Kontroversi Frege-Hilbert

Isi kandungan:

Kontroversi Frege-Hilbert
Kontroversi Frege-Hilbert

Video: Kontroversi Frege-Hilbert

Video: Kontroversi Frege-Hilbert
Video: Spaltet Identitätspolitik unsere Gesellschaft? | 13 Fragen 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Kontroversi Frege-Hilbert

Pertama kali diterbitkan pada 23 Sep 2007; semakan substantif pada 9 Ogos 2018

Pada tahun-tahun awal abad kedua puluh, Gottlob Frege dan David Hilbert, dua titian logik matematik, terlibat dalam kontroversi mengenai pemahaman yang betul mengenai peranan aksioma dalam teori matematik, dan cara yang betul untuk menunjukkan hasil konsistensi dan kebebasan untuk aksioma. Kontroversi tersebut menyentuh sejumlah persoalan sukar dalam logik dan falsafah logik, dan menandakan titik tolak penting dalam pengembangan logik moden. Entri ini memberikan gambaran umum mengenai kontroversi itu dan asas-asas falsafahnya.

  • 1. Pengenalan
  • 2. Asas Geometri Hilbert
  • 3. Latar Belakang Frege dan Perbezaan Awal
  • 4. Perselisihan Yang Lebih Dalam
  • 5. Isu Berpanjangan
  • 6. Kesimpulannya
  • Bibliografi

    • Sumber Utama
    • Sumber Sekunder
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Pengenalan

Pada bulan Jun 1899, pada upacara menandakan pemasangan monumen Gauss-Weber baru di Göttingen, David Hilbert menyampaikan ceramah mengenai asas-asas geometri. Diterbitkan pada akhir tahun itu oleh Teubner dengan judul "Grundlagen der Geometrie" ("Yayasan Geometri"), karya ini berdiri sebagai daerah aliran pengembangan matematik dan logik moden. Walaupun subjek karya adalah geometri, pengaruhnya yang abadi menyangkut peranan aksioma dalam teori matematik secara lebih luas, dan perlakuan sistematik terhadap soalan metaforetis seperti konsistensi dan kebebasan. Dengan menghadirkan banyak demonstrasi konsistensi dan kemerdekaan, Hilbert memperlihatkan di sini kekuatan pendekatan "formal" terhadap aksioma, dan meletakkan dasar untuk apa yang segera menjadi pendekatan teori-model kontemporari kita sendiri terhadap sistem formal.(Untuk latar belakang sejarah perlakuan aksioma Hilbert, lihat Hallett 2012 dan Geometri Abad Kesembilan Belas; untuk peranan karya Hilbert dalam pengembangan teori model, lihat teori model dan Eder & Schiemer 2018.)

Kuliah dan monograf Hilbert mengilhami reaksi tajam dari Gottlob Frege kontemporari, yang mendapati pemahaman Hilbert mengenai aksioma, dan pendekatannya terhadap demonstrasi konsistensi dan kemerdekaan, hampir tidak dapat difahami dan pada tahap yang sama sekali cacat. Reaksi Frege pertama kali dinyatakan dalam surat-menyuratnya dengan Hilbert dari bulan Disember 1899 hingga September 1900, dan kemudian dalam dua siri karangan (keduanya berjudul "On the Foundations of Geometry") yang diterbitkan pada tahun 1903 dan 1906. Hilbert tidak pernah tergerak oleh kritikan Frege, dan tidak bertindak balas terhadap mereka setelah tahun 1900. Frege, dari pihaknya, tidak pernah yakin akan kebolehpercayaan kaedah Hilbert, dan menyatakan sehingga akhir bahawa bukti konsistensi dan kemerdekaan yang terakhir itu salah. [1]

Dalam perbahasan falsafah antara kedua ahli matematik ini, kita melihat pertembungan antara dua cara yang berbeza untuk memahami sifat teori matematik dan pembenarannya. Perbezaan pendapat mengenai kejayaan bukti konsistensi dan kebebasan Hilbert adalah, seperti yang diperincikan di bawah, adalah hasil perbezaan pendapat yang signifikan terhadap isu-isu asas seperti: bagaimana memahami kandungan teori matematik, apa yang terdiri daripada aksiomatisasi yang berjaya, apa "kebenaran" teori matematik sebenarnya, dan akhirnya, apa yang sebenarnya diminta oleh seseorang ketika seseorang bertanya tentang konsistensi satu set aksioma atau kebebasan pernyataan matematik yang diberikan daripada orang lain.

Berikut ini, kita melihat secara ringkas teknik Hilbert dalam Foundations of Geometry, memperincikan berbagai kritikan Frege terhadapnya, dan akhirnya menggariskan konsep keseluruhan logik yang menimbulkan perbezaan.

2. Asas Geometri Hilbert

Karya Hilbert dalam Foundations of Geometry (selanjutnya disebut sebagai "FG") terdiri terutamanya dari meletakkan satu set aksioma yang jelas dan tepat untuk geometri Euclidean, dan menunjukkan secara terperinci hubungan aksioma tersebut antara satu sama lain dan beberapa asas teori geometri. Secara khusus, Hilbert menunjukkan konsistensi pelbagai subkumpulan aksioma, kebebasan sebilangan aksioma dari yang lain, dan pelbagai hubungan kebolehpercayaan dan kebebasan teorema penting dari subkumpulan aksioma tertentu. Termasuk demonstrasi baru mengenai konsistensi keseluruhan set aksioma untuk geometri Euclidean, dan kebebasan kebebasan aksio selari dengan aksioma Euclidean yang lain.

Gagasan "kemerdekaan" yang dipermasalahkan di sini adalah yang tidak dapat dibuktikan: untuk mengatakan bahawa pernyataan yang diberikan adalah bebas daripada kumpulan penyataan adalah dengan mengatakan bahawa ia tidak dapat dibuktikan dari mereka, atau setara dengan pengumpulan itu tidak secara logik penyataan. Konsistensi juga dapat difahami dari segi keterbuktian: untuk mengatakan bahawa kumpulan pernyataan yang konsisten adalah dengan mengatakan bahawa tidak ada percanggahan yang dapat dibuktikan daripadanya. Oleh itu, kedua-dua pengertian, konsistensi dan kebebasan, dapat ditakrifkan: satu set pernyataan adalah konsisten jika percanggahan yang dipilih secara sewenang-wenangnya bebas dari itu, dan pernyataan S adalah bebas dari satu set C jika set tersebut ((C / cup { sim} S) konsisten.

Demonstrasi konsistensi Hilbert dalam FG adalah semua demonstrasi konsistensi relatif, yang bermaksud bahawa dalam setiap kes konsistensi sekumpulan AX aksioma geometri dikurangkan kepada teori latar belakang B yang sudah biasa, menunjukkan bahawa AX konsisten jika B. Teknik penting yang digunakan oleh Hilbert adalah penafsiran semula istilah geometri yang muncul dalam AX sedemikian rupa sehingga, seperti yang ditafsirkan semula, anggota AX menyatakan teorema B. Sebagai contoh, bukti konsistensi pertama Hilbert menafsirkan istilah "titik", "garis", dan "terletak pada" masing-masing berdiri untuk koleksi tertentu pasangan nombor nyata yang disusun, untuk kumpulan nisbah nombor nyata, dan untuk hubungan yang ditakrifkan secara algebra antara pasangan dan nisbah tersebut; di bawah pentafsiran semula ini,ayat geometri yang dimaksudkan menyatakan teorema teori latar nombor nyata.

Bahawa strategi penafsiran semula seperti ini menjamin konsistensi relatif dapat dilihat melalui alasan berikut: Sekiranya set AX tidak konsisten, maka secara logiknya akan menyiratkan percanggahan. Tetapi kerana implikasi logiknya tidak bergantung pada makna khusus istilah seperti "titik" dan "garis", AX akan terus menyiratkan percanggahan di bawah penafsirannya semula. Tetapi itu hanya untuk mengatakan bahawa sekumpulan teorema B akan menyiratkan kontradiksi, sehingga B itu sendiri tidak konsisten.

Kemerdekaan ditunjukkan dengan cara yang sama. Untuk menunjukkan bahawa pernyataan I tidak bergantung pada set pernyataan AX (berkaitan dengan konsistensi B), seseorang menafsirkan istilah geometri yang relevan sedemikian rupa sehingga anggota AX, seperti yang ditafsirkan, menyatakan teorema B, sementara saya menyatakan penolakan teorem B. Maksudnya, kebebasan I dari AX (berbanding dengan konsistensi B) ditunjukkan dengan membuktikan konsistensi (textit {AX} cup {{ sim} I }) berbanding dengan B.

Idea umum menggunakan tafsiran untuk membuktikan konsistensi bukanlah sesuatu yang baru dalam FG; strategi serupa baru-baru ini diterapkan di pelbagai sekolah matematik untuk menunjukkan ketekalan dan kebebasan dalam aritmetik dan teori kelas, serta geometri. [2] Teknik ini juga memiliki anteseden dalam penggunaan model geometri sebelumnya untuk membuktikan konsistensi geometri bukan Euclidean. [3]Karya Hilbert dalam FG membawa kemajuan yang signifikan dari segi kejelasan dan penerapan teknik secara sistematik, dan pernyataan yang berpengaruh mengenai sifat penaakulan metateoretik yang terlibat dalam menunjukkan konsistensi dan kebebasan melalui penafsiran semula. Setelah teknik Hilbert diterapkan pada kalimat bahasa yang diformalkan sepenuhnya, suatu perkembangan yang berlangsung secara bertahap selama tiga dekad setelah FG, kita pada dasarnya memperoleh pemahaman moden tentang model, yang penggunaannya hari ini dalam demonstrasi konsistensi dan kemerdekaan hanya berbeza secara terperinci dari teknik Hilbert. [4]

Idea utama Hilbert, sekali lagi, adalah untuk tidak memusatkan perhatian pada konsep geometri tertentu seperti titik dan garis, tetapi untuk memperhatikan hubungan logik yang dikatakan, oleh aksioma, untuk bertahan di antara konsep-konsep tersebut. Soal kebebasan aksioma paralel dari aksioma Euclidean yang lain sama sekali berkaitan dengan struktur logik yang dipamerkan oleh aksioma-aksioma ini, dan tidak ada kaitan dengan sama ada ia adalah titik dan garis geometri yang dibincangkan, atau beberapa perkara lain kesemuanya. Seperti yang dikatakan oleh Hilbert,

[Saya] pasti jelas bahawa setiap teori hanyalah perancah atau skema konsep bersama-sama dengan hubungannya yang diperlukan antara satu sama lain, dan bahawa elemen-elemen asas dapat difikirkan dengan cara apa pun yang disukai seseorang. Sekiranya dalam membicarakan perkara saya, saya memikirkan beberapa sistem perkara, misalnya, sistem: cinta, undang-undang, penyapu cerobong… dan kemudian menganggap semua aksioma saya sebagai hubungan antara perkara-perkara ini, maka cadangan saya, misalnya, teorema Pythagoras, adalah juga berlaku untuk perkara-perkara ini. Dengan kata lain: sebarang teori selalu dapat diterapkan pada banyak sistem elemen asas. (Surat kepada Frege 29 Disember 1899, seperti yang dikutip oleh Frege [ellipsis Hilbert's atau Frege's] dalam Frege 1980: 40)

Pengertian istilah-istilah geometri sebagai rentan terhadap pelbagai tafsiran memungkinkan seseorang untuk melihat sendiri ayat-ayat geometri, dan setnya, sebagai memberikan definisi dari jenis tertentu, jenis yang biasanya disebut sebagai "definisi tersirat". Khususnya: Satu set ayat AX yang mengandungi n istilah yang dapat ditafsirkan secara tersirat menentukan hubungan n-tempat (R _ { textit {AX}}) hanya memegang n-tuples yang, apabila masing-masing diambil sebagai tafsiran dari tafsiran AX syarat, menjadikan anggota AX benar. (Contohnya: jika AX adalah set {Terdapat sekurang-kurangnya dua titik; Setiap titik terletak pada sekurang-kurangnya dua baris}, maka (R _ { textit {AX}}) adalah hubungan yang berlaku bagi mana-mana tiga kali lipat (langle P, / textit {LO}, L / rangle) sehingga P mempunyai sekurang-kurangnya dua anggota, L mempunyai sekurang-kurangnya dua anggota,dan LO adalah hubungan yang berlaku antara setiap anggota P dan sekurang-kurangnya dua anggota L.) Hubungan yang ditentukan hanyalah struktur abstrak, atau seperti yang dinyatakan oleh Hilbert sebagai "perancah", yang dikongsi oleh mana-mana n-tuple tersebut.[5]

Apabila sekumpulan ayat memberikan definisi yang tersirat dari hubungan, seseorang dapat bertanya apakah hubungan itu (dan, secara lanjutan, kumpulan ayat itu sendiri) dapat dipenuhi. Maksudnya, seseorang dapat bertanya apakah ada n-tuple yang, ketika berfungsi sebagai penafsiran istilah yang relevan dalam ayat, akan menjadikan setiap ayat itu benar. Setiap demonstrasi konsistensi Hilbert di FG memberikan n-tuple yang memenuhi hubungan yang ditentukan, dan dengan itu memberikan bukti kepuasan hubungan itu. Kepuasan dalam pengertian ini cukup untuk konsistensi, melalui alasan yang diberikan di atas. [6]

Kita sekarang dapat mendeskripsikan semula teknik Hilbert, secara ringkas, sebagai berikut: Mengingat satu set ayat AX, Hilbert menarik teori latar belakang B untuk membina tafsiran istilah geometri AX di mana para anggota AX menyatakan teorema B. Tafsiran ini adalah, dengan andaian konsistensi B, n -tuple yang memuaskan hubungan (R _ { textit {AX}}) yang ditentukan oleh AX. Keberadaannya menunjukkan kepuasan (R _ { textit {AX}}) dan akibatnya konsistensi AX berbanding dengan B. Begitu juga untuk kebebasan I dari AX.

3. Latar Belakang Frege dan Perbezaan Awal

Bagi Frege, perkara berbeza secara radikal. Frege berpendapat bahawa ayat yang kita gunakan dalam matematik hanya penting kerana proposisi nonlinguistik (atau, seperti yang dia katakan, "pemikiran") yang mereka nyatakan. Ahli matematik yang bekerja dalam bahasa Perancis dan Jerman bekerja pada subjek yang sama kerana, seperti yang dilihat Frege, ayat mereka mengemukakan pemikiran yang sama. Setiap pemikiran adalah mengenai perkara yang ditentukan, dan mengatakan sesuatu yang benar atau salah mengenai perkara itu. [7] Pemikiran juga pada pandangan ini mengenai hal-hal yang secara logik menyiratkan atau bertentangan antara satu sama lain, perkara-perkara yang benar atau salah, dan perkara-perkara yang bersama-sama membentuk teori matematik. Oleh itu, dalam pandangan Frege, pemikiran, dan bukannya kalimat, adalah perkara-perkara di mana timbul persoalan mengenai konsistensi dan kebebasan.

Oleh kerana setiap pemikiran mempunyai subjek yang pasti, tidak masuk akal untuk membicarakan "penafsiran semula" pemikiran. Jenis penafsiran semula yang dilakukan oleh Hilbert, iaitu dengan memberikan makna yang berbeza untuk kata-kata tertentu, adalah sesuatu yang hanya dapat diterapkan pada kalimat, dari sudut pandangan Fregean. Oleh itu, kesukaran pertama yang dicatat oleh Frege dengan pendekatan Hilbert adalah bahawa tidak jelas apa yang dimaksudkan oleh Hilbert dengan "aksioma:" jika dia bermaksud jenis perkara di mana masalah konsistensi dan kebebasan dapat timbul, maka dia mesti membicarakan pemikiran, sementara jika dia bermaksud jenis perkara yang mudah ditafsirkan pelbagai, maka dia mesti bercakap mengenai ayat.

Kesukaran berlipat ganda dari sini. Ketika Hilbert memberikan tafsiran semula khusus mengenai istilah geometri dalam perjalanan untuk membuktikan konsistensi relatif dari satu set ayat AX, Frege menyatakan bahawa kita sekarang mempunyai dua set pemikiran yang berbeza: set yang mungkin kita sebut “(textit {AX } _ {G}) pemikiran yang dinyatakan ketika istilah AX mengambil makna geometri biasa mereka (misalnya, pada titik mana "titik" berarti titik) dan set yang mungkin kita sebut "(textit {AX} _ {R}) "Pemikiran yang dinyatakan ketika istilah AX mengambil makna yang diberikan oleh penafsiran semula Hilbert (yang mana, misalnya," titik "bermaksud sepasang nombor nyata). Strategi penafsiran semula Hilbert melibatkan, dari sudut pandangan Frege,hanya mengalihkan perhatian kita dari set (textit {AX} _ {G}) pemikiran yang biasanya dinyatakan oleh kalimat AX (dan dengan konsistensi yang kami minati) ke set baru (textit {AX} _ { R}) pemikiran yang dinyatakan oleh AX di bawah pentafsiran semula. Dan kenyataan bahawa ayat yang ditafsirkan semula menyatakan kebenaran tentang nombor nyata tidak banyak berkaitan, dari perspektif Frege, dengan persoalan konsistensi dan kemerdekaan yang timbul untuk pemikiran asal mengenai titik, garis, dan satah.

Sebagai tambahan kepada praktik yang membingungkan (seperti yang dilihat Frege) dari beralih ke antara pemikiran yang berlainan ketika membincangkan satu set ayat, prosedur Hilbert juga melibatkan, seperti yang dilihat Frege, dua aspek yang dipersoalkan lagi.

Yang pertama berkaitan dengan keperluan untuk bukti konsistensi. Pada pandangan Frege, aksioma teori selalu membentuk kumpulan pemikiran yang benar; dan kerana kebenaran menyiratkan konsistensi, konsistensi kumpulan aksioma tidak pernah memerlukan demonstrasi. Sebaliknya, bagi Hilbert, fakta bahawa koleksi ayat diambil sebagai aksiomatik bukanlah jaminan kebenaran (atau kebenaran berdasarkan tafsiran tertentu), dan demonstrasi ketekalan sering merupakan langkah penting dalam mewujudkan kehormatan matematik itu. pengumpulan aksioma.

Kedua, Hilbert dan Frege berbeza pentingnya hubungan antara kebenaran dan konsistensi. Mengambil teori untuk di aksiomatikan oleh sekumpulan kalimat yang dapat ditafsirkan berganda, pandangan Hilbert adalah bahawa konsistensi set seperti itu cukup untuk adanya (atau a) kumpulan entiti matematik yang disebutkan dalam teori. Konsistensi, misalnya, teori nombor kompleks adalah semua yang diperlukan untuk membenarkan amalan matematik penaakulan dari segi nombor tersebut. Bagi Frege sebaliknya, konsistensi tidak pernah dapat menjamin kewujudan. Contoh pilihannya untuk menyatakan perkara ini adalah bahawa konsistensi (dalam pengertian Hilbert) trio ayat

  • A adalah makhluk yang cerdas
  • A ada di mana-mana
  • A mahakuasa

tidak mencukupi untuk menjamin keadaan mereka. (Lihat, misalnya, surat Frege kepada Hilbert pada 6 Januari 1900; Frege 1980: 47.)

Perbezaan pusat antara Frege dan Hilbert atas sifat aksioma, iaitu, mengenai persoalan sama ada aksioma adalah tuntutan benar tentang suatu perkara yang tetap atau ayat yang dapat ditafsirkan yang menyatakan keadaan yang berlipat ganda, terletak di tengah-tengah perbezaan antara cara yang lebih tua memikirkan teori, yang dicontohkan oleh Frege, dan cara baru yang mengumpulkan kekuatan pada akhir abad kesembilan belas. Mungkin yang paling jelas digambarkan dalam Dedekind 1888, idea utama pendekatan baru adalah untuk memahami teori-teori matematik sebagai ciri keadaan "struktur" umum yang mungkin ada persamaan oleh sejumlah domain yang berbeza. Sama seperti, dalam aljabar, aksioma bagi kumpulan memberikan syarat umum yang dapat dipenuhi oleh objek apa pun dalam hubungan yang sesuai,begitu juga pada pandangan baru aksioma geometri menentukan keadaan berlipat ganda. Melihat teori dari perspektif moden ini, adalah tepat untuk mengambil aksioma seperti yang dilakukan oleh Hilbert, kerana ayat yang dapat ditafsirkan semula adalah kenderaan yang tepat untuk menyatakan keadaan yang berlipat ganda.[8] Dari sudut pandang konsepsi domain tetap sebelumnya, sebaliknya, ayat yang dapat ditafsirkan sama sekali tidak sesuai sebagai aksioma, kerana mereka gagal menyelesaikan masalah yang ditentukan. Mengenai persoalan ini, iaitu, isu konsep konsep tetap-domain (Fregean) vs struktur multiply-instable (Hilbertian) mengenai matematik, juri masih belum selesai: perbahasan ini terus menghidupkan falsafah matematik kontemporari (lihat entri mengenai falsafah matematik).

Isu kedua yang memecahbelahkan Frege dan Hilbert, mengenai kewajaran kesimpulan dari konsistensi ke kewujudan, juga masih hidup. Walaupun semua orang (termasuk mungkin Hilbert) akan bersetuju dengan Frege bahawa di luar domain matematik kita tidak dapat dengan selamat menyimpulkan kewujudan dari konsistensi, persoalannya tetap sama ada kita dapat (atau mesti) melakukannya dalam matematik. Pandangan Fregean adalah bahawa keberadaan objek matematik hanya dapat dibuktikan (jika sama sekali) dengan menarik prinsip-prinsip yang lebih mendasar, sementara sudut pandang Hilbertian adalah bahawa dalam kes-kes matematik-murni yang sesuai, tidak ada lagi yang dapat ditunjukkan, untuk membuktikan kewujudan, daripada konsistensi teori (lihat entri mengenai falsafah matematik dan Platonisme dalam falsafah matematik).

Walaupun terdapat perbezaan ini, Frege dan Hilbert bersetuju bahawa ada soalan matematik penting yang harus diajukan mengenai konsistensi dan kebebasan, dan mereka bersetuju bahawa, misalnya, persoalan klasik mengenai kebebasan aksio paralel dari sisa geometri Euclidean adalah satu yang penting. Tetapi mereka tidak setuju, seperti disebutkan di atas, tentang apakah prosedur Hilbert cukup untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan ini. Kami berpaling di sebelah isu pemikiran Frege untuk menolak kaedah Hilbert untuk membuktikan konsistensi dan kebebasan.

4. Perselisihan Yang Lebih Dalam

Seperti yang dinyatakan di atas, Frege memandang tafsiran semula Hilbert sebagai peralihan perhatian dari pemikiran geometri (yang konsistensi dan kebebasannya dipermasalahkan) kepada pemikiran yang sama sekali berbeza, yang mengenai teori latar belakang B (yang konsistensi dan kebebasannya tidak dipersoalkan). Mengenai bukti konsistensi, pandangannya adalah bahawa Hilbert membuat kesimpulan tidak sah dari konsistensi koleksi (textit {AX} _ {R}) pemikiran tentang nombor nyata hingga konsistensi koleksi (textit {AX} _ {G}) pemikiran mengenai titik, garis, dan satah geometri. Frege mengakui bahawa set AX ayat Hilbert dapat difahami sebagai memberikan definisi tersirat mengenai hubungan abstrak (R _ { textit {AX}}), yang dipuaskan oleh n -tuple Hilbert yang dibina, dan bahawa konsistensi (iaitu,kepuasan) dari (textit {AX} _ {R}) memerlukan ketekalan hubungan yang ditentukan. Tetapi di sini juga, Frege berpendapat bahawa kesimpulan penting Hilbert, dari konsistensi (R _ { textit {AX}}) hingga konsistensi (textit {AX} _ {G}), bermasalah. Sebagai Frege sendiri meletakkannya, merujuk kepada (textit {AX} _ {R}) dan (textit {AX} _ {G}) sebagai "geometri khas", dan (R _ { textit { AX}}) sebagai "kes umum:"

[G] sekiranya aksioma dalam geometri khas adalah kes khas aksioma umum, seseorang dapat menyimpulkan dari kekurangan percanggahan dalam geometri khas hingga kurangnya percanggahan dalam kes umum, tetapi tidak kekurangan percanggahan dalam kes khas yang lain. (Surat 6 Januari 1900 di Frege 1980: 48)

Setelah dia menunjukkan apa yang dia anggap sebagai kesimpulan yang dapat dipersoalkan, Frege menganggap bahawa beban pertikaian sama dengan Hilbert: jika Hilbert berpendapat bahawa konsistensi (textit {AX} _ {G}) berpunca dari kedua-duanya konsistensi (textit {AX} _ {R}) atau dari kepuasan (R _ { textit {AX}}), maka terpulang kepada Hilbert untuk menunjukkannya. Frege tidak berusaha untuk menunjukkan bahawa kesimpulan penting itu tidak sah, tetapi sepertinya berpendapat bahawa pada dasarnya telah dibuat setelah dia menunjukkan perlunya pembenaran di sini.

Dari sudut pandangan Hilbert, tentu saja, tidak ada keperluan untuk pembenaran tersebut. Perbezaan yang ditegaskan oleh Frege berulang-ulang antara kumpulan ayat (AX) dan kumpulan pemikiran yang berbeza ((textit {AX} _ {G}), (textit {AX} _ {R}) dan lain-lain) sama sekali tidak penting dari sudut pandangan Hilbert. Oleh kerana konsistensi yang difahami oleh Hilbert, ia berlaku untuk "perancah" konsep dan hubungan yang ditentukan oleh AX apabila istilah geometri diambil sebagai pemegang tempat, konsistensi yang ada dalam fikirannya (untuk menyatakannya dari segi pemikiran) dari (textit {AX} _ {G}) jika ia memegang (textit {AX} _ {R}), kerana kedua-dua kumpulan pemikiran itu adalah contoh dari "perancah" yang sama. Perkara yang sama dapat dinyatakan dalam bentuk ayat:Frege menegaskan bahawa soalan konsistensi yang timbul untuk ayat-ayat di bawah tafsiran geometri mereka adalah masalah yang berbeza dari yang timbul untuk ayat-ayat di bawah tafsiran nombor sebenar mereka; untuk Hilbert di sisi lain, hanya ada satu pertanyaan, dan ia dijawab secara afirmatif jika ada tafsiran di mana kalimat-kalimat tersebut menyatakan kebenaran. Oleh itu, sementara Frege berpendapat bahawa Hilbert berhutang penjelasan mengenai kesimpulan dari konsistensi (textit {AX} _ {R}) hingga (textit {AX} _ {G}), untuk Hilbert di sana tidak ada kesimpulan. Oleh itu, sementara Frege berpendapat bahawa Hilbert berhutang penjelasan mengenai kesimpulan dari konsistensi (textit {AX} _ {R}) hingga (textit {AX} _ {G}), untuk Hilbert di sana tidak ada kesimpulan. Oleh itu, sementara Frege berpendapat bahawa Hilbert berhutang penjelasan mengenai kesimpulan dari konsistensi (textit {AX} _ {R}) hingga (textit {AX} _ {G}), untuk Hilbert di sana tidak ada kesimpulan.

Kurangnya kejelasan Frege mengenai alasannya menolak prosedur Hilbert meninggalkan jurang penafsiran, yang mana ada ruang untuk kontroversi. Kita harus ingat, sebagai permulaan, bahawa Hilbert jelas benar bahawa strategi penafsirannya semula cukup untuk hasil konsistensi dan kebebasan relatif yang dia tuntut. Sekiranya konsistensi dan kebebasan difahami, seperti di atas, dari segi tidak dapat dibuktikan, dan jika bukti, seperti yang diandaikan oleh Hilbert, tidak bergantung kepada makna istilah geometri, maka (textit {AX} _ {R}), (textit {AX} _ {G}), malah AX itu sendiri semuanya konsisten jika salah satunya. Penolakan Frege terhadap teknik Hilbert mesti melibatkan, maka, apakah ada kekeliruan tentang apa yang telah ditubuhkan oleh Hilbert, atau pemahaman yang berbeda tentang apa yang dipermasalahkan dalam tuntutan konsistensi dan kemerdekaan.

Salah satu cara untuk memahami sumbangan Frege dalam perbahasan Frege-Hilbert adalah dengan mengenali sumbangan yang diberikan oleh Frege dalam menjelaskan pendekatan Hilbert sendiri terhadap aksioma, tetapi berpendapat bahawa penilaian negatif Frege mengenai teknik Hilbert untuk membuktikan konsistensi dan kebebasan adalah salah. Pada akaun ini, walaupun terdapat perbezaan antara Frege dan Hilbert atas sifat aksioma, namun kepuasan (R _ { textit {AX}}) menunjukkan konsistensi pengumpulan aksioma yang dimaksudkan, sama ada seseorang itu memahami aksioma dalam cara Hilbert sebagai ayat (iaitu, sebagai koleksi AX) atau dengan cara Frege sebagai pemikiran (iaitu, sebagai koleksi (textit {AX} _ {G})). Begitu juga untuk kemerdekaan. Kesalahan Frege, pada pandangan ini, gagal menyedari bahawa jenis hasil yang tidak dapat dibuktikan (iaitu,konsistensi atau kebebasan) yang Hilbert mengambil tafsiran semula untuk menunjukkan untuk ayat-ayat geometri memerlukan hasil yang tidak dapat dibuktikan (konsistensi atau kebebasan) untuk pemikiran geometri (lihat Resnik 1974, Currie 1982, Dummett 1975).

Tafsiran alternatif berpendapat bahawa pemahaman Frege mengenai konsistensi dan kebebasan cukup berbeza dengan Hilbert yang tidak dimiliki oleh pertanyaan tersebut: bahawa kepuasan (R _ { textit {AX}}), dan konsistensi akibat dalam rasa Hilbert AX, tidak memerlukan konsistensi dalam pengertian Frege (textit {AX} _ {G}). Begitu juga untuk kemerdekaan. Menurut tafsiran ini, Frege benar untuk mendakwa bahawa demonstrasi Hilbert gagal menunjukkan konsistensi dan kebebasan dalam arti di mana dia, Frege, memahami istilah-istilah ini. [9]

Idea utama penafsiran alternatif adalah bahawa untuk Frege, persoalan apakah pemikiran yang diberikan secara logik oleh kumpulan pemikiran sensitif tidak hanya pada struktur formal kalimat yang digunakan untuk mengekspresikan pemikiran itu, tetapi juga pada isi kandungan istilah mudah (contohnya, geometri) yang terdapat dalam ayat-ayat tersebut. Sekiranya ini betul, maka kita akan melihat dengan segera bahawa konsistensi (textit {AX} _ {R}) tidak memerlukan konsistensi (textit {AX} _ {G}), kerana persoalan apakah (textit {AX} _ {G}) secara logiknya menimbulkan percanggahan yang mungkin berubah sebahagian pada bahagian-bahagian geometri pemikiran tertentu yang dimaksudkan, iaitu pada makna geometri biasa dari istilah geometri AX. Untuk memilih contoh ilustrasi, walaupun bukan salah satu yang diberikan sendiri oleh Frege, pertimbangkan sepasang ayat

  • Titik B terletak pada garis antara titik A dan C;
  • Titik B tidak terletak pada garis antara titik C dan A.

Sepasang ayat ini terbukti konsisten dalam pengertian Hilbert. Tetapi berdasarkan tafsiran Frege yang disarankan di sini, konsistensi ini (dalam pengertian Hilbert) tidak memastikan bahawa pemikiran yang dinyatakan oleh ayat-ayat ini di bawah tafsiran biasa mereka membentuk koleksi yang konsisten. Sekiranya, misalnya, Frege memahami hubungan 'antara' sebagai rentan terhadap analisis konseptual, sesuai dengan yang pemikiran pertama dapat dilihat secara logik memerlukan penolakan yang kedua, maka pasangan pemikiran itu tidak konsisten satu sama lain secara langsung rasa logik memerlukan percanggahan.

Idea bahawa Frege mengambil ikatan logik untuk peka terhadap analisis konseptual dengan cara yang hanya disarankan diambil, dalam hal ini, dapat dilihat dalam strategi yang digunakan Frege dalam usaha sepanjang hayatnya untuk menunjukkan tesis logiknya, tesis bahawa kebenaran aritmetik dapat dibuktikan dari logik tulen. Semasa menjalankan projek itu, Frege secara berkala memberikan demonstrasi bahawa pemikiran tertentu t mengikuti secara logik dari set pemikiran T, dengan cara yang melibatkan dua langkah. Pertama, subjek Frege τ dan / atau anggota T kepada analisis konseptual, membawa kerumitan konsep yang sebelumnya tidak dikenali dalam pemikiran tersebut. Kedua, ia membuktikan versi τ yang dianalisis oleh anggota T yang dianalisis dengan demikian. Sebagai contoh, Frege mengambil dirinya untuk menunjukkan bahawa pemikiran yang diluahkan oleh

(i) Jumlah dua gandaan nombor adalah gandaan nombor itu

mengikuti secara logik dari pemikiran yang diluahkan oleh

(ii) (forall m \; / forall n \; / forall p ((m + n) + p = m + (n + p)))

dan oleh

(ii) (forall n (n = n + 0).)

Demonstrasi diteruskan dengan memberikan analisis yang teliti mengenai pengertian “gandaan” dari segi penambahan, memberi kita sebagai pengganti (i) yang lebih kompleks (i ') yang kemudian dibuktikan dari (ii) dan (iii). [10] Begitu juga, bahagian penting dari projek logik Frege terdiri daripada analisis yang teliti terhadap pengertian aritmetik seperti sifar dan penerus, analisis yang menunjukkan kerumitan yang sebelumnya tidak diketahui, dan memudahkan bukti kebenaran aritmetik. (Untuk perbincangan mengenai projek logik, lihat entri mengenai Frege dan logicism dan neologicism.)

Seperti yang dinyatakan oleh Frege di halaman awal Foundations of Arithmetic, ketika kita berusaha membuktikan kebenaran aritmetik dari titik permulaan yang paling sederhana,

… kita segera menemui proposisi yang tidak dapat dibuktikan selagi kita tidak berjaya menganalisis konsep yang muncul di dalamnya menjadi konsep yang lebih sederhana atau menguranginya menjadi sesuatu yang lebih umum. (Frege 1884: §4)

Ringkasnya: komponen pemikiran kadang-kadang dapat dianalisis dari segi konstituen yang lebih sederhana atau lebih umum, dengan cara yang dapat menjelaskan hubungan ikatan logik yang sebelumnya tersembunyi. Oleh itu, ketika kita ingin mengetahui sama ada pemikiran yang diberikan secara logik oleh sekumpulan pemikiran, kita perlu memperhatikan, dari sudut pandangan Frege, bukan hanya pada struktur keseluruhan yang ditunjukkan oleh kalimat-kalimat yang menyatakan pemikiran tersebut, tetapi juga isi sebutan individu yang terdapat dalam ayat-ayat tersebut.

Hubungan antara aspek karya Frege ini dan pandangannya mengenai kebebasan, mengenai tafsiran yang dimaksudkan, adalah sebagai berikut. Oleh kerana kita kadang-kadang dapat mengetahui bahawa pemikiran τ secara logik dipengaruhi oleh satu set pemikiran hanya setelah analisis yang teliti terhadap beberapa komponen yang nampaknya sederhana dari pemikiran itu, kita juga kadang-kadang dapat mengetahui bahawa satu set pemikiran adalah tidak konsisten, iaitu bahawa secara logiknya menimbulkan pertentangan, berdasarkan analisis konseptual tersebut. Oleh itu, konsistensi kumpulan pemikiran yang dinyatakan oleh sekumpulan Σ ayat adalah sesuatu yang tidak hanya berubah pada keseluruhan struktur ayat di Σ, tetapi pada makna istilah yang terdapat dalam ayat-ayat Σ.

Untuk menjelaskan perkara terakhir ini, mari kita lihat contoh bukan matematik, yang tidak ditangani oleh Hilbert dan Frege secara eksplisit. Pertimbangkan sekumpulan kalimat {Jones mempunyai mimpi buruk, Jones tidak mempunyai mimpi}, atau setara dengan terjemahan pertama, ({Nj, {{ sim} Dj} }). Set ini jelas konsisten dalam pengertian yang digunakan oleh Hilbert dalam FG; adalah perkara yang mudah untuk memberikan tafsiran mengenai "Jones", "x mengalami mimpi buruk" dan "x mempunyai mimpi" (atau "j", "N", dan "D") sehingga kalimat-kalimat tersebut, sehingga dapat ditafsirkan, menyatakan kebenaran. (Pertimbangkan, sebagai contoh, penafsiran di mana "j" diberikan nombor 7, "N" set nombor perdana, dan "D" set nombor lebih besar dari 12.) Tetapi dari sudut pandangan Fregean, fikiran yang diutarakan boleh dikatakan tidak konsisten, kerana sebahagian daripada mimpi buruk adalah mimpi. Ketidakkonsistenan dari sudut pandang Frege dapat ditunjukkan dengan memberikan analisis pemikiran yang diungkapkan, dan mencatat bahwa hasil analisis ini menghasilkan set {Jones mempunyai mimpi yang mengganggu, Jones tidak mempunyai mimpi}.

Atas sebab yang sama, dua kumpulan pemikiran yang serupa secara struktural dalam arti bahawa mereka dapat dinyatakan, di bawah penafsiran yang berbeza, dengan set ayat yang sama, dapat berbeza sehubungan dengan konsistensi Frege. Seperti yang diterapkan pada konteks geometri, gagasan utama, atas alasan keberatan Frege terhadap Hilbert, adalah bahawa jenis penafsiran semula di mana Hilbert terlibat dapat mengambil satu dari sekumpulan pemikiran yang konsisten (misalnya, (textit {AX } _ {R})) ke yang tidak konsisten (mis., (Textit {AX} _ {G})) kerana peralihan subjek, oleh itu membatalkan kesimpulan dari konsistensi yang pertama ke ketekalan yang kedua.

Frege tidak mengaku dapat memberikan analisis geometri khusus yang bertentangan dengan tuntutan konsistensi tertentu dari Hilbert, dan tidak ada bukti bahawa dia menganggap salah satu tuntutan tersebut sebagai palsu. Bahwa dia mungkin memiliki beberapa analisis seperti itu yang diisyaratkan dalam sebuah surat kepada Hilbert di mana dia mendakwa bahwa dalam penyelidikannya yang belum selesai mengenai asas-asas geometri, dia dapat "membuat beberapa istilah primitif", yang mungkin bermaksud bahawa dia mengambil beberapa istilah yang dianggap primitif oleh Hilbert agar mudah dianalisis melalui yang lain (lihat surat kepada Hilbert pada 27 Disember 1899 dalam Frege 1980: 34). Sebarang analisis sedemikian akan memperlihatkan hubungan ketergantungan logik (dari sudut pandangan Frege) di mana Hilbert akan menemukan kemerdekaan.

Kerana tidak ada karya Frege mengenai topik ini yang bertahan, kami tidak mempunyai perincian mengenai analisis spesifik yang mungkin diberikannya. Titik penting dalam kritikan Frege terhadap Hilbert, bagaimanapun, mengenai akaun ini, bukanlah perselisihan mengenai analisis tertentu atau kegagalan akibat tuntutan konsistensi dan kemerdekaan tertentu, tetapi sebaliknya mengenai metodologi umum bukti konsistensi dan kemerdekaan. Kerana untuk Hilbert, konsistensi sekumpulan ayat berubah sepenuhnya pada struktur keseluruhan yang mereka pamerkan, sementara untuk Frege, konsistensi kumpulan pemikiran yang diungkapkan berpaling juga pada isi istilah tidak logik yang muncul dalam kalimat, pada akun ini, Konsistensi Hilbert tidak bermaksud konsistensi Frege.

5. Isu Berpanjangan

Kami telah meneliti dua cara untuk memahami keberatan Frege terhadap teknik Hilbert untuk membuktikan konsistensi dan kebebasan. Yang pertama menganggap Frege secara asasnya keliru, dengan kesalahan terletak pada kegagalannya untuk menghargai hubungan antara kepuasan satu set ayat yang dapat ditafsirkan semula dan tuntutan kebebasan / konsistensi yang berkaitan. Yang kedua mengambil Frege untuk menjadi asasnya benar dalam arti bahawa (i) dia memahami konsistensi dan kebebasan pemikiran untuk beralih bukan hanya pada sintaks permukaan kalimat yang mengungkapkannya tetapi juga pada isi istilah mudah yang digunakan dalam ungkapan mereka, dan (ii) konsistensi dan kebebasan, yang difahami, tidak dapat ditunjukkan dengan cara Hilbert.

Kedua-dua pilihan penafsiran ini sama sekali tidak menimbulkan masalah. Kesukaran yang penting dengan yang pertama adalah pengaitnya kepada Frege dengan tahap kekeliruan yang teruk mengenai kekuatan penafsiran semula Hilbert, yang dapat dibahaskan dalam beberapa ketegangan dengan fakta bahawa, secara umum, akaun Frege mengenai prosedur metodologi Hilbert di FG sangat ketara lebih jelas daripada Hilbert sendiri. Punca kesukaran yang lebih jauh adalah bahawa pemahaman tentang kemerdekaan yang diberikan pada akaun ini kepada Frege berada dalam ketegangan dengan pemahaman tentang ikatan logik yang berpusat pada karya logikanya, suatu pemahaman di mana kandungan istilah matematik dapat menjadi penting bagi persoalan logik penekanan. Tafsiran kedua, walaupun lebih bersifat kebajikan kepada Fregeboleh dikatakan menderita kerana kurangnya penyataan eksplisit oleh Frege mengenai kaitan analisis konseptual dengan persoalan konsistensi dan kebebasan.

Sumber terakhir dari kesukaran yang berpotensi untuk sebarang pandangan mengenai pandangan Frege mengenai kebebasan dan konsistensi adalah Bahagian (iii) esei 1906 “Foundations of Geometry” yang sangat menarik. Kepentingan teks itu, dan kesulitan penafsiran yang ditimbulkannya, dapat digambarkan seperti berikut.

Karangan 1906 "Foundations of Geometry" adalah pernyataan semula mengenai penolakan Frege sebelumnya (dibincangkan di atas) terhadap perlakuan Hilbert mengenai konsistensi dan kebebasan. Setelah meneliti bantahan tersebut, Frege beralih ke Bahagian iii kepada masalah memberi kaedah positif untuk membuktikan kemerdekaan. Bagaimana, dia bertanya, mungkin seseorang dapat membuktikan pemikiran yang diberikan bebas daripada kumpulan pemikiran? Sebagai jawapannya, Frege memberikan sketsa kaedah yang berpotensi, dan mengakhiri perbincangan dengan memperhatikan kaedah yang dilukis masih belum lengkap, dan menghadapi beberapa kesulitan. Walaupun sudah tidak lengkap, Frege tidak pernah (sejauh yang kami tahu) kembali ke proposal itu, dan pada akhirnya akan menganggapnya tidak memuaskan. Bahwa dia menganggapnya tidak memuaskan secara prinsip ditunjukkan oleh tuntutannya empat tahun kemudian, dalam catatan kepada Jourdain,bahawa ketidaksesuaian aksioma paralel tidak dapat dibuktikan (lihat Frege 1980: 183n). Artinya, dia tampaknya pada tahun 1910 berpendapat bahawa tidak ada kaedah sistematik untuk membuktikan kemerdekaan.[11]

Cadangan 1906 itu sendiri dapat digariskan seperti berikut. Anggaplah, kata Frege, bahawa kita mempunyai kumpulan kalimat C yang masing-masing menyatakan pemikiran yang pasti, dan ayat S yang juga menyatakan pemikiran yang pasti. Inti kaedah yang dicadangkan untuk membuktikan kebebasan pemikiran S dari pemikiran C adalah bahawa kita menggunakan pemetaan μ dari istilah ke istilah (dan dengan itu juga dari ayat ke ayat) yang mengekalkan jenis sintaksis (memetakan nama ke nama, predikat satu tempat ke predikat satu tempat, dll.) dan memetakan istilah 'logik' kepada diri mereka sendiri. Kemudian: pemikiran-S bebas dari pemikiran-C jika μ memetakan S ke ayat yang salah sambil memetakan semua anggota C ke ayat yang benar. (Untuk perbincangan dan pengembangan proposal Frege, lihat Antonelli & Mei 2000, Eder 2016. Untuk perbincangan mengenai alasan Frege menolak cadangan tersebut,lihat Ricketts 1997, Eder 2013, Blanchette 2014.)

Perkara menarik pertama mengenai cadangan itu adalah persamaannya yang sangat ketara dengan kaedah Hilbert. Dengan mengandaikan bahasa Frege cukup kaya untuk merangkumi istilah untuk semua objek, fungsi dan set yang mungkin digunakan oleh Hilbert dalam penafsiran semula, akan ada pemetaan jenis yang dijelaskan oleh Frege jika dan hanya jika ada penafsiran semula jenis yang digunakan oleh Hilbert untuk menunjukkan kemerdekaan (versi beliau): di mana penafsiran semula Hilbert memberikan istilah t dengan kandungan baru, kaedah Frege hanya akan memetakan t ke istilah baru dengan kandungan itu. Dan ini akan bererti bahawa, terlepas dari semua keberatan yang dikemukakan oleh Frege, metode Hilbert pada akhirnya akan cukup untuk menunjukkan apa yang dianggap oleh Frege sebagai kebebasan berfikir. Sekiranya ini betul,maka kita mempunyai alasan untuk meragukan sebarang tafsiran Frege yang mana penolakannya terhadap kaedah Hilbert dibenarkan.

Sebab utama seseorang mungkin meragui kesetaraan kuat yang baru saja disarankan antara kaedah Hilbert dan cadangan Frege adalah bahawa (i) tidak jelas hanya jenis bahasa yang ada dalam fikiran, dan (ii) tidak jelas apakah kelas istilah Frege akan dikira sebagai "logik", iaitu, kelas yang ahlinya harus dipetakan kepada diri mereka sendiri, sama dengan kelas istilah yang akan dikira oleh Hilbert sebagai mempunyai tafsiran tetap. Sekiranya kelas istilah tetap Frege lebih luas daripada bahasa Hilbert, dan / atau bahasa Frege tidak mempunyai sebilangan terminologi Hilbert, maka demonstrasi kemerdekaan dalam pengertian Hilbert tidak akan menyiratkan adanya pemetaan yang menunjukkan kemerdekaan dalam pengertian Frege. Salah satu cara untuk memikirkan persoalan penting adalah sebagai soalan sama ada istilah seperti "nombor" atau "antara",istilah yang diperlakukan oleh Frege sebagai rentan terhadap analisis konseptual, akan dibenarkan dalam bahasa yang berkaitan dengan Frege (sebagai lawan, katakanlah, bahawa bahasa tersebut hanya mengandungi istilah "dianalisis sepenuhnya"), dan sama ada istilah tersebut akan termasuk di antara mereka bahawa μ memetakan istilah baru yang sewenang-wenangnya. Frege sendiri menyatakan pentingnya masalah demarkasi terminologi kedua yang baru saja dibangkitkan, iaitu masalah menentukan istilah mana yang dipetakan untuk diri mereka sendiri, dan menyatakan bahawa masalah ini adalah masalah yang perlu ditangani untuk mengubah sketsanya menjadi strategi yang dapat dilaksanakan. Kerana dia tidak pernah menjawab pertanyaan tentang terminologi tetap atau jenis bahasa yang dipermasalahkan, cadangan Frege tidak cukup menentukan untuk perbandingan yang jelas dengan Hilbert. Kami tinggal, maka,dengan isu penafsiran untuk memahami cadangan kaedah Frege dan penolakan selanjutnya yang jelas, sambil menyedari sifat cadangan itu tidak lengkap. (Untuk perbincangan lebih lanjut mengenai teks 1906, lihat: Ricketts 1997, Tappenden 2000, Blanchette 2014.)

6. Kesimpulannya

Kerana tuntutan konsistensi dan kemerdekaan pada asasnya adalah tuntutan tidak berkaitan atau tidak dapat dibuktikan, itu tidak jelas, walaupun kita memiliki teknik yang kuat untuk membuktikan hasil matematik, bagaimana seseorang dapat membuktikan konsistensi dan kebebasan. Apa yang ditawarkan oleh Hilbert kepada kami, pada tahun 1899, adalah teknik yang sistematik dan kuat yang dapat digunakan di semua disiplin formal untuk melakukan ini: untuk membuktikan ketekalan dan kebebasan. Dengan melakukannya, dia meletakkan dasar, bersama dengan berbagai sezamannya, untuk munculnya teknik teori-model kontemporari. (Untuk perbincangan lebih lanjut, lihat Mancosu, Zach, & Badesa 2009; juga lihat entri mengenai geometri abad kesembilan belas.)

Apa yang kami dapati melalui penolakan Frege dan Hilbert mempertahankan teknik itu adalah penjelasan mengenai andaian-andaian yang penting untuk kejayaannya. Seperti yang telah kita lihat, ciri bukti yang sangat penting yang harus diasumsikan, agar penafsiran semula gaya Hilbert dapat menunjukkan hasil yang tidak dapat dibuktikan, adalah bahawa kebolehpercayaan tidak sensitif terhadap kandungan istilah yang diambil oleh Hilbert untuk ditafsirkan semula-dalam kes ini, istilah geometri. Pandangan alternatif mengenai konsistensi dan kemandirian, di mana keterlibatan dan keterbuktian peka terhadap isi istilah geometri, adalah pandangan yang berkenaan dengan penafsiran semula gaya Hilbert yang tidak dapat menunjukkan konsistensi dan kebebasan yang difahami. Seperti yang digariskan di atas,pembacaan Frege di mana dia berpandangan mengenai konsistensi dan kebebasan memberikan alasan untuk keberatannya terhadap Hilbert, dan penjelasan alternatif mengenai apa yang dipertaruhkan dalam tuntutan konsistensi dan kebebasan geometri.

Walaupun kegagalan komunikasi yang jelas antara Hilbert dan Frege, perbahasan mereka mengungkap sejumlah isu penting, yang tidak kurang pentingnya adalah (i) peranan ayat yang difahami secara skematik dalam memberikan definisi tersirat, yang Frege jelaskan lebih jelas bagi pihak Hilbert daripada yang pernah dilakukan oleh Hilbert, dan (ii) sejauh mana hubungan logik dianggap sebagai "formal". Pada isu terakhir ini, perbezaan antara Frege dan Hilbert adalah instruktif. Jauh sebelum perdebatan dengan Hilbert, Frege telah menyatakan bahawa ketegasan logik memerlukan penggunaan sistem pemotongan formal, "formal" dalam arti semua pemikiran diungkapkan melalui kalimat yang ditentukan dengan tepat, dan bahawa semua aturan inferensi dan aksioma disajikan secara sintaksis (lihat, misalnya, Frege 1879). Yang paling penting untuk tujuan kita adalah hakikat bahawa sistem formal Frege sepenuhnya moden dalam pengertian bahawa kebolehteraturan dalam sistem ayat dari sekumpulan ayat hanya berubah pada bentuk sintaksis ayat-ayat tersebut. Analisis konseptual yang terkenal di mana sebilangan besar giliran kerja Frege diberikan sebelum pembuktian; Berdasarkan analisis konseptual, seseorang sampai pada ayat yang sesuai untuk dirawat dalam sistem formal, tetapi analisis itu sendiri tidak berperanan dalam bukti yang tepat. Oleh itu, ketika datang ke karya positif menunjukkan bahawa ayat yang diberikan berasal dari sekumpulan ayat, Frege sama seperti Hilbert: makna tidak penting. Memang, pada waktu korespondensi mereka, karya Frege jauh lebih "formal" daripada Hilbert,kerana Hilbert pada masa ini tidak menggunakan sistem pemotongan yang ditentukan secara sintaksis yang eksplisit.

Walaupun begitu, konsepsi logik Frege mempunyai hasil bahawa hanya ada hubungan satu arah antara implikasi logik kerana ini berlaku antara pemikiran dan terbitan formal seperti yang berlaku di antara ayat. Dengan adanya sistem formal yang baik, kalimat σ dapat diturunkan dari satu set Σ hanya jika pemikiran yang dinyatakan oleh σ pada hakikatnya secara logik disebabkan oleh pemikiran yang diungkapkan oleh anggota Σ. (Ini hanya memerlukan aksioma dan peraturan inferensi seseorang dipilih dengan baik.) Tetapi sebaliknya adalah salah: σ dinyatakan oleh ahli Σ. Kerana mungkin, seperti dalam kasus-kasus yang diperlakukan secara eksplisit oleh analisis Frege sendiri, analisis lebih lanjut mengenai pemikiran dan komponennya akan menghasilkan struktur yang lebih kompleks. Apabila ini berlaku,analisis mungkin mengembalikan ayat yang lebih kompleks (set) σ 'dan Σ' sehingga σ ', bagaimanapun, dapat dikurangkan dari Σ'. Menurut lebih banyak amal dari dua pilihan tafsiran yang digariskan di atas, ini adalah penjelasan mengenai penolakan Frege terhadap perlakuan Hilbert terhadap konsistensi dan kebebasan dalam geometri. Seperti yang kita katakan, kerana kerumitan logik yang cukup besar tidak dapat ditemukan dalam pemikiran yang diungkapkan oleh kalimat-kalimat yang relatif sederhana, non-derivabilitas bukanlah jaminan kemerdekaan, dalam skema perkara Fregean. Terdapat jurang yang ketara, seperti yang dinyatakan, antara logik dan formal.ini adalah penjelasan mengenai penolakan Frege terhadap perlakuan Hilbert mengenai konsistensi dan kebebasan dalam geometri. Seperti yang kita katakan, kerana kerumitan logik yang cukup besar tidak dapat ditemukan dalam pemikiran yang diungkapkan oleh kalimat-kalimat yang relatif sederhana, non-derivabilitas bukanlah jaminan kemerdekaan, dalam skema perkara Fregean. Terdapat jurang yang ketara, seperti yang dinyatakan, antara logik dan formal.ini adalah penjelasan mengenai penolakan Frege terhadap perlakuan Hilbert mengenai konsistensi dan kebebasan dalam geometri. Seperti yang kita katakan, kerana kerumitan logik yang cukup besar tidak dapat ditemukan dalam pemikiran yang diungkapkan oleh kalimat-kalimat yang relatif sederhana, non-derivabilitas bukanlah jaminan kemerdekaan, dalam skema perkara Fregean. Terdapat jurang yang ketara, seperti yang dinyatakan, antara logik dan formal.

Bagi Hilbert di sisi lain, paling tidak dalam konteks geometri aksiomatik, hubungan logik hanyalah hubungan yang dapat digambarkan secara formal, kerana semuanya berkaitan dengan struktur yang ditunjukkan oleh kalimat-kalimat tersebut, atau setara dengan "perancah" konsep yang ditentukan oleh ayat-ayat ini. Kerana konsistensi dalam pengertian Hilbert hanya bergantung pada struktur abstrak ini, dan bukan pada isi istilah yang menunjukkan struktur, strategi penafsiran semula berkesan.

Hilbert jelas merupakan pemenang dalam perbahasan ini, dalam arti bahawa kira-kira konsepnya tentang konsistensi adalah apa yang seseorang maksudkan hari ini dengan "konsistensi" dalam konteks teori formal, dan saudara dekat metodologinya untuk bukti konsistensi kini menjadi standard. Kita sekarang secara rutin mengambil konsistensi dan kemerdekaan, seperti yang dilakukan oleh Hilbert, untuk menahan diri dari makna dari istilah yang disebut "tidak logik", dan karenanya dapat dibuktikan secara langsung dengan cara Hilbert. Ini bukan untuk mengatakan bahawa keberatan Frege telah dipenuhi, melainkan mereka pada hakikatnya telah dihilangkan melalui pengukuhan konsep formal tentang konsistensi, dan kurangnya keprihatinan, setidaknya di bawah judul itu, dengan apa yang disebut Frege sebagai "konsistensi".

Bibliografi

Sumber Utama

  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Louis Nebert. Diterjemahkan sebagai Skrip Konsep, Bahasa Formal Pemikiran Murni yang Dimodelkan berdasarkan Aritmetik, oleh Stefan Bauer-Mengelberg dalam From Frege to Gödel, Jean van Heijenoort (ed.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, hlm. 5– 82.
  • –––, 1881, “Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift”, naskah yang tidak diterbitkan dalam Frege 1969: 9–52 [1979: 9–46].
  • –––, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. Diterjemahkan sebagai The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry to the Concept of Number, oleh JL Austin, Oxford: Oxford University Press, 1950. Diterbitkan semula Evanston, IL: Northwestern University Press, 1978.
  • –––, 1903, “Über die Grundlagen der Geometrie” (Pada Asas Geometri) - Siri Pertama. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,

    • 12: 319–324, [Frege 1903 (I) tersedia dalam talian]
    • 12: 368-375, [Frege 1903 (II) tersedia dalam talian]

    Terjemahan Inggeris dalam Frege 1984: 273-284.

  • –––, 1906, “Über die Grundlagen der Geometrie” (Pada Asas Geometri) - Siri Kedua, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,

    • 15: 293–309, [Frege 1906 (I) tersedia dalam talian]
    • 15: 377–403, [Frege 1906 (II) tersedia dalam talian]
    • 15: 423–30, [Frege 1906 (III) tersedia dalam talian]

    Terjemahan Inggeris dalam Frege 1984: 293–340.

  • –––, 1969 [1979], Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, dan Friedrich Kaulbach (eds.), Hamburg: Felix Meiner Verlag, jilid 1. Terjemahan bahasa Inggeris dari beberapa pilihan sebagai Tulisan Posthumous, diterjemahkan oleh Peter Long dan Roger White, dengan bantuan Raymond Hargreaves, Chicago: University of Chicago Press.
  • –––, 1971, Mengenai Asas Geometri dan Teori Aritmetik Formal, Eike-Henner W. Kluge (trans.), New Haven, CT: Yale University Press.
  • –––, 1980, Surat-menyurat Falsafah dan Matematik, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness, dan Hans Kaal (ed.) Oxford: Penerbit Blackwell.
  • –––, 1984, Makalah Terkumpul Matematik, Logik dan Falsafah, Brian F. McGuinness (ed.), Oxford: Penerbit Blackwell.
  • Hallett, Michael dan Ulrich Majer (ed.), 2004, David Hilbert's Lectures on the Foundations of Geometry 1891–1902, Berlin: Springer.
  • Hilbert, David, 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner. Terjemahan Inggeris edisi ke- 10 tersedia sebagai Foundations of Geometry, Leo Unger (trans.), La Salle, IL: Open Court Press, 1971.
  • Huntington, Edward V., 1902, “Satu Set Postulat Lengkap untuk Teori Magnitud Berterusan Mutlak”, Transaksi Persatuan Matematik Amerika, 3 (2): 264–279.
  • Padoa, Alessandro, 1900, “Essai d'une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d'une logique pengenalan à une theorie déductive quelconque” dalam Bibliothèque du Congrès International de Philosophie, Paris, 1900, Paris: Armand Colin, 1901, Volume 3, hlm. 309–365; terjemahan separa Inggeris sebagai “Pengenalan logik terhadap teori deduktif” dalam From Frege to Gödel, Jean van Heijenoort (ed.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, hlm. 118–123.
  • Peano, Giuseppe, 1889, Principii di Geometria logicamente esposti, Torino: Fratelli Bocca.
  • Pieri, Mario, 1898, “I Principii della geometria di posizione composti in sistema logico deduttivo”, Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (Siri 2), 48: 1–62.
  • Veblen, Oswald, 1904, “Sistem Axioms untuk Geometri”, Transaksi Persatuan Matematik Amerika, 5 (3): 343–384. doi: 10.2307 / 1986462

Sumber Sekunder

  • Antonelli, Aldo dan Robert May, 2000, "Frege's New Science", Notre Dame Journal of Formal Logic, 41 (3): 242-270. doi: 10.1305 / ndjfl / 1038336844
  • Blanchette, Patricia A., 1996, “Frege and Hilbert on Consistency”, Journal of Philosophy, 93 (7): 317–336. doi: 10.2307 / 2941124
  • –––, 2007, “Frege on Consistency and Conceptual Analysis”, Philosophia Mathematica, 15 (3): 321–346. doi: 10.1093 / philmat / nkm028
  • –––, 2012, Frege's Conception of Logic, Oxford: Oxford University Press. Lihat esp. Ch. 5. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199891610.001.0001
  • –––, 2014, “Frege on Formality and 1906 Independence Test”, dalam Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse, Godehard Link (ed.), Boston / Berlin: De Gruyter, hlm. 97– 118.
  • –––, 2017, “Model dalam Geometri dan Logik: 1870–1920”, dalam Logik, Metodologi dan Falsafah Sains: Prosiding Kongres Antarabangsa ke-15, Leitgeb, Niiniluoto, Seppälä. dan Sober (eds.), London: College Publications, hlm. 41–61.
  • Bernays, Paul, 1922, "Die Bedeutung Hilberts fur die Philosophie der Mathematik", Die Naturwissenschaften, 10 (4): 93–99. Terjemahan Inggeris oleh Paolo Mancosu dalam From Brouwer ke Hilbert; Perbahasan Asas Matematik pada tahun 1920-an, Paolo Mancosu (ed.), New York: Oxford University Press, hlm. 189–197. doi: 10.1007 / BF01591620 (Jerman)
  • Currie, Gregory, 1982, Frege: Pengantar Falsafahnya, Sussex: Harvester.
  • Dedekind, Richard, 1888 Adakah Sind und Sollen mati Zahlen?. Terjemahan bahasa Inggeris sebagai "The Nature and Meaning of Numbers" dalam Dedekind, Essays on The Theory of Numbers, diedit dan diterjemahkan oleh Wooster Woodruff Beman, Chicago: Open Court, 1901.
  • Demopoulos, William, 1994, “Frege, Hilbert and the Conceptual Structure of Model Theory”, Sejarah dan Falsafah Logik, 15 (2): 211–225. doi: 10.1080 / 01445349408837233
  • Dummett, Michael, 1975, “Frege on the Consistency of Mathematical Theories”, dalam Studien zu Frege, Matthias Schirn (ed.), Stuttgart / Bad Cannstatt: Fromann-Holzboog, hlm. 229–242.
  • –––, 1991, Frege: Falsafah Matematik, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Eder, Günther, 2013 “Catatan mengenai Bukti Kemerdekaan dan Referensi Tidak Langsung”, Sejarah dan Falsafah Logik, 34 (1): 68–78. doi: 10.1080 / 01445340.2012.702568
  • –––, 2016 “Frege's On the Foundations of Geometry’ and Axiomatic Metatheory”, Pikiran, 125 (497): 5–40. doi: 10.1080 / 01445340.2012.702568
  • Eder, Günther dan Georg Schiemer, 2018, “Hilbert, Duality, and the Geometrical Roots of Model Theory”, The Review of Symbolic Logic, 11 (1): 48–86. doi: 10.1017 / S1755020317000260
  • Hallett, Michael, 2010, “Frege and Hilbert”, dalam The Cambridge Companion to Frege, Tom Ricketts dan Michael Potter (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 413–464. doi: 10.1017 / CCOL9780521624282.011
  • –––, 2012, “More on Frege and Hilbert”, Analisis dan Tafsiran dalam Sains Tepat: Esei untuk Penghormatan William Demopoulos, Melanie Frappier, Derek Brown, dan Robert DiSalle (eds.), Dordrecht, New York: Springer, ms 135–162. doi: 10.1007 / 978-94-007-2582-9_8
  • Hodges, Wilfrid, 2004, "Kepentingan dan Pengabaian Analisis Konseptual: Hilbert-Ackermann iii.3", dalam First-Order Logic Revisited, Vincent F. Hendricks et al. (eds.), Berlin: Logos Verlag, hlm. 129–153.
  • Korselt, Alwin, 1903, “Über die Grundlagen der Geometrie”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 12: 402–407. Terjemahan Bahasa Inggeris oleh EH. W. Kluge di Frege 1971. [Korselt 1903 tersedia dalam talian (Jerman)]
  • Mancosu, Paolo, Richard Zach, dan Calixto Badesa, 2009, "Perkembangan Logika Matematik dari Russell hingga Tarski, 1900-1935" dalam Pengembangan Logik Moden, Leila Haaparanta (ed.), New York: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780195137316.003.0029
  • Nagel, Ernest, 1939, “Pembentukan Konsep Moden Logik Formal dalam Pengembangan Geometri”, Osiris, 7: 142–224. doi: 10.1086 / 368504
  • Resnik, Michael David, 1974, "The Frege-Hilbert Controversy", Falsafah dan Penyelidikan Fenomenologi, 34 (3): 386-403. doi: 10.2307 / 2107085
  • Ricketts, Thomas, 1997, “Frege's 1906 Foray Into Metalogic”, Filosofis Topik, 25 (2): 169–188. doi: 10.5840 / philtopics199725214
  • Shapiro, Stewart, 2005, “Kategori, Struktur, dan Kontroversi Frege-Hilbert: Status Meta-matematik”, Philosophia Mathematica, 13 (1): 61–77. doi: 10.1093 / philmat / nki007
  • Tappenden, Jamie, 2000, "Frege on Axioms, Indirect Proofs, and Independence Argumen in Geometry: Adakah Frege Menolak Kemerdekaan?" Notre Dame Jurnal Logik Formal, 41 (3): 271–315. doi: 10.1305 / ndjfl / 1038336845
  • Wehmeier, Kai F., 1997, “Aspekte der Frege-Hilbert-Korrespondenz”, Sejarah dan Falsafah Logik, 18 (4): 201–209. doi: 10.1080 / 01445349708837289

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

Disyorkan: