Kalkulus Epsilon

Isi kandungan:

Kalkulus Epsilon
Kalkulus Epsilon

Video: Kalkulus Epsilon

Video: Kalkulus Epsilon
Video: Определение предела эпсилон-дельта 1 | Пределы | Дифференциальное исчисление | Ханская академия 2024, Mac
Anonim

Navigasi Masuk

  • Kandungan Penyertaan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratonton PDF Rakan
  • Maklumat Pengarang dan Petikan
  • Kembali ke atas

Kalkulus Epsilon

Pertama kali diterbitkan pada Jumaat 3 Mei 2002; semakan substantif 6 Mei 2019

Kalkulus epsilon adalah formalisme logik yang dikembangkan oleh David Hilbert dalam perkhidmatan programnya dalam asas matematik. Pengendali epsilon adalah pengendali pembentuk istilah yang menggantikan pengukur dalam logik predikat biasa. Secara khusus, dalam kalkulus, istilah (varepsilon x A) menunjukkan beberapa (x) memuaskan (A (x)), jika ada. Dalam Program Hilbert, istilah epsilon berperanan sebagai elemen ideal; tujuan bukti konsistensi Finberistik Hilbert adalah untuk memberikan prosedur yang menghilangkan syarat tersebut dari bukti formal. Prosedur yang akan dijalankan ini berdasarkan kaedah penggantian epsilon Hilbert. Walau bagaimanapun, kalkulus epsilon mempunyai aplikasi dalam konteks lain juga. Aplikasi umum pertama kalkulus epsilon adalah dalam teorema epsilon Hilbert,yang seterusnya memberikan asas untuk bukti pertama teorema Herbrand yang betul. Baru-baru ini, varian pengendali epsilon telah diterapkan dalam falsafah linguistik dan linguistik untuk menangani kata ganti anaforik.

  • 1. Gambaran keseluruhan
  • 2. Kalkulus Epsilon
  • 3. Teorem Epsilon
  • 4. Teorema Herbrand
  • 5. Kaedah dan Aritmetik Penggantian Epsilon
  • 6. Perkembangan Yang Lebih Baru
  • 7. Pengendali Epsilon dalam Linguistik, Falsafah, dan Logik Tidak Klasik
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Internet Lain
  • Penyertaan Berkaitan

1. Gambaran keseluruhan

Menjelang pergantian abad David Hilbert dan Henri Poincaré diiktiraf sebagai dua ahli matematik terpenting generasi mereka. Rangkaian minat matematik Hilbert adalah luas, dan termasuk minat terhadap asas matematik: Yayasan Geometrinya diterbitkan pada tahun 1899, dan senarai pertanyaan yang diajukan kepada Kongres Antarabangsa Matematik pada tahun 1900, tiga membahas masalah dasar yang jelas.

Berikutan penerbitan paradoks Russell, Hilbert menyampaikan pidato kepada Kongres Matematik Antarabangsa Ketiga pada tahun 1904, di mana, untuk pertama kalinya, dia membuat sketsa rencananya untuk menyediakan asas yang kuat untuk matematik melalui bukti konsistensi sintaksis. Tetapi dia tidak kembali ke subjek dengan sungguh-sungguh hingga tahun 1917, ketika dia memulai serangkaian kuliah mengenai asas matematik dengan bantuan Paul Bernays. Walaupun Hilbert kagum dengan karya Russell dan Whitehead dalam Principia Mathematica mereka, dia menjadi yakin bahawa percubaan ahli logik untuk mengurangkan matematik menjadi logik tidak akan berjaya, terutamanya disebabkan oleh watak tidak logik aksioma pengurangan mereka. Pada masa yang sama, ia menilai penolakan intuisi terhadap hukum tengah yang dikecualikan sebagai tidak dapat diterima oleh matematik. Oleh itu,untuk mengatasi kebimbangan yang ditimbulkan oleh penemuan paradoks logik dan teori-set, pendekatan baru diperlukan untuk membenarkan kaedah matematik moden.

Menjelang musim panas tahun 1920, Hilbert telah merumuskan pendekatan seperti itu. Pertama, kaedah matematik moden diwakili dalam sistem deduktif formal. Kedua, sistem formal ini harus dibuktikan konsisten secara sintaksis, bukan dengan memperlihatkan model atau mengurangi konsistensinya ke sistem lain, tetapi oleh argumen metamatis langsung dari watak eksplisit, "kewangan". Pendekatan ini dikenali sebagai program Hilbert. Kalkulus epsilon adalah untuk menyediakan komponen pertama dari program ini, sementara kaedah penggantian epsilon adalah untuk menyediakan yang kedua.

Kalkulus epsilon, dalam bentuk yang paling asas, merupakan perpanjangan logika predikat orde pertama dengan "operasi epsilon" yang memilih, untuk setiap formula eksistensial yang benar, menjadi saksi kepada pengukur eksistensial. Sambungan itu konservatif dalam arti bahawa ia tidak menambah kesan baru pertama. Tetapi, sebaliknya, pengukur dapat didefinisikan dari segi epsilon, jadi logika orde pertama dapat difahami dari segi penaakulan bebas pengkuantiti yang melibatkan operasi epsilon. Ciri terakhir inilah yang menjadikan kalkulus menjadi senang untuk membuktikan ketekalan. Sambungan kalkulus epsilon yang sesuai memungkinkan untuk memasukkan teori nombor dan set kuantitatif yang lebih kuat dalam kalkulator bebas pengkuantiti. Hilbert menjangkakan bahawa kemungkinan untuk menunjukkan konsistensi peluasan tersebut.

2. Kalkulus Epsilon

Dalam kuliahnya di Hamburg pada tahun 1921 (1922), Hilbert pertama kali mengemukakan idea menggunakan fungsi pilihan untuk menangani prinsip tengah yang dikecualikan dalam sistem formal untuk aritmetik. Idea-idea ini dikembangkan menjadi kaedah kalkulus epsilon dan kaedah penggantian epsilon dalam rangkaian kursus kuliah antara tahun 1921 dan 1923, dan di Hilbert's (1923). Pembentangan terakhir dari epsilon-calculus boleh didapati dalam disertasi Wilhelm Ackermann (1924).

Bahagian ini akan menerangkan versi kalkulus yang sesuai dengan logik pesanan pertama, sementara sambungan ke aritmetik urutan pertama dan kedua akan dijelaskan di bawah.

Mari (L) menjadi bahasa urutan pertama, iaitu senarai simbol pemalar, fungsi, dan hubungan dengan ariti yang ditentukan. Kumpulan istilah epsilon dan sekumpulan formula (L) didefinisikan secara induktif, serentak, seperti berikut:

  • Setiap pemalar (L) adalah sebutan.
  • Setiap pemboleh ubah adalah sebutan.
  • Sekiranya (s) dan (t) adalah istilah, maka (s = t) adalah formula.
  • Sekiranya (s_1, / ldots, s_k) adalah istilah dan (F) adalah simbol fungsi (k) - ary (L, F (s_1, / ldots, s_k)) adalah istilah.
  • Sekiranya (s_1, / ldots, s_k) adalah istilah dan (R) adalah simbol hubungan (k) - ary (L, R (s_1, / ldots, s_k)) adalah formula.
  • Sekiranya (A) dan (B) adalah formula, begitu juga (A / baji B, A / vee B, A / kanan bawah B), dan (neg A).
  • Sekiranya (A) adalah formula dan (x) adalah pemboleh ubah, (varepsilon x A) adalah istilah.

Penggantian dan pengertian pemboleh ubah bebas dan terikat, ditakrifkan dengan cara biasa; khususnya, pemboleh ubah (x) menjadi terikat dalam istilah (varepsilon x A). Tafsiran yang dimaksudkan adalah bahawa (varepsilon x A) menunjukkan beberapa (x) memuaskan (A), jika ada. Oleh itu, istilah epsilon diatur oleh aksioma berikut ("aksioma transfinit" Hilbert): [A (x) rightarrow A (varepsilon x A)) Selain itu, kalkulus epsilon merangkumi sekumpulan aksioma lengkap yang mengatur penghubung proposional klasik, dan aksioma yang mengatur simbol persamaan. Satu-satunya peraturan kalkulus adalah berikut:

  • Modus ponens
  • Penggantian: dari (A (x)), simpulkan (A (t)), untuk sebarang istilah (t.)

Bentuk awal kalkulus epsilon (seperti yang ditunjukkan dalam Hilbert 1923) menggunakan bentuk dua pengendali epsilon, di mana (varepsilon x A) mengembalikan nilai memalsukan (A (x)). Versi di atas digunakan dalam disertasi Ackermann (1924), dan telah menjadi standar.

Perhatikan bahawa kalkulus yang baru saja dijelaskan bebas kuantitatif. Kuantator boleh ditakrifkan seperti berikut: (start {align} wujud x A (x) & / equiv A (varepsilon x A) / \ forall x A (x) & / equiv A (varepsilon x (neg A)) end {align}) Aksioma dan peraturan pengukur yang biasa dapat diturunkan dari ini, jadi definisi di atas berfungsi untuk menyisipkan logik orde pertama dalam kalkulus epsilon. Namun, sebaliknya adalah tidak benar: tidak setiap formula dalam kalkulus epsilon adalah gambaran formula terukur biasa di bawah penyisipan ini. Oleh itu, kalkulus epsilon lebih ekspresif daripada kalkulus predikat, hanya kerana istilah epsilon dapat digabungkan dengan cara yang lebih kompleks daripada pengukur.

Perlu diingat bahawa istilah epsilon tidak bersifat menentu, sehingga mewakili bentuk aksioma pilihan. Contohnya, dalam bahasa dengan simbol tetap (a) dan (b), (varepsilon x (x = a / vee x = b)) sama ada (a) atau (b), tetapi kalkulus membiarkannya terbuka sepenuhnya seperti mana keadaannya. Seseorang boleh menambah kalkulus skema perpanjangan, (forall x (A (x) leftrightarrow B (x)) rightarrow / varepsilon x A = / varepsilon x B) yang menegaskan bahawa pengendali epsilon memberikan yang sama saksikan formula yang setara (A) dan (B). Walau bagaimanapun, untuk banyak aplikasi, skema tambahan ini tidak diperlukan.

3. Teorem Epsilon

Jilid kedua Hilbert dan Bernays 'Grundlagen der Mathematik (1939) memberikan catatan hasil pada epsilon-kalkulus yang telah terbukti pada masa itu. Ini merangkumi perbincangan mengenai teorema epsilon pertama dan kedua dengan aplikasi untuk logik pesanan pertama, kaedah penggantian epsilon untuk aritmetik dengan aruhan terbuka, dan pengembangan analisis (iaitu aritmetik urutan kedua) dengan kalkulus epsilon.

Teorema epsilon pertama dan kedua adalah seperti berikut:

Teorema epsilon pertama: Andaikan (Gamma / cup {A }) adalah sekumpulan formula bebas pengkuantiti yang tidak melibatkan simbol epsilon. Sekiranya (A) boleh diturunkan dari (Gamma) dalam kalkulus epsilon, maka (A) boleh diturunkan dari (Gamma) dalam logik predikat bebas pengkuantiti.

Teorema epsilon kedua: Andaikan (Gamma / cup {A }) adalah sekumpulan formula yang tidak melibatkan simbol epsilon. Sekiranya (A) boleh diturunkan dari (Gamma) dalam kalkulus epsilon, maka (A) boleh diturunkan dari (Gamma) dalam logik predikat.

Dalam teorema epsilon pertama, "logik predikat bebas pengukur" dimaksudkan untuk memasukkan aturan penggantian di atas, sehingga aksioma bebas pengkuantatif berperilaku seperti penutupan universal mereka. Oleh kerana kalkulus epsilon merangkumi logik orde pertama, teorema epsilon pertama menyiratkan bahawa sebarang lencongan melalui logik predikat orde pertama yang digunakan untuk memperoleh teorema bebas pengkuantiti dari aksioma bebas pengkuantitatif akhirnya dapat dielakkan. Teorema epsilon kedua menunjukkan bahawa sebarang lencongan melalui kalkulus epsilon yang digunakan untuk memperoleh teorema dalam bahasa predikat kalkulus dari aksioma dalam bahasa predikat kalkulus juga dapat dielakkan.

Secara lebih umum, teorema epsilon pertama menetapkan bahawa pengukur dan epsilon selalu dapat dihapuskan dari bukti formula bebas pengkuantiti dari formula bebas pengkuantiti lain. Ini sangat penting untuk program Hilbert, kerana epsilon memainkan peranan elemen ideal dalam matematik. Sekiranya formula bebas pengukur sesuai dengan bahagian "nyata" dari teori matematik, epsilon-teorem pertama menunjukkan bahawa unsur-unsur ideal dapat dihilangkan dari bukti pernyataan nyata, dengan syarat aksioma juga pernyataan nyata.

Idea ini dibuat tepat dalam teorema konsistensi umum tertentu yang diturunkan oleh Hilbert dan Bernays dari teorem epsilon pertama, yang mengatakan yang berikut: Biarkan (F) menjadi sistem formal apa pun yang dihasilkan dari kalkulus predikat dengan penambahan fungsi tetap,, dan simbol predikat ditambah aksioma sebenar yang bebas pengkuantiti dan epsilon, dan anggap kebenaran formula atom dalam bahasa baru dapat ditentukan. Maka (F) konsisten dalam arti kuat bahawa setiap formula pengukur dan bebas epsilon terbitan adalah benar. Hilbert dan Bernays menggunakan teorema ini untuk memberikan bukti konsistensi finansial dari geometri asas (1939, Sec 1.4).

Kesukaran untuk memberikan bukti konsistensi untuk aritmetik dan analisis terdiri daripada memperluas hasil ini ke kes-kes di mana aksioma juga mengandungi unsur-unsur yang ideal, iaitu istilah epsilon.

Bacaan lanjut. Sumber asal pada epsilon-calculus dan teorema epsilon (Ackermann 1924, Hilbert & Bernays 1939) tetap tersedia hanya dalam bahasa Jerman. Leisenring 1969 adalah pengenalan panjang buku yang agak moden untuk kalkulus epsilon dalam bahasa Inggeris. Teorema epsilon pertama dan kedua dijelaskan secara terperinci dalam Zach 2017. Moser & Zach 2006 memberikan analisis terperinci untuk kes tersebut tanpa persamaan. Bukti asal diberikan untuk persembahan aksiomatik epsilon-kalkulus. Maehara 1955 adalah yang pertama mempertimbangkan kalkulus berurutan dengan istilah epsilon. Dia menunjukkan bagaimana membuktikan teorema epsilon kedua menggunakan penghapusan potongan, dan kemudian memperkuat teorema untuk memasukkan skema ekstensi (Maehara 1957). Baaz et al. 2018 memberikan versi yang lebih baik dari teorem epsilon pertama. Pembetulan kesilapan dalam literatur (termasuk buku Leisenring) boleh didapati di Flannagan 1975; Ferrari 1987; dan Yasuhara 1982. Variasi kalkulus epsilon berdasarkan fungsi Skolem, dan oleh itu sesuai dengan logik pesanan pertama, dibincangkan dalam Davis & Fechter 1991.

4. Teorema Herbrand

Hilbert dan Bernays menggunakan kaedah kalkulus epsilon untuk menetapkan teorema mengenai logik pesanan pertama yang tidak merujuk kepada kalkulus epsilon itu sendiri. Salah satu contohnya ialah teorema Herbrand (Herbrand 1930; lihat Buss 1995, Girard 1982, dan bahagian 2.5 dari Buss 1998). Ini sering dirumuskan sebagai pernyataan bahawa jika formula eksistensial (wujud x_1 / ldots / wujud x_k A (x_1, / ldots, x_k)) boleh diturunkan dalam logik predikat orde pertama (tanpa persamaan), di mana (A) bebas pengukur, maka terdapat urutan istilah (t_ {1} ^ 1, / ldots, t_ {k} ^ 1, / ldots, t_ {1} ^ n, / ldots, t_k ^ n), sedemikian rupa sehingga [A (t_ {1} ^ 1, / ldots, t_k ^ 1) vee / ldots / vee A (t_ {1} ^ n, / ldots, t_k ^ n)) adalah tautologi. Sekiranya seseorang berurusan dengan logik orde pertama dengan persamaan,seseorang harus mengganti "tautologi" dengan "konsekuensi tautologi penggantian contoh aksioma persamaan"; kita akan menggunakan istilah "kuasi-tautologi" untuk menggambarkan formula seperti itu.

Versi teorema Herbrand yang baru saja dijelaskan mengikuti segera dari Teorema Extended First Epsilon Hilbert dan Bernays. Dengan menggunakan kaedah yang berkaitan dengan bukti teorema epsilon kedua, bagaimanapun, Hilbert dan Bernays memperoleh hasil yang lebih kuat yang, seperti rumusan asal Herbrand, memberikan lebih banyak maklumat. Untuk memahami kedua-dua bahagian teorema di bawah ini, dapat mempertimbangkan contoh tertentu. Biarkan (A) menjadi formula

(ada x_1 / forall x_2 / ada x_3 / forall x_4 B (x_1, x_2, x_3, x_4)) di mana (B) bebas pengkuantiti. Penolakan (A) bersamaan dengan (forall x_1 / wujud x_2 / forall x_3 / wujud x_4 / neg B (x_1, x_2, x _3, x_4).) Dengan Skolemizing, iaitu, dengan menggunakan simbol fungsi untuk menyaksikan pengukur eksistensial, kita memperoleh (ada f_2, f_4 / forall x_1, x_3 / neg B (x_1, f_2 (x_1), x_3, f_4 (x_1, x_3)).) Mengambil penolakan ini, kita melihat bahawa formula asal adalah "setara" dengan (forall f_2, f_4 / wujud x_1, x_3 B (x_1, f_2 (x_1), x_3, f_4 (x_1, x_3)).)

Klausa pertama teorema di bawah ini, dalam contoh tertentu, mengatakan bahawa formula (A) di atas boleh diturunkan dalam logik pesanan pertama jika dan hanya jika terdapat urutan istilah (t_ {1} ^ 1, t_ {3} ^ 1, / ldots, t_ {1} ^ n, t_ {3} ^ n) dalam bahasa yang diperluas dengan (f_2) dan (f_4) sehingga [B (t_ {1} ^ 1, f_2 (t_ {1} ^ 1), t_ {3} ^ 1, f_4 (t_ {1} ^ 1, t_ {3} ^ 1)) vee / ldots / vee B (t_ {1} ^ n, f_2 (t_ {1} ^ n), t_ {3} ^ n, f_4 (t_ {1} ^ n, t_ {3} ^ n))) adalah kuasi-tautologi.

Klausa kedua teorema di bawah ini, dalam contoh tertentu, mengatakan bahawa formula (A) di atas boleh diturunkan dalam logik pesanan pertama jika dan hanya jika terdapat urutan pemboleh ubah (x_ {2} ^ 1, x_ { 4} ^ 1, / ldots, x_2 ^ n, x_4 ^ n) dan istilah (s_ {1} ^ 1, s_ {3} ^ 1, / ldots, s_1 ^ n, s_3 ^ n) dalam asal bahasa seperti itu [B (s_ {1} ^ 1, x_ {2} ^ 1, s_ {3} ^ 1, x_4 ^ 1) vee / ldots / vee B (s_1 ^ n, x_2 ^ n, s_3 ^ n, x_4 ^ n)) adalah kuasi-tautologi, dan sedemikian rupa sehingga (A) dapat diturunkan dari formula ini dengan hanya menggunakan kaedah pengkuantiti dan ketakutan yang dinyatakan di bawah.

Secara lebih umum, anggap (A) adalah formula prenex, dari bentuk (mathbf {Q} _1 x_1 / ldots / mathbf {Q} _n x_n B (x_1, / ldots, x_n),) di mana (B) bebas pengkuantiti. Kemudian (B) dikatakan sebagai matriks (A), dan contoh (B) diperoleh dengan menggantikan istilah dalam bahasa (B) untuk beberapa pemboleh ubahnya. Bentuk normal Herbrand (A ^ H) dari (A) diperoleh oleh

  • menghapus setiap pengukur universal, dan
  • menggantikan setiap pemboleh ubah yang dihitung secara universal (x_i) dengan (f_i (x_ {i} ^ 1, / ldots, x_ {i} ^ {k (i)})), di mana (x_ {i} ^ 1, / ldots, x_ {i} ^ {k (i)}) adalah pemboleh ubah yang sepadan dengan pengukur eksistensial sebelum (mathbf {Q} _i) di (A) (mengikut urutan), dan (f_i) adalah simbol fungsi baru yang ditetapkan untuk peranan ini.

Apabila kita merujuk pada contoh matriks (A ^ H), kita bermaksud formula yang diperoleh dengan menggantikan istilah dalam bahasa yang diperluas dalam matriks (A ^ H). Kita sekarang dapat menyatakan rumusan Hilbert dan Bernays mengenai

Teorema Herbrand. (1) Rumus preneks (A) dapat diturunkan dalam kalkulus predikat jika dan hanya jika terdapat gangguan contoh matriks (A ^ H) yang merupakan kuasi-tautologi.

(2) Rumus prenex (A) boleh diturunkan dalam kalkulus predikat jika dan hanya jika terdapat gangguan (bigvee_j B_j) contoh matriks (A), sehingga (bigvee_j B_j) adalah kuasi-tautologi, dan (A) berasal dari (bigvee_j B_j) menggunakan peraturan berikut:

  • dari (C_1 / vee / ldots / vee C_i (t) vee / ldots / vee C_m)

    membuat kesimpulan (C_1 / vee / ldots / vee / wujud x C_i (x) vee / ldots / vee C_m) dan

  • dari (C_1 / vee / ldots / vee C_i (x) vee / ldots / vee C_m)

    menyimpulkan (C_1 / vee / ldots / vee / forall xC_i (x) vee / ldots / vee C_m) (jika (x) tidak di (C_j) untuk (j / ne i)),

begitu juga dengan kemerosotan (vee) (dari (C / vee C / vee D) kesimpulan (C / vee D)).

Teorema Herbrand juga dapat diperoleh dengan menggunakan penghapusan potongan, melalui "teorema pertengahan" Gentzen. Walau bagaimanapun, bukti yang menggunakan teorem epsilon kedua mempunyai perbezaan sebagai bukti teorema Herbrand pertama yang lengkap dan betul. Lebih-lebih lagi, dan ini jarang diakui, sedangkan bukti berdasarkan penghapusan potongan memberikan batasan panjang disfungsi Herbrand hanya sebagai fungsi dari peringkat pemotongan dan kerumitan formula potongan dalam bukti, panjang yang diperoleh dari bukti berdasarkan kalkulus epsilon memberikan terikat sebagai fungsi dari jumlah aplikasi aksioma transfinit, dan peringkat dan tahap istilah-istilah epsilon yang berlaku di dalamnya. Dengan kata lain, panjang gangguan Herbrand hanya bergantung pada kerumitan kuantitatif penggantian yang terlibat, dan, misalnya,sama sekali tidak mengenai struktur cadangan atau panjang bukti.

Versi teorema Herbrand yang dinyatakan pada awal bahagian ini pada dasarnya adalah kes khas (2) di mana formula (A) ada. Berdasarkan kes khas ini, (1) setara dengan penegasan bahawa formula (A) boleh diturunkan dalam logik predikat orde pertama jika dan hanya jika (A ^ H). Arah ke depan dari kesamaan ini jauh lebih mudah dibuktikan; sebenarnya, untuk sebarang formula (A, A / rightarrow A ^ H) boleh diturunkan dalam logik predikat. Menentukan arah terbalik melibatkan penghapusan simbol fungsi tambahan di (A ^ H), dan jauh lebih sukar, terutama jika terdapat persamaan. Di sinilah kaedah epsilon memainkan peranan penting.

Diberi formula prenex, bentuk normal Skolem (A ^ S) didefinisikan dua kali menjadi (A ^ H), iaitu, dengan menggantikan pemboleh ubah yang dikuantifikasi secara eksistensial dengan menyaksikan fungsi. Sekiranya (Gamma) adalah sekumpulan kalimat prenaeks, mari (Gamma ^ S) menunjukkan set bentuk normal Skolem mereka. Dengan menggunakan teorema pemotongan dan teorema Herbrand, tidak sukar untuk menunjukkan bahawa perkara berikut adalah setara berpasangan: (start {align} Gamma & / text {membuktikan} A \\ / Gamma & / text {membuktikan} A ^ H \\ / Gamma ^ S & / text {membuktikan} A \\ / Gamma ^ S & / text {membuktikan} A ^ H / end {align})

Aplikasi teorema Herbrand dan kaedah yang berkaitan terdapat dalam analisis Luckhardt (1989) terhadap teorem Roth. Untuk perbincangan mengenai pengembangan kaedah Herbrand yang berguna, lihat Sieg 1991. Versi model-teori ini dibincangkan dalam Avigad 2002a.

5. Kaedah dan Aritmetik Penggantian Epsilon

Seperti yang dinyatakan di atas, secara historis, minat utama dalam kalkulus epsilon adalah sebagai kaedah untuk memperoleh bukti konsistensi. Kuliah Hilbert dari tahun 1917-1918 telah memperhatikan bahawa seseorang dapat dengan mudah membuktikan konsistensi logik proposisi, dengan mengambil pemboleh ubah dan formula cadangan untuk merangkumi nilai kebenaran 0 dan 1, dan menafsirkan penghubung logik sebagai operasi aritmetik yang sesuai. Begitu juga, seseorang dapat membuktikan konsistensi logik predikat (atau kalkulus epsilon tulen), dengan mengkhususkan kepada tafsiran di mana alam wacana mempunyai satu elemen. Pertimbangan ini menunjukkan program yang lebih umum berikut untuk membuktikan ketekalan:

  • Panjangkan kalkulus epsilon sedemikian rupa untuk mewakili bahagian matematik yang lebih besar.
  • Tunjukkan, dengan menggunakan kaedah kewangan, bahawa setiap bukti dalam sistem lanjutan mempunyai tafsiran yang konsisten.

Contohnya, pertimbangkan bahasa aritmetik, dengan simbol untuk (0), (1), (+), (kali), (lt). Bersama dengan aksioma bebas pengkuantiti yang menentukan simbol asas, seseorang dapat menentukan bahawa istilah epsilon (varepsilon x A (x)) memilih nilai paling sedikit yang memuaskan (A), jika ada, dengan aksioma berikut: (tag {*} A (x) rightarrow A (varepsilon x A (x)) wedge / varepsilon x A (x) le x) Hasilnya adalah sistem yang cukup kuat untuk ditafsirkan terlebih dahulu aritmetik -order (Peano). Sebagai alternatif, seseorang boleh mengambil simbol epsilon untuk memenuhi aksioma berikut: [A (y) kanan bawah A (varepsilon x A (x)) baji / varepsilon x A (x) ne y + 1.)

Dengan kata lain, jika ada saksi (y) yang memuaskan (A (y)), istilah epsilon mengembalikan nilai yang pendahulunya tidak memiliki harta yang sama. Jelas istilah epsilon yang dijelaskan oleh (*) memenuhi aksioma alternatif; sebaliknya, seseorang dapat memeriksa bahawa diberi (A), nilai (varepsilon x (wujud z / le x A (x))) yang memuaskan aksioma alternatif boleh digunakan untuk menafsirkan (varepsilon x A (x)) dalam (*). Seseorang boleh memperbaiki makna istilah epsilon dengan aksioma (varepsilon x A (x) ne 0 / rightarrow A (varepsilon x A (x))) yang memerlukannya jika tidak ada saksi untuk (A), istilah epsilon mengembalikan 0. Untuk perbincangan di bawah, bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk memusatkan perhatian pada (*) sahaja.

Andaikan kami ingin menunjukkan bahawa sistem di atas adalah konsisten; dengan kata lain, kami ingin menunjukkan bahawa tidak ada bukti formula (0 = 1). Dengan mendorong semua penggantian ke aksioma dan menggantikan pemboleh ubah bebas dengan pemalar 0, sudah cukup untuk menunjukkan bahawa tidak ada bukti proposisi (0 = 1) dari sekumpulan contoh aksioma tertutup yang terbatas. Untuk itu, cukup untuk menunjukkan bahawa, mengingat sekumpulan aksioma tertutup yang terbatas, seseorang dapat memberikan nilai numerik kepada istilah sedemikian rupa sehingga semua aksioma itu benar berdasarkan tafsiran. Oleh kerana operasi aritmetik (+) dan (kali) dapat ditafsirkan dengan cara biasa, satu-satunya kesukaran terletak pada mencari nilai yang sesuai untuk diberikan kepada istilah epsilon.

Kaedah penggantian epsilon Hilbert dapat dijelaskan secara kasar, seperti berikut:

  • Memandangkan satu set aksioma yang terbatas, mulakan dengan menafsirkan semua istilah epsilon sebagai 0.
  • Cari contoh aksioma (*) di atas yang salah berdasarkan tafsiran. Ini hanya boleh berlaku jika seseorang mempunyai istilah t sedemikian rupa sehingga (A (t)) benar dalam penafsirannya, tetapi sama ada (A (varepsilon x A (x))) salah atau nilai (t) lebih kecil daripada nilai (varepsilon x A (x)).
  • "Perbaikan" tugas dengan memberikan (varepsilon x A (x)) nilai (t), dan ulangi prosesnya.

Bukti konsistensi kewangan diperoleh setelah ditunjukkan dengan cara yang dapat diterima secara sah bahawa proses "pembaikan" berturut-turut ini berakhir. Sekiranya berlaku, semua formula kritikal adalah formula benar tanpa istilah epsilon.

Idea asas ini ("Hilbertsche Ansatz") dinyatakan pertama kali oleh Hilbert dalam ceramahnya tahun 1922 (1923), dan dihuraikan dalam kuliah pada tahun 1922–23. Contoh yang diberikan di sana, bagaimanapun, hanya berkaitan dengan bukti di mana semua contoh aksioma transfinit sesuai dengan istilah epsilon tunggal (varepsilon x A (x)). Cabarannya adalah untuk memperluas pendekatan ke lebih dari satu istilah epsilon, ke istilah epsilon bersarang, dan akhirnya ke epsilon urutan kedua (untuk mendapatkan bukti konsistensi bukan hanya aritmetik, tetapi analisis).

Kesukaran menangani istilah epsilon bersarang dapat dijelaskan seperti berikut. Katakan salah satu aksioma dalam buktinya adalah aksioma transfinit [B (y) rightarrow B (varepsilon y B (y))) (varepsilon y B (y)) tentu saja berlaku di formula lain dalam bukti, khususnya dalam aksioma transfinit lain, contohnya, [A (x, / varepsilon y B (y)) rightarrow A (varepsilon x A (x, / varepsilon y B (y)), / varepsilon y B (y))) Jadi pertama, nampaknya perlu untuk mencari tafsiran yang betul untuk (varepsilon y B (y)) sebelum kita berusaha mencari satu untuk (varepsilon x A (x, / varepsilon y B (y))). Walau bagaimanapun, terdapat corak yang lebih rumit di mana istilah epsilon mungkin berlaku dalam bukti. Contoh aksioma, yang berperanan dalam menentukan tafsiran yang betul untuk (varepsilon y B (y)) mungkin [B (varepsilon x A (x,\ varepsilon y B (y))) rightarrow B (varepsilon y B (y))) Sekiranya (B) (0) salah, maka pada pusingan pertama prosedur (varepsilon y B (y)) akan ditafsirkan oleh 0. Perubahan tafsiran berikutnya dari (varepsilon x A (x, 0)) dari 0 menjadi, katakanlah, (n), akan menghasilkan tafsiran mengenai kejadian ini sebagai (B (n) kanan bawah B) (0) yang akan menjadi salah jika (B (n)) benar. Oleh itu, tafsiran (varepsilon y B (y)) harus diperbetulkan ke (n), yang, seterusnya, mungkin menghasilkan penafsiran (varepsilon x A (x, / varepsilon y B (y))) untuk tidak lagi menjadi formula yang benar.akan menghasilkan tafsiran contoh ini sebagai (B (n) rightarrow B) (0) yang akan menjadi salah jika (B (n)) benar. Oleh itu, tafsiran (varepsilon y B (y)) harus diperbetulkan ke (n), yang, seterusnya, mungkin menghasilkan penafsiran (varepsilon x A (x, / varepsilon y B (y))) untuk tidak lagi menjadi formula yang benar.akan menghasilkan tafsiran contoh ini sebagai (B (n) rightarrow B) (0) yang akan menjadi salah jika (B (n)) benar. Oleh itu, tafsiran (varepsilon y B (y)) harus diperbetulkan ke (n), yang, seterusnya, mungkin menghasilkan penafsiran (varepsilon x A (x, / varepsilon y B (y))) untuk tidak lagi menjadi formula yang benar.

Ini hanyalah sketsa kesukaran yang terlibat dalam memperluas idea Hilbert ke kes umum. Ackermann (1924) memberikan generalisasi seperti itu dengan menggunakan prosedur yang "mengundurkan" setiap kali penafsiran baru pada tahap tertentu mengakibatkan perlunya memperbetulkan penafsiran yang sudah ditemukan pada tahap sebelumnya.

Prosedur Ackermann diterapkan pada sistem aritmetik urutan kedua, di mana, bagaimanapun, syarat pesanan kedua dibatasi sehingga tidak termasuk ikatan silang epsilon pesanan kedua. Ini berjumlah, kira-kira, untuk pembatasan pemahaman aritmatik sebagai prinsip pembentukan set yang tersedia (lihat perbincangan di akhir bahagian ini). Kesukaran lebih lanjut dengan istilah epsilon pesanan kedua muncul, dan dengan cepat menjadi jelas bahawa bukti yang ada adalah salah. Namun, tidak ada seorang pun di sekolah Hilbert yang menyadari sejauh mana kesulitan itu hingga tahun 1930, ketika Gödel mengumumkan hasilnya yang tidak lengkap. Sehingga itu, dipercayai bahawa buktinya (sekurang-kurangnya dengan beberapa pengubahsuaian yang diperkenalkan oleh Ackermann,beberapa di antaranya melibatkan idea dari versi penggantian epsilon von Neumann (1927) akan melalui sekurang-kurangnya untuk bahagian pesanan pertama. Hilbert dan Bernays (1939) menunjukkan bahawa kaedah yang digunakan hanya memberikan bukti konsistensi untuk aritmetik pesanan pertama dengan aruhan terbuka. Pada tahun 1936, Gerhard Gentzen berjaya memberikan bukti konsistensi aritmetik urutan pertama dalam rumusan berdasarkan logik predikat tanpa simbol epsilon. Bukti ini menggunakan induksi transfinite hingga (varepsilon_0). Ackermann (1940) kemudian dapat mengadaptasi idea Gentzen untuk memberikan bukti konsistensi yang betul mengenai aritmetik orde pertama menggunakan kaedah penggantian epsilon. Gerhard Gentzen berjaya memberikan bukti konsistensi aritmetik urutan pertama dalam rumusan berdasarkan logik predikat tanpa simbol epsilon. Bukti ini menggunakan induksi transfinite hingga (varepsilon_0). Ackermann (1940) kemudian dapat mengadaptasi idea Gentzen untuk memberikan bukti konsistensi yang betul mengenai aritmetik orde pertama menggunakan kaedah penggantian epsilon. Gerhard Gentzen berjaya memberikan bukti konsistensi aritmetik urutan pertama dalam rumusan berdasarkan logik predikat tanpa simbol epsilon. Bukti ini menggunakan induksi transfinite hingga (varepsilon_0). Ackermann (1940) kemudian dapat mengadaptasi idea Gentzen untuk memberikan bukti konsistensi yang betul mengenai aritmetik orde pertama menggunakan kaedah penggantian epsilon.

Walaupun percubaan Ackermann pada bukti konsistensi untuk aritmetik urutan kedua tidak berjaya, mereka memberikan pemahaman yang lebih jelas mengenai penggunaan istilah epsilon urutan kedua dalam formalisasi matematik. Ackermann menggunakan istilah epsilon pesanan kedua (varepsilon f / A (f)), di mana (f) adalah pemboleh ubah fungsi. Dalam analogi dengan kes pesanan pertama, (varepsilon f / A (f)) adalah fungsi yang (A (f)) adalah benar, misalnya, (varepsilon f (x + f (x) = 2x)) adalah fungsi identiti (f (x) = x). Sekali lagi dalam analogi dengan kes pesanan pertama, seseorang dapat menggunakan epsilon pesanan kedua untuk menafsirkan pengukur pesanan kedua. Khususnya, untuk sebarang formula pesanan kedua (A (x)) seseorang dapat mencari istilah (t (x)) sehingga [A (x) leftrightarrow t (x) = 1) boleh diturunkan dalam kalkulus (formula (A) mungkin mempunyai pemboleh ubah bebas lain,di mana kes ini muncul dalam istilah (t) juga). Seseorang boleh menggunakan fakta ini untuk menafsirkan prinsip pemahaman. Dalam bahasa dengan simbol fungsi, ini berupa (wujud f / forall x (A (x) leftrightarrow f (x) = 1)) untuk formula sewenang-wenang (A (x)). Pemahaman lebih sering dinyatakan dalam bentuk pemboleh ubah set, dalam hal ini mengambil bentuk (ada Y / forall x (A (x) leftrightarrow x / in Y),) menegaskan bahawa setiap formula susunan kedua, dengan parameter, mentakrifkan satu set.dalam hal ini ia mengambil bentuk (ada Y / forall x (A (x) leftrightarrow x / in Y),) menegaskan bahawa setiap formula pesanan kedua, dengan parameter, menentukan satu set.dalam hal ini ia mengambil bentuk (ada Y / forall x (A (x) leftrightarrow x / in Y),) menegaskan bahawa setiap formula pesanan kedua, dengan parameter, menentukan satu set.

Analisis, atau aritmetik urutan kedua, adalah peluasan aritmetik urutan pertama dengan skema pemahaman untuk formula urutan kedua sewenang-wenangnya. Teori ini tidak praktikal kerana memungkinkan seseorang untuk menentukan set nombor semula jadi menggunakan pengukur yang merangkumi seluruh alam semesta set, termasuk, secara implisit, kumpulan yang ditentukan. Seseorang dapat memperoleh serpihan prediktif teori ini dengan menyekat jenis formula yang dibenarkan dalam aksioma pemahaman. Sebagai contoh, batasan yang dibincangkan berkaitan dengan Ackermann di atas sesuai dengan skema pemahaman aritmatik, di mana formula tidak melibatkan pengkuantator urutan kedua. Terdapat pelbagai cara untuk memperoleh serpihan analisis yang lebih kuat yang tetap dibenarkan. Sebagai contoh, seseorang memperoleh analisis yang besar dengan mengaitkan kedudukan ordinal untuk menetapkan pemboleh ubah;kira-kira, dalam definisi satu set peringkat tertentu, pengukur hanya merangkumi set peringkat yang lebih rendah, iaitu, yang definisinya sebelumnya secara logik.

Bacaan lanjut. Bukti awal Hilbert dan Ackermann dibincangkan dalam Zach 2003; 2004. Bukti Von Neumann adalah topik Bellotti 2016. Bukti Ackermann tahun 1940 dibincangkan dalam Hilbert & Bernays 1970, dan Wang 1963. Persembahan moden diberikan oleh Moser 2006. Aplikasi awal penggantian epsilon adalah tafsiran tanpa-contoh (Kreisel 1951).

6. Perkembangan Yang Lebih Baru

Dalam bahagian ini kita membincangkan pengembangan kaedah penggantian epsilon untuk mendapatkan hasil konsistensi untuk sistem yang kuat; keputusan ini adalah bersifat matematik. Sayangnya, kami tidak dapat membincangkan perincian bukti di sini tetapi ingin menunjukkan bahawa kaedah penggantian epsilon tidak mati dengan program Hilbert, dan bahawa sejumlah besar penyelidikan semasa dilakukan dalam epsilon-formalisme.

Bukti konsistensi Gentzen untuk aritmetik melancarkan bidang penyelidikan yang dikenali sebagai analisis ordinal, dan program mengukur kekuatan teori matematik menggunakan notasi ordinal masih diteruskan hingga kini. Ini sangat relevan dengan program Hilbert yang diperluas, di mana tujuannya adalah untuk membenarkan matematik klasik berbanding dengan sistem konstruktif, atau kuasi-konstruktif. Kaedah Gentzen untuk pemotongan pemotongan (dan pengembangan logik infiniter yang dikembangkan oleh Paul Lorentzen, Petr Novikov, dan Kurt Schütte) telah, sebagian besar, menggantikan kaedah penggantian epsilon dalam usaha ini. Tetapi kaedah kalkulus epsilon memberikan pendekatan alternatif, dan masih ada penyelidikan aktif mengenai cara memperluas kaedah Hilbert-Ackermann ke teori yang lebih kuat. Corak umum tetap sama:

  1. Tanamkan teori yang disiasat dalam kalkulus epsilon yang sesuai.
  2. Terangkan proses untuk mengemas kini tugasan kepada istilah epsilon.
  3. Tunjukkan bahawa prosedur itu menormalkan, iaitu, dengan syarat yang ditetapkan, terdapat urutan kemas kini yang menghasilkan tugas yang memenuhi aksioma.

Oleh kerana langkah terakhir menjamin konsistensi teori asal, dari sudut asas seseorang berminat dengan kaedah yang digunakan untuk membuktikan normalisasi. Sebagai contoh, seseorang memperoleh analisis ordinal dengan menetapkan notasi ordinal untuk langkah-langkah dalam prosedur, sedemikian rupa sehingga nilai notasi menurun dengan setiap langkah.

Pada tahun 1960-an, Tait (1960, 1965, 2010) memperluas kaedah Ackermann untuk mendapatkan analisis ordinal pemanjangan aritmetik dengan prinsip induksi transfinit. Versi pendekatan yang lebih rapi dan moden boleh didapati di Mints 2001 dan Avigad 2002b. Baru-baru ini, Mints, Tupailo, dan Buchholz telah mempertimbangkan fragmen analisis yang lebih kuat, namun masih dapat diramal, termasuk teori pemahaman aritmatik dan (Delta ^ {1} _1) - peraturan pemahaman (Mints, Tupailo & Buchholz 1996; Mints & Tupailo 1999; lihat juga Mints 2016). Arai 2002 telah memperluas kaedah penggantian epsilon ke teori-teori yang memungkinkan seseorang mengulangi pemahaman aritmatik di sepanjang susunan sumur rekursif primitif. Khususnya,karyanya menghasilkan analisis ordinal untuk pecahan analisis prediktif yang melibatkan hierarki transfinit dan induksi transfinit.

Beberapa langkah pertama telah diambil dalam menggunakan kaedah penggantian epsilon dalam analisis teori-teori impredicative (lihat Arai 2003, 2006 dan Mints 2015).

Variasi pada langkah 3 di atas melibatkan menunjukkan bahawa prosedur normalisasi tidak sensitif terhadap pilihan kemas kini, iaitu urutan kemas kini berakhir. Ini dipanggil normalisasi kuat. Mints 1996 telah menunjukkan bahawa banyak prosedur yang dipertimbangkan mempunyai harta yang lebih kuat ini.

Sebagai tambahan kepada cabang teori pembuktian tradisional, asas, hari ini terdapat banyak minat dalam teori bukti struktur, cabang subjek yang memfokuskan pada perhitungan deduktif logik dan sifatnya. Penyelidikan ini berkait rapat dengan isu-isu yang berkaitan dengan sains komputer, berkaitan dengan pemotongan automatik, pengaturcaraan fungsional, dan pengesahan berbantukan komputer. Di sini juga, kaedah gaya Gentzen cenderung mendominasi (lihat lagi entri mengenai teori bukti). Tetapi kalkulus epsilon juga dapat memberikan pandangan berharga; rujuk contohnya Aguilera & Baaz 2019, atau perbincangan mengenai teorema Herbrand di atas.

Selain penyiasatan kalkulus epsilon dalam teori bukti, dua aplikasi harus disebutkan. Salah satunya ialah penggunaan notasi epsilon dalam Bourbaki's Theorie des ensembles (1958). Yang kedua, yang mungkin mempunyai kepentingan semasa yang lebih besar, adalah penggunaan pengendali epsilon dalam sistem pembuktian teorem HOL dan Isabelle, di mana kekuatan ekspresif istilah epsilon menghasilkan kelebihan praktikal yang signifikan.

7. Pengendali Epsilon dalam Linguistik, Falsafah, dan Logik Tidak Klasik

Membaca operator epsilon sebagai pengendali pilihan tidak tentu (“an (x) sedemikian rupa sehingga (A (x))”) menunjukkan bahawa ia mungkin menjadi alat yang berguna dalam analisis frasa nama tak tentu dan pasti dalam semantik formal. Notasi epsilon sebenarnya telah digunakan, dan aplikasi ini terbukti berguna khususnya dalam menangani rujukan anaforik.

Pertimbangkan contoh yang biasa

Setiap petani yang memiliki keldai memukulnya

Analisis yang diterima secara umum terhadap ayat ini diberikan oleh ayat universal

(forall x / forall y (mathrm {Farmer} (x) wedge / mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y)) rightarrow / mathrm {Beats} (x, y)))

Kelemahannya adalah bahawa "keldai" menunjukkan pengukur eksistensial, dan oleh itu analisis harus, entah bagaimana, sejajar dengan analisis kalimat 3 yang diberikan oleh 4:

  1. Setiap petani yang memiliki keldai gembira,
  2. (forall x (mathrm {Farmer} (x) wedge / wujud y (mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y)) rightarrow / mathrm {Happy} (x))),

tetapi formalisasi yang paling hampir,

(forall x ((mathrm {Farmer} (x) wedge / wujud y (mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y)) rightarrow / mathrm {Beats} (x, y)))

mengandungi kejadian bebas (y). Evans 1980 menunjukkan bahawa kerana kata ganti merujuk kepada ungkapan, mereka harus dianalisis sebagai keterangan yang pasti; dan jika kata ganti nama diri terjadi akibat keadaan bersyarat, keadaan deskriptif ditentukan oleh anteseden. Ini membawa kepada analisis jenis E berikut (1): (begin {multline *} forall x ((mathrm {Farmer} (x) wedge / υπάρχει y (mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y)) rightarrow \(mathrm {Beats} (x, / iota y (mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y))) end {multline *}) Di sini, (iota x) adalah operator penerangan yang pasti, jadi (iota y (mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y))) adalah "keldai yang dimiliki oleh (x);". Masalah dengan ini adalah bahawa pada analisis standard, keterangan pasti membawa keadaan keunikan,dan demikian (5) akan menjadi salah sekiranya ada petani yang memiliki lebih dari satu keldai. Cara keluar dari ini adalah dengan memperkenalkan operator baru, yang (siapa sahaja, apa sahaja) yang berfungsi sebagai pengukur generalisasi (Neale, 1990): (begin {multline *} forall x ((mathrm {Farmer} (x) wedge / wujud y (mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y)) rightarrow \(mathrm {Beats} (x, / mathrm {whe}, y (mathrm {Donkey} (y) wedge / mathrm {Owns} (x, y))) end {multline *})

Seperti yang ditunjukkan oleh von Heusinger (1994), ini menunjukkan bahwa Neale berkomitmen untuk kata ganti yang tidak jelas antara deskripsi pasti ((iota) - ekspresi) dan ekspresi whe. Heusinger mencadangkan untuk menggunakan pengendali epsilon yang diindeks oleh fungsi pilihan (yang bergantung pada konteksnya). Menurut pendekatan ini, analisis (1) adalah

Untuk setiap fungsi pilihan (i): (mulakan {multline *} forall x ((mathrm {Farmer} (x) wedge / mathrm {Owns} (x, / varepsilon_i y / mathrm {Donkey} (y)) rightarrow \\\ mathrm {Beats} (x, / varepsilon_ {a ^ *} y / mathrm {Donkey} (y)) akhir {multline *})

Di sini (a ^ *) adalah fungsi pilihan yang bergantung pada (i) dan anteseden bersyarat: Jika (i) adalah fungsi pilihan yang memilih (varepsilon_i y / mathrm {Donkey} (y)) dari kumpulan semua keldai, kemudian (varepsilon_ {a ^ *} y / mathrm {Donkey} (y)) memilih dari kumpulan keldai yang dimiliki oleh (x).

Pendekatan ini untuk menangani kata ganti menggunakan pengendali epsilon yang diindeks oleh fungsi pilihan membolehkan von Heusinger menangani berbagai keadaan (lihat Egli dan von Heusinger, 1995; von Heusinger, 2000).

Aplikasi pengendali epsilon dalam semantik formal, dan fungsi pilihan pada umumnya, telah mendapat minat yang signifikan dalam beberapa tahun terakhir. Von Heusinger dan Egli (2000a) menyenaraikan, antara lain, yang berikut: representasi soalan (Reinhart, 1992), tak tentu tertentu (Reinhart 1992; 1997; Winter 1997), kata ganti jenis E (Hintikka dan Kulas 1985; Slater 1986; Chierchia 1992, Egli dan von Heusinger 1995) dan frasa nama pasti (von Heusinger 1997, 2004).

Untuk perbincangan mengenai isu dan aplikasi pengendali epsilon dalam linguistik dan falsafah bahasa, lihat artikel BH Slater mengenai epsilon calculi (dipetik di bahagian Sumber Internet Lain di bawah), dan koleksi von Heusinger dan Egli 2000 dan von Heusinger dan Kempson 2004.

Aplikasi lain dari kalkulus epsilon adalah sebagai logik umum untuk menaakul tentang objek sewenang-wenangnya. Meyer Viol (1995a) memberikan perbandingan kalkulus epsilon dengan teori Fine's (1985) mengenai objek sewenang-wenangnya. Sesungguhnya, hubungannya tidak sukar dilihat. Memandangkan kesetaraan (forall x A (x) equiv) A ((varepsilon x (neg A))), istilah (varepsilon x (neg A)) adalah objek sewenang-wenangnya dalam arti bahawa ia adalah objek yang (A) benar iff (A) benar pada umumnya.

Meyer Viol (1995a, 1995b) mengandungi kajian teori dan model-teori lebih lanjut mengenai kalkulus epsilon; khusus intuisiistik epsilon calculi. Di sini, teorema epsilon tidak lagi berlaku, iaitu, pengenalan istilah epsilon menghasilkan peluasan logik intuisi yang tidak konservatif. Penyelidikan lain mengenai pengendali epsilon dalam logik intuisi boleh didapati di Shirai (1971), Bell (1993a, 1993b) dan DeVidi (1995). Untuk pengendali epsilon dalam logik bernilai banyak, lihat Mostowski (1963), untuk mods kalkulus epsilon, Fitting (1975).

Bacaan lanjut. Berikut ini adalah senarai beberapa penerbitan dalam bidang bahasa dan linguistik yang relevan dengan kalkulus epsilon dan aplikasinya. Pembaca ditujukan khususnya kepada koleksi von Heusinger & Egli (ed.) 2000 dan von Heusinger & Kempson (ed.) 2004 untuk perbincangan dan rujukan selanjutnya: Bell 1993a, 1993b; Chierchia 1992; DeVidi 1995; Egli & von Heusinger 1995; Denda 1985; Pemasangan 1975; von Heusinger 1994, 1997, 2000, 2004; von Heusinger & Egli (ed.) 2000; von Heusinger & Kempson (ed.) 2004; Hintikka & Kulas 1985; Kempson, Meyer Viol, & Gabbay 2001; Meyer Viol 1995a, 1995b, Neale 1990; Mostowski 1963; Reinhart 1992, 1997; Slater 1986, 1988, 1994, 2000; dan Musim Sejuk 1997.

Bibliografi

  • Aguilera, JP, Baaz, M., 2019, 'Kesimpulan yang tidak masuk akal menjadikan bukti lebih pendek'. Jurnal Logik Simbolik 84: 102–122.
  • Ackermann, W., 1924, 'Begründung des' 'tertium non datur' 'mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit', Mathematische Annalen, 93: 1–36.
  • –––, 1937–38, ‘Mengentheoretische Begründung der Logik’, Mathematische Annalen, 115: 1–22.
  • –––, 1940, 'Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie', Mathematische Annalen, 117: 162–194.
  • Arai, T., 2002, 'Kaedah penggantian Epsilon untuk teori hierarki lompatan', Arkib untuk Logik Matematik, 2: 123–153.
  • –––, 2003, 'Kaedah penggantian Epsilon untuk ID (_ 1 (Pi ^ {0} _1 / vee / Sigma ^ {0} _1))', Annals of Mure and Applied Logic, 121: 163–208.
  • –––, 2006, 'Kaedah penggantian Epsilon untuk (Pi ^ {0} _2) - FIX. Jurnal Logik Simbolik 71: 1155–1188
  • Avigad, J., 2002a, 'Model jenuh teori universal', Annals of Pure and Applied Logic, 118: 219-234.
  • –––, 2002b, 'Kemas kini prosedur dan 1-konsistensi aritmetik', Matematik Logik Suku Tahunan, 48: 3–13.
  • Baaz, M., Leitsch, A., Lolic, A., 2018, 'Rumusan berdasarkan kalkulus berdasarkan teorema epsilon pertama yang diperluas', dalam: Artemov, S., Nerode, A. (eds.), Logikal Foundations Sains Komputer, Berlin: Springer, 55–71.
  • Bell, JL, 1993a. 'Hilbert's epsilon-operator dan logik klasik', Journal of Philosophical Logic, 22: 1–18.
  • –––, 1993b. 'Pengendali epsilon Hilbert dalam teori jenis intuisi', Matematik Logik Suku Tahunan, 39: 323-337.
  • Bellotti, L., 2016, 'bukti konsistensi Von Neumann', Ulasan Logik Simbolik, 9: 429-455.
  • Bourbaki, N., 1958, Theorie des ensembles, Paris: Hermann.
  • Buss, S., 1995, 'On the Herbrand's theorem', Logic and Computational Complexity (Lecture Notes in Computer Science 960), Berlin: Springer, 195–209.
  • ––– 1998, 'Pengantar teori bukti', dalam: Buss (ed.), Buku Panduan Teori Bukti, Amsterdam: Belanda Utara, 1–78.
  • Chierchia, G., 1992. 'Anafora dan logik dinamik'. Linguistik dan Falsafah, 15: 111–183.
  • Davis, M., dan R. Fechter, 1991, 'Versi pemboleh ubah bebas dari kalkulus predikat orde pertama', Jurnal Logik dan Pengiraan, 1: 431-451.
  • DeVidi, D., 1995. 'Intuitionistic (varepsilon) - dan (tau) - calculi', Logik Matematik Suku Tahunan 41: 523-546.
  • Egli, U., von Heusinger, K., 1995, 'Pengendali epsilon dan kata ganti jenis E', dalam U. Egli et al. (eds.), Pengetahuan Leksikal dalam Organisasi Bahasa, Amsterdam: Benjamins, 121–141 (Isu Semasa dalam Teori Linguistik 114).
  • Evans, G., 1980, 'Pronouns', Linguistic Inquiry, 11: 337–362.
  • Ewald, WB (ed.), 1996, Dari Kant ke Hilbert. Buku Sumber dalam Yayasan Matematik, Vol. 2, Oxford: Oxford University Press.
  • Ferrari, PL, 1987, 'Catatan mengenai bukti Hilbert yang kedua (varepsilon) - teorem', Jurnal Logik Simbolik, 52: 214-215.
  • Fine, K., 1985. Penalaran dengan Objek Timbang Tara, Oxford: Blackwell.
  • Fitting, M., 1975. 'A modal logik epsilon-calculus', Notre Dame Journal of Formal Logic, 16: 1–16.
  • Flannagan, TB, 1975, 'Pada lanjutan Hilbert's kedua (varepsilon) - teorema', Jurnal Logik Simbolik, 40: 393–397.
  • Girard, J.-Y., 1982, 'Teori dan teori bukti Herbrand', Prosiding Simposium Herbrand, Amsterdam: Belanda Utara, 29-38.
  • Herbrand, J., 1930, Recherches sur la thèorie de la dèmonstration, Disertasi, Universiti Paris. Terjemahan Inggeris dalam Herbrand 1971, hlm. 44–202.
  • –––, 1971, Penulisan Logik, W. Goldfarb (ed.), Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
  • Hilbert, D., 1922, 'Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung', Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177, terjemahan Bahasa Inggeris di Mancosu, 1998, 198–214 dan Ewald, 1996, 1115–1134.
  • –––, 1923, 'Die logischen Grundlagen der Mathematik', Mathematische Annalen, 88: 151–165, terjemahan Inggeris dalam Ewald, 1996, 1134–1148.
  • Hilbert, D., Bernays, P., 1934, Grundlagen der Mathematik, Vol. 1, Berlin: Springer.
  • –––, 1939, Grundlagen der Mathematik, Vol. 2, Berlin: Springer.
  • –––, 1970, 'Grundlagen der Mathematik', Vol. 2, 2nd, edisi, Berlin: Springer, Tambahan V.
  • Hintikka, J., Kulas, J., 1985. Huraian Anaphora dan Pasti: Dua Aplikasi Semantik Permainan-Teori, Dordrecht: Reidel.
  • Kempson, R., Meyer Viol, W., dan Gabbay, D., 2001. Sintaksis Dinamik: Aliran Pemahaman Bahasa, Oxford: Blackwell.
  • Kreisel, G, 1951, 'Mengenai penafsiran bukti-bukti non-finalis - bahagian I', Jurnal Logik Simbolik, 16: 241-267.
  • Leisenring, AC, 1969, Logika Matematik dan Hilbert's Epsilon-Symbol, London: Macdonald.
  • Luckhardt, H., 1989, 'Herbrand-Analysen zweier Beweise des Satzes von Roth: Polynomiale Anzahlschranken', Jurnal Logik Simbolik, 54: 234–263.
  • Maehara, S., 1955, 'Predikat kalkulus dengan (varepsilon) - simbol', Jurnal Persatuan Matematik Jepun, 7: 323-344.
  • –––, 1957, 'Kesamaan aksioma pada Hilbert's (simbol'), Jurnal Fakulti Sains, Universiti Tokyo, Bahagian 1, 7: 419-435.
  • Mancosu, P. (ed.), 1998, Dari Brouwer ke Hilbert. Perbahasan Asas Matematik pada tahun 1920-an, Oxford: Oxford University Press.
  • Meyer Viol, WPM, 1995a, Logik Segera. Penyiasatan Penalaran dengan Contoh, Ph. D. tesis, Universiti Utrecht. Siri Disertasi ILLC 1995–11.
  • –––, 1995b. 'Rawatan teori-bukti penugasan', Buletin IGPL, 3: 223-243.
  • Mints, G., 1994, 'Sistem jenis Gentzen dan kaedah penggantian epsilon Hilbert. I ', Logik, Metodologi dan Falsafah Sains, IX (Uppsala, 1991), Amsterdam: Belanda Utara, 91-122.
  • –––, 1996, 'Penamatan yang kuat untuk kaedah penggantian epsilon', Jurnal Logik Simbolik, 61: 1193-1205.
  • –––, 2001, 'Kaedah penggantian epsilon dan kesinambungan', dalam W. Sieg et al. (eds.), Refleksi terhadap Asas Matematik: Esei untuk Menghormati Solomon Feferman, Nota Kuliah dalam Logik 15, Persatuan untuk Logik Simbolik.
  • –––, 2008, 'Penghapusan Potong untuk rumusan sederhana kalkulus epsilon', Annals of Mure and Applied Logic, 152 (1-3): 148-160.
  • –––, 2013. ‘Penggantian Epsilon untuk logik predikat orde pertama dan kedua’, Annals of Mure and Applied Logic, 164: 733–739.
  • –––, 2015. 'Kaedah penggantian epsilon non-deterministik untuk PA dan ID (_ 1)', dalam: Kahle, R., Rathjen, M. (Eds.), Centenary Gentzen: The Quest for Consistency. Berlin: Springer, hlm 479–500.
  • Mints, G., Tupailo, S., 1999, 'Kaedah penggantian Epsilon untuk bahasa yang diselaraskan dan (Delta ^ {1} _1) - peraturan pemahaman', dalam A. Cantini et al. (eds.), Logik dan Asas Matematik (Florence, 1995), Dordrecht: Kluwer, 107–130.
  • Mints, G., Tupailo, S., Buchholz, W., 1996, 'Kaedah penggantian Epsilon untuk analisis dasar', Archive for Mathematical Logic, 35: 103-130.
  • Moser, G., 2006, 'Kaedah penggantian Ackermann (remix)', Annals of Pure and Applied Logic, 142 (1-3): 1–18.
  • Moser, G. dan R. Zach, 2006, 'The epsilon calculus and Herbrand complexity', Studia Logica, 82 (1): 133-155.
  • Mostowski, A., 1963. 'Fungsi Hilbert epsilon dalam logik bernilai banyak', Acta Philosophica Fennica, 16: 169–188.
  • Neale, S., 1990, Deskripsi, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Reinhart, T., 1992. 'Wh-in-situ: Paradoks yang nyata'. Dalam: P. Dekker dan M. Stokhof (ed.). Prosiding Kolokium Amsterdam Kelapan, 17-20 Disember 1991. ILLC. Universiti Amsterdam, 483–491.
  • –––, 1997. 'Skop pengkuantiti: Bagaimana tenaga kerja dibahagikan antara fungsi QR dan pilihan'. Linguistik dan Falsafah, 20: 335–397.
  • Shirai, K., 1971, 'Kalkulus predikat intuisi dengan (varepsilon) - simbol', Annals of the Japan Association for Philosophy of Science 4: 49–67.
  • Sieg, W., 1991, 'Analisis Herbrand', Arkib untuk Logik Matematik, 30: 409-444.
  • Slater, BH, 1986, 'Kata ganti tipe E dan (varepsilon) - istilah', Jurnal Falsafah Kanada, 16: 27–38.
  • –––, 1988, 'Rujukan Hilbertian', Noûs, 22: 283–97.
  • –––, 1994, 'The epsilon calculus' bermasalah ', Philosophical Papers, 23: 217-42.
  • –––, 2000, 'Quantifier / pemboleh ubah-mengikat', Linguistik dan Falsafah, 23: 309-21.
  • Tait, WW, 1960, 'Kaedah penggantian.' Jurnal Logik Simbolik, 30: 175–192.
  • –––, 1965, 'Fungsi yang ditakrifkan oleh rekursi transfinit,' Journal of Symbolic Logic, 30: 155–174.
  • –––, 2010. 'Kaedah penggantian dikaji semula.' dalam: S. Feferman dan W. Sieg (ed.), Bukti, Kategori dan Pengiraan: Esei dalam Penghormatan Grigori Mints, London: College Publications, hlm. 131–14.
  • von Heusinger, K., 1994, Kajian Neale (1990). Linguistik 32: 378–385.
  • –––, 1997. 'Penerangan pasti dan fungsi pilihan'. Dalam: S. Akama (ed.). Logik, Bahasa dan Pengiraan, Dordrecht: Kluwer, 61–91.
  • –––, 2000, 'The Reference of Indefinites', dalam von Heusinger dan Egli, (2000), 265-284.
  • –––, 2004, 'Fungsi pilihan dan semantik anaforik NP yang pasti', Penyelidikan dalam Bahasa dan Pengiraan, 2: 309–329.
  • von Heusinger, K., Egli, U., (eds.), 2000. Rujukan dan Hubungan Anaforik, Dordrecht: Kluwer.
  • –––, 2000a. 'Pengenalan: Referensi dan Semantik Anaphora', dalam von Heusinger dan Egli (2000), 1–13.
  • von Heusinger, K., Kempson, R., (eds.), 2004. Fungsi Pilihan dalam Semantik, Isu Khas Penyelidikan Bahasa dan Pengiraan 2 (3).
  • von Neumann, J., 1927, 'Zur Hilbertschen Beweistheorie', Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Wang, H., 1963, Satu Kajian Logik Matematik, Peking: Science Press.
  • Winter, Y., 1997. 'Fungsi pilihan dan semantik skop tidak tentu'. Linguistik dan Falsafah, 20: 399–467.
  • Yasuhara, M., 1982, 'Penghapusan potongan dalam (varepsilon) - calculi', Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 28: 311-316.
  • Zach, R., 2003, 'Amalan finitisme. Kalkulus Epsilon dan bukti konsistensi dalam Program Hilbert ', Synthese, 137: 211–259.
  • –––, 2004. 'Verunglückter Beweis' Hilbert, teorema epsilon pertama, dan bukti konsistensi '. Sejarah dan Falsafah Logik, 25, 79–94.
  • –––, 2017. 'Semantik dan teori bukti epsilon kalkulus', dalam: Ghosh, S., Prasad, S. (Eds.), Logik dan Aplikasinya. ICLA 2017, LNCS. Springer, Berlin, Heidelberg, hlm.27–47.

Alat Akademik

ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Cara memetik entri ini.
ikon sep lelaki
ikon sep lelaki
Pratonton versi PDF entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Projek Ontologi Falsafah Internet (InPhO).
ikon kertas phil
ikon kertas phil
Bibliografi yang dipertingkatkan untuk entri ini di PhilPapers, dengan pautan ke pangkalan data.

Sumber Internet Lain

Epsilon Calculi oleh B. Hartley Slater (Ensiklopedia Internet Falsafah)

Sila hubungi pengarang dengan cadangan lebih lanjut.

Disyorkan: