganda. Undang-undang ini tidak berlaku dalam teori jenis intuisi. Oleh itu, ia tidak mengandungi aritmetik klasik (Peano) tetapi hanya aritmetik intuisi (Heyting). (Ini adalah perkara lain bahawa aritmetik Peano dapat ditafsirkan dalam aritmetik Heyting dengan tafsiran penolakan berganda, lihat entri logik intuisi.

Pertimbangkan teorem aritmetik intuisi, seperti teorema pembahagian

(forall m, n. m> 0 / supset / wujud q, r. mq + r = n / baji m> r)

Bukti formal (dalam pengertian biasa) teorema ini adalah urutan (atau pokok) formula, di mana formula (akar) terakhir adalah teorema dan setiap formula dalam urutannya adalah aksioma (daun) atau hasil menerapkan peraturan inferensi pada beberapa formula yang lebih awal (lebih tinggi).

Apabila teorema pembahagian dibuktikan dalam teori jenis intuisi, kita tidak hanya membina bukti formal dalam pengertian biasa tetapi juga pembinaan (atau bukti-bukti) "(divi)" yang menyaksikan kebenaran teorema. Kami menulis

(divi: / forall m, n {:} N. \, m> 0 / supset / wujud q, r {:} N. \, mq + r = n / baji m> r)

untuk menyatakan bahawa (divi) adalah objek bukti untuk teorema pembahagian, iaitu elemen jenis yang mewakili teorem pembahagian. Apabila cadangan ditunjukkan sebagai jenis, pengukur (forall) - dikenal pasti dengan ruang fungsi yang bergantung sebelumnya (atau produk kartesian umum) (Pi), (wujud) - pengukur dengan pasangan bergantung taip bekas (atau jumlah terasing umum) (Sigma), konjungsi (wedge) dengan produk kartesian (kali), hubungan identiti = dengan jenis bekas (I) objek bukti identiti, dan lebih besar daripada hubungan (>) dengan jenis bekas (GT) objek bukti yang lebih besar daripada pernyataan. Dengan menggunakan “notasi jenis” kami menulis

(divi: / Pi m, n {:} N. \, / GT (m, 0) rightarrow / Sigma q, r {:} N. \, / I (N, mq + r, n) kali / GT (m, r))

untuk menyatakan bahawa objek bukti "(divi)" adalah fungsi yang memetakan dua nombor (m) dan (n) dan objek bukti (p) yang menyaksikan bahawa (m> 0 / ke empat kali ganda ((q, (r, (s, t)))), di mana (q) adalah hasil bagi dan (r) adalah selebihnya yang diperoleh ketika membahagi (n) dengan (m). Komponen ketiga (s) adalah objek bukti yang menyaksikan kenyataan bahawa (mq + r = n) dan komponen keempat (t) adalah objek bukti yang menyaksikan (m> r).

Yang penting, (divi) bukan hanya fungsi dalam pengertian klasik; itu juga merupakan fungsi dalam pengertian intuisi, yaitu, program yang menghitung output ((q, (r, (s, t)))) ketika diberi (m), (n), (p) sebagai input. Program ini adalah istilah dalam kalkulus lambda dengan pemalar khas, iaitu program dalam bahasa pengaturcaraan yang berfungsi.

2.1.3 Perluasan logik predikat orde pertama

Teori jenis intuisi boleh dianggap sebagai perpanjangan logik orde pertama, kerana logik pesanan yang lebih tinggi adalah lanjutan dari logik pesanan pertama. Dalam logik urutan yang lebih tinggi, kami menemui beberapa domain individu yang boleh ditafsirkan sebagai set yang kami suka. Sekiranya terdapat pemalar hubungan dalam tandatangan ini dapat ditafsirkan sebagai hubungan antara set yang menafsirkan domain individu. Di atas semua itu kita dapat mengukur kuantiti hubungan, dan hubungan hubungan, dll. Kita boleh memikirkan logika pesanan lebih tinggi sebagai logik pesanan pertama yang dilengkapi dengan cara memperkenalkan domain kuantifikasi baru: jika (S_1, / ldots, S_n) adalah domain kuantifikasi maka ((S_1, / ldots, S_n)) adalah domain kuantifikasi baru yang terdiri dari semua hubungan n-ary antara domain (S_1, / ldots, S_n). Logik pesanan yang lebih tinggi mempunyai tafsiran set-teoretik langsung di mana ((S_1, / ldots, S_n)) ditafsirkan sebagai set kuasa (P (A_1 / times / cdots / times A_n)) di mana (A_i) ialah tafsiran (S_i), untuk (i = 1, / ldots, n). Ini adalah jenis logik pesanan tinggi atau teori jenis mudah yang diperkenalkan oleh Ramsey, Church dan lain-lain.

Teori jenis intuisi dapat dilihat dengan cara yang serupa, hanya di sini kemungkinan untuk memperkenalkan domain kuantifikasi lebih kaya, seseorang dapat menggunakan (Sigma, / Pi, +, / I) untuk membina yang baru dari yang lama. (Bahagian 3.1; Martin-Löf 1998 [1972]). Teori jenis intuisiistik mempunyai tafsiran set-teoretik langsung juga, di mana (Sigma), (Pi) dan lain-lain ditafsirkan sebagai set-teori teori yang sesuai; lihat di bawah. Kita boleh menambah teori jenis intuisiistik yang tidak ditentukan domain individu seperti di HOL. Ini ditafsirkan sebagai set untuk HOL. Sekarang kita menunjukkan perbezaan dari HOL: dalam teori jenis intuisiistik kita dapat memperkenalkan simbol keluarga yang tidak ditentukan. Kami dapat memperkenalkan (T) sebagai sekumpulan jenis di atas domain individu (S):

[T (x); { rm type}; (x {:} S).)

Sekiranya (S) ditafsirkan sebagai (A), (T) dapat ditafsirkan sebagai kumpulan keluarga yang diindeks oleh (A). Sebagai contoh bukan matematik, kita dapat menjadikan hubungan cinta binari antara anggota domain individu orang seperti berikut. Perkenalkan Kekasih keluarga binari atas domain Orang

[{ rm Suka} (x, y); { rm jenis}; (x {:} { rm Orang}, y {:} { rm Orang}).)

Tafsirannya boleh terdiri daripada sekumpulan set (B_ {x, y}) ((x {:} A), (y {:} A)). Bagaimana ini merangkumi konsep standard hubungan? Katakan kita mempunyai hubungan binari (R) pada (A) dalam pengertian set-teori yang biasa. Kita boleh membuat keluarga binari yang sesuai dengan ini seperti berikut

[B_ {x, y} = / begin {case} {0 } & / text {if} R (x, y) text {hold} / \ varnothing & / text {if} R (x, y) text {adalah salah.} end {case})

Sekarang dengan jelas (B_ {x, y}) tidak dibenarkan jika dan hanya jika (R (x, y)) tahan. (Kita mungkin memilih unsur lain dari alam semesta teoretis kita daripada 0 untuk menunjukkan kebenaran.) Oleh itu dari hubungan apa pun kita dapat membina keluarga yang kebenarannya (x, y) setara dengan (B_ {x, y}) tidak kosong. Perhatikan bahawa tafsiran ini tidak peduli apa bukti untuk (R (x, y)), hanya yang ada. Ingat bahawa teori jenis intuisi menafsirkan proposisi sebagai jenis, jadi (p {:} { rm Loves} ({ rm John}, { rm Mary})) bermaksud bahawa ({ rm Loves} ({ rm John}, { rm Mary})) memang benar.

Tafsiran hubungan sebagai keluarga memungkinkan untuk menjejaki bukti atau bukti yang dimiliki oleh (R (x, y)), tetapi kami juga mungkin memilih untuk mengabaikannya.

Dalam semantik Montague, logik urutan yang lebih tinggi digunakan untuk memberikan semantik bahasa semula jadi (dan contoh seperti di atas). Ranta (1994) memperkenalkan idea untuk menggunakan teori jenis intuisi untuk menangkap struktur ayat dengan lebih baik dengan bantuan jenis bergantung.

Sebaliknya, bagaimana hubungan matematik (>) antara nombor semula jadi dikendalikan dalam teori jenis intuisi? Pertama sekali kita memerlukan jenis nombor (N). Pada prinsipnya kita dapat memperkenalkan domain individu yang tidak ditentukan (N), dan kemudian menambahkan aksioma seperti yang kita lakukan dalam logik pesanan pertama ketika kita mengatur sistem aksioma untuk aritmetik Peano. Tetapi ini tidak akan memberi kita tafsiran komputasi yang diinginkan. Oleh itu, seperti yang dijelaskan di bawah, kami menetapkan peraturan pengenalan untuk membina nombor semula jadi baru di (N) dan peraturan penghapusan dan pengiraan untuk menentukan fungsi di (N) (dengan pengulangan) Hubungan pesanan standard (>) harus memuaskan

(mbox {(x> y) sekiranya ada (z {:} N) sehingga (y + z + 1 = x)}.)

Tangan kanan diterjemahkan sebagai (Sigma z {:} N. \, / I (N, y + z + 1, x)) dalam teori jenis intuisi, dan kami menganggap ini sebagai definisi hubungan (>). ((+) ditakrifkan oleh persamaan rekursif, (I) adalah jenis pembinaan identiti). Sekarang semua sifat (>) ditentukan oleh peraturan pengenalan dan penghapusan dan pengiraan yang disebutkan untuk (N).

2.1.4 Logik dengan beberapa bentuk pertimbangan

Sistem jenis teori jenis intuisiistik sangat ekspresif. Akibatnya, pembentukan jenis yang baik bukan lagi perkara yang mudah untuk dihuraikan, ia adalah sesuatu yang perlu dibuktikan. Pembentukan jenis yang baik adalah salah satu bentuk penilaian teori jenis intuisi. Jenis istilah yang baik berkaitan dengan jenis adalah yang lain. Selanjutnya, terdapat pertimbangan kesamaan untuk jenis dan istilah. Ini adalah cara lain di mana teori jenis intuisiistik berbeza dari logika orde pertama biasa dengan fokus pada penilaian tunggal yang menyatakan kebenaran suatu proposisi.

2.1.5 Semantik

Walaupun persembahan standard logik orde pertama akan mengikuti Tarski dalam mendefinisikan konsep model, teori jenis intuisiistik mengikuti tradisi teori makna Brouwerian yang dikembangkan lebih lanjut oleh Heyting dan Kolmogorov, yang disebut BHK-tafsiran logik. Perkara utama adalah bahawa bukti implikasi (A / supset B) adalah kaedah yang mengubah bukti (A) menjadi bukti (B). Dalam teori jenis intuisiistik kaedah ini secara formal diwakili oleh program (f {:} A / supset B) atau (f {:} A / rightarrow B): jenis bukti implikasi (A / supset B) adalah jenis fungsi yang memetakan bukti (A) ke bukti (B).

Lebih-lebih lagi, sedangkan semantik Tarski biasanya disajikan secara meta-matematik, dan menganggap teori set, teori makna Martin-Löf tentang teori jenis intuisi mesti difahami secara langsung dan "pra-matematik", iaitu, tanpa menganggap bahasa meta seperti teori set.

2.1.6 Bahasa pengaturcaraan yang berfungsi

Pembaca dengan latar belakang kalkulus lambda dan pengaturcaraan fungsional dapat memperoleh pendekatan alternatif alternatif teori jenis intuisi dengan memikirkannya sebagai bahasa pengaturcaraan fungsional yang ditaip dalam gaya Haskell atau salah satu dialek ML. Walau bagaimanapun, ia berbeza dari ini dalam dua aspek penting: (i) ia mempunyai jenis bergantung (lihat di bawah) dan (ii) semua program yang boleh ditaip dihentikan. (Perhatikan bahawa teori jenis intuisiistik telah mempengaruhi peluasan Haskell baru-baru ini dengan jenis data algebra umum yang kadangkala dapat memainkan peranan yang serupa dengan jenis bergantung yang ditentukan secara induktif.)

2.2 Surat-menyurat Kari-Howard

Seperti yang telah disebutkan, prinsip bahawa

dalil adalah jenis pembuktiannya.

adalah asas kepada teori jenis intuisi. Prinsip ini juga dikenali sebagai korespondensi Curry-Howard atau bahkan isomorfisme Curry-Howard. Curry menemui persamaan antara fragmen implikasi logik intuisi dan lambda-kalkulus yang hanya ditaip. Howard memperluas korespondensi ini ke logik predikat pertama. Dalam teori jenis intuisi, korespondensi ini menjadi pengenalpastian proposisi dan jenis, yang telah diperluas untuk memasukkan kuantifikasi terhadap jenis yang lebih tinggi dan banyak lagi.

2.3 Set Objek Bukti

Jadi seperti apa objek bukti ini? Mereka tidak boleh dianggap sebagai derivasi logik, tetapi sebagai bukti simbolik (terstruktur) bahawa sesuatu itu benar. Istilah lain untuk bukti tersebut adalah "pembuat kebenaran".

Ini memberi petunjuk, sebagai pendekatan pertama yang agak kasar, untuk menggantikan jenis dengan set biasa dalam surat-menyurat ini. Tentukan satu set (E_ {m, n}), bergantung pada (m, n / in {{ mathbb N}}), dengan:

(E_ {m, n} = / kiri { mulai {array} {ll} {0 } & / mbox {if (m = n)} / \ varnothing & / mbox {if (m / ne n).} end {array} kanan.)

Maka (E_ {m, n}) adalah tepat apabila (m = n). Set (E_ {m, n}) sesuai dengan proposisi (m = n), dan angka (0) adalah objek bukti (pembuat kebenaran) yang menghuni set (E_ {m, m}).

Pertimbangkan cadangan bahawa (m) adalah nombor genap yang dinyatakan sebagai formula (ada n / di {{ mathbb N}}. M = 2n). Kita dapat membina satu set objek bukti yang sesuai dengan formula ini dengan menggunakan operasi penjumlahan teori-umum. Katakan bahawa (A_n) ((n / in {{ mathbb N}})) adalah sekumpulan set. Kemudian jumlah taksirannya diberikan oleh kumpulan pasangan

[(Sigma n / in {{ mathbb N}}) A_n = {(n, a): n / in {{ mathbb N}}, a / di A_n }.)

Sekiranya kita menerapkan pembinaan ini untuk keluarga (A_n = / E_ {m, 2n}) kita melihat bahawa ((Sigma n / in {{ mathbb N}}) E_ {m, 2n}) adalah tidak lekas apabila terdapat (n / di {{ mathbb N}}) dengan (m = 2n). Dengan menggunakan operasi set-teori teori umum ((Pi n / in {{ mathbb N}}) A_n) kita juga dapat memperoleh satu set yang sesuai dengan proposisi yang diukur secara universal.

2.4 Jenis Bergantung

Dalam teori jenis intuisiistik terdapat pembentuk jenis primitif (Sigma) dan (Pi) untuk jumlah umum dan produk, dan (I) untuk jenis identiti, yang serupa dengan konstruksi set-teori yang dinyatakan di atas. Jenis identiti (I (N, m, n)) yang sepadan dengan set (E_ {m, n}) adalah contoh jenis bergantung kerana bergantung pada (m) dan (n). Ia juga disebut keluarga jenis yang diindeks kerana ia adalah keluarga jenis yang diindeks oleh (m) dan (n). Begitu juga, kita dapat membentuk jumlah taksiran umum (Sigma x {:} A. \, B) dan produk kartesian umum (Pi x {:} A. \, B) dari jenis keluarga seperti itu (B) diindeks oleh (x {:} A), sepadan dengan jumlah teori dan operasi produk yang ditetapkan di atas.

Jenis bergantung juga dapat ditentukan oleh rekursi primitif. Contohnya ialah jenis (n) - tuples (A ^ n) elemen jenis (A) dan diindeks oleh (n {:} N) yang ditentukan oleh persamaan

(start {align *} A ^ 0 & = 1 \\ A ^ {n + 1} & = A / kali A ^ n / end {align *})

di mana (1) adalah jenis satu elemen dan (kali) menunjukkan produk kartesian dari dua jenis. Kami perhatikan bahawa jenis bergantung memperkenalkan pengiraan dalam jenis: peraturan yang menentukan di atas adalah peraturan pengiraan. Contohnya, hasil pengkomputeran (A ^ 3) adalah (A / kali (A / kali (A / kali 1))).

2.5 Cadangan sebagai Jenis dalam Teori Jenis Intuisi

Dengan proposisi sebagai jenis, predikat menjadi jenis bergantung. Contohnya, predikat (mathrm {Prime} (x)) menjadi jenis bukti yang (x) adalah perdana. Jenis ini bergantung pada (x). Begitu juga, (x <y) adalah jenis bukti yang (x) kurang daripada (y).

Menurut tafsiran Curry-Howard mengenai proposisi sebagai jenis, pemalar logik ditafsirkan sebagai pembentuk jenis:

(start {align *} bot & = / varnothing \\ / top & = 1 \\ A / vee B & = A + B \\ A / baji B & = A / kali B \\ A / supset B & = A / kanan bawah B \\ / ada x {:} A. \, B & = / Sigma x {:} A. \, B \\ / forall x {:} A. \, B & = / Pi x {:} A. \, B / end {align *})

di mana (Sigma x {:} A. \, B) adalah jumlah terasing dari keluarga (A) - jenis yang diindeks (B) dan (Pi x {:} A. \, B) adalah produk kartesiannya. Elemen kanonik (Sigma x {:} A. \, B) adalah pasangan ((a, b)) sehingga (a {:} A) dan (b {:} B [x: = a]) (jenis yang diperoleh dengan menggantikan semua kejadian bebas (x) di (B) dengan (a)). Unsur-unsur (Pi x {:} A. \, B) adalah fungsi (dapat dihitung) (f) sedemikian rupa sehingga (f \, a {:} B [x: = a]), bila-bila masa (a {:} A).

Contohnya, pertimbangkan dalilnya

(begin {equation} forall m {:} N. \, / wujud n {:} N. \, m / lt n / wedge / mathrm {Prime} (n) tag {1} label {prop1} end {persamaan})

menyatakan bahawa terdapat bilangan prima yang sewenang-wenangnya. Di bawah tafsiran Curry-Howard ini menjadi jenis (Pi m {:} N. \, / Sigma n {:} N. \, m / lt n / times / mathrm {Prime} (n)) fungsi yang memetakan nombor (m) menjadi tiga ((n, (p, q))), di mana (n) adalah nombor, (p) adalah bukti bahawa (m / lt n) dan (q) adalah bukti bahawa (n) adalah perdana. Ini adalah bukti sebagai prinsip program: bukti konstruktif bahawa terdapat bilangan prima yang sewenang-wenangnya menjadi program yang memberikan bilangan yang menghasilkan bilangan prima yang lebih besar bersama dengan bukti bahawa ia memang lebih besar dan memang utama.

Perhatikan bahawa bukti yang menimbulkan percanggahan dari anggapan bahawa ada perdana terbesar tidak membina, kerana tidak secara jelas memberi jalan untuk mengira bilangan prima yang lebih besar. Untuk mengubah bukti ini menjadi bukti yang membina, kita harus menunjukkan secara jelas bagaimana membina perdana yang lebih besar. (Oleh kerana proposisi (ref {prop1}) di atas adalah (Pi ^ 0_2) - formula kita misalnya boleh menggunakan terjemahan A-Friedman untuk mengubah bukti sedemikian dalam aritmetik klasik menjadi bukti dalam aritmetik intuisi dan seterusnya menjadi bukti dalam teori jenis intuisi.)

3. Teori Jenis Intuisiistik Asas

Kami sekarang menyajikan versi inti dari teori jenis intuisi, yang berkait rapat dengan versi pertama teori yang dikemukakan oleh Martin-Löf pada tahun 1972 (Martin-Löf 1998 [1972]). Sebagai tambahan kepada pembentuk jenis yang diperlukan untuk tafsiran Curry-Howard mengenai logik predikat intuisi yang ditaip di atas, kami mempunyai dua jenis: jenis (N) nombor semula jadi dan jenis (U) jenis kecil.

Teori yang dihasilkan dapat ditunjukkan mengandungi teori nombor intuisiistik aritmetik Heyting jenis yang lebih tinggi.

Teori intuisiistik inti ini bukan sahaja yang asli, tetapi mungkin versi minimum yang menunjukkan ciri-ciri penting teori. Sambungan kemudian dengan jenis identiti primitif, jenis pokok yang baik, hierarki alam semesta, dan pengertian umum definisi induktif dan induktif-rekursif telah meningkatkan kekuatan teori-teori dan juga menjadikannya lebih mudah untuk pengaturcaraan dan formalisasi matematik. Sebagai contoh, dengan penambahan pokok yang baik, kita dapat mentafsir Teori Set Zermelo-Fraenkel Konstruktif (CZF) dari Aczel (1978 [1977]). Walau bagaimanapun, kami akan menunggu hingga bahagian seterusnya untuk menerangkan pelanjutan tersebut.

3.1 Penghakiman

Dalam Martin-Löf (1996) filosofi logik umum disajikan di mana gagasan penghakiman tradisional diperluas dan diberi kedudukan pusat. Penghakiman bukan lagi sekadar penegasan atau penolakan suatu proposisi, tetapi suatu tindakan pengetahuan umum. Semasa membuat penaakulan secara matematik kita membuat penilaian mengenai objek matematik. Salah satu bentuk pertimbangan adalah dengan menyatakan bahawa beberapa pernyataan matematik adalah benar. Bentuk pertimbangan lain adalah dengan menyatakan bahawa sesuatu adalah objek matematik, misalnya satu set. Peraturan logik memberikan kaedah untuk menghasilkan pertimbangan yang betul dari penilaian sebelumnya. Pertimbangan yang diperoleh oleh peraturan tersebut dapat disampaikan dalam bentuk pokok

(infer [r_4] {J_8} { infer [r_1] {J_3} {J_1 & J_2} & / infer [r_3] {J_7} { infer [r_5] {J_5} {J_4} & J_6}}]

atau dalam bentuk urutan

  • (1) (J_1 / quad / text {aksioma})
  • (2) (J_2 / quad / text {aksioma})
  • (3) (J_3 / quad / text {by rule (r_1) dari (1) dan (2)})
  • (4) (J_4 / quad / text {aksioma})
  • (5) (J_5 / quad / text {by rule (r_2) dari (4)})
  • (6) (J_6 / quad / text {aksioma})
  • (7) (J_7 / quad / text {by rule (r_3) dari (5) dan (6)})
  • (8) (J_8 / quad / text {by rule (r_4) dari (3) dan (7)})

Bentuk yang terakhir adalah umum dalam hujah matematik. Urutan atau pokok seperti yang dibentuk oleh peraturan logik dari aksioma adalah turunan atau demonstrasi penilaian.

Penalaran orde pertama dapat dikemukakan menggunakan satu jenis pertimbangan:

proposisi (B) adalah benar di bawah hipotesis bahawa proposisi (A_1, / ldots, A_n) semuanya benar.

Kami menulis pertimbangan hipotesis ini sebagai urutan Gentzen yang disebut

[A_1, / ldots, A_n { vdash} B.)

Perhatikan bahawa ini adalah penghakiman tunggal yang tidak boleh dikelirukan dengan penentuan keputusan ({ vdash} B) dari penghakiman ({ vdash} A_1, / ldots, { vdash} A_n). Apabila (n = 0), maka penilaian kategoris ({ vdash} B) menyatakan bahawa (B) adalah benar tanpa ada andaian. Dengan notasi berurutan, peraturan yang biasa digunakan untuk pengenalan konjungtif menjadi

(infer [(land I)] {A_1, / ldots, A_n { vdash} B / land C} {A_1, / ldots, A_n { vdash} B & A_1, / ldots, A_n { vdash} C}.)

3.2 Bentuk Penghakiman

Teori jenis Martin-Löf mempunyai empat bentuk pertimbangan asas dan merupakan sistem yang jauh lebih rumit daripada logik orde pertama. Salah satu sebabnya adalah bahawa lebih banyak maklumat dibawa masuk dalam derivasi kerana pengenalan proposisi dan jenisnya. Sebab lain ialah sintaksis lebih terlibat. Contohnya, formula (jenis) yang terbentuk dengan baik harus dihasilkan serentak dengan formula yang benar (jenis yang dihuni).

Empat bentuk pertimbangan kategoris adalah

  • (vdash A \; { rm type}), yang bermaksud bahawa (A) adalah jenis yang terbentuk dengan baik,
  • (vdash a {:} A), yang bermaksud (a) mempunyai jenis (A),
  • (vdash A = A '), yang bermaksud (A) dan (A') adalah jenis yang sama,
  • (vdash a = a '{:} A), yang bermaksud bahawa (a) dan (a') adalah unsur sama jenis (A).

Secara umum, penilaian adalah hipotetis, iaitu keputusan dibuat dalam konteks (Gamma), iaitu senarai (x_1 {:} A_1, / ldots, x_n {:} A_n) pemboleh ubah yang boleh berlaku bebas dalam penghakiman bersama dengan jenisnya masing-masing. Perhatikan bahawa jenis dalam konteks boleh bergantung pada pemboleh ubah jenis sebelumnya. Contohnya, (A_n) boleh bergantung pada (x_1 {:} A_1, / ldots, x_ {n-1} {:} A_ {n-1}). Empat bentuk penilaian hipotesis adalah

  • (Gamma / vdash A \; { rm type}), yang bermaksud bahawa (A) adalah jenis yang terbentuk dengan baik dalam konteks (Gamma),
  • (Gamma / vdash a {:} A), yang bermaksud (a) mempunyai ketik (A) dalam konteks (Gamma),
  • (Gamma / vdash A = A '), yang bermaksud (A) dan (A') adalah jenis yang sama dalam konteks (Gamma),
  • (Gamma / vdash a = a '{:} A), yang bermaksud bahawa (a) dan (a') adalah elemen sama jenis (A) dalam konteks (Gamma).

Di bawah dalil sebagai tafsiran jenis

(tag {2} label {analytic} vdash a {:} A)

dapat difahami sebagai penghakiman bahawa (a) adalah bukti-bukti untuk dalil (A). Semasa menekan objek ini, kami mendapat penilaian yang sepadan dengan logik pesanan pertama biasa (lihat di atas):

(tag {3} label {synthetic} vdash A \; { rm benar}.)

Catatan 3.1. Martin-Löf (1994) berpendapat bahawa penilaian analitik Kant a priori dan penilaian sintetik a priori dapat dicontohkan, dalam ranah logik, oleh ([analitik]) dan ([sintetik]) masing-masing. Dalam penilaian analitik ([analitik]) semua yang diperlukan untuk membuat penilaian jelas jelas. Untuk versi sintetiknya ([sintetik]) pembinaan bukti yang mungkin rumit (a) perlu disediakan untuk menjadikannya jelas. Pengertian analitik dan sintetik ini mempunyai konsekuensi yang mengejutkan bahawa "undang-undang logik dalam rumusan biasa mereka semuanya sintetik." Martin-Löf (1994: 95). Analisisnya selanjutnya memberikan:

"[…] Logik penilaian analitik, yaitu, logik untuk mendapatkan penilaian dari dua bentuk analitik, lengkap dan dapat diputuskan, sedangkan logik penilaian sintetik tidak lengkap dan tidak dapat ditentukan, seperti yang ditunjukkan oleh Gödel." Martin-Löf (1994: 97).

Kebolehtentuan dua penilaian analitik ((vdash a {:} A) dan (vdash a = b {:} A)) bergantung pada sifat metamathematical teori jenis: normalisasi yang kuat dan pemeriksaan jenis yang dapat ditentukan.

Kadang-kadang juga bentuk-bentuk berikut secara eksplisit dianggap sebagai penilaian teori:

  • (Gamma \; { rm konteks}), yang bermaksud bahawa (Gamma) adalah konteks yang terbentuk dengan baik.
  • (Gamma = / Gamma '), yang bermaksud bahawa (Gamma) dan (Gamma') adalah konteks yang sama.

Di bawah ini kita akan menyingkat penghakiman (Gamma / vdash A \; { rm type}) sebagai (Gamma / vdash A) dan (Gamma \; { rm konteks}) sebagai (Gamma / vdash.)

3.3 Peraturan Inferens

Ketika menyatakan peraturan, kita akan menggunakan huruf (Gamma) sebagai variabel meta yang merangkumi konteks, (A, B, / ldots) sebagai pemboleh ubah meta dari berbagai jenis, dan (a, b, c, d, e, f, / ldots) sebagai pemboleh ubah meta yang merangkumi sebutan.

Kumpulan aturan inferensi pertama adalah peraturan umum termasuk peraturan asumsi, penggantian, dan pembentukan konteks. Terdapat juga peraturan yang menyatakan bahawa persamaan adalah hubungan kesetaraan. Terdapat banyak peraturan tersebut, dan kami hanya menunjukkan peraturan persamaan jenis yang sangat penting yang penting untuk pengiraan dalam jenis:

(frac { Gamma / vdash a {:} A / hspace {2em} Gamma / vdash A = B} { Gamma / vdash a {:} B})

Peraturan selebihnya adalah khusus untuk pembentuk jenis. Ini diklasifikasikan sebagai peraturan pembentukan, pengenalan, penghapusan, dan kesetaraan.

3.4 Logik Predikat Intuisi

Kami hanya memberikan peraturan untuk (Pi). Terdapat peraturan yang serupa untuk pembentuk jenis lain yang sesuai dengan pemalar logik logik predikat yang ditaip.

Berikut ini (B [x: = a]) bermaksud istilah yang diperoleh dengan menggantikan istilah (a) untuk setiap kejadian bebas pemboleh ubah (x) di (B) (mengelakkan penangkapan pemboleh ubah).

(Pi) - pembentukan. (frac { Gamma / vdash A / hspace {2em} Gamma, x {:} A / vdash B} { Gamma / vdash / Pi x {:} A. B}) (Pi) -pengenalan. (frac { Gamma, x {:} A / vdash b {:} B} { Gamma / vdash / lambda x. b {:} Pi x {:} A. B}) (Pi) - penghapusan. (frac { Gamma / vdash f {:} Pi x {:} AB / hspace {2em} Gamma / vdash a {:} A} { Gamma / vdash f \, a {:} B [x: = a]}) (Pi) - persamaan. (frac { Gamma, x {:} A / vdash b {:} B / hspace {2em} Gamma / vdash a {:} A} { Gamma / vdash (lambda xb), a = b [x: = a] {:} B [x: = a]}) Ini adalah peraturan (beta) - penukaran. Kami juga boleh menambahkan peraturan (eta) - penukaran: (frac { Gamma / vdash f {:} Pi x {:} A. B} { Gamma / vdash / lambda x. f \, x = f {:} Pi x {:} A. B}.)

Selanjutnya, ada peraturan kesesuaian yang menyatakan bahawa operasi yang diperkenalkan oleh peraturan pembentukan, pengenalan, dan penghapusan memelihara kesetaraan. Sebagai contoh, peraturan kongruen untuk (Pi) adalah

(frac { Gamma / vdash A = A '\ hspace {2em} Gamma, x {:} A / vdash B = B'} { Gamma / vdash / Pi x {:} A. B = / Pi x {:} A '. B '}.)

3.5 Nombor Semula Jadi

Seperti dalam aritmetik Peano, nombor semula jadi dihasilkan oleh 0 dan operasi penggantinya (s). Peraturan penghapusan menyatakan bahawa ini adalah satu-satunya cara yang mungkin untuk menghasilkan nombor semula jadi.

Kami menulis (f (c) = / R (c, d, xy.e)) untuk fungsi yang ditentukan oleh pengulangan primitif pada nombor semula jadi (c) dengan kes asas (d) dan langkah fungsi (xy.e) (atau sebagai alternatif (lambda xy.e)) yang memetakan nilai (y) untuk nombor sebelumnya (x {:} N) ke nilai untuk (s (x)). Perhatikan bahawa (R) adalah operator pengikat pemboleh ubah baru: pemboleh ubah (x) dan (y) menjadi terikat di (e).

(N) - pembentukan. (Gamma / vdash / N) (N) - pengenalan. (Gamma / vdash 0 {:} N / hspace {2em} frac { Gamma / vdash a {:} N} { Gamma / vdash s (a) {:} N}) (N) - penyingkiran. (frac { Gamma, x {:} N / vdash C / hspace {1em} Gamma / vdash c {:} N / hspace {1em} Gamma / vdash d {:} C [x: = 0] hspace {1em} Gamma, y {:} N, z {:} C [x: = y] vdash e {:} C [x: = s (y)]} { Gamma / vdash / R (c, d, yz.e) {:} C [x: = c]}) (N) - persamaan (di bawah premis yang sesuai). (start {align *} R (0, d, yz.e) & = d {:} C [x: = 0] / \ R (s (a), d, yz.e) & = e [y: = a, z: = / R (a, d, yz.e)] {:} C [x: = s (a)] end {align *})

Peraturan (N) - penghapusan secara serentak menyatakan jenis fungsi yang ditentukan oleh rekursi primitif dan, di bawah tafsiran Curry-Howard, peraturan induksi matematik: kami membuktikan sifat (C) nombor semula jadi (x) secara aruhan pada (x).

Sistem Gödel (T) pada dasarnya adalah teori jenis intuisi dengan hanya jenis pembentuk (N) dan (A / rightarrow B) (jenis fungsi dari (A) hingga (B), yang merupakan kes khas ((Pi x {:} A) B) di mana (B) tidak bergantung pada (x {:} A)). Oleh kerana tidak ada jenis bergantung pada Sistem (T) peraturan dapat dipermudah.

3.6 Alam Semesta Jenis-Jenis Kecil

Teori jenis versi pertama Martin-Löf (Martin-Löf 1971a) mempunyai aksioma yang menyatakan bahawa terdapat jenis semua jenis. Ini terbukti tidak konsisten oleh Girard yang mendapati bahawa paradoks Burali-Forti dapat dikodkan dalam teori ini.

Untuk mengatasi ketidakseragaman patologi ini, tetapi masih mengekalkan sebahagian ekspresivitinya, Martin-Löf memperkenalkan pada tahun 1972 sebuah alam semesta (U) jenis kecil yang ditutup di bawah semua jenis pembentuk teori, kecuali bahawa ia tidak mengandungi dirinya sendiri (Martin- Löf 1998 [1972]). Peraturannya adalah:

(U) - pembentukan. (Gamma / vdash / U) (U) - pengenalan. (Gamma / vdash / varnothing {:} U / hspace {3em} Gamma / vdash 1 {:} U) (frac { Gamma / vdash A {:} U / hspace {2em} Gamma / vdash B {:} U} { Gamma / vdash A + B {:} U} hspace {3em} frac { Gamma / vdash A {:} U / hspace {2em} Gamma / vdash B {:} U} { Gamma / vdash A / times B {:} U}) (frac { Gamma / vdash A {:} U / hspace {2em} Gamma / vdash B {:} U} { Gamma / vdash A / rightarrow B {:} U}) (frac { Gamma / vdash A {:} U / hspace {2em} Gamma, x {:} A / vdash B {:} U} { Gamma / vdash / Sigma x {:} A. \, B {:} U} hspace {3em} frac { Gamma / vdash A {:} U / hspace {2em} Gamma, x {:} A / vdash B {:} U} { Gamma / vdash / Pi x {:} A. \, B {:} U}) (Gamma / vdash / N {:} U) (U) - penghapusan. (frac { Gamma / vdash A {:} U} { Gamma / vdash A})

Oleh kerana (U) adalah jenis, kita dapat menggunakan (N) - penghapusan untuk menentukan jenis kecil dengan pengulangan primitif. Sebagai contoh, jika (A: / U), kita dapat menentukan jenis (n) - tupel elemen di (A) seperti berikut:

[A ^ n = / R (n, 1, xy. A / kali y) {:} U)

Alam semesta jenis teori ini ((U) serupa dengan alam semesta Grothendieck dalam teori set yang merupakan set set tertutup di bawah semua cara set dapat dibina dalam teori set Zermelo-Fraenkel. Kewujudan alam semesta Grothendieck tidak dapat dibuktikan dari aksioma teori set Zermelo-Fraenkel yang biasa tetapi memerlukan aksioma baru.

Dalam Martin-Löf (1975) alam semesta diperluas ke hierarki alam semesta yang dapat dikira

(U_0: / U_1: / U_2: / cdots.)

Dengan cara ini setiap jenis mempunyai jenis, bukan hanya setiap jenis kecil.

3.7 Identiti Cadangan

Di atas, kami memperkenalkan penilaian kesaksamaan

(tag {4} label {defeq} Gamma / vdash a = a '{:} A.)

Ini biasanya disebut "persamaan definisi" kerana dapat diputuskan dengan menormalkan istilah (a) dan (a ') dan memeriksa apakah bentuk normalnya sama. Walau bagaimanapun, persamaan ini adalah pertimbangan dan bukan proposisi (jenis) dan oleh itu kita tidak dapat membuktikan kesamaan penghakiman seperti itu dengan aruhan. Atas sebab ini kita perlu memperkenalkan jenis identiti proposisi. Contohnya, jenis identiti bagi nombor semula jadi (I (N, m, n)) dapat ditentukan oleh (U) - nilai semula primitif. Kita kemudian dapat menyatakan dan membuktikan aksioma Peano. Lebih jauh lagi, kesamaan fungsi yang boleh diperluas dapat ditentukan oleh

(I (N / panah kanan / N, f, f ') = / Pi x {:} N. / I (N, f \, x, f '\, x).)

3.8 Aksioma Pilihan adalah Teorema

Bentuk aksioma pilihan berikut adalah akibat langsung dari penafsiran BHK mengenai pengukur intuisi, dan mudah dibuktikan dalam teori jenis intuisi.

[(Pi x {:} A. / Sigma y {:} B. C) rightarrow / Sigma f {:} (Pi x {:} A. B). C [y: = f \, x])

Sebabnya ialah (Pi x {:} A. / Sigma y {:} B. C) adalah jenis fungsi yang memetakan elemen (x {:} A) untuk berpasangan ((y, z)) dengan (y {:} B) dan (z {:} C). Fungsi pilihan (f) diperoleh dengan mengembalikan komponen pertama (y {:} B) pasangan ini.

Mungkin mengejutkan bahawa teori jenis intuisiistik secara langsung mengesahkan aksioma pilihan, kerana aksioma ini sering dianggap bermasalah dari sudut pandang konstruktif. Penjelasan yang mungkin untuk keadaan ini adalah bahawa perkara di atas adalah aksioma pilihan untuk jenis, dan jenis itu pada umumnya tidak sesuai dengan set konstruktif set dalam pengertian klasik. Sebagai contoh, kita dapat mewakili nombor nyata sebagai urutan Cauchy dalam teori jenis intuisi, tetapi set nombor nyata bukan jenis urutan Cauchy, tetapi jenis urutan Cauchy hingga persamaan. Secara lebih umum, satu set dalam matematik konstruktif Bishop diwakili oleh jenis (biasanya disebut "preset") bersama dengan hubungan kesetaraan.

Sekiranya (A) dan (B) dilengkapi dengan hubungan kesetaraan, tentu saja tidak ada jaminan bahawa fungsi pilihan, (f) di atas, bersifat luas dalam arti bahawa ia memetakan elemen yang setara dengan elemen yang setara. Ini adalah kegagalan aksioma pilihan, lihat Martin-Löf (2009) untuk analisis.

4. Sambungan

4.1 Kerangka Logik

Perkara di atas melengkapkan penerangan mengenai versi inti teori jenis intuisi yang hampir sama dengan (Martin-Löf 1998 [1972]).

Pada tahun 1986 Martin-Löf mengusulkan penyusunan semula teori jenis intuisi. lihat Nordström, Peterson dan Smith (1990) untuk eksposisi. Tujuannya adalah untuk memberikan rumusan yang lebih padat, di mana (lambda) dan (Pi) adalah satu-satunya operasi pengikatan berubah-ubah. Kini dianggap versi utama teori. Ini juga merupakan asas bagi pembantu bukti Agda. Teori 1986 mempunyai dua bahagian:

  • teori jenis (kerangka logik);
  • teori set (jenis kecil).

Catatan 4.1. Perhatikan bahawa perkataan "set" dalam kerangka logik tidak bertepatan dengan cara ia digunakan dalam matematik konstruktif Bishop. Untuk mengelakkan kekeliruan ini, jenis bersama dengan hubungan kesetaraan biasanya disebut "setoid" atau "set extensional" dalam teori jenis intuisi.

Kerangka logik hanya mempunyai dua jenis pembentuk: (Pi x {:} A. B) (biasanya ditulis ((x {:} A) B) atau ((x {:} A) kanan bawah B) dalam rumusan kerangka logik) dan (U) (biasanya dipanggil (Set)). Peraturan untuk (Pi x {:} A. B) (((x {:} A) kanan bawah B)) adalah sama seperti yang diberikan di atas (termasuk (eta) - penukaran). Peraturan untuk (U) ((Set)) juga sama, kecuali bahawa kerangka logik hanya menetapkan penutupan di bawah (Pi) - formasi jenis.

Pembentuk jenis kecil yang lain ("set formers") diperkenalkan dalam teori set. Dalam perumusan kerangka logik setiap aturan pembentukan, pengenalan, dan penghapusan dapat dinyatakan sebagai pengetikan pemalar baru. Sebagai contoh, peraturan untuk nombor semula jadi menjadi

(start {align *} N &: / Set, \\ 0 &: / N, \\ / s &: / N / rightarrow / N, \\ / R &: (C {:} N / rightarrow / Set) rightarrow C \, 0 / rightarrow ((x {:} N) rightarrow C \, x / rightarrow C \, (s \, x)) rightarrow (c {:} N) kanan bawah C \, c. / end {align *})

di mana kita telah menghilangkan konteks umum (Gamma), kerana jenis pemalar ini ditutup. Perhatikan bahawa pengendali rekursi (R) mempunyai argumen pertama (C {:} N / rightarrow / Set) tidak seperti dalam rumusan asal.

Lebih-lebih lagi, peraturan persamaan dapat dinyatakan sebagai persamaan

(start {align *} R \, C \, d \, e \, 0 & = d {:} C \, 0 \\ / R \, C \, d \, e \, (s \, a) & = e \, a \, (R \, C \, d \, e \, a) {:} C \, (s \, a) end {align *})

di bawah andaian yang sesuai.

Dalam sekuelnya kami akan mengemukakan beberapa lanjutan teori jenis. Walau bagaimanapun, untuk memastikan penyampaian tetap seragam, kami tidak akan menggunakan kerangka logik penyampaian teori jenis, tetapi akan menggunakan notasi yang sama seperti pada bahagian 2.

4.2 Bekas Jenis Identiti Umum

Seperti yang telah kami sebutkan di atas, identiti pada nombor semula jadi dapat didefinisikan dengan rekursi primitif. Hubungan identiti pada jenis lain juga dapat ditakrifkan dalam versi asas teori jenis intuisi yang dikemukakan dalam bahagian 2.

Walau bagaimanapun, Martin-Löf (1975) meluaskan teori jenis intuisiistik dengan bekas identiti primitif yang seragam (I) untuk semua jenis. Peraturan untuk (I) menyatakan bahawa hubungan identiti dihasilkan secara induktif oleh bukti refleksiviti, pemalar kanonik yang disebut (r). (Perhatikan bahawa (r) dikodekan dengan angka 0 dalam persembahan pengenalan objek bukti di 2.3. Peraturan penghapusan untuk jenis identiti adalah generalisasi penghapusan identiti dalam logik predikat dan memperkenalkan pemalar penghapusan (J). Kami di sini menunjukkan rumusan yang disebabkan oleh Paulin-Mohring (1993) dan bukannya rumusan asal Martin-Löf (1975). Peraturan inferens adalah berikut.

(I) - pembentukan. (frac { Gamma / vdash A / hspace {1em} Gamma / vdash a {:} A / hspace {1em} Gamma / vdash a '{:} A} { Gamma / vdash / I (A, a, a ')})

(I. Pengenalan. (frac { Gamma / vdash A / hspace {1em} Gamma / vdash a {:} A} { Gamma / vdash / r {:} I (A, a, a)})

(I) - penghapusan.

(frac { Gamma, x {:} A, y {:} I (A, a, x) vdash C / hspace {1em} Gamma / vdash b {:} A / hspace {1em} Gamma / vdash c {:} I (A, a, b) hspace {1em} Gamma / vdash d {:} C [x: = a, y: = r]} { Gamma / vdash / J (c, d) {:} C [x: = b, y: = c]})

(I) - persamaan (di bawah andaian yang sesuai).

(start {align *} J (r, d) & = d / end {align *})

Perhatikan bahawa jika (C) hanya bergantung pada (x: A) dan bukan pada bukti (y: / I (A, a, x)) (dan kami juga menekan objek bukti) dalam aturan (I) - penghapusan kita memulihkan peraturan penghapusan identiti dalam logik predikat.

Dengan membina model teori jenis di mana jenis ditafsirkan sebagai kumpulanoid (kategori di mana semua anak panah adalah isomorfisme) Hofmann dan Streicher (1998) menunjukkan bahawa tidak dapat dibuktikan dalam teori jenis intuisi bahawa semua bukti (I (A, a, b)) sama. Ini mungkin kelihatan sebagai ketidaklengkapan teori dan Streicher mencadangkan aksioma baru (K) yang menunjukkan bahawa semua bukti (I (A, a, b)) sama dengan (r).

Jenis (I) sering disebut jenis identiti intensif, kerana ia tidak memenuhi prinsip kepanjangan fungsi. Teori jenis intuisiistik dengan jenis identiti intensional juga sering disebut teori jenis intuisiistik intensional untuk membezakannya dengan teori jenis intuisiistik ekstensional yang akan dikemukakan dalam bahagian 7.1.

4.3 Pokok yang Diasaskan dengan Baik

Sejenis pokok yang baik dari bentuk (W x {:} A. B) diperkenalkan pada Martin-Löf 1982 (dan dalam bentuk yang lebih terhad oleh Scott 1970). Unsur (W x {:} A. B) adalah pokok bercabang yang berbeza-beza dan sewenang-wenang: berbeza-beza, kerana jenis percabangan (B) diindeks oleh (x {:} A) dan sewenang-wenangnya kerana (B) boleh sewenang-wenangnya. Jenis ini diberikan oleh definisi induktif umum kerana pokok-pokok yang baik mungkin bercabang. Kita boleh menganggap (W x {:} A. B) sebagai algebra istilah bebas, di mana setiap (a {:} A) mewakili istilah pembina (sup \, a) dengan (mungkin tidak terhingga) arity (B [x: = a]).

(W) - pembentukan. (frac { Gamma / vdash A / hspace {2em} Gamma, x {:} A / vdash B} { Gamma / vdash / W x {:} A. B}) (W) -pengenalan. (frac { Gamma / vdash a {:} A / hspace {2em} Gamma, y {:} B [x: = a] vdash b: Wx {:} A. B} { Gamma / vdash / sup (a, yb): / W x {:} A. B})

Kami menghilangkan peraturan (W) - penghapusan dan (W) - persamaan.

Menambah pokok yang baik pada teori jenis intuisi akan meningkatkan kekuatan teori-bukti dengan ketara (Setzer (1998)).

4.4 Set Iteratif dan CZF

Aplikasi penting dari pokok yang baik adalah pembinaan Aczel (1978) model teori-jenis Teori Set Zermelo Fraenkel Konstruktif. Untuk tujuan ini, dia menentukan jenis set berulang sebagai

(V = / W x {:} U. x.)

Biarkan (A {:} U) jenis kecil, dan (x {:} A / vdash M) menjadi sekelompok set berulang berulang yang diindeks. Maka (sup (A, xM)), atau dengan notasi yang lebih menjurus ({M / mid x {:} A }), adalah himpunan berulang. Untuk parafrasa: satu set berulang adalah sekelompok set berulang yang diindeks oleh jenis kecil.

Perhatikan bahawa set berulang adalah alt="ikon sep man" /> Cara mengutip entri ini.

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki

Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.

ikon inpho
ikon inpho

Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).

ikon kertas phil
ikon kertas phil

Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

  • Ensiklopedia Internet Falsafah: Matematik Konstruktif
  • Scholarpedia: Teori Jenis Komputasi
  • nLab: Jenis Teori

Disyorkan: